Transition de phase et frustration en physique nucléaire et astrophysique

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et astrophysique

Karim Hasnaoui

To cite this version:

Karim Hasnaoui. Transition de phase et frustration en physique nucléaire et astrophysique. Physique

Nucléaire Théorique [nucl-th]. Université de Caen, 2008. Français. �tel-00337606�

UNIVERSITE de CAEN/BASSE-NORMANDIE

U.F.R. des Sciences

ÉCOLE DOCTORALE SIMEM

THESE

présentée par

Mr Hasnaoui Karim

et soutenue

le 17 octobre 2008

en vue de l'obtention du

Doctorat de l'UNIVERSITÉ de CAEN

Spécialité: Constituants élémentaires et physique théorique

Arrêté du 07 Août 2006

Titre:

Transition de phase et frustration en physique nucléaire et astrophysique.

Membres du Jury

Mr Philippe Chomaz, Directeur de recherche CEA, GANIL (Directeur de thèse)

Mr Michael Bender, Directeur de recherche CNRS, CENBG (Rapporteur)

Mme Francesca Gulminelli, Professeur, Université de Caen/Basse-Normandie

Mr Olivier Juillet, Professeur, Université de Caen/Basse-Normandie

Mr Jérôme Margueron, Chargé de recherche CNRS, IPN d’Orsay

Mr. Akira Ono, Professeur, Université de Tohoku

Mme Constança Providencia, Professeur, Université de Coimbra

Mr François Sebille, Professeur, Université de Nantes (Rapporteur)

UNIVERSITE de CAEN/BASSE-NORMANDIE

U.F.R. des Sciences

ÉCOLE DOCTORALE SIMEM

THESE

présentée par

Mr Hasnaoui Karim

et soutenue

le 17 octobre 2008

en vue de l'obtention du

Doctorat de l'UNIVERSITÉ de CAEN

Spécialité: Constituants élémentaires et physique théorique

Arrêté du 07 Août 2006

Titre:

Transition de phase et frustration en physique nucléaire et astrophysique.

Membres du Jury

Mr Philippe Chomaz, Directeur de recherche CEA, GANIL (Directeur de thèse)

Mr Michael Bender, Directeur de recherche CNRS, CENBG (Rapporteur)

Mme Francesca Gulminelli, Professeur, Université de Caen/Basse-Normandie

Mr Olivier Juillet, Professeur, Université de Caen/Basse-Normandie

Mr Jérôme Margueron, Chargé de recherche CNRS, IPN d’Orsay

Mr. Akira Ono, Professeur, Université de Tohoku

Mme Constança Providencia, Professeur, Université de Coimbra

Mr François Sebille, Professeur, Université de Nantes (Rapporteur)

for e. Très tt dans ma arrière, j'ai appris à ourrir au-delà de la fatigue. Tant que je ne ressentais ni lassitude ni douleur, je onsidérai ela omme un simple é hauement. Il fallait que je dépasse mon seuil de toléran e pour que l'entraînementdevienne protable. C'està emoment-làquejemettaislesbou héesdoubles.Chaquekilomètresupplémentaire m'apportait un sur roît d'énergie.Ce quifais la diéren esur le ring, 'est e dont onest apable une fois qu'on est fatigué. C'est la même hose dans la vie. Ne vous laissez pas arrêter par eux qui abandonnent quand ils se sentent mal, par eux qui se désespèrent fa ilement, par eux que l'é he et l'injusti e démoralisent, par eux qui perdent de vue leurobje tif.Sivous voulezgagner,votrevolonténedoitjamaisé hir,votrefoine jamais faiblir.Vous ne devez jamais esserde vous battre". Muhammad Ali

Cette thèse a été nan ièrement assurée par la région Basse-Normandie et le CEA. Je remer ie la dire tion du GANIL, Messieurs Sydney Galès, Mar el Ja quemet, Marek Lewitovi z, et PhilippeChomaz pour leur a ueil au sein du laboratoire, et pour m'avoir permisderéalisermontravaildethèsedanslesmeilleures onditions.TravaillerauGANIL a été pour moiune han e inestimableet un véritablehonneur.

