HAL Id: tel-01460748
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Stéphane Popinet
To cite this version:
Stéphane Popinet. Stabilité et formation de jets dans les bulles cavitantes : Développement d’une
méthode de chaîne de marqueurs adaptée au traitement numérique des équations de Navier-Stokes
avec surfaces libres. Mécanique des fluides [physics.class-ph]. Universite Pierre et Marie Curie, 2000.
Français. �tel-01460748�
Stabilite et formation de jets dans les bulles avitantes :
Developpement d'une methode de ha^ne de
marqueurs adaptee au traitement numerique des
equations de Navier{Stokes ave surfa es libres
presentee par
Stephane Popinet
pour obtenir le titre de
Do teur de l'Universite Paris 6
Spe ialite : Me anique : Dynamique des uides
Soutenue le 16 o tobre 2000
devant le jury ompose de :
Jean Bataille Examinateur
Christian Kharif Rapporteur
Ja ques Magnaudet Rapporteur
Yves Pomeau Examinateur
Andrea Prosperetti Examinateur
de la methode appliquee au as d'e oulements diphasiques. Une attention parti uliere est
a ordee au traitement des termes lies a la tension de surfa e. La methode est ensuite
for-malisee dans le as d'e oulements ave surfa es libres. Plusieurs tests de validation sont
presentes in luant : ondes apillaires planes, modes d'os illation de gouttes, instabilite de
Rayleigh{Taylor, montee de bulles dansun liquide.
Deux appli ationsprin ipalessont onsiderees dansles hapitressuivants:
sonolumines- en eet avitation.Nousnousinteressonsplusparti ulierementau ouplageentreos illations
radialesettranslationellesdansles bulles en levitation a oustique ainsiqu'a lastabilitedes
modes de deformation non{spheriques des bulles sonolumines entes. La formation de jets
dansles bulles de avitation pres de parois solidesest simulee numeriquement et omparee
auxsequen es photographiquesexperimentales.Uneetudeparametriquedetaillee dese ets
dela vis osite surlaformationetla vitessed'impa tdu jetest effe tuee.
Abstra t
Thisdissertationdes ribesanovelte hniqueforsolvingnumeri allytheNavier{Stokes
equa-tionswithinterfa esorfree{surfa es. The rstpartisapresentationofthegeneralprin iple
ofthe method appliedto two{phases ows. A parti ular attention ispaid to the treatment
oftermslinkedtosurfa etension. Themethodisthenformalisedforthe aseoffree{surfa e
ows. Several validationtests arepresentedin luding: apillarywaves, o illations ofdrops,
Rayleigh{Taylorinstability,bubblesrisingin aliquid.
Two mainappli ations are onsidered in the following hapters: sonolumines en e and
avitation. We investigate more parti ularlythe oupling between radial and translational
os illationsfora ousti allylevitatedbubblesandthestabilityofthespheri alshapeof
sono-lumines ingbubbles. Jetformationinbubbles avitatingnear solidboundariesissimulated
numeri allyand omparedtoexperimentalphotographi series. Adetailedparametri study
poursa omprehensionetson ouvertured'esprit.
Jeremer ieegalement Jie,Mauri e, Vin ent,Laurent,JoseetCarolina,Floren e,
Marie-Gabrielle, Catherine,Sylvain etLaure, Ni ole etJean-Pierre etVanessapour leuraide
spi-rituelleetmaterielle.
Jeremer ie egalement mes parents quim'ont non seulement donne le jourmais aussile
Introdu tion 1
1. Methodes numeriques 11
1.1.
E oulementsdiphasiques. . . 13
1.1.1. Conditionsde sautet ourantsparasites . . . 16
1.1.2. Marqueursde surfa e . . . 18
1.1.3. Ondes apillaires planes . . . 28
1.2. E oulementsa surfa elibre . . . 31
1.2.1. Extrapolation du hamp de vitesse . . . 35
1.2.2. Te hnique de raÆnement dynamiquedesmaillages . . . 38
1.3. Quelquestests preliminairesde validation . . . 41
1.3.1. Modesd'os illationd'une bulle . . . 41
1.3.2. Fusionde deux gouttesde mer ure . . . 43
1.3.3. As ensionde bullesgazeuses dansun liquide . . . 47
1.4. Re apitulatif . . . 52
2. Sonolumines en e 53 2.1. Equationde Rayleigh{Plesset . . . 54
2.1.1. Stabilite geometrique etdynamique . . . 56
2.1.2. Taux de ompression . . . 58
2.2. Simulationsnumeriques . . . 59
2.2.1. Stabilite desmodesde deformation . . . 63
2.3. Gradienta oustique etfor e de Bjerknes . . . 67
2.3.1. Modelepourlaquantite de mouvement verti ale . . . 69
2.4. Couplagesnon{lineairesentre modesde deformation . . . 77
2.5. Re apitulatif . . . 80
3. Cavitation 81 3.1. Experien es etsimulationsnumeriques . . . 83
3.1.1. Comparaisonentre experien e etsimulationnumerique . . . 83
3.2. E etsde lavis osite . . . 88
3.2.1. Etudeparametriquedu nombrede Reynolds ritique . . . 90
Con lusion 101
A. Resolutionnumerique de l'equation de Rayleigh{Plesset 105
B. Couplage entre marqueurs et maillage artesien 109
preponderant dans de nombreux phenomenes naturels. Dans le as de uides | liquides
ou gaz | elles sont souvent ara terisees par un omportement omplexe et la reation de
stru turesgeometriques parfoistresbelles.Le deferlement desvaguessuruneplageen bord
de mer,les bulles d'aird'unplongeur sous{marin ou les gouttesde pluie tombant dans une
aqued'eau sont desexemples familiers.
Misapartlapure uriositequepeutnousinspirer esphenomenes,ilsrev^etentunegrande
importan epourdenombreusesappli ations,industriellesoulieesala omprehensionglobale
de ertains systemes. L'equilibre du limat depend ainsi de maniere ru iale des e hanges
| en parti ulier gazeux | entre l'o ean etl'atmosphere. Ce pro essusglobal ne peut^etre
de rit sans une modelisation lo ale de l'in uen e du deferlement des vagues. Un autre
ex-emple \meteorologique" | pour des e helles spatiales en ore plus petites | on erne la
formationdes nuages etde la pluie. Les nuages sont omposes de gouttes d'eau et 'est la
dynamiquelo aledeleursintera tions,evaporation, fusion,divisionquideterminesiilpleut
ounon.
D'un point de vue plusfondamental,les equationsqui gouvernent l'evolution des
inter-fa essontobtenuespardesprin ipesgeneraux:loisde onservation, ontinuite.Ce ara tere
universelexpliquel'apparitiond'equationsanaloguesdansdesdomainesaussidiversque
l'as-trophysique ou la physique nu leaire. L'etude theorique de es equations, et en parti ulier
desinstabilites quileur sont asso iees, est ainsi liee a notre omprehension globale deslois
physiques.
Lesappli ationspratiquesdire tessontegalement nombreuses.L'atomisationdesjetsde
arburantinje tesdanslesmoteurs a ombustion,lamodelisationdese oulementsdisperses
ou de l'endommagement par avitation sont quelques exemples de phenomenes en ore mal
omprismaisd'unegrande importan ete hnologiqueet e onomique. Le on ept d'interfa e
peutaussi^etreetendu au asdemembranesdeformables equipermetl'etudedenombreux
problemesbiome aniques: ouplage uide{stru turepourlese oulementsdanslesvaisseaux
sanguins, omportement des globules rouges dans les apillaires, optimisation des valves
ardiaquesarti ielles...
La nature a la fois ommune mais souvent surprenante des phenomenes interfa iaux,
liee au large hamp d'appli ations, a motive la re her he dans e domaine. De nombreux
resultatstheoriquesetexperimentauxontainsiete obtenusdepuisl'epoquedepionnierstels
queLapla e,PlateauouRayleigh.L'etudeanalytiquedesequationsd'evolutionest ependant
deli ate du fait du ouplage entre les onditions aux limites et la positionde l'interfa e, a
priori in onnue. Dans de nombreux as, les resultats theoriques sont ainsi limites a des
regimes de faible deformation. D'autres hypotheses simpli atri es peuvent egalement ^etre
utilisees, souvent basees sur une formulation potentielle pour le hamp de vitesse, e qui
restreint lesresultatsaux asasymptotiques detresfaibleou tres fortevis osite.Malgre les
progreste hnologiques a omplis| en parti ulierpourlaphotographie ultra{rapide| les
en parti ulierlorsquelese helles spatiales ettemporellessont petites.
