SUJET STG-M-CFE-Polynésie-juin-2007

(1)

Polynésie Juin 2007 série STG MERCATIQUE--CFE Exercice 1 : ( 4 points )

Dans tout l’exercice arrondir les résultats au centime d’euros .

Sur un site Internet. On peut consulter le tableau suivant : Indicateur des taux fixes, exprimés en pourcentage, pour un prêt immobilier

On rappelle que le montant a, en euros, de chacune des n annuités dans le cas d’un emprunt à annuités constantes de E euros, avec un taux d’intérêt annuel i est :

1 (1 ) ⁿ a E i

i ^

   

Monsieur Durand et Monsieur Feux souhaitent emprunter 150 000 euros pour acheter un appartement.

1. a. Monsieur Durand choisit le taux A sur 15 ans. Calculer le montant de l’annuité, le montant de la mensualité, le coût total du crédit.

b. Monsieur Feux choisit le taux B sur 20 ans. Calculer le montant de l’annuité, le montant de la mensualité, le coût total du crédit.

2. Monsieur Durand gagne 3 400 euros par mois et Monsieur Feux gagne 3 100 euros par mois.

La banque refuse le dossier si la mensualité dépasse 30 % du salaire mensuel.

a. Déterminer la ou les personnes pour qui le dossier sera refusé.( justifier votre réponse ) b. Pour la ou les personnes refusées, proposer une solution qui soit acceptée par la banque.

( justifier votre réponse ) . Exercice 2 5 points

Le tableau suivant donne la répartition des internautes par continent pour les années 2001, 2002, 2003 et 2004 en millions d’individus. Il est incomplet. Pour le remplir il faut utiliser les réponses aux différentes questions.

Zone 2001 2002 2003 2004 Taux moyen annuel Estimation 2005

Amérique du Nord 166,7 182,6 196 243

Amérique Latine 24,8 33,3 40,6 47,3 24 %

Afrique/Moyen orient 8,4 11,4 21,3 31,2

Asie du Pacifique 125,9 187,2 298 44 %

Europe 143,3 221,1 242,5 21%

1. Le taux d’évolution en Asie pacifique entre 2003 et 2004 vaut 26 %. Calculer le nombre d’internautes En millions, à 10⁻¹ près, en Asie pacifique en 2004.

2. En prenant pour base 100, le nombre d’internautes en Europe en 2001, on obtient un indice 133,2 pour l’année 2002. Calculer le nombre d’internautes, â 10⁻¹ près, en Europe en 2002.

3. Calculer les taux annuels moyens, à 10⁻² près, entre 2001 et 2004 pour l’Amérique du Nord et

l’Afrique/Moyen-Orient. Classer les cinq zones par ordre croissant de taux moyens annuels d’évolution.

4. Un organisme utilise le taux moyen annuel pour estimer le nombre d’internautes dans les cinq zones en 2005. Calculer ces cinq prévisions. Que pensez-vous de la méthode choisie ?

Exercice 3

Un nouveau logiciel permet de filtrer les messages sur une messagerie électronique. Les concepteurs l'ont testé pour 1000 messages et voici leurs conclusions.

80% des messages entrants sont indésirables.

95% des messages indésirables sont éliminés 1% des messages bienvenus sont éliminés.

On note I, l'événement: « le message est indésirable » On note_{B I}_ ,l'événement: «le message est bienvenu ».

On note E, l'événement: « le message est éliminé » On note C, l'événement; « le message est conservé » 1 ) Compléter le tableau suivant :

2) Un message est envoyé; utiliser le tableau précédent pour calculer les probabilités demandées ci-dessous. Les résultats seront donnés à 10^ près.

a) Calculer P EI^{( )} ,P CI^{( )} , P CB^{( )},P BC^{( )}et P IC^{( )}

b) Quelle est la probabilité qu’un message soit indésirable et conservé ?

15 ans 20 ans 25 ans Taux A 3,65 % 3,70 % 3,85 % Taux B 3,85 % 3,90 % 4,05 %

Taux C 4 % 4,05 % 4,20 %

Nombre de messages indésirables

Nombre de messages de bienvenue

Total

Nombre de Messages éliminés . Nombre de messages conservés

Total 1000

(2)

c ) Calculer ^{P B}⁽ ^^E⁾ et ^{P E}⁽ ^^I⁾.

d ) Montrer que la probabilité qu’un message soit éliminé est 0,762

e ) Calculer la probabilité pour que le message soit indésirable sachant qu'il est éliminé.

f ) Calculer la probabilité pour que, sachant qu'il est conservé, un message soit indésirable.