Je tiens à remer ier les membres de mon jury de thèse et à leurs témoigner ma re on-naissan e, à ommen er par mes rapporteurs François Sebille et Mi haël Bender que je remer ie pour leur le ture minutieuse du manus rit, et pour tout leur travail en tant que rapporteurs.J'aisouventeu l'o asiond'interagirave eux pendant es troisdernières an-nées,etnosdis utionsm'ontététrès protableslorsdelaréalisationde etravaildethèse. Jeremer ie égalementConstança Providên ia etAkiraOno d'avoirfais ledépla ement de i-loin. La semainede visite d'Akira auGANIL a été très ri he en dis utions remplies de perspe tives : 'est ave beau oup d'enthousiasme que je part réaliser mon Post-do au sein de son groupe à l'Université de Tohoku. Un très grand mer i à Jérme Margueron pour saprésen elejourdemasoutenan e,maisaussipourses nombreusesinvitationsaux meetingSNNS qui m'ontpermis de mieux omprendre laphysique des étoiles ompa tes. Je remer ie également Olivier Juillet pour avoir a epté d'être le président du jury, ainsi que pour ses remarques on ernant lesappli ations du modèle FMD àla matièred'étoile.

J'aimerai exprimer toute ma gratitude à Philippe Chomaz et Fran es a Gulminelli, mes en adrantsde thèse,pour m'avoira ompagnéeten adrépendantlaréalisationde e travail.J'aibeau oupappré ié leur enthousiasme, leurs qualitéss ientiques ethumaines, leur rigueur,ainsi que leur ouverture d'espritqui font d'eux des her heurs ex eptionnels. J'ai énormément appris ave eux deux, et leur aide dans de nombreux domaines m'a été d'un très grand se ours. Ils ont été pour moi bien plus que des dire teurs de thèse, je ne serai ommentlesen remer ier,etexprimermare onnaissan e. Travaillerave Philippeet Fran es a a été un honneur etun véritable bonheur.

Travailler dans le groupe de Philippe et Fran es a a été aussi pour moi l'o asion de ollaborer ave d'autres physi iens qui sont devenus pour moi bien plus que des amis. Je tiens tout d'abord à remer ier Camille pour les nombreuses dis utions que nous avions eux ensemble, aussi bien des dis utions de physique, que sur la vie en général (si un jour j'arrive àatteindre tondegré de pré ision, je rois queje serai lephysi ien leplusheureux du monde). Un grand mer i à Paolo ave qui j'ai beau oup travaillé sur le modèle Ising Star : e sera ave un grand plaisir de ontinuer à ollaborer ave toi dans l'avenir et à avoirtonregardd'experimentateur,touten éspèrantquenous ontinueronsàregarder des lms omplètement loufoques... que malheureusement personne ne souhait visionner ave nous.L'arrivéedeTakuyaauseindugroupenousafaisénormémentdebien.Sonexpertise en al ulAMD nous a été d'un très grand se ours :travaillerave toi a été un honneur... j'appre ierai toujours ta façon originale d'aborder les problèmes qui doit être propre à l'é oleJaponaise.Ennuntrèsgrandmer iàDeanetChristiandontj'aieurespe tivement la han e d'en adrer et de o-en adrer leurs stages. Travailler ave vous deux a été une expérien e très enri hissante aussi bien d'un point vueprofessionnel qu'humain.

brillants, patients et sympatiques que vous deux. Je vous souhaite beau oup de réussite dans lapoursuitede vos études.