Le developpementdes al ulateursele troniquesdansles annees50 apermisd'envisager
une nouvelle appro he pour e type de problemes. En theorie, la resolution numerique
di-re te desequationsd'evolution permet d'a eder a l'ensemble desgrandeurs physiques eta
leurevolutiontemporelleetspatiale.Ces\experien esnumeriques"peuventpotentiellement
ompleter voire rempla er les experien es reelles | en parti ulierdans le asde onditions
experimentales diÆ iles. Dans la pratique, le potentiel de ette te hnique est limite par la
puissan edes al ulateurs. L'a roissement extr^emement rapide de la vitesse de al ul des
ordinateursdurant esdernieresde ennies a ependant ouvert de nouvelles perspe tives.
Demanieregenerale, laresolutionnumeriquede ladynamiquede uidesseparespardes
interfa es sede omposeen deuxparties :
{ le hoix d'une te hnique de representation et de determination des hamps
hydrody-namiquesa l'interieur de ha une desphases,
{ le ouplage de la representation hydrodynamique ave larepresentation de l'interfa e
etdes onditionsaux limites orrespondantes.
Dans ertains as la representation des hamps hydrodynamiques peut ^etre tres simpli ee.
Lesmethodesd'integralesdefrontiere[O~guz etal., 1990 ,Stone, 1994 ℄supposentainsiquele
hampdevitessederived'unpotentiel.Onpeutalorsmontrerquel'ensembledeladynamique
peut^etre ramenee a l'evaluation de lavaleurde sour es pla ees surl'interfa euniquement.
Dans e as seul le ouplage evoque dans le se ond point demeure. Cette te hnique n'est
ependantpossiblequedansles aslimitesdetresforteoutresfaiblevis ositede ha undes
uides.Dans le asgeneral, la plupartdesmethodes utilisentunedis retisationdes hamps
hydrodynamiquessurunmaillage.Le hoixdutypedemaillageutilisedependessentiellement
de lamaniere dont est effe tue le ouplageave l'interfa e.
Il peut sembler judi ieux de faire on ider le bord d'un element de la dis retisation
ave l'interfa e.De ette maniere, tousleselementsdis rets sontentierement ontenus dans
uneseulephase.Les hangementsde proprietes physiquesne seproduisentqu'a lafrontiere
entreelements. Onobtient ainsi,un ensemblede domaines | orrespondant a ha une des
phases| ou les proprietesphysiques sont onstantes, liesentre eux parl'intermediaire des
onditionsauxlimitessurl'interfa e.Cettete hniquerappelleletypededis retisationutilise
dans le as d'e oulements monophasiques dans des domaines geometriquement omplexes,
ou les frontieres solides orrespondent ave les bords de ertains elements. La di eren e
essentielleestliee aufait quel'interfa e| ontrairement a uneparoisolide| estdeformee
parl'e oulement.Ilestdon ne essaired'utiliserunmaillagemobilequisuita haqueinstant
lesdeformations de l'interfa e[Ryskinetal.,1984,Fukai et al.,1993℄.
Pour esmethodessurmaillagemobile,lesvaleursdis retesdes hampshydrodynamiques
sont de nies sur l'interfa e, e qui permet une prise en ompte des onditions aux limites
dire te et pre ise [Dandyetal., 1986, Magnaudetet al.,1995℄. Il est ependant diÆ ile de
generaliser etteappro helorsquelesdeformationsdeviennentimportantes( gureI.1).Pour
ette raison, il est interessant d'utiliser un maillage xe. La dis retisation spatiale devient
ainsiindependantedelapositiondel'interfa e.Ilestdon ne essairede hoisirunerepr
esen-tationpour elle- i.L'epaisseurdel'interfa eestgeneralement negligeabledevantlese helles
spatiales onsiderees.
1
Ilestainsiraisonnabledela onsiderer ommeuneveritable
dis onti-nuite, representee parunesurfa e(ou une ourbe pourunproblemebidimensionnel).Cette
surfa edoit elle-m^eme^etre dis retisee pourpouvoir^etre manipuleenumeriquement.
1
(a) (b)
Fig. I.2.: Dis retisation des hamps hydrodynamiques et de l'interfa e. (a) Maillage xe
stru ture.(b)Maillage xe non{stru ture.
Fig. I.3.: Fusion de deux interfa es par une methode de marqueurs. Le detail de la
1
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PSfrag repla ements (a) (b)Fig.I.4.:Representationd'uneinterfa eparlamethodeVOF surun maillage artesien. (a)
Avant re onnexion.(b) Apres re onnexion.
PSfrag repla ements
(a)
(b)
Fig. I.5.: Representation d'une interfa e par une methode de ligne de niveau. La fon tion
de phase est representee ainsi que la ligne de niveau orrespondant a l'interfa e. (a) Avant
re onnexion.(b)Apresre onnexion.
La methode de suivi de front [Glimm etal.,1987, Unverdiet al.,1992 ℄ utilise des
mar-queurs distribuessur lasurfa e et onne tes entre eux qui permettent de suivrela position
de l'interfa e. Deux maillages distin ts sont ainsi ne essaires. De dimensions differente, ils
dis retisent, l'unles hamps hydrodynamiques etl'autre l'interfa e( gure I.2). Cette
te h-niqueposeplusieursproblemes. Ilest parexemple ne essaired'assurer unedistribution
ho-mogene des marqueurs au ours de l'evolution de l'interfa e. Lorsque elle- i est deformee,
s'etire ou simplement lorsquelavitessetangentiellen'estpasnulle, ladensitede marqueurs
varie.Ilestdon essentielde\remailler"periodiquementl'interfa e.Ceremaillageest
epen-dant plus simpleque dans le as des methodes utilisant unegrille mobile ar ladimension
de l'interfa eest toujours inferieure a elle de l'espa e onsidere (unesurfa e en 3Det une
ourbe en 2D). Les hangements de topologie| omme lafusion de deux gouttes illustree
gure I.3| posent un autre probleme.Du fait de larepresentationexpli ite de l'interfa e,
un ritere doit ^etre hoisi pour de ider de l'instant et de la position auxquels s'e e tue la
re onnexion.
L'interfa e peutegalement ^etre representee impli itement,par exemple par le biais des
hangements de proprietes physiques tellesque la densite ou la vis osite. Ilest possible de
generaliser ette notion en utilisant une fon tion de phase dont la valeur indique la
phy-niveau (level set) [Sethian,1996℄utilisent unefon tion de phase quin'a pasne essairement
unesigni ationphysique. L'interfa eest simplementde nie omme lelieudes pointspour
lesquels ettefon tions'annule( gureI.5). Danstousles as,letraitement del'evolution de
l'interfa eseresumentaunemiseajourdesvaleursdelafon tiondephase:soitenprenant
en ompte ertaines proprietes physiques, telle que la onservation de la masse dans le as
desmethodes VOF;soitparsimpletransportdansle asdesmethodesde lignede niveau.
Globalement plussimples a mettre en oeuvre que les methodes de suivide front | en
parti ulier en trois dimensions | les te hniques utilisant une representation impli ite de
l'interfa eont le gros avantage de traiternaturellement les hangementsde topologie. Pour
unemethodeVOFparexemple,lare onnexiondedeuxinterfa esestsimplement ara terisee
parlepassagea unevaleurfra tionnairede lafon tiondephase dansun ertainnombrede
ellules separant deux zones de valeurs entieres ( gure I.4). Au un traitement spe ial n'est
ne essaire.Lesmethodesde lignede niveau presentent lesm^emesavantages.
Pour l'ensemble des methodes sur grille xe, la position de l'interfa e | onnue dans
le as expli ite et quipeut^etre deduite de la fon tion de phase dansle as impli ite | ne
orrespond generalement pasave les sitesou sont dis retisesles hampshydrodynamiques.
La prise en ompte des onditions aux limitessur l'interfa en'est don pas dire te omme
dansle asdes methodes surgrillemobile.Uneappro he lassique onsistea extrapoler es
onditionssurlessitesdumaillage xevoisinsdel'interfa e.Cetteextrapolationesteffe tuee
en supposant que l'interfa en'estplusunedis ontinuiteparfaite mais possede une ertaine
epaisseur, generalement dependante de la resolution spatialedu maillage.Les hangements
deproprietesphysiques,densite,vis ositeainsi queles eventuelles for esinterfa iales
( om-me la tension de surfa e) sont ainsi distribues sur plusieurs mailles autour de l'interfa e
[Bra kbilletal.,1992℄. Cette appro he limitela pre isiondesmethodessur maillage xeet
poseun ertain nombrede problemessurlesquelsnousreviendrons.
Il n'existe don pas de te hnique de resolution universelle. Les methodes sur maillage
mobilesontpre isesmaislimiteesadesgeometriessimples.Lesalgorithmessurmaillage xe,
expli itesouimpli ites,sontplusgenerauxmaisfontgeneralementappelaunepaississement
arti ielde l'interfa equipeut onduirea deserreurs importantes.
Nousaborderonsdans ettetheseun ertainnombredeproblemespourlesquelsles
ondi-tionsauxlimitessurl'interfa e,qu'ellessoient lieesa lavis osite ou a latensionde surfa e,
ontunein uen eimportante.Lapremierepartiede etteetudeseraainsi onsa reealamise
enoeuvred'unemethode deresolutionhybridequitenterade ombineruntraitementpre is
del'in uen edynamique de l'interfa eave unemethode de suivide front surmaillage xe.
