Seconde 2018 - 2019
Vecteurs
I) Notion de vecteurs
1) Caractéristiques d'un vecteur
Le mouvement rectiligne d'un pointA vers un point B se nomme la translation deA vers B. On dit que B est l'image de A dans la translation de vecteur −→
AB.
Dénition :
Soient A etB deux poinst distincts. Le vecteur −→
AB est caractérisé par
• sa direction : la droite (AB).
• son sens : de A vers B.
• sa longueur ou sa norme : la longueur du segment [AB], soit AB ou encore k
−→
ABk
−→
AB B
A
Notations et vocabulaire
• Pour le vecteur−→
AB, A est l'origine du vecteur et B est l'extrémité.
• S'ils ne sont pas liés à deux points, les vecteurs peuvent aussi se noter avec une seule lettre (le plus souvent minuscule) : −→
u, −→ v, . . .
Remarque Le vecteur −→
AA (ou −−→
BB. . . ) est appelé le vecteur nul. On le note −→ 0. Il n'a pas de direction, ni de sens. Sa norme est égale à 0.
Propriétés :
1) Deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont :
• la même direction
• le même sens
• la même norme
2) M est le milieu de [AB] est équivalent à−−→
AM =
−−→
M B A M
B
Propriété :
Les phrases mathématiques suivantes signient la même chose :
•
−→
AB=
−−→
DC
• ABCD est un parallélogramme.
• [AC]et [BD] ont le même milieu
2) Additionner des vecteurs
Approche graphique
I J O
~u
~v
~ u
~v
~ u+~v A
B
C
Dans le repère (O;I,J), le point A subit la translation de vecteur−→ u puis la translation de vecteur −→
v .
On dit que la point A a subi la translation de vecteur −→ u +
−
→ v. Dans la gure ci-contre, on a l'égalité : −→
AC =
−
→ u +
−
→ v .
Propriété :
Relation de Chasles Pour tout pointA, B et C, on a −→AC =
−→
AB+
−−→ BC. Conséquence : Comme−→
0 =
−→
AA=
−→
AB+
−→
BA, on en déduit que −→
BA=−
−→
AB.
3) Multiplier un vecteur par un nombre/ Colinéarité
Approche graphique
x y
I J O
−
→
u 2
−
→ u
−
−
→ u A
C
D
Dans le repère (O;I,J),
• Le point A subit la translation de vecteur −→
u deux fois de suite.
On dit que la point A a subi la translation de vecteur −→ u +
−
→ u ou 2
−
→ u.
• Le point C est tel que−→
AC = 2
−
→ u.
• Le point D tel que −−→ AD=−
−
→ u.
Dénition :
Soit −→
u un vecteur et k un réel non nul. Le vecteur k
−
→
u est déni par :
• la même direction, le même sens et la normek fois plus grande que celle de−→
u SI k >0
• la même direction, le sens contraire et la norme −k fois plus grande que celle de−→
u SI k <0
Cas particulier :
• Le Vecteur opposé à −→
u est le vecteur −
−
→
u qui a la même direction, la même norme, mais de sens opposé à −→
u.
• Le vecteur opposé à −→
AB est−
−→
AB mais aussi −→
BA. Ainsi, on a −
−→
AB=
−→
BA.
Dénition :
On dit que deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction.
Ne pas confondre direction et sens !
Par convention, le vecteur nul (qui ne possède pas de direction) est colinéaire à tout autre vecteur.
Propriété :
Dire que−→ u et−→
v sont colinéaires équivaut à dire qu'il existe un réel λ tel que −→ u =λ
−
→ v . Applications
• Pour démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles, on peut montrer que −→
AB et −−→
CD sont colinéaires. On cherche alors un réel λ tel que −→
AB=λ
−−→
CD.
• Pour démontrer que les points A,B etC sont alignés, on peut montrer que −→
AB et−→
AC sont colinéaires.
On cherche alors un réel λ tel que −→
AB =λ
−→
AC.
II) Coordonnées d'un vecteur
1) Dénitions
Approche graphique
x y
I J O
−→ A AB
B −→
u
Dans le repère (O;I,J),
• le vecteur−→
AB a pour coordonnées −5
−2
!
• le vecteur−→
u a pour coordonnées 1
−3
!
• le vecteur−→
OI a pour coordonnées 1 0
!
• le vecteur−→
OJ a pour coordonnées 0 1
!
Propriété :
Calcul des coordonnées d'un vecteurDans un repère (O;I,J), si on aA(xA; yA) etB(xB; yB), alors −→
AB xB−xA yB−yA
! .