Un grandmer i auxdiérents membres de l'équipeadministrativedu GANIL sansqui j'auraiété omplètementnoyédanslabureau ratie 'estàdireArmelle,Chritine&Chritine (j'ai énormément rigoléave vous trois, vous êtes omme des mères pour moi... vous allez beau oup memanquer), Pas ale, Sandrine, Sabrina L, Ja queline, Isabellela magnique, Mélanie, Odile, Véronique (je ta herai de ne pas oublier ton paquet de Wasabi), Virginie ditelaféedu SG,Ja quesD,Marie-Laure,StéphaneJ(votre aidevenantdevoustroism'a ététrèspré ieuselorsdel'a hatdelafermede al ul),Sophie&Emilie(una ueilGanilois irremplaçable), Antoine K dit Mister K, Mi hel & Thierry (un servi e de do umentation irrépro hable... des véritables Pors he surtout quand il s'agit de trouver dans la journée des arti les quasiment introuvables).

Réaliser une thèse en physique théorique né essite très souvent l'usage d'ordinateur... voir24h/24h pendant plusieurs semaines, surtout si l'on a fairetourner un modèle FMD. J'ai énormément solli ité l'ensemble du servi e informatique du GANIL que je tiens à remer ier i i et plus parti ulièrement Daniel V dit le philosophe, Grégoire, Guillaume L, Ni olsM (mer ià toipour m'avoiraidé ànégo ier laferme de al ulaumeilleur prix), et Jean-Louis.

Un grandmer iàtous lesdo torants,post-do torantsetvisiteursave qui j'aipartagé de bons moments de physique... et gastronomique 'est à dire Iulian & Jean-Baptiste (nos fameuses dis utions de physique à la afétéria Casino me manquent énormément), Josiane(sans toijen'aurai jamaisdé ouvert lesPhD omi s),Marie (ilest très di ilede trouverdesgâteauxau ho olataussibonsquelestiens),Anthony (j'aibeau oupappré ié tes a hes ompromettantes ollées sur ma porte de bureau), Cyrille, Jean-Christophe, Laurent G et ses fameuses questions aux théori iens, Sugathan, Beatriz (ta plante a poussée de manière exponentielle dans le bureau), Thomas dit Sébastien (Chu k Norris ne porte pas de montre... il dé ide de l'heure qu'il est!!!), Cédri G, Carole, Floren e, Antoine L dit le Linuxien (mer i pour nos nombreuses dis utions on ernant les aspe ts informatiques), Bulent, Julien G (j'espère que l'on aura un jour l'o asion de monter un groupe de métal), Kouhei (mer i à toi pour m'avoir aidé à organiser mon départ pour le Japon... qu'est- e que j'aurai fais sans toi!!!), Pang, Praveen, Sakir, Salima notre rayon de soleil Algérien, Manuel dit Mister Maya (ah ... jode!!! ), Eri B, Alexandre, Tarek, Mahmut, Juan, Isao (je n'ai toujours pas trouvé la solution à ton problème avez-vous déjà vu l'intera tion forte de vos propres yeux), Xavier D (en ore mer i pour m'avoir orrigémes nombreuses fautesd'AURTOGRAFE), GérardL,GuillaumeH(mêmesinous ne sommes pas restés très longtemps dans le même bureau, j'ai beau oup appré ié ta gentillesse, et les dis utions que nous avions pu avoir ave Denis), et Joe & Guilain (j'ai nalement trouvé des opains ave qui parler de football pendant les pauses déjeuner... malheureusement à ladernière minute!!!).

parti ulièrementAbdou,David,DenisLditDenislaMali e,François,GillesD,Jean-Pierre dit Barry Gibb (en te prêtant mes bouquins j'ai pu petit à petit sto ker mabibliothèque hez toi sans que tu t'en rende ompte), John (en ore mer i pour m'avoir orrigé mes abstra ts é rit en anglais), Marek P, Navin dit Joe l'Indien (nos dis utions ainsi que tes fameux oursdumer redisoirm'onténormémentappris...youhavetothinkaboutit!!!), Christelle,OlivierSditledanseurde Te ktonik,Patri ia(mer iàtoietPhilippepour vos nombreuses invitations), Piet (ton aide nous a été pré ieuse pour l'obtention du projet ANR), Stéphane dit Mel Gibson ou Mad Max, et Chu k Norris le plan grand physi ien de tout les temps bien loin devant Einstein & Co (Si ça a le goût du poulet, l'odeur du pouletetqueçaressembleàdu poulet, maisqueChu k Norristeditque 'estdu mouton, alors her he pas, 'est du mouton!!!).