Lebutetant d'obtenirdessolutionspre ises y omprisdansle asdegrandesdeformations.
Sonolumines en e et avitation
Le phenomene de sonolumines en e a ete de ouvert independamment par Marines o
et Trillat en 1932 et Frenzel et S hultes en 1934 dans des ir onstan es qui rappellent la
de ouverte de la radioa tivite par Be querel en 1896. Ces auteurs etudiaient le
omporte-mentdesolutions himiquesex iteesparlesnouveauxtransdu teurssonoresinventesdurant
40 mm
Bulle d’air
Amplificateur 100 Watts
Générateur de fonctions
Oscilloscope
transducteurs piézo-électriques
Fig.I.6.:Representations hematiqued'une elluledelevitation utiliseelorsdesexperien es
de sonolumines en e.
lorsquedesplaques photographiquesetaient immergeesdans leliquide,elles en ressortaient
alterees parla \lumines en edu hamp a oustique".Cetteemission lumineuse,ne provient
pasduliquide lui-m^ememais denuages debulles rees parles depressionsa oustiques. Elle
estasso ieeadestemperatureseleveesquia elerentlesrea tions himiquesdanslasolution.
C'est ete et atalysateurquiinteressaiten premierlieu esauteursetquia donnelieupar
la suite a la te hnique dite de sono himie [Susli k,1988℄. Ce phenomene de
sonolumines- en ea bulles multiples est omplexe aril dependde ladynamique ouplee de nombreuses
bulles sur une largegamme d'e helles spatiales et temporelles. Les donnees experimentales
sont ainsi generalement des mesures moyennes de l'intensite du hamp lumineux et de son
spe tre; equiautoriseuneestimationdesproprietesglobalesduphenomenemaisnepermet
pasd'apprehenderle detaildesev enements al'originede l'emission lumineuse.
La de ouverte de la sonolumines en e a bulle unique en 1988 par Gaitan et Crum a
ouvert de nouvelles perspe tives. Ces auteurs ont montre qu'il etait possible d'obtenir la
lumines en e stable d'une seule bulle pla ee dans un hamp a oustique. Malgre la petite
tailledes bulles utilisees (quelquesmi rons), l'emission lumineuse est suÆsamment intense
pour^etrevisibleal'oeilnu.Pourobtenir eresultat,ilesttoutd'abordne essaired'emp^e her
labullede remonter alasurfa e duliquide.Cette stabilisationpeut^etre obtenue au moyen
d'une\ elluledelevitationa oustique" lassiquementutiliseepourmesurerlesproprietesde
bullesoud'autresparti ules[Apfel, 1976,Youngetal.,1984℄.Les hemadudispositifexp
eri-mental orrespondantestrepresente gureI.6.Lesdeuxtransdu teurspiezo-ele triques sont
utilisespourgenerer uneondestationnairepourdesfrequen esultrasonores omprisesentre
20et50 kHz.Sousl'e et des u tuationsde pressiona oustiquelabulleos illeradialement
a lafrequen e de for age. L'os illation du gradient de pressionest a l'originede lafor e |
dite de Bjerknes| quis'opposea lapoussee d'Ar himede. Cettefor e est dueau ouplage
entre l'os illation radiale et la variation du gradient. Une bulle de volume V pla ee dans
ungradient depression rpsubitunefor e Vrp. La for emoyenne exer ee au ours d'un
y leest don 1=T
R
T
V(t)rp(t)dt, ou T est laperiode de for age. Le signeetl'amplitude
de ette for e dependent ainsi de la position de la bulle par rapport a l'onde stationnaire
et du dephasage entre l'evolution radiale et le gradient de pression. Si la bulle atteint son
rayon maximum lorsque le gradient est positif et son volume minimum lorsque le gradient
est negatif, la resultante sera orientee vers le bas et la poussee d'Ar himede pourra ^etre
ompensee.
Le hamp a oustique a don deux e ets : levitation de la bulle et ex itation de
0
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20
30
40
50
−1
1
3
PSfrag repla ements emissionlumineuse Tempss Fig. I.7.:Evolutiontemporelle du rayon ara teristiqued'une bullesonolumines ente.
amplitude,sinusodale et en phase ave le hamp a oustique. Lorsqu'elle augmente,
l'iner-tie du uide entourant la bulle provoque un dephasage a ompagne de violents rebonds
se ondaires.Pourdes valeurs de for age superieuresa 1 bar, lasonolumines en e peut^etre
obtenue.L'evolutiontemporelledurayondelabulle ara teristiqued'unregimede
sonolumi-nes en eestrepresentee gure I.7.Les observationsexperimentales montrent quel'emission
lumineuse n'est pas ontinue mais se produit sous forme de ashes emis pre isement lors
dupremiere ondrement. L'intensitelumineuse ro^tave l'amplitudede for age jusqu'aun
ertainseuil au dela duquel labulle dispara^t. Ce seuil est lie | omme nousle verrons |
alastabilitede formede labulle[Brenneretal., 1995℄.D'autresparametresexperimentaux
telsquelatemperature[Barber etal.,1994℄ouen ore la ompositiondugazdissousdansle
liquide [Hilleretal., 1994 , Hilleretal.,1995℄ jouent egalement un r^ole important. Lorsque
la temperature de l'eau de ro^t de 20 a 1
Æ
C, l'intensite lumineuse augmente d'un fa teur
200.La lumiereemise estalors visiblem^emeen pleinjour.
Uneautreobservation experimentaleinteressante on ernelespe tre del'emission
lumi-neuse [Hiller etal.,1992 ℄. Contrairement au as de la sonolumines en e a bulles multiples,
au uneraied'emission orrespondanta ertainesespe es himiquesn'estvisible.Deplus,une
grande partie de la lumiere semble ^etre emise dans l'ultraviolet. Il n'est malheureusement
pas possibled'obtenir la totalite du spe tre du fait de l'absorption des rayons ultraviolets
parleliquideentourant labulle.L'extrapolationdesdonneesobtenuessuggere toutefoisque
destemperatures treselevees pourraient^etre atteintes (30000
Æ
Ketau dela).
Dufait de labonnerepetabilite du phenomene, il estegalement possibled'e e tuer une
estimation de la duree des ashes lumineux. Les premiers experimentateurs furent surpris
de onstater que ette duree semblait toujours inferieure au temps de reponse des
photo-multipli ateursutilisespourlamesure,et e,quellequesoitleurqualite[Barberetal.,1992℄.
Cettemesures'estenfaitrevelee tresdeli ate,les asheslumineuxetant e e tivementextr^
e-mement ourts (del'ordre de ladizaine ou entaine de pi ose ondes
2
). Re emment, Gompf
etses ollaborateurs sont parvenusen utilisantdes te hniquessophistiqueesa resoudre non
seulementladureedes ashes[Gompf etal.,1997℄maisegalementlaformedeleurevolution
temporelle [Pe ha etal., 1998℄. Ilen ressortuneestimationpre isevariant entre 100 et 300
pssuivant l'amplitudede for age.
2
1pi ose onde=10
12
La premiere theorie proposee pourexpliquer la sonolumines en e a bulleunique repose
sur l'e hau ement d^u a la ompression adiabatique du gaz ontenu dans la bulle lors de
l'e ondrement. Les valeurs minimum et maximum du rayon peuvent en e et di erer d'un
fa teur ent, soit un taux de ompression volumique de un million. Cette expli ation |
initialement proposee pour la sonolumines en e a bulles multiples | predit des valeurs de
l'ordrede 5000
Æ
K, inferieures aux temperatures deduites du spe tre lumineux.De plusles
estimationsinitialement obtenuespourladuree de l'impulsionlumineuse sont de l'ordrede
20 nanose ondes(100fois troplongue).
Ces onstatationsontameneGreenspanetNadim(1993)ainsiqueWuetRoberts(1993)
a proposer une theorie liee a lafo alisationd'une onde de ho spherique.En e et, lorsde
l'e ondrement,unemodelisation theorique du omportementde labullepermetde montrer
que ses parois depassent la vitesse du son dans le gaz. Ilest don probable que des ondes
de ho ssoientformeesdanslegaz bienqu'au uneobservation dire ten'aitete obtenue (du
fait de la tres petite taille de la bulle etde la tres ourte duree du phenomene au moment
de l'e ondrement). Des ondes de ho sont par ontre fa ilement observees dans le liquide
[Holzfussetal.,1998,Pe ha etal.,1999℄. La theorie de lafo alisation permetd'obtenir des
valeurs elevees pour la temperature ainsi que des e helles de temps ompatibles ave les
mesuresde lalargeurde l'impulsionlumineuse.
