LES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

(1)

I. Parité et périodicité d’une fonction On s’intéresse ici aux fonctions x cos( )x et x sin( )x

Définition d’une fonction périodique : Une fonction f est périodique de periode T si et seulement si pour toutxD_f, on ax T+ D_f et

( ) ( )

f x = f x T+

Conséquences :

Puisque pour tout x , on a ^cos

(

^x⁺²^

)

⁼^cos^x^,

alors la fonction cosinus est périodique de période 2

T= 

Il suffit d’étudier cette fonction sur un intervalle d’amplitude T=2, par exemple



^{− +}^{ }^;



^{et de}

compléter par la translation de vecteur 2ide même Puisque pour tout x , on a ^sin

(

^x⁺²^

)

⁼^sin^x^,

alors la fonction sinus est périodique de période 2

T= 

Il suffit d’étudier cette fonction sur un intervalle

LES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

Trigonométrie : du grec « trigone » triangle et « mesure ».

Sinus est un mot latin signifiant « courbe », « anse », « pli »,

« sein » (au propre et au figuré) et repris en français pour

désigner diverses structures courbes. Sculpture « sinus cosinus » de Hans Marks, sculpteur céramiste (Neuilly sur Seine).

« Ne me dis pas qui tu es ni ce que tu possèdes, dis-moi ce que tu rêves d’être »

(2)

Définition d’une fonction paire :

Une fonction f est paire si et seulement si pour tout xDf , on a− x D_fet f x( )= f(−x)

Définition d’une fonction impaire :

Une fonction f est impaire si et seulement si pour toutxD_f, on a− x D_fet f(− = −x) f x( ) Conséquences :

Puisque pour tout x , on a ^cos

( )

^x ⁼^cos(⁻^x⁾

alors la fonction cosinus est paire.

Il suffit d’étudier cette fonction sur ⁺ et de compléter par symétrie par rapport à l’axe des ordonnées de même

Puisque pour tout x , on a ^sin

( )

^{− = −}^x ^{sin( )}^x ^,

alors la fonction sinus est impaire.

Il suffit d’étudier cette fonction sur ⁺ et de

compléter par symétrie par rapport à l’origine O Les fonctions sinus et cosinus sont de plus des fonctions périodiques de période T=2 On les étudiera donc sur un intervalle

d’amplitude une demi-période et on complètera par symétrie et translation..

II. Fonctions dérivées des fonctions trigonométriques

Les fonctions x cos( )x et x sin( )x sont dérivables sur et l’on a :

( )

^'

( )

^'

, cos sin et sin cos

x x x x x

  = − =

De plus ^{ }^x ^{, cos}

( (

^{ax b}⁺

) )

^' ^{= −}^a^sin

⁽

^{ax b}⁺

⁾

^{et sin}

( ⁽

^{ax b}⁺

⁾ )

^'⁼^a^cos

⁽

^{ax b}⁺

⁾

(3)

III. Variations et représentations graphiques des fonctions trigonométriques

La fonction sinus La fonction cosinus

La fonction sinus est strictement croissante sur 2 2;

− 

 

 puisque

(

^sin^x

)

^' ⁼^cos^x

cos 0 ;

x x _  2 2_

   − 

La fonction cosinus est strictement décroissante sur

 

^0;^ ^puisque

(

^cos^x

)

^' ^{= −}^sin^x^et

 

sinx  0 x 0;

représentation graphique des fonctions sinus et cosinus.

Remarque : Pour tout réel x, sin cos

x 2 x

 + =

 

  , donc la représentation graphique de la fonction sinus est l’image du graphe de la fonction cosinus par la translation de vecteur ; 0

u 2 

 

 

 .

• Etude de la dérivabilité de sinus en 0

Soit C le cercle trigonométrique de centre 0 dans un repère orthonormé.

Soit ℎ ∈ ℝ et M le point du cercle trigonométrique image de ℎ, 1) On suppose que 0;

h _ 2_

  et on note A₁ l’aire du triangle OAM, A₂l’aire du secteur circulaire OAM et A₃ l’aire du triangle OAT.

Expliquer pourquoi ₁ ¹sin

2 h

A = 2

1 2h

A = 3

1 sin 2 cos h

=  h A En déduire que cos ^sinh 1

h h 

   sinh

(4)

3) En déduire la limite de la fonction^sin^h

h en 0. Conclure sur la dérivabilité de la fonction sinus en 0.