Pendant ma thèse j'ai été amené à faire de nombreux allers-retours au LPC... où je restais parfois bloqué. Cela n'empê hait pas de ren ontrer des personnes aussi sym-pathiques qu'au GANIL. Je tiens à remer ier un ertain nombre de es personnes qui m'ont toujours a ueilli ave sourire, et ave qui j'ai eu souvent l'o asion de dis uter de physique... et de gastronomie (dé idement on passe sont temps à manger en trois ans de thèse) 'est àdire Benoit L ditCh'tiobiloute (min ompatriotede l'Ch'nord!!!), Beyhan et les se oupes volantes (au delà du réel... la vérité est ailleurs!!!), Lynda A & Anissa nos rayons de soleil Algérien version LPC, Bernard (en ore mer i pour avoir appuyé ma andidaturelorsquejere her haisdésespérement desva ationsàl'université),Damien(au plaisirs de se revoir sur Lyon et d'aller se visionner le graphique de Bosko), Daniel C ( 'esttoujoursun plaisirde venirmettrelebazar auLPC!!!),Dominique(Les Dominique Durant sur Fa ebook ont l'air très harmantes), Florian & Hi ham (grâ e à vous deux je ne restais jamais enfermé plus de 20 minutes au LPC lorsque je souhaitais sortir), Gilles B, Grégory, Jean-Lu ditl'in royable Hulk, Jérémy, Marian, Miguel, Nigel,Olivier L (ah ahah!!! les petits tritons!!!), etRemy dit leTonton ingueur.

Au oursde estroisannéesdethèsej'aieufréquemmentl'opportunitédedis uterave des physi iens des autres laboratoires de l'In2p3, ainsi que de présenter mon travail dans diérents workshop. Je tiens à remer ier ertain d'entre eux sans qui tout e i n'aurait été possible 'est àdire Benoit&Cédri ditlaTDHFB family,Taklit,Murielle,Sébastien F, Virginia, Patri k (min e elles n'explosent toujours pas!!½`), Elias(j'ai essayé de tenir ompte de ton onseil la hose qu'il ne faut absolument pas raté dans une thèse est le pot de soutenan e), Mar hella, Eloïse, Karim& Thomas, ThomasD, Ni u, Xavier L dit le Neutroni ien, et Bertram ( 'est toujours un plaisir de t'avoir omme hef de session... jamais5 sans 6!!!).

J'aimerai remer ier un physi ien qui m'a beau oup aidé dans le passé. Dany Davesne est pour moiun exempleaussi bien en tantque her heur, enseignant... etsurtout en tant que oureurdefond.Tuasétéun ex ellentprofesseuraussi bienpourlaphysiquequepour la ourseàpieds.Jetedois beau oupetj'espèrequenousauronsl'o asiondansunavenir très pro he d'avoir des projets de re her hes en ommun, ainsi que de re ourir ensemble (nos nombreuses s éan es d'entrainement me manquent... je n'ai jamais su retrouvé un oureur de fondqui t'arriveà la heville!!!).

important.J'y aipris beau oup de plaisir, 'est pourquoi je tiens àremer ier Philippe M, Edgar,Natalia,Fran kD,Gilbert,etNoëllepourm'avoiraidéàpréparerlesenseignements etpouravoirfaitensortequetoutsepassetrèsbien.Enseignerave vousaétéun privilège et un véritablebonheur.