Cette theorie est basee sur l'hypothese que la symetrie spherique de l'e ondrement est
preserveependantuntempssuÆsantpourassurerunefo alisationeÆ a edel'ondede ho .
Cettehypothesesemble on rmeepar ertainesvisualisationsdire tesquimontrentunebulle
peu deformee jusqu'aux derniers instants de l'e ondrement [Tian etal.,1996℄. L'emission
lumineusea ependantlieulorsquelabulleatteintdesrayonsbeau ouppluspetits(inferieurs
a un mi ron) pour lesquelsune observation dire te n'est pas possible. La forme de la bulle
au moment de l'emissionlumineuse restedon unequestionouverte.
Bienque ette theorie| ouplee aunemodelisationde l'ionisationdugaz ontenu dans
labulle|ait permisre emment de reproduirede maniere onvain anteles mesuresexp
eri-mentales de l'amplitude et de la formedes impulsions lumineuses[Hilgenfeldtetal., 1999 ℄,
un ertain nombre de questions restent sans reponse. L'utilisation de tra eurs himiques
olores permet en parti ulier de mettre en eviden e la stru ture de l'e oulement autour de
bulles sonolumines entes. Cet e oulement appara^t fortement dissymetrique, sous la forme
d'un hamp de vitesse dipolaire aboutissant a la reation de laments du tra eur olore
[Verraes etal.,2000℄. Cet e oulement dipolaire dispara^t lorsque la bulle est absente. Il ne
peut don ^etre asso ie a une ir ulation a oustique (a ousti streaming) [Lighthill,1978 ℄.
L'os illation radiale de la bulle ouplee a une os illation verti ale pourrait expliquer ette
ir ulation [Longuet-Higgins, 1998℄. Dans tous les as, l'hypothese de symetrie spherique
n'est ependant pasveri ee.
Unesour ededissymetrieevidenteestlapousseed'Ar himedeetlafor edeBjerknesqui
la ompense. En e et, l'equilibre entre es deux for esn'est assure qu'en moyenne sur une
periode d'os illation. Comme nous l'avons vu, lorsque la bulle atteint son rayon maximum
lafor e dueaugradient de pressions'exer evers le bas.Le premiere ondrement doit don
^etre a ompagne d'une translationvers le basdu entre de gravite de la bulle.Inversement
lorsde lare-expansion,le entre degravite doitsedepla ervers lehaut.Se basant sur ette
observation,Prosperetti(1997)remeten auselavaliditedumodeledefo alisationspherique
d'uneondede ho et proposeuneexpli ationalternative.
Il est bien onnu que l'e ondrement de avites initialement spheriques, en translation,
est a ompagne de grandes deformations de l'interfa e, sous la forme de jets liquides. Ce
l'en-dommagementpar avitationauvoisinagedeparoissolides[Naude etal.,1961℄.Laformation
spontanee dejetssuruneinterfa eouunesurfa elibreest parailleursunphenomene
relati-vement general [Longuet-Higginsetal., 1995, Ze etal., 2000 ℄.Dans le as d'une avite en
translationla formationd'un jet peut^etre expliquee par la onservation de la quantite de
mouvement translationnelle.Lorsqu'une bullese depla edans un liquide,elleentra^ne ave
elleunepartiedu uideenvironnant.Ilen va de m^eme si sonrayon varie.Sil'e ondrement
estspheriqueet omplet,aboutissantaladisparitiondela avite,laquantite demouvement
translationnelledu liquide ne peut^etre onservee. En realite, ette quantite de mouvement
estre uperee parun jetliquidesedepla ant dansle sensde la translation( gure I.8).
En suivant et argument, il est onvain ant de supposer qu'une bulle de
sonolumines- en enerestepasspheriquelorsdesone ondrement etqu'unjetdirige verslebasseforme
a un instant pro he de l'emission lumineuse. Prosperetti propose ainsi d'expliquerla
lumi-nes en eparl'impa t de e jetsur laparoiopposee. Dans le as de bullede avitation pres
de parois solides, des experien es revelent que des vitesses de jet de plusieurs entaines de
metrespar se ondesont atteintes [Vogel etal.,1989℄.
Etant donne la violen ede
l'e ondre-ment desbulles sonolumines entes, desvitesses en ore pluselevees peuvent^etre envisagees.
Le me anisme d'emission lumineuse proprement dite invoque par Prosperetti est la
fra to-lumines en e. Ce phenomene est onnu dans le as de solides tels que la gla e ou le su re
[Di kinsonetal., 1984,Sweeting,1998℄,quiemettent de lalumierelorsqu'onles asse. Pour
des vitesses d'impa t suÆsamment elevees, l'eau liquide se omporte omme un solide et
on peut imaginer que les m^emes me anismes de fra ture permettent l'emission lumineuse.
L'espa e de parametres pourlesquelslasonolumines en e est observee orrespondraitainsi
auxvaleurspourlesquelles l'impa t dujet estsuÆsamment violent pour auserla
fra tolu-mines en ede l'eau.
Lesinstabiliteshydrodynamiquessemblent ainsijouer un r^ole important dans leph
eno-mene de sonolumines en e, que e soit dans le adre de la theorie de Prosperetti ou a n
de valider les hypotheses de symetrie spherique ne essaires a la theorie de fo alisation de
l'ondede ho . De plus, es instabilites, formationde jets ou ex itation d'autres modes de
deformation,sont de naturegenerale et ara terisent laplupartdesphenomenes mettant en
jeudes bullesou gouttesde uide.
Dansle asdelasonolumines en e,lesevenementsimportantsliesal'emissionlumineuse
un mi ron et 100 nanose ondes) e qui rend tres diÆ ile une investigation experimentale
dire te. Uneetude par simulation numerique de es phenomenes semble ainsiprometteuse.
Side nombreuxmodelessupposantlasymetriespheriquedel'e oulementontete developpes
[Greenspan etal.,1993,Wuetal., 1993,Mosset al.,1994,Moss etal.,1997℄,iln'existe pas
a notre onnaissan e d'etudes exhaustivesdans les as tridimensionnelsou axisymetriques.
Une telle etude permettrait de modeliser la forme de l'interfa e au moment de l'emission
lumineuseetpourraitdonnerdesindi ationspre ieusessurlavaliditedestheoriesproposees;
que e soit la formation de jets ou une quanti ation des deformations de l'interfa e au
moment de l'emission del'onde de ho .
Dans ette optique, ette these sera onsa ree au developpement d'une methode num
e-riquepermettant laresolutiond'e oulements ave interfa eou surfa elibre dans le as
axi-symetrique. Cette methode sera toutd'abordappliquee adivers problemesdont ertains|
possedantunesolutiontheorique|permettrontd'evaluerlapre isiondelasolutionobtenue.
Dansunese ondepartienous nousinteresserons spe i quement a l'etudedu omportement
de bulles dans les onditionsde sonolumines en e;en parti ulier en e qui on ernela
sta-bilite desmodes de deformationetle ouplageentre latranslationetl'e ondrement.En n,
ette etude sera etendue au as des bulles de avitation au voisinage de parois solideset a
de grandeurs physiques (vitesse, pression, densite, vorti ite, et .). Des te hniques de r
e-solution diverses, issues de la simulation numerique des e oulements monophasiques sont
disponibles.Elles di erent entre ellesessentiellementparle typed'approximation(elements
niset volume nis) ou l'ordredes s hemas utilisespourle al uldes termes apparaissants
dans les equations d'evolution. Loin des interfa es, l'e oulement est monophasique et es
methodespeuvent ^etre appliquees dire tement.
Letraitementdesinterfa esposedeuxproblemesdire tementliesalamanieredont
elles- isont representees. Le premier on ernela inematique. L'interfa edoit^etre deformee par
le hamp de vitesse. Ces deformations peuvent ^etre de grande amplitude et impliquer des
hangements de topologie(fusion de deux gouttes par exemple).Dans le as d'e oulements
in ompressibles,la masseet don le volumede ni par l'interfa edoivent ^etre onserves. Le
se ond probleme est d'ordre dynamique. La resolution de l'e oulement dans ha une des
phasesimplique laprise en omptedes hangements de proprietes physiques se produisant
surl'interfa eet des onditionsauxlimitesimposeessur elle- i.
