G278. Comme des poupées russes
Il y a sur la table n boites identiques. Certaines d’entre elles contiennent chacune n boites identiques de plus petite taille. Certaines de ces dernières contiennent chacune n boites identiques de taille encore plus réduite et ainsi de suite avec certaines boites qui contiennent chacune n boites de taille toujours plus réduite. Il y a sept tailles différentes de boites et au total 2014 boites toutes tailles confondues. Sachant que le nombre de boites qui contiennent au moins une boite est un nombre premier, trouver n.
Solution proposée par Claudio Baiocchi On a n=53.
Soient: le nombre de boites de taille maximum qui ne sont pas vides; le nombre de boites un peu plus petite qui ne sont pas vides; et ainsi de suite jusqu’à , nombre de boites de taille presque minimum qui sont non vides. On a donc
relation qui, posant , peut être écrite sous la forme:
Il ne reste qu’à trouver les factorisations de et utiliser la restriction que (qui est le nombre des boites non vides) est un nombre premier. Le seul choix possible est .