Modules et anneaux principaux (TD7)
FIMFA Algèbre 2 (Tony Ly), Avril 2012 Exercice 1
Trouver les facteurs invariants du Z-module
Z/4Z⊕Z/8Z⊕Z/6Z⊕Z/18Z⊕Z/7Z. Exercice 2
Soientn≥1un entier etf un endomorphisme de Zn de déterminant non nul. Montrer que l'indice de l'image def dansZn est égal à la valeur absolue du déterminant de f.
Exercice 3
Soit A un anneau commutatif unitaire intègre. Montrer que A est principal si et seulement si tout module de type ni sans torsion surA est libre.
Exercice 4
Soient K un corps, n ≥ 1 un entier et P ∈ K[X] un polynôme unitaire de degré n. On note p la fonction partition, qui à un entier i ≥ 1 associe le nombre de façons distinctes de représenter i comme somme d'entiers.
a) Exprimer, en fonction de la décomposition en facteurs irréductibles deP, le nombre de classes de similitude de matrices de Mn(K)ayant P pour polynôme caractéristique.
b) Expliciter le résultat pour P =X2(X−1)3(X+ 1).
Exercice 5 (Lemme de Schur)
Soit A un anneau commutatif unitaire. Un A-module est dit simple s'il est non nul et ne possède pas de sous-module propre non trivial.
a) Prouver que tout module simple est isomorphe à unA/Moù M est un idéal maximal de A. b) Montrer que tout morphisme f : M1 → M2 entre deux A-modules simples est soit nul, soit
un isomorphisme.
c) En déduire que l'anneau d'endomorphismes d'un module simple est une algèbre à division.
Exercice 6 Donner des exemples :
1) d'un anneau A et d'une famille libre àn éléments deAn qui n'est pas une base deAn; 2) d'une famille génératrice minimale deAnqui n'est pas une base ;
3) de sous-modules qui n'ont pas de supplémentaire ;
4) de sous-modules d'un module libre qui ne sont pas libres ; 5) d'un Z-module qui n'a pas de famille génératrice minimale.
Exercice 7
SoientA un anneau commutatif unitaire et M, N deux modules libres sur A. Soit ϕ:M →N une application linéaire injective.
a) Montrer queVdϕ:VdM →VdN est injective pour tout d≥1. b) Supposons M =Am etN =An. En déduire que l'on a n≥m.
Soitψ:An→An une application linéaire.
c) Montrer queψ est injective si et seulement sidet ψn'est pas diviseur de zéro dansA. 1
Exercice 8 (Théorème des deux carrés) On considère l'anneau Z[i]des entiers de Gauss.
a) Rappeler pourquoi Z[i]est euclidien.
SoientM un Z-module de type ni et supposons l'existence d'un endomorphisme J de M vériant J2 =−1.
b) Munir M d'une structure de Z[i]-module de type ni.
SupposonsM libre en tant que Z-module.
c) Montrer queM est libre en tant que Z[i]-module.
d) Montrer que le rang deM surZest pair, disons égal à2r, et qu'il existe une base duZ-module M dans laquelle la matrice deJ est
0 −Ir Ir 0
. Soitx=a+ibun élément non nul de Z[i].
e) Montrer queZ[i]/(x) est ni, de cardinala2+b2.
Soientp un nombre premier impair etΣ ={a2+b2 |a, b∈N}.
f) En munissantZ/pZd'une structure de Z[i]-module, montrer quepest dansΣsi et seulement si pest congru à 1modulo 4.
Exercice 9
SoientAun anneau commutatif unitaire et X un ensemble. On noteAX leA-module des fonctions deX dansAetA(X) son sous-module des fonctions à support ni.
a) Dénir une application bilinéaire naturelle ( , ) :AX×A(X)→A.
b) Montrer que( , )induit un isomorphisme de A-modulesAX −∼→HomA(A(X), A). c) Montrer que( , ) induit une injectionφ:A(X),→HomA(AX, A).
On supposeA=ZetX =N. On noteE = HomZ(ZN,Z)et on dénit ψ: E → ZN ϕ 7→ ϕ(δi,j)j
i
. d) En considérant les images par ϕ de suites de la forme (2nan)n et (3nbn)n, montrer que tout
élément ϕ∈E qui s'annule surZ(N) est identiquement nul.
e) En regardant les images de suites de la forme (2in)n, montrer queψ a image dansZ(N). f) En déduire queφ est un isomorphisme deZ-modules.
g) Conclure que ZNn'est pas un Z-module libre.
Exercice 10
SoientA un anneau commutatif unitaire et M unA-module.
a) Montrer que les trois assertions suivantes sont équivalentes :
(i) pour toute suite exacte E1 → E2 →E3, la suiteM ⊗AE1 → M⊗AE2 → M ⊗AE3 est exacte ;
(ii) pour toute suite exacte 0→ E1 →E2 →E3 → 0, la suite0 →M⊗AE1 →M ⊗AE2 → M⊗AE3→0 est exacte ;
(iii) pour toute suite exacte 0→E1→E2, la suite0→M⊗AE1 →M⊗AE2 est exacte.
Lorsque ces conditions sont satisfaites, on dit queM est un A-module plat.
b) Supposons A intègre. Montrer que siM est plat surA alorsM est sans torsion.
Soientkun corps, A1 =k[X, Y]etM1 l'idéal (X, Y) de A1.
c) Montrer qu'il existe une applicationA1-bilinéairef :M1×M1 →A1/M1 telle quef(X, Y)− f(Y, X) soit non nul.
d) En déduire queM1 est sans torsion mais n'est pas plat sur A1. SoientA2 =k[T2, T3]⊆k[T]etM2 l'idéal (T2, T3) deA2.
e) Montrer queM2 est sans torsion mais n'est pas plat sur A2.
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