Une representation impli ite de l'interfa e est traditionnellement utilisee pour le
trai-tement de problemes omplexes. Les methodes impli ites de nissent l'interfa e par
l'in-termediaire d'une fon tion de phase, onstante mais de valeur differente dans ha une des
phases.Unedespremieresappro hesainsiutilisee onsistearesoudredire tementune
equa-tiond'adve tionde laforme
t
+ur=0; (1.1)
pourlamassevolumique[Borisetal.,1973,Zalesak,1979℄.L'interfa eestalorsinterpretee
omme le lieu des dis ontinuites de . Le probleme essentiel lors de la resolution de ette
equation est ladi usionnumeriquedes s hemas utilises. Uneinterfa einitialement ne,
a-ra terisee pardefortsgradientsdedensite,risquerades'etalerau oursdu al ulsousl'e et
de la di usion numerique. Des s hemas lassiques pour la resolution des equations
hyper-boliques adaptes au traitement des dis ontinuites permettent de limiter ette di usion et
donnent debonsresultats [Sweby,1984,Shu etal.,1989,Benkenida,1999℄.Uneautre
te h-nique, motivee par les m^emes onsiderations, permet d'eliminer ette di usion. Ils'agit de
lamethode VOF (Volume OfFluid) qui onsistea dis retiserl'equation d'adve tion sous la
formede ux geometriques al ules a partir d'une re onstru tion de laforme de l'interfa e
[Nohetal.,1976, Ashgrizetal., 1991, Li,1995, GueyÆeretal., 1998 ℄.Les methodes
impli- itesbasees surla resolution plusou moinsdire te de l'equation d'adve tion ont l'avantage
d'assurer automatiquement la onservation de la masse (lorsque des s hemas onservatifs
sont utilises). Plusre emment, la methode de ligne de niveau (level sets), egalement basee
surunerepresentationimpli itede l'interfa e,a onnuune ertaine popularite.Interessante
parsasimpli iteet l'elegan e du formalismemathematiqueasso ie,ellepresente ependant
l'in onvenientdenepasassurerintrinsequementla onservationdelamasse.Deplus,desr
e-initialisationsperiodiquesdelafon tiondephasesontne essairesetleure etsurlasolution
Une autre appro he, somme toute plus naturelle, onsiste a representer expli itement
l'interfa e. Celle- i peut en e et ^etre onsideree omme un objet geometrique ontinu (une
ourbeen 2Detunesurfa een3D)quipeutetre^ dis retiseaum^emetitrequeles hampsde
grandeursphysiques.La resolutionde l'equation d'adve tionse reduitalorsau transport et
aladeformationde etobjetparl'e oulement.Un ertainnombrede te hniquespermettent
de onserver laqualite de ladis retisationlorsde esdeformations ( f. se tion 1.1.2).
En e qui on erne leprobleme inematique, l'ensemble de esmethodes, qu'ellessoient
impli itesou expli itesdonnent de bonsresultats. L'avantagedesmethodesimpli itesest la
similitudedesalgorithmese ritsendeuxoutroisdimensionsainsiqueletraitement
automa-tique des hangements de topologie. Les methodes expli ites traitant l'interfa e de maniere
globaledoiventene etne essairementmodi erleurrepresentationlorsqu'un hangementde
topologieseproduit.Deplus,l'utilisationd'objetsgeometriques(et nonpasde hamps
s a-laires)impliquedesdi eren es topologiquesqualitativesqui ompliquent latransitionentre
deuxettrois dimensions.
Dans e as, pourquoi utiliser une methode expli ite? Il y a quelques annees, lorsque
es methodes ont vule jour[Glimm etal.,1987,Tryggvasonet al.,1990℄, la reponse aurait
pu ^etre : ar les autres methodes disponibles ne resolvent pas orre tement le probleme
inematique.Ene et lesmethodesvolumede uidede l'epoque,pourlaplupartdu premier
ordre en espa e,
1
ne donnaient pasdes resultatssatisfaisants pour destests simples omme
larotationoulatranslationsolided'uneinterfa e[Lafaurieet al., 1994℄.Less hemasvolume
de uided'ordre deux [Li,1996,Pu kett etal.,1997,GueyÆer et al.,1998℄etles methodes
de lignes de niveau [Sussmanetal., 1994, Sethian, 1996℄ ont depuis beau oup ameliore la
situationet etargument n'estplusvalable.
Nous pensons que le veritable inter^et des methodes expli ites est lie au probleme
dy-namique. Jusqu'a maintenant l'ensemble des methodes sur grille xe, impli ites ou
expli- ites, utilisent une dis retisation des termes dynamiques lies a l'interfa e (la tension de
surfa e en parti ulier) basee sur un lissage lo al des dis ontinuites [Bra kbilletal.,1992,
Tryggvason etal.,1999℄. L'epaississement arti iel de l'interfa e resultant de e lissage a
plusieurs onsequen es importantes:
{ Ilintroduitunee hellespatialearti ielledontl'in uen edoit^etreminimiseeen
utili-santuneresolutionspatialea rue(idealementuniquementauvoisinagedel'interfa e).
{ IlrenddiÆ ile uneetude lo ale de l'equilibreentre les for esdis retisees au voisinage
de l'interfa e.
{ IlestdiÆ ilementgeneralisableadestermesdesurfa equel onques(tensiondesurfa e
variable, membranes omplexes,et .).
{ Lapre isionde ladis retisationobtenueest dis utable.
Cesproblemesdisparaissentsil'interfa eesttraitee ommeuneveritabledis ontinuite.C'est
le as en parti ulierave les methodes sur maillage mobile[Magnaudet etal.,1995℄qui
as-surentunedis retisationtrespre isedestermesdesurfa e.Cesmethodesutilisentegalement
unformalisme mathematiqueplusrigoureux.Cettepre isionest ependant obtenue au prix
d'une plus grande omplexite et de ontraintes geometriques importantes (simpli ite g
eo-metrique, deformations limitees).Ilsemble malheureusementdiÆ ilede on ilier leserreurs
geometriqueslieesaunerepresentationimpli iteave untraitementdel'interfa e ommeune
dis ontinuite ( 'esten partie pour ette raisonque l'approximation ontinue aete utilisee).
1
Ilestinteressantdenoterquelestoutespremieresimplementationsdelamethodevolumede uideetaient
en fait d'ordre deux [DeBar, 1974 , Youngs,1982 ℄, mais faute de publi ite, elles n'ont pas eu le su es
qu'ellesmeritaient.Less hemasd'ordredeuxrestenttoutefoisdiÆ ileageneraliserdansle asdemaillages
grille xe ave lapre isionetlarigueur mathematiquedesmethodessurgrillemobile.Nous
presentons dans la se tion suivante une premiere appli ation de e on ept aux termes de
tensionde surfa eetde gradient de pressionpourune oulement diphasique.La se tion1.2
generalise ette appro he pourle as d'une oulement asurfa e libre.
1.1.
E oulements diphasiques
Demaniere generale, lesequations deNavier{Stokesin ompressiblesave densiteet
vis- osite variablesettensionde surfa epeuvent s'e rire sous laforme
( t u+uru)= rp+r(2D)+Æ s n; (1.2) ru=0; (1.3)
ouu=(u;v)estlavitessedu uide,=(x;t)ladensite,=(x;t)lavis ositedynamique,
Dletenseurdetauxdedeformationde ni ommeD
ij =( i u j + j u i )=2.Letermedetension de surfa e Æ s n est non{nul (Æ s
=1 asso ie a uneintegration au sens des distributions)
surl'interfa eetnulpartoutailleurs, estle oeÆ ient detension desurfa e, lerayon de
ourbureetn lanormale al'interfa e.
Dans le asde deux uidesnon{mis ibles, onpeutde nirunefon tionde phase egale
a 1 dans la premiere phase et 0 dans la se onde. En l'absen e de hangement de phase,
suitsimplementle mouvement du uide selonl'equationd'adve tion
t
+ur =0: (1.4)
Ladensite etlavis ositepeuvent alors^etre de niesa partir delafon tion de phase omme
= 1 +(1 ) 2 ; (1.5) = 1 +(1 ) 2 : (1.6)
Uneformulationequivalenteutilefaitintervenirles onditionsdesautatraversl'interfa e.
Au voisinagede l'interfa eS, l'equation pourla quantite de mouvement (1.2) et l'equation
de ontinuite (1.3) sereduisent ala onditionsur lesautde ontraintetangentielle
[tDn℄
S
=0; (1.7)
etsurlesaut de ontraintenormale
[n( pI+2D)n℄
S
=; (1.8)
asso iees al'hypothesede ontinuite de lavitesse
[u℄
S
v
i,j+1/2
v
i,j-1/2
u
u
c
i,j
p
i-1/2,j
i+1/2,j
i,j
Fig. 1.1.:Dis retisation de type MAC.
Dis retisationdes equations et methodede proje tion
Nous avons hoisi unedis retisation de alee de type MAC [Peyretet al.,1983℄surgrille
artesienne; e hoixetantessentiellementdi tepardes onsiderationsdesimpli itede mise
en oeuvre. De plus l'utilisation d'une grille reguliere de pas Æx = Æy = h assure le se ond
ordre deladis retisation spatiale entree destermes de gradient.
