A la recherche des alter eg(aux)
Problème D134 de Diophante
Soient un triangle ABC et son cercle circonscrit (C). On trace le cercle tangent en B à AB et passant par C, puis le cercle tangent en C à BC et passant par A et enfin le cercle tangent en A à CA et passant par B. Démontrer que ces trois cercles se rencontrent en un même point P.
Les droites AP, BP et CP coupent le cercle (C) en A’, B’ et C’. Démontrer que les triangles ABC et A’B’C’ sont égaux.
Pour les plus courageux (*****): D’un point M du plan qui contient ABC, on mène les droites MA, MB et MC qui coupent le cercle (C) en D, E et F .Déterminer les points M à distance finie tels que les triangles DEF sont égaux au triangle ABC et démontrer qu’il y a un cercle et une droite qui, pris ensemble, les contiennent tous.
Solution
La figure ci-dessous illustre l’énoncé. Seuls sont tracés (en vert) les cercles (a), tangent en A à CA, passant par B, et (b), tangent en B à AB, passant par C. Ces
cercles se coupent en B et P.
En rouge, sont tracés le cercle (C) circonscrit à ABC et les droites
perpendiculaires en A à AC, en B à BA et en C à CB. Ces trois droites forment le triangle UVW.
B U
A’
P A
V B’
(a)
C W
C’
(b) (C)
En violet, sont tracées les droites AP, BP, CP qui coupent (C) respectivement en A’, B’ et C’.
On constate que le triangle UVW a ses côtés perpendiculaires aux côtés du triangle ABC. Il lui est directement semblable.
L’angle ABU est droit ; donc (a) est le cercle de diamètre AU. De même, (b) est le cercle de diamètre BV.
On constate aussi que les angles orientés PB,AP et AB,AC (en bleu)
interceptent le même arc sur (a) ; donc ils sont égaux. De même les angles PC,BP et BC,BA sont égaux. Il s’ensuit, par suppléments, que les angles PA,CP et CA,CB sont alors égaux ; ce qui montre que P est aussi sur le cercle (c), tangent en C à BC,
passant par A (de diamètre CW).
Par ailleurs les angles PBA et PAC interceptent le même arc sur (a) ; donc ils sont égaux et aussi à PCB. Il s’ensuit que, sur le cercle (C), les arcs AB’, CA’ et BC’
sont égaux ; ce qui montre que le triangle B’A’C’ est directement égal au triangle ABC.