Lorsque l'on pratiqueunea tivité de re her he, ilarrivetrès souventd'être enmanque d'idées, oude rester bloqué sur un problème que l'on arrivepas à résoudre. Il est souvent très utile de prendre du re ul sur son travail et de se hanger les idées. Ma philosophie a toujours été de faire de la ourse à pieds, de fréquenter des personnes diérentes, ainsi que de m'interesser à e que les autres faisaient même si il ne s'agit pas de physique. En dehors ouà l'intérieur du laboratoirej'ai eu la han e de ren ontrer des gens formidables ave qui j'aipartagéd'agréables moments.Jepenseà CharlesditCharlyle Breton (mer i pour touteslesnombreuses séan es inés...tuespour moiladénition mêmedu inéphile parex ellen e!!!),Fran kditFran kylemagnique(unsystème haotiqueestergodique... don érotique),PierreD ditl'Alsa ienamateurde musiquemétal(auplaisird'aller ensem-ble à d'autres on erts), Claire & Romuald ( omme quoi les soirées spé iales élibataires lors de la Saint-Valentin mar hent vraiment... je préfère quand même la méthode Chu k Norrisdérivéeduspeed-datingoùtuas5minutespourme onvain redenepastetuer!!!), Florie&Maël(en ore mer ipour lesnombreuses sortiesdiversesetvariées),GaëllePdite Gazou (malheureusement toutes les Gaëlle ne sont pas aussi gentilles et ompréhensives quetoi),ChristellediteTetellelaBas o-Corse(auplaisirdeteré itermesfuturspoèmes... etdetefaireexploserderire alorsquetuboiston Mona o),SéverineditelaCh'timi imag-inaire,CarolineL(tagentillesseestlégendaire!!!),Mansourleroides ous ousetpastillas parties,Lynda (ah ahah!!! 'estballot!!!),Marion&Clémentine ( elaaété un véritable plaisirpourmoidevousenseignerlaphysiqueetlesmathématiques,vousêteslesélèvesque tout enseignant rêverai d'avoir, je vous souhaite plein de su ès dans la poursuite de vos études), Mar elaM(mer iàtoietàPaolopour votre invitationen Slovaquielorsdevotre mariage, j'ai beau oup aimé vos familles respe tives... surtout l'on le Palo et son in roy-able tra teur), Tomoe (mer ià toipour m'avoirfais dé ouvrir lagastronomie Japonaise), Mar L, Geraldine(j'espère ne pas t'avoirdégouté de la physiqueet des mathématiques), Ja quesIditlesauvagedelasalledemus u,PhilippeGditle hampiondumondedu vide toutes atégories onfondues... et de l'é osystème Ganilois, Patri e L dit le syndi aliste, George ditle président (mer i à toipour tes nombreuses suggestions de lms au Cabieux de Ouistream), etsans oubliermes ompagnons de oursesàpieds qui m'ont gentillement invité ou véhi ulé à des ourses remplies de bon souvenirs 'est à dire Ja ques C, Jean-FrançoisR, LaurentF&LaurentP (mer iàvous deux pour m'avoirfaitdé ouvrirl'enfer normand lors du trail de l'Athis), Lu , Daniel O,PhilippeB, Philippe L, etMatthieu dit Matmi he (notre parti ipationautriathlonde Caen est l'un de mes meilleurssouvenirs).

travail.Jetienségalementàremer ierlaplupartdemesamis d'enfan equim'onttoujours soutenu depuis le début de mes études... enn pour la plupart depuis la première année de maternelle. C'est toujours un plaisir de vous retrouver. Mer i à Benoit & Hélène... et le petit Jules (à haque fois que je vous retrouve il y a quelque hose de nouveau... 'est pour quand le deuxième?), Caroline &Maxime ( 'est pour quand le mariage?), Frederik &Angélique(en esperant tevoirtrès pro hainementinstitutri e),Emilia&SimonditSye leHo keyeur (tues ommeunfrèrepourmoi...j'aitrès souvent lanostalgieduRollerClub Madelenois),Jean-François&Marie-José,AntoineR(j'espère quetutedébarrasseras très pro hainement de ton an er), Aymeri dit Tonton le Métalleu, Denis M ditl'As des As, JulienL,JustineditTitine(Jetesouhaitebeau oupde réussite...surtoutpourl'obtention de tonagrégationdephysique),Mar -AntoineditMar us,Ni olasLditleParigot,Ni olas T ditIronNy holson, etSabrina D.