3.Utilisation d’un arbre pondéré.

a) Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant, ainsi la colonne « probabilité du résultat »

I

B

E 0,8

0,95

C

C E

( ) _I( ) ( ) 0,8 0,95 0,76 P IE P E P I   

( ) ...

P IC  …….

( ) ...

P BE 

( ) ...

P BC 

b) Déterminer les probabilités conditionnelles P EI^{( )} ,P CI^{( )} , P CB^{( )}et P EB^{( )}

c) Déterminer la probabilité qu’un message soit indésirable et conservé.

d) Ê ^{ }⁽Î Ê^{) (}^ ^B^Ê⁾et les deux événements ⁽Î^Ê⁾et ⁽^B^Ê⁾sont incompatibles.

Calculer ^{P E}^{( )}

e) en déduire la probabilité que, sachant qu’il est éliminé, un message est bienvenu.

Exercice 4 7 points

Monsieur Durand dirige une entreprise familiale qui fabrique des montres de luxe depuis cinquante

ans. Il part à la retraite et confie l’entreprise à son fils Vincent. Dès la première semaine, Vincent demande à un collaborateur un compte rendu de l’activité journalière de l’usine ; celui-ci lui remet le document 1 ci-dessous.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 1

1

x y

R(x)

C(x)

Partie 1 : En lisant graphiquement les deux courbes du document no 1, répondre aux questions suivantes

(3)

1. Quel est le nombre maximum de montres produites en une journée ? 2. Quel est le coût de production de 6montres ? de 8montres ?

3. Combien faut-il vendre de montres pour obtenir une recette de 6 000 euros ?

4. Combien de montres faut-il vendre par jour pour que l’usine fasse un bénéfice ? (ce bénéfice doit être strictement positif.)

La semaine suivante, Vincent se demande s’il peut produire plus de montres à condition que l’usine reste bénéficiaire. Il convoque son collaborateur qui lui remet le document ci-dessous, dressé à l’aide d’un tableur :

A B C

1 Nombre de montres

Coût de production ( en milliers d’euros )

Recette ( en milliers d’euros )

2 0 4,5 0

3 1 5,075 1

4 2 5,44 2

5 3 5,655 3

6 4 5,78 4

7 5 5,875 5

8 6 6 6

9 7 6,215 7

10 8 6,58 8

11 9 7,155 9

12 10 8 10

13 11 9,175 11

14 12 10,74 12

15 13 12,755 13

16 14 15,28 14

17 15 18,375 15

18 16 16

19 17 17

Partie 2 : En utilisant le tableau ci-dessus, répondre aux questions suivantes : 1. Quel est le coût de production pour 5montres ? pour 14 montres ?

2. Quelle est la recette pour 12 montres ?

3. Combien fabrique-t-on de montres avec 6 215 euros ?

4. Combien peut-on fabriquer de montres en sachant que l’entreprise doit être bénéficiaire ? (donner la réponse sous forme d’un intervalle)

5. On a entré dans la cellule B2 la formule : = 0.01*A2^3 - 0.135*A2^2+0.7*A2 +4.5 que l’on a recopiée jusqu’à la cellule B19.

Quelle valeur sera dans la cellule B18 ? À quoi correspond-t-elle ? Quelle valeur sera dans la cellule B19 ? À quoi correspond-t-elle ?

La troisième semaine, Vincent se préoccupe de savoir combien il faut vendre de montres par jour pour que le bénéfice soit maximum. Cette fois-ci, le collaborateur décide de traiter le problème de façon algébrique. Il propose. de désigner par x, le nombre de montres vendues dans la journée, par C(x) le coût de production de x montres et par R(x) la recette pour x montres vendues. De plus, on a :

3 2

( ) 0,01 0,135 0,7 4,5

C x  x  x  x et ^{R x}^{( )}^^x.

Partie 3 : Dans cette partie, il s’agit de répondre aux questions suivantes de façon algébrique : 1. On désigne par B(x), le bénéfice réalisé par l’entreprise dans une journée.

