A la Foire au Trône, Zig est attiré par l’enseigne « On gagne à tous les coups » du stand du
marchand de confiseries.... Le forain partage un sachet contenant 2013 pralines en cinq tas
distincts et bien visibles. Puis Zig choisit un nombre entier N compris entre 1 et 2013 qu’il annonce
au forain.Celui-ci prépare alors un sixième tas (qui peut être vide) en extrayant des pralines des tas
précédemment constitués jusqu’à obtenir exactement le nombre N par addition des nombres de
pralines contenues dans un ou plusieurs des six tas. Dès lors Zig reçoit pour lot le nombre p de
pralines déplacées par le forain pour constituer le sixième tas. Sachant que le forain cherche à
minimiser ce nombre et qu’à l’inverse Zig cherche à le maximiser, déterminer p.
Soit q le nombre de pralines du plus petit des tas ; en extrayant jusqu’à p pralines, on peut évidemment obtenir les nombres de 1 à p ; il faut alors que q-p≤ p+1 pour pouvoir obtenir p+1 ; donc q≤2p+1.
On peut alors obtenir les nombres jusqu’à q+p en extrayant jusqu’à p pralines des autres tas ; pour obtenir q+p+1 le tas suivant par taille croissante doit contenir r pralines avec r-p≤q+p+1. En itérant le raisonnement, on en déduit que les cinq tas doivent comporter au maximum 2p+1, 4p+2, 8p+4, 16p+8 et 32p+16 pralines.
Cela ferait un total maximum de 62p+31 pralines ; pour p=32, ce nombre vaut 2015.
Avec cinq tas de 65, 130, 260, 520 et 1038 pralines, la valeur p=32 permet de couvrir tous les nombres N de 1 à 2013.
E562 - On gagne à tous les coups
