Problème A448 – Solution de Jean Drabbe
Toutes les suites considérées sont des suites de quatre naturels strictement positifs.
Il est clair que dans chacune des solutions au problème, les suites (a,b,c,d) et (w,x,y,z) jouent des rôles symétriques.
De même, des permutations internes des composantes des deux suites d'une solution conduisent encore à une solution. Il est donc commode d'identifier les suites qui ne diffèrent que par l'ordre des composantes.
Une remarque TRES simple va nous permettre de résoudre le problème proposé.
REMARQUE – Soit d le maximum de la suite (a,b,c,d) . Alors, ((a+1) + b + c + d) – (a + b + c + d) = 1
(a + 1) • b • c • d - a • b • c • d ≥ d . On en déduit très facilement le lemme suivant.
LEMME – Les seules suites (a,b,c,d) telles que
a + b + c + d > a • b • c • d sont :
(1 , 1 , 1 , d) d quelconque (1 , 1 , 2 , 2)
(1 , 1 , 2 , 3)
La seule suite (a,b,c,d) telle que a + b + c + d = a • b • c • d est (1 , 1 , 2 , 4)
La symétrie mentionnée au début du texte permet de n'étudier que les deux situations suivantes.
1er cas :
a + b + c + d = w • x • y • z = w + x + y + z = a • b • c • d 2ème cas :
a + b + c + d = w • x • y • z < w + x + y + z = a • b • c • d
Le lemme précédent montre que la première situation conduit à la seule solution :
(a , b , c , d) = (1 , 1 , 2 , 4) = (w , x , y , z) .
Il est clair qu'aucune suite ne peut former une solution avec les suites (1 , 1 , 2, 2) et (1 , 1 , 2 , 3) du lemme.
Pour ce qui concerne les suites (1 , 1 , 1 , d) , la remarque en page 1 impose que le maximum des composantes de toute suite (w , x , y , z) valablement associée soit inférieur ou égal à 7.
Tenant compte de cette limite, on vérifie très facilement que la deuxième situation conduit aux deux seules solutions :
(a , b , c , d) = (1 , 1 , 1 , 11) (w , x , y , z) = (1 , 1 , 2 , 7) et
(a , b , c , d) = (1 , 1 , 1 , 9) (w , x , y , z) = (1 , 1 , 3 , 4)
