D618 – Une construction toute simple [** à la main]
Soit un carré ABCD de 10 cm de côté. Sur le côté AB on choisit le point E tel que AE = 3 cm.
Construire à la règle et au compas le point F sur le côté BC tel que EF = AE + FC.
Solution
Supposons que le point F sur BC est tel que EF = AE + FC. On prolonge le côté BC au delà de C de la distance AE jusqu’au point G tel que FG = FC + CG = FC + AE = EF. Les
triangles rectangles AED et DCG étant égaux, on a DE = DG. Les triangles DEF et DGF qui ont trois côtés égaux sont égaux et DF est la bissectrice de l’angle EDG. Comme ADE =
CDG, il en résulte que EDG = 90° et EDF = 45° = ACF.
Soit M à l’intersection de la diagonale AC du carré ABCD et du segment DE. Comme
MDF = MCF = 45°, le quadrilatère DCFM est inscriptible. Il en résulte que DMF = 90° et MF est perpendiculaire à DE.
D’où la construction simplissime…à faire : on trace les deux segments AC et DE qui se coupent en M. De ce point on mène la perpendiculaire à DE (construction très classique avec la règle et le compas) qui coupe BC au point désiré F.
A noter que quelle que soit la position de E à l’intérieur de AB, il existe toujours un point F qui est unique sur BC.
