sin  khxbay 

Objectif du cours:

Fonction sinus

 

 ^{b x h}  ^k

a

y  sin  

Étude de la fonction sinus de base

Période = 2π

Amplitude A = 1

Chapitre 5.3 Étude de la fonction sinus de base En rouge, vous voyez le lien entre la circonférence

du cercle et la fonction sinusoïdale sur un plan cartésien.

π/2 π

3

2

5

P = 2π

Maximum: 1 Minimum: -1 Chapitre 5.3

Si a=1, b=1, h=0, k=0

f(x) = sin x

Point de départ: (h, k) = (0, 0)

Étude de la fonction sinus de base

 

 ^{b x h}  ^k

a

y  sin  

Chapitre 5.3 Étude de la fonction sinus

Maximum: k + A

Minimum: k - A

L’amplitude est le paramètre en valeur absolue |a|

P = 4

P = 4

Point de départ: (h, k) milieu

d’une montée ou d’une descente.

(h, k) = (1, -1)

Maximum: -1 + 2 = 1

Minimum: -1 – 2 = -3

2

min max f f

A  

2 3 1 



A

A  2 ^{P b}



 2

2 2

 

 P





 4

P

Chapitre 5.3 Étude de la fonction sinus P = 4

Intervalle de décroissance

x Є [2 + Pn, 4 + Pn] où n Є Z x Є [2 + 4n, 4 + 4n] où n Є Z Description en compréhension Sur une intervalle

x Є [2, 4]

Dans les réels

Pour tracer la fonction sinus

Pour tracer la fonction sinus

Il faut retrouver…

2- (h, k)

3- La période à l’aide du paramètre b 1- Amplitude = |a|

Chapitre 5.3

4- ab>0 Monte, ab<0 Descend

P 2b



 





a

y  sin  

f(x) = sin x 1- A = 1

2- (h, k) = (0, 0)

4- ab > 0 Monte 3- P = 2π

b = 1

π/2 π

3

2

5

3

P 2b



Du point de départ (h, k), on forme un rectangle avec l’amplitude

et la période.

4 sections On sépare le rectangle en

4 sections égales.

f(x) = sin x 1- A = 1

2- (h, k) = (0, 0)

4- ab > 0 Monte 3- P = 2π

b = 1

π/2 π

3

2

5

3

4 sections

Traçons horizontale P 2b



f(x) = -3sin (0,5πx) + 1 1- A = 3

2- (h, k) = (0, 1)

4- ab < 0 Descend

3- P = 2π/(0,5π) = 4

1 2 3 4 5 6

b =0,5π Exemple 2

Traçons horizontale 4 sections

Résoudre une fonction sinus

Sin θ = 0,45

θ₁ = 0,4668

θ₂ = 2,6748

θ₂ = π - θ₁

P(0,4668) = (x; 0,45) P(2,6748) = (-x; 0,45)

Sin^-1(0,45) = θ θ₁ = 0,4668 rad Comment trouver les angles Chapitre 5.3

Faire semblant

sin θ = 1/3

θ

= 0,3398 θ

= 2,8018

Trouver les zéros Chapitre 5.3

x y

Se référer à l’exemple 2

2 1 sin 3

)

(  



 



 

 x

x

f 

0 2 1

sin

3   



 



   x

2 1 sin

3   



 



   x

3 1 sin 2  



 



  x

θ₂ = π - θ₁

2 x 3

sin

1   



 







Ou on peut faire

Ou

2 x 3

arcsin 1   



 





θ

= 0,3398 θ

= 2,8018

x = 0,2163 x = 1,7837

P = 2π/(0,5π) = 4

x

S = {0,2163 + 4n, 1,7837 + 4n}, n ε z

sin θ = 1/3

3 1 sin 2  



 



  x

3398 ,

2 x  0

 2,8018

2 x 



2 1 sin 3

)

(  



 



 

 x

x

f 

Chapitre 5.3 Résoudre une équation sinus

2 2 2

sin 3

)

(  



 

  

 

x x

f

π

1

Traçons

1- A = 3

2- (h, k) = (π/2, -2) 4- ab > 0 monte 3- P = π

Trouvons f(x) = -3

3 2 2

2 sin

3    



 

    x

Selon le graphique, on peut anticiper

ces deux valeurs:

Première: un peu plus grand que 3,14

Deuxième: un peu plus

petit que 6π/4= 4,71

Chapitre 5.3 Résoudre une équation sinus

π

Trouvons f(x) = -3

3 2 2

2 sin

3    



 

    x

2 1 2

sin

3   



 

    x

3 1 2 2

sin 

 



 

    x

Faire semblant

3 sin  1

  _θ

1

= -0,3398 θ

= 3,4814

θ₂ = π - θ₁

Chapitre 5.3 Résoudre une équation sinus

π

3

2 2 2

sin

3    



 

    x

3 1 2 2

sin 

 



 

    x

θ

= -0,3398 θ

= 3,4814

3398 ,

2 0

2   



 

  

x 3,4814

2 2  



 

   x

1699 ,

2  0

  x

40 ,

 1 x

7407 ,

2  1

  x

31 ,

 3 x

Si on rajoute

une période à 1,40:

1,4 + π = 4,54

S = {1,4 + πn; 3,31 + πn}, n ε z

Chapitre 5.3





sin 5 4

)

(x  x  

f 





sin 5

4  x   

0 3

sin

4   

4 sin    3

8481 ,

1

  0

 

   

9897 ,

2

 3



S = {0,6502 + 10n; 8,3498+ 10n}, n ε z





5 x   







5 x  



Trouver les zéros dans les réels

P = 10

Exemple

1- A = 2

2- (h, k) = (2, 1) ab > 0 3- P = 12

2 4 6 8 10 12 14

b =π/6

 ²  ¹

sin 6 2

)

( x  x  

f 

 

2 2 1

sin  6 x    5236 ,

1

  0



 1 x

Rajouter une période

X = 1 + 12 X = 13 Trouver les zéros

ac b

 4





a x b

2





 

0 1

2 u

 u  

x u  sin

) 1 )(

2 ( 4 )

1

( 

 





 9



4 3 1  x 

5 ,

1

  0

u u

 1

1

sin x  sin x   0 , 5

ac b

 4





a x b

2





 

0 6

7

2 u

 u  

x u  sin

) 6 )(

2 ( 4 )

7

( 







 1



4 1 7  x 

5 ,

1

 1

u u

 2

5 , 1

sin x  sin x  2

Trouver la règle de la fonction sinus

1- Retrouver (h, k)

2- Le paramètre b à l’aide de la période 3- Amplitude (A = |a|)

4- Cycle croissant ou décroissant

P 2b



ab>0 Monte, ab<0 Descend

Retrouver la règle de la fonction sinus Chapitre 5.3

2- A = 2

1- (h, k) = (2, 1)

4- ab > 0 3- P = 12

2 4 6 8 10 12 14

3- b =π/6

 ²  ¹

sin 6 2

)

( x  x  

f 

Chapitre 5.3

P 2b



b

 12  2

12 2

 b

6

  b

 ²  ¹

sin 6 2

)

( x    x  

f



Retrouver la règle de la fonction sinus