Enn mes plusgrands remer iementssontadressés àmafamille.Sans votre soutien,je n'auraitpeutêtrepaspuréaliser etravaildethèse.Mer iàMaman,Papa,Rahma,Sabah et ma nié e Ines. J'ai beau oup de han e de vous avoir, vous avez toujours su respe ter et en ourager mes hoix depuis toujours. Après avoir fait sauter les plombsde la maison àplusieursreprises au oursde mesnombreuses expérien es lorsque j'étaisplus jeune,j'ai ompris grâ e à vous qu'il serait peut être moins dangereux et moins risqué pour mon entourage de me re onvertir dans une a tivité plus théorique. En ore mer i pour tout!!! Je vous aime etje vous dédie e manus rit.

1 Introdu tion. 5

1.1 De laproto-étoile à l'étoileà neutrons. . . 5

1.2 Etude des transitions de phases de lamatièred'étoile. . . 8

1.3 Résumédu travailprésenté. . . 10

2 Thermodynamique de la matière d'étoile. 13 2.1 Introdu tion. . . 13

2.2 Lemodèle Ising-Star. . . 14

2.2.1 Lemodèle de gaz sur réseau dans un ontexte astrophysique. . . 14

2.2.2 Implémentation de l'intera tion nu léaire. . . 16

2.2.3 Implémentation de l'intera tion Coulombienne. . . 16

2.2.4 Isomorphisme ave le modèle d'Ising. . . 18

2.2.5 Lemodèle IsingStar à température nie. . . 20

2.3 Propriétés thermodynamiques de la matièred'étoile.. . . 23

2.3.1 Diagrammedes phases pour une matièreneutre etune matière d'é-toile hargée. . . 23

2.3.2 Étude de la riti itéde la matièred'étoile. . . 24

2.4 Con lusionset perspe tives. . . 29

3 Groupe de renormalisation. 31 3.1 Introdu tion. . . 31

3.2 Transformation générale du groupede renormalisation. . . 32

3.3 Appli ationde la TGR au as du réseau triangulaire. . . 38

3.4 Appli ationde la TGGR aumodèle Ising Star. . . 41

3.5 Con lusion etperspe tives. . . 42

4 Le modèle FMD. 43 4.1 Introdu tion. . . 43

4.2 Présentation du modèleFMD. . . 45

4.2.1 Prin ipe variationnel dépendant du temps. . . 45

4.2.2 Choixdes étatsàune parti uleet onstru tionde lafon tiond'onde globaledu système. . . 47

4.2.3 Constru tionde l'opérateurdensitéà un orps etde ses dérivées. . 49

4.2.4 Expression de la valeur moyenne d'une observable à un orps ainsi ses dérivées. . . 52

4.3 Connexion ave lemodèle TDHF. . . 53

4.4 Implémentationde l'intera tion nu léaire.. . . 57

4.4.2 Généralisationdes observables à un orps quel onques. . . 61

4.4.3 Restauration de l'invarian e Galiléenne.. . . 64

4.4.4 Dérivation systématiquedu hamp moyen. . . 68

4.5 Implémentationde l'intera tion Coulombienne.. . . 70

4.5.1 Cal uldu terme dire t. . . 70

4.5.2 Cal uldu terme d'é hange.. . . 71