Montrer que B x( ) 0, 01x³0,135x²0,3x4,5. 2. Calculer^{B x}^{'( )}et montrer que ^{B x}^{'( )}^{ }^{0, 03(}^x^¹⁰⁾⁽^x^¹⁾. 3. Étudier le signe de B′(x) sur l’intervalle [0 ; 17].

4. Dresser le tableau de variations de la fonction B sur l’intervalle [0 ; 17].

5. Déduire de ce qui précède, le nombre de montres qu’il faut vendre pour que l’entreprise réalise un bénéfice maximum.

(4)

Exercice -1

Quand on fait un prêt, on paye, à la fin de chaque année : une part d’intérêt et une part de remboursement du capital emprunté.

Les annuités sont dites constantes lorsque la somme de ces deux parts est la même chaque année.

L’énoncé ci-dessus signifie que si le montant emprunté est de E euros pendant n années, si le taux d’emprunt annuel est de i, alors le montant de chaque annuité est :

1 (1 ) ⁿ a E i

i ^

    Le montant de l’emprunt est ici E = 150.000 euros.

1. a. Durand choisit le taux A sur 15 ans : c’est-à-dire n = 15 , i = 3.65% =0,0365 , E = 150000.

Le montant des annuités est donc 0,0365 ₁₅ 150000

1 (1 0,0365)

a  _ 

  13163,1. Les mensualités sont donc de ^13163,1 ^1096,92€

12 12

a   . A la fin des 15 ans, Durand aura donc payé

15  a 15 13163,1197446,5€,

donc le coût du crédit est de 47446,5 €.(197446,5-150000 = 47446,5 )

b. Feux choisit le taux B sur 20 ans : c’est-à-dire n = 20, i = 3.90 % =0,039 , E = 150000.

Le montant des annuités est donc 0,039 ₂₀ 150000

1 (1 0,039)

a  _ 

  10939,7€

les mensualités sont donc de 10939,6

12 12

a  911,65 €. A la fin des 20 ans, Durand aura donc payé ²⁰ a 20 10939, 7 218795 €, donc le coût du crédit est de 218795 -150000= 68795€.

2. Le taux d’endettement étant de 30%, le montant des mensualités du crédit ne doivent pas être supérieur à 30% du salaire de chacun.

a. Durand touche 3400 € par mois : 30% de 3400 vaut 30

34001001020 €. Or ses mensualités devraient être de 1096 € environ. Son dossier est donc refusé. (1020 €.< 1096 € )

Feux touche 3100 € par mois : 30% de 3100 vaut 30

3100100930 €. Ses mensualités devraient être de 912 € environ. Son dossier est donc accepté. ( 930 € > 912 € )

b. pour que son dossier soit accepté par la banque , monsieur DURAND doit donc augmenter la durée de

l’emprunt . pour un emprunt sur 20 ans avec le taux A : l’annuité sera de ¹⁵⁰⁰⁰⁰ ^0,0370 ₂₀

1 (1 0,0370)

a  _ 

  10746,06 € . la mensualité sera de 12

a 895,5€.La mensualité est dans

ce cas inférieure à 30 % du salaire mensuel, le dossier sera accepté, soit le taux A sur 20 ans.

Exercice 2

1. Notons A le nombre d’internautes en millions , 0,1 près , en Asie pacifique en 2004 : Le taux d’évolution en Asie pacifique entre 2003 et 2004 vaut 26 % donc :

²⁹⁸ ^{100 26} 298

A

  soit ²⁹⁸ ²⁹⁸ ^{26 77,48}

A 100  et on a : A298 77, 48 375, 48  . Le nombre d’internautes en millions , à a 0,1 près , en Asie pacifique en 2004 est 375,5.

2. Un indice de 100 correspond à 143,3 . donc un indice de 133,2 correspond à 133,2 143,3

190,9 100

 

Le nombre d’internautes en millions, en Europe en 2002 est de 190,9.

3. Pour l’Amérique du Nord le taux annuel moyen entre 2001 et 2004 vérifie : ^166,7 



¹ tm



³²⁴³ soit



¹tm



³_166,7²⁴³ ;



¹ tm



_166,7²⁴³ ^{1/ 3}

   

  ;

243 1/ 3

1 1,1339 1 0,1339 166,7

tm  

     

 

Soit tm^13,39%.