La fra tion surfa ique
i;j
est de nie omme la surfa e relative o upee par le uide 1
pourla ellulede ontr^ole
i;j
illustree gure 1.1, soit
i;j = 1 jj Z i;j dx; (1.10) ou jj = h 2
est l'aire du volume de ontr^ole. Les equations (1.5) et (1.6) sont appro hees
omme i;j = i;j 1 +(1 i;j ) 2 ; (1.11) i;j = i;j 1 +(1 i;j ) 2 : (1.12)
La methode de proje tion, lassiquement utilisee pour la resolution des equations de
Navier{Stokesin ompressiblesmonophasiques[Peyretetal., 1983 ℄,peut^etreadapteeau as
diphasique.L'algorithmeutilise peut^etre de ompose omme suitpourunpasde temps :
1. L'interfa eest adve tee parle hamp de vitesse au tempst
n
=n ,ou est le pasde
temps. La fra tion surfa ique
i;j
est mise a jour a partir de la positionde l'interfa e
( f.AnnexeB).
2. Une solution provisoire u
?
est obtenue par une dis retisation expli ite en temps de
l'equation dequantite de mouvement (1.2) :
u ? =u n u n ru n + 1 r(2D n )+ Æ s n: (1.13)
Les termes d'adve tion et de ontraintes visqueuses sont dis retises spatialement a
l'aide d'un s hema entre. Le terme de tension de surfa e est obtenu omme de rit
danslase tion1.1.2.Un termede\ orre tiondugradient depression"peutegalement
^etreajoute.Dans ertains as,en parti ulierlorsquelenombrede Reynoldsde l'
e ou-lement esteleve,la onditionde stabilite dus hema entre estdiÆ ile averi eretun
s hemade entredetypeupwindpeutetre^ utilise.Uns hemaupwindaussi ompa tque
le s hema entre (n'utilisant qu'un seulpoint en amont eten aval) presente toutefois
u n+1 =u ? n+1 rp n+1 : (1.14)
A nd'assurerlanon{divergen eru
n+1
=0del'e oulementautempsn+1lapression
doit ainsiveri er l'equationsuivante
r n+1 rp n+1 =ru ? : (1.15)
Cetteequation,analogueal'equationdePoissonpourlapressiondansle as
in ompres-sible monophasique, onstitue la seule omposante spatiale impli ite de l'algorithme.
Ce is'expliquephysiquementparlane essite deresoudrelavitessede propagation
in- nie (dufait de l'hypothese d'in ompressibilite) de l'informationliee aux u tuations
de pression(\ondessonores" de vitessein nie).
Sil'on utilisedes di eren es nies entrees, l'equation (1.15) s'exprime sous formedis rete
omme p i+1;j p i;j i+1=2;j p i;j p i 1;j i 1=2;j + p i;j+1 p i;j i;j+1=2 p i;j p i;j 1 i;j 1=2 = (1.16) h (u ? i+1=2;j u ? i 1=2;j +v ? i;j+1=2 v ? i;j 1=2 );
soitapresfa torisation
1 i+1=2;j + 1 i 1=2;j + 1 i;j+1=2 + 1 i;j 1=2 ! p i;j = (1.17) p i+1;j i+1=2;j + p i 1;j i 1=2;j + p i;j+1 i;j+1=2 + p i;j 1 i;j 1=2 h (u ? i+1=2;j u ? i 1=2;j +v ? i;j+1=2 v ? i;j 1=2 ):
Cesystemelineairepentadiagonalpeut^etreresolupardifferenteste hniques.Ilestimportant
de noter quela matri ede nie parl'equation (1.17) est a diagonale dominante. L'appro he
laplus simple onsiste a e e tuer un nombre suÆsant de relaxations de type Gauss{Seidel
[Hammerlinetal.,1991℄en utilisantl'operateurde ni par l'equation (1.17). L'erreur sur la
divergen epeut^etreutilisee omme ritered'arr^et.Cettesolutionestsatisfaisantelorsquele
nombredepointsdegrilleestlimite.Lorsquelatailledusystemeaugmente,lesperforman es
delaplupartdesmethodesderesolutioniteratives(Gauss{Seidel,de ompositiondeCholesky
ou methode de gradient onjugue)diminuent.Ce phenomene est a entue dansle asou le
ontraste de densiteentre lesdeux uidesestimportant.En e et aproximite de l'interfa e,
l'operateur(1.17)peutdevenirtresdissymetrique equinuitau onditionnementdusysteme
d'equations.
Nous utilisons une methode multigrille maintenant lassique permettant d'a elerer la
onvergen e des algorithmes iteratifs [Brandt,1982, Briggs,1987,Press etal.,1991℄. Cette
te hnique est basee sur la onstatation suivante : les algorithmes iteratifs peuvent ^etre
in-terpretes physiquement omme la solution dis rete spatialement et temporellement d'une
equation dedi usionpourl'e art entrele hampinitialet lasolutionre her hee. Unnombre
d'iterations dependdire tement de la tailledu domaine onsidere, dansla mesure ou la
vi-tesse de di usionest normalisee par le pas de temps et la taille d'une maille.Il peut don
^etre interessant de her her a resoudre les modes de grande longueur d'onde de la solution
surun maillageplusgrossier.Cettesolutiona grandee hellepeutensuite^etre utilisee
om-mepremiere approximation de lasolutiona unee helle pluspetite.
A sontour lare her he
de la solution a grande e helle peut bene ier d'une premiere approximation a tres grande
e helleobtenuesurunmaillageen oreplusgrossier.Ces hema onduitautiliserlamethode
iterative surunesu essionde maillagesimbriquesde plusen plusgrossiers.Sur ha undes
maillages,lese helles spatiales delasolutionde l'ordrede latailledelamaille peuvent^etre
obtenues en un nombre onstant d'iterations. Ce i aboutit a un nombre total d'iterations
independantde latailledu maillagele plus n.
Dans la pratique, ette methode donne de bons resultats, y ompris pour de grands
rapports de densite [GueyÆeret al.,1998, Li, 1996℄. La resolution de l'equation pour la
pression reste toutefois l'operation la plus o^uteuse en temps (60 a 80 %) de l'ensemble
de l'algorithmederesolutiondesequationsde Navier{Stokes.
1.1.1. Conditions de saut et ourants parasites
Un problemesouvent ren ontre lorsde simulationsnumeriquesdiphasiquesave tension
desurfa eaetenomme ourantsparasites[Lafaurieet al.,1994℄.Sil'on onsideredeux uides
non{mis iblesau repossepares parune interfa e ir ulaire(en deux dimensions),le hamp
de vitesseest nuletle hamp de pressionestdonnepar l'equation deLapla e
[p℄ s = R ; (1.18)
ou R est le rayon. Le saut de pression a travers l'interfa e equilibre exa tement la tension
de surfa e. Il s'agit d'un test simple permettant de veri er la pre ision du traitement des
onditionsde sautsur l'interfa e.
La plupart des methodes utilisant un maillage xe, qu'elles soient de type level sets,
volume de uide ou suivi de front modelisent l'interfa e non pas omme une
dis ontinui-te mais omme un hangement rapide mais ontinu des proprietes physiques. L'interfa e
est don arti iellementepaissieet les termes surfa iques omme latension de surfa e sont
distribuessuruneepaisseur nie.
Appliqueesau asdelabullestationnaire,l'ensemblede esmethodesexhibentunresultat
similairea elui illustre gure 1.2. La solution numerique ne onverge pas vers la solution
de Lapla e mais vers une solution ara terisee par des ourants parasites dont l'intensite
max (juj) est essentiellement proportionnelle a la tension de surfa eet inversement
propor-tionnelle a la vis osite [Lafaurieetal., 1994℄. La onstante de proportionnalite telle que
max (juj)= =estimportantedanslamesureouelle ontr^olel'espa edeparametres(;)
a essible en utilisant une methode donnee. En e et, lorsque = est suÆsamment grand,
les ourantsparasitespeuvent onduireauneinstabilite atastrophiquedel'interfa eet asa
destru tionrapide.
Lorsdestestsinitiauxdelaplupartdesmethodesnumeriques,desparametrespeu
ontrai-gnantssontengeneral hoisis:faibletensiondesurfa e,vis ositemoyenneetfaiblesrapports
de densite entre les phases. Le oeÆ ient de proportionnalite etant generalement petit,
les ourants parasites passent alors fa ilement inaper us. Une appli ation a des problemes
on rets plus ontraignants omme des interfa es air{eau ou air{mer ure sera tres diÆ ile
si n'est pas petit. La plupart des auteurs admettent avoir observe es ourants parasites
Fig.1.2.:Exemplede ourantsparasitesautourd'unebulleaureposobtenuspouruns hema
d'adve tionde typeVOF etuneformulation ontinue destermes de tensionde surfa e.
p
B
p4
p1
C
v1
p3
p2
D
A
v2
u2
u1
Fig.1.3.:In ompatibiliteentretensiondesurfa eetgradientdepressionsurunegrilleMAC.
presen en'estpasunedes ausesdesdiÆ ulteseprouveeslorsde lasimulationdeproblemes
on rets. De maniere plus generale, e probleme peut amener a douter de la pre ision du
traitement de l'ensembledestermes soumisaux onditionsde saut,enparti ulierlesaut de
ontraintenormaled^ua lavis osite [Benkenida,1999℄.