4.5.3 Eet de l'intera tion Coulombienne sur leséquations de mouvement. 71 4.6 Réalisationnumérique. . . 72

4.6.1 Lemodèle dynamique. . . 72

4.6.2 Lemodèle statique. . . 87

4.7 Con lusion. . . 89

5 Appli ation du modèle FMD à la stru ture nu léaire. 91 5.1 Introdu tion. . . 91

5.2 Implémentationde l'intera tion Coulombienne.. . . 92

5.2.1 Prin ipe de la méthode. . . 92

5.2.2 Appli ationnumérique. . . 93

5.3 Etude des états fondamentaux de quelques noyaux. . . 95

5.4 Etude des résonan es géantes monopolaires. . . 104

5.4.1 Introdu tion. . . 104

5.4.2 Prin ipe de la méthode. . . 104

5.4.3 Appli ations numériques. . . 105

5.5 Con lusion. . . 114

6 Thermodynamique des systèmes nu léaires nis. 117 6.1 Introdu tion. . . 117

6.2 Ensemble statistiqueet hoixdu thermomètrenu léaire. . . 118

6.2.1 Prin ipe de base. . . 118

6.2.2 Cas du système àdeux niveaux : le spin

1

2

. . . 120

6.2.3 Cas de l'os illateurharmonique. . . 122

6.2.4 Connexion entre un spin J etl'os illateur harmonique. . . 123

6.2.5 Résultatsnumériques. . . 125

6.3 Pro édure systématique. . . 129

6.3.1 Choix du type de ouplage entre le thermomètreetle uide nu léaire.129 6.4 Étude de l'ergodi itédu système. . . 134

6.4.1 Introdu tion :Phénomènes ergodiques et haotiques. . . 134

6.4.2 Se tionde Poin aré. . . 136

6.4.3 Spe tre en fréquen e. . . 137

6.4.4 Cal ulde l'exposantde Lyapunov. . . 143

6.5 Etude thermodynamique du noyaud'hélium4. . . 149

6.5.1 Cal ulde lafon tion d'auto orrelation. . . 149

6.5.2 Courbes aloriquesdu noyau d'hélium4. . . 151

6.6 Con lusion. . . 157

7 Appli ation du modèle FMD à la matière d'étoile. 159 7.1 Introdu tion. . . 159

7.2 Implémentationdes onditions de Blo h. . . 160

7.2.2 Implémentation dans le adre du modèleFMD. . . 163

7.3 Implémentationde l'intera tion Coulombienne.. . . 165

7.4 Con lusions. . . 167

8 Con lusions et perspe tives. 169 A Elements de matri es et densités lo ales du modèle FMD. 171 A.1 Etat àune parti uleetses dérivées premières dans la représentation

|~ri

.. . 171

A.2 Matri e de re ouvrement. . . 172

A.3 Dérivées premières des éléments de la matri ede re ouvrement. . . 173

A.4 Dérivées se ondes des élémentsde lamatri e de re ouvrement. . . 174

A.5 Energie inetique. . . 175

A.6 Os illateur harmonique. . . 176

A.7 Piége en

~r

4

. . . 177

A.8 Tenseur

A

µν

.. . . 178

A.9 Expressions des densités lo aleset de leurs dérivées. . . 179

A.9.1 Densité de parti ules. . . 179

A.9.2 Densité d'énergie inétique. . . 180

Introdu tion.