Exemple 1 : Dans le repère (O;I,J), on donne A(2; 3) et B(−3; 1) On a alors−→
AB −3−2 1−3
!
donc −→
AB −5
−2
!
Propriété :
Coordonnées et égalité de vecteursDes vecteurs sont égaux si et seulement s'ils ont les même coordonnées Autement dit, avec−→
u x y
! et −→
v x0 y0
!
: Dire que −→ u =
−
→
v est équivalent à dire que
( x=x0 y=y0
Exemple 2 : Dans le repère (O;I,J), on donne A(5 ; 3), B(17 ; 15), C(8 ; 9)et D(20 ; 21). Montrer que le quadrilatèreABDC est un parallélogramme :
Calcul des coordonnées de−→
AB : −→
AB 17−5 15−3
!
donc −→
AB 12 12
!
Calcul des coordonnées de−−→
CD : −−→
CD 20−8 21−9
!
donc−−→
CD 12 12
!
On a−→
AB =
−−→
CD donc ABDC est un parallélogramme.
2) Coordonnées et opérations de vecteurs
Propriété :
Coordonnées et addition de vecteurs Dans un repère (O;I,J), si−→u x y
! et −→
v x0 y0
!
, alors −→ u +
−
→
v x+x0 y+y0
!
Propriété :
Coordonnées de vecteur et multiplication par un réel Dans un repère (O;I,J), avec −→u x y
!
etλ un réel, alors on aλ
−
→ u λ x
λ y
!
De manière générale, on peut dire que l'on traduit l'opération vectorielle sur chacune des coordonnées.
Exemple 3 : Dans le repère (O;I,J), on donne A(5 ; 3), B(17 ; 15) etC(8 ; 9). Calculer les coordonnées de −→
BA+ 3
−−→ BC.
• Calcul des coordonnées de −→
BA : −→
BA 5−17 3−15
!
donc −→
BA −12
−12
!
• Calcul des coordonnées de −−→
BC : −−→
BC 8−17 9−15
!
donc −−→ BC −9
−6
!
• Calcul des coordonnées de 3
−−→ BC : 3
−−→
BC 3×(−9) 3×(−6)
!
donc 3
−−→
BC −27
−18
!
Calcul des coordonnées de−→
BA+ 3
−−→
BC : : −→
BA+ 3
−−→
BC −12−27
−12−18
!
donc−→
BA+ 3
−−→
BC −39
−30
!
3) Coordonnées et colinéarité
Propriété :
Dans un repère (O;~ı,~), deux vecteurs −→ u
x y
et −→ v
x0 y0
sont colinéaires si et seulement si xy0−x0y = 0.
Exemple 4 : Dans un repère (O;~ı,~), on donne A(−1 ; 3), B(1 ; 2), C(−5 ; 1) et D(1 ; −2) . Les droites (AB) et(CD) sont-elles parallèles ?
• Calcul des coordonnées de −→
AB : −→
AB 1−(−1) 2−3
!
donc −→
AB 2
−1
!
• Calcul des coordonnées de −−→
CD : −−→
CD 1−(−5)
−2−1
!
donc −−→
CD 6
−3
!
Soit on voit que3
−→
AB=
−−→
CD, soit on utilise la propriété précédente avec x= 2, y=−1,x0 = 6 et y0 =−3 :
xy0−x0y= 2×(−3)−6×(−1) = −6−(−6) =−6 + 6 = 0
Les droites (AB) et(CD) sont parallèles.
4) Coordonnées et norme de vecteur
Dénition :
Dans un repère (O;~ı,~)orthonormal, avec −→ u x
y
!
, on a k
−
→
uk=p
x2 +y2.
Ainsi, avec −→
AB xB−xA
yB−yA
!
, on a k
−→
ABk=p
(xB−xA)2 + (yB−yA)2.
Exemple 5 : Dans un repère (O;~ı,~), on donne A(1 ; 5), B(−1 ; 1) etC(4 ; 1) . Montrer queABC est isocèle en C.
• Calcul de la norme de −→
AC : k
−→
ACk=p
(xC−xA)2+ (yC −yA)2 =p
(4−1)2 + (1−5)2 =p
(3)2+ (−4)2 =√
9 + 16 = 5.
• Calcul de la norme de −−→ BC : k
−−→ BCk=p
(xC−xB)2+ (yC −yB)2 =p
(4−(−1))2 + (1−1)2 =p
(5)2+ (0)2 =√
25 = 5. Le triangle ABC est isocèle en C.