143,3 N

indice100 133,2

(5)

De même pour l’Afrique / Moyen orient :

31, 2 1/ 3

1 1,54867 1 0,549

m 8, 4

t  

     

  , soit tm^54,9%.

Classement par ordre croissant de taux moyens annuels d’évolution :

Amérique du Nord / Europe / Amérique Latine / Asie du Pacifique / Afrique/Moyen orient 4. Estimation en 2005

Pour l’Amérique du Nord : ²⁴³ ¹ ^13,3 243 1,133 275,32 100

 

    

  .

Pour l’Amérique latine : ^47,3 ¹ ²⁴ 47,3 1, 24 58,652 100

 

    

  .

Pour L’Afrique/Moyen orient: ^31,2 ¹ ^54,9 31,7 1,549 49,1 100

 

    

  .

Pour L’Asie du Pacifique: ^375,5 ¹ ⁴⁴ 375,5 1, 44 540,7 100

 

    

  .

Pour L’Europe: ^252,5 ¹ ²¹ 252,5 1,21 305,5 100

 

    

  .

Zone 2001 2002 2003 2004 Taux moyen annuel Estimation 2005

Amérique du Nord 166,7 182,6 196 243 13% 274,6

Amérique Latine 24,8 33,3 40,6 47,3 24 % 58,7

Afrique/Moyen orient 8,4 11,4 21,3 31,2 55 % 48,4

Asie du Pacifique 125,9 187,2 298 375,5 44 % 540,7

Europe 143,3 190,9 221,1 242,5 21% 305,5

Exercice 3

80 % des messages entrants sont indésirables soit un nombre de ^{80 1000} ⁸⁰⁰ 100

 

95 % des messages indésirables sont éliminés soit un nombre de ^{95 80} ⁷⁶⁰ 100

  1% des messages bienvenus sont éliminés soit un nombre de ^{1 200} ²

100

 

2)a) On a 760 messages éliminés sur 800 messages indésirables donc :

760 19

( ) 0,95

800 20

P EI   

On a 40 messages conservés sur 800 messages indésirables donc : 40

( ) 0,05

I 800

P C   .

On a 198 messages bienvenus sur 238 messages conservés donc : ^{( )} ¹⁹⁸ ^0,99

B 200

P C   .

On a 198 messages bienvenus sur 238 messages conservés donc : ^{( )} ¹⁹⁸ ^0,832

C 238

P B   .

On a 40 messages indésirables sur 238 messages conservés donc : ^{( )} ⁴⁰ ^0,168

C 238

P I   .

b)Sur 1000 messages, on a 40 messages qui sont conservés et qui sont indésirables donc:

⁽ ⁾ ⁴⁰ ^0,04 P C I 1000

c) Sur 1000 messages, on a 2 messages de bienvenue et qui sont éliminés donc : ⁽ ⁾ ² ^0,002 P BE 1000 Sur 1000 messages, on a 760 messages indésirables et qui sont éliminés donc : ⁽ ⁾ ⁷⁶⁰ ^0,76

P E I 1000 Nombre de

messages indésirables

Total

Nombre de Messages éliminés.

760 2 762

Nombre de messages conservés

40 198 238

Total 800 200 1000

(6)

d) Sur 1000 messages, on a 762 messages qui sont éliminés donc ^{( )} ⁷⁶² ^0,762 P E 1000

e) On a 760 messages indésirables sur 762 messages éliminés donc : ^{( )} ⁷⁶⁰ ^0,998

E 762

P I   f) On a 40 messages indésirables sur 238 messages conservés donc : ^{( )} ⁴⁰ ^0,17

C 238

P I   .

2.

I

B

E 0,8

0,95

C

C E 0,2

0,05 0,01

0,99

( ) _I( ) ( ) 0,8 0,95 0,76 P IE P E P I   

( ) _I( ) ( ) 0,05 0,8 0,04 P IC P C P I   

( ) _B( ) ( ) 0,01 0, 2 0,002 P BE P E P B   

( ) _B( ) ( ) 0,99 0,2 0,198 P BC P C P B   

( ) 0, 762

( ) 0,95

( ) 0,8

I

P E I

P E p I

    ; ( ) 0,04

( ) 0,05

( ) 0,8

I

P C I

P C p I

    ; ( ) 0,198

( ) 0,99

( ) 0, 2

B

P B C

P C p B

   

( ) 0,002

( ) 0,01

( ) 0, 2

B

P B E

P E p B

    .c). P I⁽ C⁾P C_I^{( )}P I( ) 0,05 0,8 0,04  

d) P E^{( )}P E⁽ B⁾P E⁽  I) 0,002 0,760 0,762  ; e) ( ) 0,002

( ) 0,03

( ) 0,762

E

P B E

P B p B

    .

