On note Sn l’ensemble de ces matrices

Problème : Matrices stochastiques et application ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à2 etpun entier naturel.

Une matrice A= (a_i,j)∈ M_n(C) est dite stochastique si

— ∀16i, j6n,ai,j ∈R⁺,

— ∀16i6n,

n

X

j=1

a_i,j = 1.

On note S_n l’ensemble de ces matrices. Une suite (A_p) de matrices de M_n(K) est dite convergente vers une matrice A∈ M_n(C) si, lesn² suites complexes définies par les coefficients des matrices (Ap) convergent vers les coefficients respectifs deA .

Enfin, étant donnés A ∈ M_n(C) et P = a_pX^p+· · ·+a₁X+a₀ ∈ C[X], on note P(A) la matrice définie par

P(A) =a_pA^p+· · ·+a₁A+a₀I_n. Partie N^o1 : Préliminaires 1. Soient(Ap) et(Bp)deux suites de matrices de M_n(C).

Montrer que si(A_p) converge versA et si(B_p) converge versB alors(A_p+B_p) converge vers A+B et(ApBp) converge versAB.

2. (a) Soit A= (ai,j)∈ M_n(C).

NotonsJ la matrice Attila¹ d’ordren, c’est-à-dire la matrice deM_n(C)formée uniquement de 1.

Montrer que AJ =J si, et seulement si,

∀16i6n,

n

X

j=1

ai,j = 1.

(b) En déduire que S_n est stable pour le produit matriciel.

(c) En terme de structure algébrique, que dire de S_n?

Partie N^o2 : Convergence de la suite des itérées des matrices stochastiques d’ordre 2 La forme générale d’une matrice stochastique d’ordre 2est A=

a 1−a 1−b b

avec a, b∈[0,1].

1. CalculerA^p, pour tout p∈Ndans les cas où a=b= 1 eta=b= 0.

2. On suppose dorénavant (a, b)6= (0,0)et(a, b)6= (1,1).

(a) CalculerP(A) oùP = (X−1)(X−(a+b−1)).

(b) Exprimer le reste de la division euclidienne de X^p parP.

(c) En admettant que, pour tous P, Q∈R[X],

(P +Q)(A) =P(A) +Q(A) et(P×Q)(A) =P(A)×Q(A), déduire l’expression deA^p en fonction dea, b, etp.

(d) Montrer que la suite (A^p)converge et donner sa limite.

Partie N^o3 : Convergence dans le cas général SoitA= (a_i,j)∈ S_n.

Pour p∈N, on note a^(p)_i,j le coefficient d’indice (i, j) de la matriceA^p.

1. Car envahit par les_{Huns uns.}

1

1. Montrer que si (A^p)converge versB alorsB ∈ S_n,B²=B etAB=BA=B.

2. On suppose dorénavant que

∀16i, j6n, a_i,j >0.

On pose alors = min{a_i,j /16i, j 6n}>0.

Enfin, pour tout p∈Net tout16j6n, on pose α^(p)_j = minn

a^(p)_i,j /16i6no

, β_j^(p)= maxn

a^(p)_i,j / 16i6no

etδ_j^(p) =β_j^(p)−α^(p)_j . (a) Montrer que, pour tout p∈N, pour tout 16j6n,

α^(p)_j 6α_j^(p+1)6β_j^(p+1) 6β_j^(p) etδ^(p+1)_j 6(1−2)δ_j^(p). (b) En déduire que (A^p) converge vers une matriceB ∈ S_n.

Partie N^o4 : Application Soientα, β ∈]0,1[fixé une fois pour toute.

Un fumeur décide d’arrêter de fumer. Le premier jour suivant cette bonne résolution (jour 0), il ne fume pas.

On suppose que la probabilité qu’il fume le jour p+ 1 s’il n’a pas fumé le jour p vaut α, et que la probabilité qu’il ne fume pas le jour p+ 1s’il a fumé le jourp vautβ.

Pour p ∈N, notonsXp la variable aléatoire égale à 1 si le fumeur fume le jourp et égale à0 s’il ne fume pas le jourp.

Enfin, pour p∈N, on note U_p = P(X_p = 0) P(X_p = 1)

∈ M_1,2(C).

1. Trouver une matriceA∈ S₂ telle que

∀p∈N, Up+1 =UpA.

2. Calculer lim

p→+∞ P(Xp = 1). Commenter.

* * * FIN DU SUJET * * *

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