On en conclut que la fonction sinus est dérivable en 0 et sin'0 1=

De même pour la fonction cosinus : ^;

 

⁰

h   2 2

  − − , on a

cos( 0) cos 0 cos( ) 1 cos ( ) 12 1 sin sin

1 cos 1 cos

h h h h h

h h h h h h

+ − = − = −  = − 

+ +

or

( )

0

limsin 1

h

→ h = et

( )

0

lim sin 0

1 cos

h

→ h =

+

donc ^lim_h ₀^{cos( ) 1}^h ⁰

→ h

− =

On en conclut que la fonction cosinus est dérivable en 0 et cos'0 0=

• On peut aussi montrer cette limite

( )

0

limsin 1

h

→ h = en posant : ^{f x}

( )

⁼^sin^x^et

( ) ( ) ( )

0

' 0 lim 0

0

x

f x f

f ^→ x

= −

−

( ) ( )

0 0 0

0 sin sin 0 sin

lim lim lim

0 0

x x x

f x f x x

x x x

→ → →

− −

= =

− − et ^f ^'

( )

^x ⁼^cos^x^donc

( )

' 0 cos 0 1

f = =

• On peut aussi montrer cette limite ^lim_h ₀^{cos( ) 1}^h ⁰

→ h

− = en posant : ^{g x}

( )

⁼^cos^x^et

( ) ( ) ( )

0

' 0 lim 0

0

x

g x g

g ^→ x

= −

−

( ) ( )

0 0 0

0 cos cos 0 cos 1

lim lim lim

0 0

x x x

g x g x x

x x x

→ → →

− − −

= =

− − et ^{g x}^'

( )

^{= −}^sin^x

donc ^g^{' 0}

( )

^{= −}^{sin 0}⁼⁰

Aire du triangle OAM’<=Aire de l’arc OAM’ <= Aire du triangle OAT’

sin 1

tanh'

2 2 2

h' h'

 

( )

0

limsin 1

h

→ h =

(5)

Exemple : Etude et RG de la fonction définie par ^{f x}

( )

⁼^3sin^x⁻^2sin³^x

f définie sur , périodique de période 2 . Etude sur



^{− +}^{ }^;



De plus f est impaire donc on ne l’étudie que sur



^0;⁺^

 ( )

( ) ( )

2

' 3cos 6 sin cos ' 3cos 1 2 sin

' 3cos cos 2

f x x x x

f x x x

= −

= 

( ) ( )

( )

' 0 3cos cos 2 0

cos 0 2

' 0

cos(2 ) 0

4 2

f x x x

x k

f x x

x x k

 

=   =

 = +

= 

 

=  =  = +



(6)

Exercice résolu 1 Exercice résolu 2

(7)

IV.

Etude de la fonction Tangente à faire en DM

Soit ^{R O i j}

(

^{, ,}

)

un repère orthonomal (il faudra choisir une unité adaptée pour faire le graphique).

On définit la fonction tangente à l’aide des fonctions sinus et cosinus : ( ) tan ^sin cos f x x x

= = x 1) Donner le domaine de définition de la fonction tangente.

2) Montrer que la fonction tangente est impaire. Que peut-on en déduire pour sa courbe représentative ? 3) Montrer que la fonction tangente est périodique de période π. Que peut-on en déduire pour sa courbe

représentative ?

4) On étudie la fonction tangente sur l’intervalle 0;

2

 

 

 . Elle est continue sur cet intervalle.

a) Pourquoi l’étude de la restriction de la fonction tangente à cet intervalle sera-t-elle suffisante pour connaître l’intégralité de la représentation graphique de la courbe ?

b) La fonction tangente est dérivable sur l’intervalle choisi ; donner cette dérivée.

c) Calculer les limites de la fonction tangente aux bornes de cet intervalle.

d) Dresser le tableau de variation de la fonction tangente.

e) Donner l’équation de la tangente à la courbe en 0.

5) Représenter la courbe représentative de la fonction tangente sur l’intervalle



⁻^{2 ; 2}^{ }



Correction :

1) La tangente est définie pour cos x ≠ 0 , soit ,

D= −^2+k k ^

 

2) Rappel : Une fonction f est impaire si son domaine de définition est centré en 0 et si pour tout x,

( ) ( )

f − = −x f x . Ici ,

D= −^2 +k k ^

 est bien centré en 0. On sait que la fonction sinus est impaire ) et que la fonction cosinus est paire ; il en résulte que, pour tout x où la fonction tangente est définie, on a :

sin( ) sin( )

( ) tan( ) ( )

cos( ) cos( )

x x

f x x f x

x x

− −

− = − = = = −

− . La fonction tangente est donc impaire ; en conséquence, comme pour toutes les fonctions impaires, la courbe représentative de la fonction tangente est symétrique par rapport au centre O du repère.

3) Rappel : Une fonction f est périodique de période T si, pour tout x, on a : f x T( + )= f x( ) . Ici, on a déjà

sin( ) sin( )

( ) tan( ) ( )

cos( ) cos( )

x x

f x x f x

x x

  



+ −

+ = + = = =

+ − , donc la fonction tangente est périodique de période π.

4) a) Comme la fonction tangente est symétrique par rapport à O, on aura la courbe sur l’intervalle 2; 2

 

− + 

 

  en faisant la symétrique par rapport à O de la courbe obtenue sur l’intervall e 0;

2

 

 

 

puis, comme le fonction est prétiodique de période π , des translations de vecteur π i donneront toute la courbe.

(8)

5) Rappel : L’équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f en a est :

( )

'( ) ( )

y= f a x−a + f a soit ici y=x