Exercice 4 Partie I

1. On fabrique 10 montres au maximum en une journée (axe des abscisses).

2. Le coût de production de 3 montres est de 6 milliers d’euros. Celui de 8 montres est d’environ 6500€.

3. Une recette de 6000_ est obtenue pour la vente de 6 montres.

4. L’entreprise réalise des bénéfices lorsque la recette est supérieure au coût, c’est-à-dire lorsque la courbe des recettes est au dessus de la courbe coût, soit pour plus de 7 montres fabriquées et vendues

(pour 6 montres, le bénéfice est nul).

Partie II

1. Le coût de production de 5 montres est de 5875 €, celui de 14 montres est de 15280 €.

2. Pour 12 montres, la recette est de 10 milliers d’euros.

3. Avec 6215 € de coût de fabrication , on fabrique 7 montres.

4. Pour que l’entreprise reste bénéficiaire, il faut que la recette reste supérieure au coût : cela a lieu lorsque la production de montre appartient à [7 ;12].

5. Dans la cellule B2, on rentre la formule « = 0.01*A2^3-0.135*A2^2+0.7*A2+4.5 » donc en copiant la formule :

en B18, il y a aura « = 0.01*A18^3-0.135*A18^2+0.7*A18+4.5 » en B19, il y a aura « = 0.01*A19^3-0.135*A19^2+0.7*A19+4.5 » qui correspondent respectivement aux coûts de production de 16 et 17 montres.

Partie III

Admettons que C x( ) 0,01 x³0,135x²0,7x4,5 et que ^{R x}^{( )}^^x.

1. Alors B x( )R x( )C x( ) x 0,01x³0,135x²0,7x4,5. B x( ) 0,01x³0,135x²0,3x4,5. 2. Par conséquent, B x( ) 0,03x²0, 27x²0,3. .

Développons alors

0, 03(x10)(x  1) 0,3(x² x 10x10) 0,03x² 9 0,03x0,3 0,03x²0, 27x0,3B x'( ) Donc on a bien ^{B x}^{'( )}^{ }^{0, 03(}^x^¹⁰⁾⁽^x^¹⁾.

- Sur ^[0;10[^{B' x}^{( ) 0}^ , cela signifie que la fonction Best croissante

- Sur ^]10;17] ^{B' x}^{( ) 0}^ , cela signifie que la fonction

x 0 10 17

(x10)   

(x10)  

-0 ,03  

( )

B' x   

( )

B x 4,5 

9,515

(7)

Best décroissante. Pour x10 : ^{B' x}^{( ) 0}^ . Et la fonction Badmet un maximum

3. Dressons le tableau de variations de B : ^B⁽⁰⁾^{ }^4,5 ; ^B^{(10) 2}^ et

4. Pour réaliser un bénéfice maximum, l’entreprise doit donc réaliser et vendre 10 montres.

70 % des messages entrants sont indésirables soit un nombre de 70 1000 100 700

 

95 % des messages indésirables sont éliminés soit un nombre de 95 700 100 665

 

2% des messages bienvenus sont éliminés soit un nombre de 2 300 100 6

 

2)

a) On a 294 messages bienvenus sur 329 messages conservés donc : 294

( ) 0,894

C 329

P B  

On a 665 messages éliminés sur 700 messages indésirables donc : 665 95

( ) 0,95

700 100

P EI   

b) Sur 1000 messages, on a 6 messages de bienvenue et qui sont éliminés donc : 6

( ) 0,006

P BE 1000

Sur 1000 messages, on a 665 messages indésirables et qui sont éliminés donc : 665

( ) 0, 665

P E I 1000 c) On a 665 messages indésirables sur 671 messages éliminés donc : 665

( ) 0,991

E 671

P I  

d) Sur 1000 messages, on a 35 messages qui sont conservés et qui sont indésirables donc:

35

( ) 0, 035

P C I 1000

Nombre de messages indésirables

Total

Nombre de Messages éliminés .

665 6 671

Nombre de messages conservés

35 294 329

Total 700 300 1000