Laplupartdesmethodesutilisantuneformulation ontinuedestermesdesurfa eluttent
generalement ontre l'in uen e des ourants parasites en utilisant diverses fon tions de
lis-sagequipermettent d'amoindrirleurintensite[Williamset al.,1998,GueyÆer et al.,1998℄.
Le hoix de es fon tions est en general empirique ar il est diÆ ile de realiser une etude
analytiquedes erreursinduitespar laformulation ontinue. En onsequen e, il n'existe pas
anotre onnaissan ed'expli ationdetaillee quant a l'originedes ourantsparasites.
Dansle asd'unedis retisationMAC,Li[Li,1996℄demontrequ'etantdonneletraitement
dugradientdepressionpresdel'interfa e,l'equilibreentretensiondesurfa eetpressionn
e- essairepourobtenir lasolutionde Lapla edansle asd'unebullestationnairene peutpas
^
etre assure.Leraisonnement estillustre gure 1.3,ouuneinterfa e ir ulairedansun uide
aurepos oupeladis retisationsuivant une on gurationparti uliere. La omposantede la
egalement ^etre nul. Ce gradient est obtenu par di eren es nies omme (p2 p1)=h don
ne essairement p1 =p2. En appliquant e m^eme raisonnement pourles omposantes u2 et
v2, on obtient nalement p1 = p2 = p3 = p4. Or le volume de ontr^ole de la omposante
v1 (zone grisee) est oupe par l'interfa e. La ontribution du terme de tension de surfa e
dansl'equationde quantite demouvementpour ette omposanteestdon non{nulle.Cette
ontributionn'etant pasequilibreeparlegradient depression(p1 p4)=h,la omposantev1
ne peutrester nulle.
Cette in oheren e est lairement due au fait que le gradient de pression exprime en v1
n'estpas al ule orre tement.Ene et,lesautdepressionaupointB donneparlasolution
de Lapla e n'est pas prisen ompte. Une solution simple onsiste a al ulerle gradient de
pression en v1 omme (p AB +p BC p4)=h. Un hoix judi ieux de p AB et p BC permet de
ompenser exa tement le terme de tension de surfa e. Cette orre tion lo ale onstitue la
basede lamethode de orre tion du gradient de pression presentee se tion1.1.2.
Il est important de noter que le raisonnement i-dessus ne on erne que le gradient de
pressionetsupposequeletermedetensiondesurfa eest al uleexa tement.Enparti ulier,
ilsemblediÆ ilede generaliser e resultat pourle asou latensiondesurfa eestdistribuee
surplusieursvolumesde ontr^ole auvoisinagede l'interfa e.
1.1.2. Marqueurs de surfa e
L'interfa eestrepresentee ommeunelisteordonnee fp
1
;:::;p
N
gdepointsadve tespar
l'e oulement (marqueurs), ave p
i
=(x
i
;y
i
). A nde passerde ette representation dis rete
aunerepresentation ontinue,il estne essaire de hoisirunete hniqued'interpolationentre
espoints.Un hoixsimple onsistearelierlespointspardessegmentsde droite.La ourbe
obtenue est de lasse C
0
e qui est g^enant si les grandeurs geometriques lo ales omme la
tangenteou la ourburesont ne essaireslorsdu al ul.Nousavons retenu uneinterpolation
de lasseC
2
quiassurela ontinuite de latangenteetde la ourburelelong de l'interfa e.
Pour se faire, l'interfa e est representee entre haque paire de points onse utifs par
une ourbe parametrique de nie par deux polyn^omes ubiques p
i (s) = (p x i (s);p y i (s)). Le
parametre sest uneapproximation de l'abs isse urviligne.Ilest de ni omme
s i = i 1 X j=1 q (x j+1 x j ) 2 +(y j+1 y j ) 2 : (1.19)
L'interfa ede nie ommefp
1
;:::;p
N 1
gdevant^etrede lasseC
2
,lespolyn^omespveri ent:
p i (s i )=p i et p i (s i+1 )=p i+1 ; (1.20) p i s s i = p i 1 s s i et 2 p i s s i = 2 p i 1 s s i : (1.21)
Dansle asgeneral, es onditionspeuvent s'e riresous laformede deuxsystemeslineaires
tridiagonauxde ouples[Hammerlinetal.,1991℄.A ndefermerlesystemeilestne essairede
fournirdeux onditionsauxlimitessupplementairespourlesvaleursde
s p 1 j s 1 et s p N 1 j s N .
Ces onditionsaux limitespeuvent^etre dependantes dutemps.Ce i permetparexemplede
ontr^oler pre isementl'angle de onta t dynamiqueentrelesextremites del'interfa eet une
frontiere solide.
Dans le as ou l'interfa e est fermee ou periodiqueles onditions de fermeture sont
ob-tenuesdire tement en appliquantles onditions (1.20) et(1.21) entrep
0
et p
N
B B B B B B b 1 1 0 0 a 1 a 2 b 2 2 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 0 a N 1 b N 1 N 1 N 0 0 a N b N C C C C C C A : (1.22)
La solution de e type de systeme \pseudo tridiagonal" peut ^etre ramenee a la solution
de deux systemes tridiagonaux [Pressetal., 1989℄. Dans tous les as la onstru tion de la
ourbe parametrique fp
1
;:::;p
N
g peut ^etre effe tuee ave un nombre d'operations
pro-portionnel a N. Ce type de ourbe est onnu sous le nom de spline ubique parametrique
[Walsh etal., 1962℄.
A nd'adve ter les marqueurs,ilest ne essaired'exprimer lavitesseu=(u;v)du uide
pour une oordonnee x =(x;y) quel onque. Surun maillage artesien un hoix simple est
uneinterpolation bilineairede laforme
2 u(x)=u i;j (1 x y+xy)+u i+1;j x(1 y)+u i;j+1 y(1 x)+u i+1;j+1 xy: (1.23)
D'autres hoixd'interpolationsontpossibles,d'ordrepluseleveparexemple.L'ensembledes
testsquenousavonseffe tuestendentamontrerqueletyped'interpolationapeud'in uen e
surles resultats.
Undesproblemes lassiqueslie al'utilisationdemarqueurs desurfa eestlane essite de
maintenir une distribution uniforme des points le long de l'interfa e lors de son evolution.
En e et, l'interfa epeut lo alement ^etre etiree ou omprimee par l'e oulement et la
densi-te de marqueurs par unite de longueur variera en onsequen e. De plus, m^eme dans le as
ou l'interfa e n'est pas deformee (lorsque la omposante normale de la vitesse est nulle),
une omposante tangentielle non{nulle de la vitesse ausera une derive des marqueurs le
long de l'interfa e. A n d'assurer unedis retisation reguliere de la geometrie de l'interfa e
il est don ne essaire de supprimer ou de rajouter lo alement des marqueurs lors de l'
evo-lution temporelle. Une methode simple onsiste a rempla er deux marqueurs onse utifs
trop pro hespar un unique marqueur (le milieudu segment par exemple) et a rajouter un
marqueur entre deux marqueurs onse utifs trop eloignes. En utilisant ette te hnique il
est toutefois relativement diÆ ile d'assurer la ontinuite temporelle des derivees omme la
tangente ou la ourbure.La nature dis rete desevenements d'insertions et de suppressions
introduit generalement de brusquesvariationslo alesdes derivees.
A n d'eviter es problemes et de pro ter pleinement de la representation par splines
ubiques de l'interfa e, nous utilisons une methode qui assure une distribution des
mar-queurs homogene et temporellement ontinue.
A haque pas de temps l'ensemble des
mar-queursestredistribuelelongdel'interfa ede nieparsarepresentationparametriquep(s)=
fp
1
;:::;p
N 1
g. On de nit la longueur de redistribution l omme la distan e entre deux
marqueurs su essifs le long de l'interfa e. Comme s est une approximation de l'abs isse
urviligne, le nombre de marqueurs qui peuvent etre^ pla es sur l'interfa e a une distan e
l les uns des autres est donne par N = s
N
=l et leurs oordonnees sont obtenues omme
p
i
=p((i 1)l).Unefoislenouvelensemblede marqueurs al ule,lespolyn^omesde nissant
lessplines ubiquessontmisa jour.La longueurde redistributionen general utilisee
orres-pond a la tailled'une maille de la dis retisation MAC. Ce hoix est justi e dansla mesure
ouladis retisation spatialede nitl'e helle resolue lapluspetitedes phenomenessimules.
2
t
B
t
A
ρ
Ω
B
A
u
Fig. 1.4.:Volumede ontr^oleet ontribution de latensionde surfa e.
