E452. Qui se répète perd
Diophante fixe un entier naturel n ≥ 2. Zig et Puce partent d'une ligne vide, le premier joueur écrit "0" ou "1" puis
chacun à son tour ajoute "0" ou "1" à la fin de la séquence de "0" et de "1" précédemment écrite.
Un joueur perd si le chiffre qu'il ajoute fait apparaître un bloc de n chiffres consécutifs qui se répète pour la
deuxième fois.
Les deux blocs qui se répètent peuvent se chevaucher.
Par exemple :
- pour n = 3, à partir de la séquence 0011100 le second joueur perd en écrivant "1" car le bloc de 3 chiffres "001"
se répète dans la séquence 00111001.
- pour n = 5, à partir de la séquence 101010 le premier joueur perd en écrivant "1" car le bloc de 5 chiffres
"10101" se répète dans la séquence 1010101.
Q1 Démontrer que quel que soit n ≥ 2, la partie se termine toujours en un nombre fini de tours.
Q2 n = 3 et Puce commence la partie. Qui est vainqueur ?
Q3 n = 4 et Zig commence la partie. Qui est vainqueur ?
Q4 n = 5 et Zig commence la partie. Qui est vainqueur ?
Pour les plus courageux: peut-on déterminer qui a une stratégie gagnante en fonction de n?
SOLUTION.
Q
1 Il existe 2
* séquences distinctes.
Après avoir écrit 𝑛 chiffres, on a écrit une séquence.
Après avoir écrit le 𝑝 chiffres ( 𝑝 ≥ 𝑛 ), on a écrit 𝑝 − 𝑛 + 1 séquences.
Après avoir écrit le 2
* + 𝑛 chiffres, on a écrit 2
* + 1 séquences et d’après le principe des tiroirs, il existe nécessairement au moins deux séquences identiques.
Conclusion : Une partie se termine toujours après au plus 𝟐
𝒏+ 𝒏 tours de jeu.
Q
2 𝒏 = 𝟑 : Puce commence la partie : Zig gagne.
En effet, si Puce commence par jouer 1, alors Zig peut, en jouant 0, orienter la partie de trois manière à gagner.
Une astérisque lors d’un coup de Puce indique qu’il n’a pas d’autre choix.
P Z P Z P Z P Z P
1 0 0 1 0 1 1* 0 Perd
1 0 0 1 1 0 1* 0 Perd
1 0 1 0 0* 1 1* 0 Perd
Q
3 Conjecture et étude réalisée à l’aide d’un automate.
𝒏 = 𝟒 : Zig commence la partie. Qui est vainqueur ???
Je n’ai pas réussi à conclure.
Je tente donc une conjecture à partir des cas 𝑛 = 2 et 𝑛 = 3.
𝒏 = 𝟐 : Puce commence la partie (en jouant 1) : Zig gagne.
P Z P Z P
1 1 0* 1 Perd
Sans stratégie autre que celle de ne pas perdre à son tour de jeu, il y a 4 parties jouables et équiprobables et Zig et Puce ont chacun 1 chance sur 2 de gagner.
𝒏 = 𝟑 : Puce commence la partie (en jouant 1) : Zig gagne ( voir Q
2 )
Sans stratégie autre que celle de ne pas perdre à son tour de jeu, il y a 30 parties jouables (mais non équiprobables).
Zig en gagne 16 et Puce 14. De plus, Zig a 9 chances sur 16 de gagner.
Il y a donc corrélation entre le fait de gagner « sans stratégie » et « avec stratégie optimale ».