Tension de surfa e
La representation par marqueurs autorise un traitement dire t des termes de tension
de surfa e. Si l'on onsidere un volume de ontr^ole oupe par l'interfa e ( gure 1.4) la
ontribution integrale de la tension de surfa e a la variation de quantite de mouvement
s'e rit Z Æ s n= I B A nds; (1.24)
que l'on peut transformer en utilisant la premiere formule de Frenet pour les ourbes
pa-rametriquesen I B A nds= I B A dt=(t B t A ); (1.25)
ou t est la tangente a l'interfa e orientee et unitaire. On retrouve en fait la formulation
originellede latension desurfa e interpretee ommeunefor e tangentielleal'interfa e.
Un algorithmesimplepermetainside al ulerletermede tensiondesurfa e. L'interfa e
estpar ourued'une extremite al'autre, haque foisqu'elletraverse le bordd'une ellule
de ontr^ole (unsegment verti alou horizontal dansle asd'un maillage artesien), lepoint
d'interse tion A et la tangente t sont al ules. Les volumes de ontr^ole situes de part et
d'autre de re oivent alors une ontribution t si l'interfa e vient de sortir et t si
l'interfa evient de rentrer.Cet algorithmeassure quelasomme des ontributionsduesa la
tensionde surfa eest nulle(pouruneinterfa e fermee).
Dans le as de la dis retisation MAC, les volumes de ontr^ole pour les omposantes
horizontalesetverti alesdelavitessesontde ales.L'algorithmeestdon utilisedeuxfois,une
foispour haque omposante,ende alantlapositiondesmarqueurs.Surunegrille artesienne
la dete tion des interse tions entre l'interfa e et les limites horizontales et verti ales des
volumesde ontr^oleestsimpleet onduitaunalgorithmede o^utO(N)ouN estlenombre
de marqueurs.Le al uldu point d'interse tionesteffe tue ommede ritdans l'annexeB.
Corre tiondu gradient de pression
Letermedetensiondesurfa eetantde nidire tement,nouspouvonsmaintenantutiliser
le resultat presente se tion 1.1.1 on ernant le gradient de pression. Il s'agit de modi er
l'operateur gradient dis ret r
h
lo alement au voisinagede l'interfa ede maniere a prendre
en ompte le saut de pression. Nous nous pla ons pour l'instant dans le as de la bulle
stationnaireveri antlasolutiondeLapla e.Onsupposequele hampdepressionetleterme
de tensionde surfa e sont onnusexa tement dansle as illustre gure1.3. La pressionsur
v
v
(a)
(b)
Fig. 1.5.:Cas plus omplexespourlamethode de orre tiondu gradient de pression.
egale a p1 et es deux pressions sont liees par larelation de saut : p1 =p+=R . Dans e
asla ontributionde lapressionala variationde quantite demouvement ontenue dansle
volumede ontr^ole de v1 s'e rit
h 2 r ? h pj v1 =dp+(h d)p1 hp4; (1.26)
oud est lalongueurdu segment AB.Ilest lairque etoperateur dependdela positiondu
pointB parrapport ap1. Sid estsuperieura h=2, pdoit^etre rempla e parp1 et p1 parp2
danslaformule i-dessus.Dans le as general on peutde nirr
? h omme h 2 r ? h pj v i;j =hp i;j+1=2 +C i;j+1=2 hp i;j 1=2 C i;j 1=2 ; (1.27) ave C i;j = ( d(p i 1;j p i;j ) si dh=2 (h d)(p i+1;j p i;j ) si d>h=2 (1.28)
Siles hypotheses pre edentes sont veri ees(exa titude du hamp de pressionet des termes
de tension de surfa e) l'utilisation de et operateur assure | par de nition | l'equilibre
exa t entretensionde surfa e etpression.
Dans le asgeneral ou lapression peutvarier a l'interieur eta l'exterieur de l'interfa e,
et operateur peut^etre interprete omme une extrapolation du premier ordre des hamps
de pressioninternes etexternes au voisinage de l'interfa e. Des extrapolationsd'ordre plus
eleve sontpossiblesenutilisantplusieurspluspro hesvoisins.Deplusdansle asou
l'inter-fa e oupe plusieursfoisle bordd'unvolumede ontr^ole ( gures1.5), l'appro he presentee
i i n'est plus valable. Ces formes omplexes faisant generalement intervenir des rayons de
ourburedel'ordredelatailledelamaille(ex eptionfaitedu asillustre gure1.5.(b)) sont
peu frequents. Neanmoins un algorithme robuste devrales traiter orre tement et d'autres
te hniques d'extrapolation plus generales peuvent ^etre utilisees (voir se tion 1.2.1). Dans
tousles asleprin ipedela methode n'esttoutefois pasremisen ause.
L'utilisationde e nouveloperateurest ompliquee parlanatureimpli itede lapression
pour un uide in ompressible.En e et, dansla methode de proje tion, la pression
n'appa-ra^t que omme solutionde la pseudo{equation de Poisson[Peyret etal.,1983℄. L'appro he
laplus orre te onsisteautiliserlenouveloperateurr
?
h
dire tementlorsde laresolutionde
etteequation.Ce ialedesavantagedene essiterl'utilisationd'unsten ilfaisantappara^tre
leshuitpluspro hesvoisinspour haquepointdepression( gure1.6). L'operateurstandard
n'utiliseque les quatrepluspro hes voisins, il n'estdon pas possibled'utiliserles solveurs
Fig. 1.6.: Sten il ne essaire pour la resolution de l'equation de pressionave operateur de
gradient orrige.
A ndesimpli erl'evaluationinitialedelamethode,nousavons hoisiuneappro heplus
simplemais moins rigoureuse qui onsiste a traiterla orre tion C du gradient de pression
ommeuntermesour edansl'equation dequantitede mouvement (1.13).E e tuee de ette
maniere,la orre tionCestexpli iteentemps,elleest al ulee ommefon tiondelapression
au pasdetemps pre edent.
L'evaluationdestermesde orre tiondugradientdepressionne essitele al uldespoints
d'interse tion ave les bords horizontaux des volumes de ontr^ole pour la omposante v et
ave les bordsverti aux pourla omposante u.Ilest don simpleetnaturel de al uler es
termes en m^eme temps que les termes de tension de surfa e asso ies au m^eme volume de
ontr^ole ( f. AnnexeB).
Appli ationau as de l'interfa e ir ulaire
Commemontre i-dessus,l'utilisationdel'operateurdegradientdepression orrige
garan-titenprin ipel'existen edelasolutiondis retedeLapla epourle asd'unebulle ir ulaire.
Dans la pratique l'utilisation de ourbes splines parametriques de lasse C
2
ne permet pas
de representer exa tement une interfa e ir ulaire (de lasse C
1
). Une erreur geometrique
sera don ommise lorsde l'evaluation des termes de tension de surfa eetde orre tiondu
gradient de pression. Deux questions seposent alors :lasolution appro hee est-elle stable?
Converge-t-elle numeriquement vers lasolutionexa te?
On onsidere deux uides de m^eme densite et vis osite separes par une interfa e
ir ulaire de diametre D ave un oeÆ ient de tension de surfa e . Le seul nombre sans
dimensionquipeut^etre forme estlenombredeOhnesorge Oh==(D)
1=2
(oulenombre
de Lapla e equivalent La = 1=Oh
2
). Comme nous l'avons mentionne pre edemment, on
s'attenda e quel'amplitudemax(juj) des ourantsparasitessoitproportionnellea =.Ce
quirevient ade nirunnombre apillaireCa
p
=max(juj)= onstantquelquesoitOh.La
valeurde e nombre apillaireestunemesure de l'erreurparrapporta lasolutionexa te.
A n de tester es hypotheses et d'evaluer la pre ision du s hema de orre tion du
gra-dient de pression, nous avons effe tue plusieurssimulations pour un nombre de Ohnesorge
variable. La goutte est pla ee au entre d'un domaine arre et des onditions periodiques
sontappliqueesdanslesdeuxdire tions.Lerapportentrelatailledudomaineetlediametre
delagoutte est 2.5.Les hampsde vitesseetde pressionsontinitialement nuls.L'evolution
deCa
p
en fon tiondutemps =t=(D)est illustree gure1.7 pourdifferentesvaleursdu
nombredeLapla e. Apresunephasetransitoire, l'ensembledessolutions onvergent
asymp-totiquement. Conformement a notre hypothese, les asymptotes sont pro hes d'une valeur
uniquequipeut^etre estimee a 1:110
6
10%.
0
100
200
300
400
500
600
0
2e−06
4e−06
6e−06
8e−06
1e−05
1.2e−05
1.4e−05
1.2
12
120
1200
12000
PSfrag repla ements C a p Fig.1.7.:Evolutiontemporelledel'amplitudedes ourantsparasitesenfon tiondunombre
deLapla e. La legende donneles differentes valeursde La. Maillage3232.
0
20
40
60
80
100
10
−8
10
−7
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
CIAM
Marqueurs
PSfragrepla ements C a p D Fig.1.8.:Evolutiondel'amplitudedes ourantsparasitesenfon tiondelaresolutionspatiale.