Le on eptd'étoileàneutronsavulejourdanslesannées20grâ eàL.Landau[1℄,tout desuite aprèsladé ouvertedu neutronpar J.Chadwi k. Depuis,laphysiquedes étoileset proto-étoiles à neutrons a onnu d'énormes avan és [2, 3℄.Il s'agit à l'heure a tuelled'un sujetextrêmement vaste à l'interfa e entre plusieurs dis iplines telles que l'astrophysique, la physique nu léaire, et la matière ondensée. En parti ulier l'étude des mé anismes de refroidissement des proto-étoiles vers les étoiles à neutrons est un domaine d'étude très omplexe qui fait en ore l'objet de nombreux travaux théoriques et observationnels. La stru ture interne de es étoiles ainsi que les diérentes phases de la matière nu léaire qui les onstituent sont très débattues à l'heure a tuelle. Une di ulté ultérieure à la des ription vient du fait que pour es objets la stru ture est fortement ouplée à des propriétés de transport. En eet la matière d'étoile est soumise à un pro essus omplexe de ompression,rebondetpropagationde ho .Ellesubitdesmouvements olle tifsetune dynamiquede refroidissementsur desé hellesde tempstrès diérentes etave un prolde densité omplexe. Même à l'équilibre, nous savons aujourd'hui que les étoiles à neutrons peuventêtre enrotation,subirdes phénomènesd'a rétiondanslessystèmesbinaires,être lesiègede hampmagnétiques olossauxetdephénomènesviolentsd'éruptionensurfa e.A la omplexitédes mé anismesen jeus'ajoutelefaitquenos onnaissan es empiriquessont en oreinsusantes etdisparates.Lebut prin ipalde ette introdu tionest de donnerune vued'ensembledesdiérentsphénomènesphysiquesquitournentautourdelaphysiquedes étoilesàneutrons,etquisontpertinentspour letravailde ettethèse.Nousdé rironstout d'abordqualitativement,l'ensembledesdiérentesétapesintermédiairesquipermettentla formationde la proto-étoile,ainsi que elles luipermettantd'atteindre l'étoileàneutrons. Nousévoqueronségalementl'undesmajeursproblèmesirrésoluspermettantlades ription du pro essus de refroidissement, tout en posant la problématique qui va nous intéresser. Nousterminerons en présentantd'une manièregénérale letravailréaliséau oursde ette thèse, dont le but n'est pas de donner une réponse dénitive à ha une des questions posées, mais plutt des éléments de réponse permettant d'évoluer dans la ompréhension des problèmes tournant autourde ette physique.

1.1 De la proto-étoile à l'étoile à neutrons.

Le pro essus de formation des proto-étoiles à neutrons part des étoiles dont la masse est supérieur ou égale à approximativement huit fois la masse solaire. La stabilité de es dernières est maintenue grâ e à un équilibre hydrostatique ara térisé par la ompétition

qui existe entre l'intera tion gravitationnelle, et la pression induite par les réa tions nu- léairesau oeurde l'étoile.Lors de la n de viede es étoiles, 'est àdire lorsqu'elles ont brûlél'ensemblede leur sto k d'hydrogènepermettantlamajoritédes réa tions nu léaires internes, il y a rupture de et équilibre hydrostatique. L'intera tion gravitationnelle ne pouvant plusêtre ontrebalan ée,l'étoile nitpar s'eondrer sur elle-mêmeen l'espa ede quelquesminutes.Lorsde ettephasede ollapse,ladensitéde matièredel'étoilepasse en-vironde

10

9

à

10

14

g/ m

3

, equipermetde re-hausserleniveau deFermi del'ensembledes onstituantsde l'étoile,etpar onséquent quiinduitdesréa tions de aptureéle tronique. L'étoile va don passer d'une matière nu léaire symétrique essentiellement onstituée de noyauxdefer,àuneétoileplusdenseetplusri heen neutrons,dontlafra tionprotonique sera de l'ordre de 1/3. Cet objet dense et haud est ara térisé par une température at-teignant etsurpassantla vingtainede MeV. Eneetlorsdu ollapsede l'étoile,la densité de matièreest telle, quelesneutrinosproduits lorsdes réa tionsde aptures éle troniques restent entièrement piégésàl'intérieurde l'étoile, e qui onduitàson ré hauement. Une fois etteétapeterminée,ilvayavoirunephasede rebondsuivieparlapropagationd'une onde de ho qui onduità l'explosionde l'étoile, sous laformed'un événement de super-novae de type II. A l'arrière du ho reste un noyau dense et haud de matière : 'est la proto-étoileàneutrons. La formationde lasupernovaeest un pro essusau ours duquel il y a àla foisexpulsion de l'atmosphère externede laprotoétoile,et une émissionsoudaine des neutrinos qui ontété piégés au ours de laphase de ollapse.Une fois l'explosion ter-minée, la proto étoile va refroidir lentement pendant une durée de plusieurs années, au ours desquelles le refroidissement s'opère par émission progressive de neutrinos jusqu'à atteindre l'état d'étoile à neutrons qui est une étoile froide essentiellement onstituée de neutronsave unfra tionprotoniquedel'ordrede0.2,etdontlatempératureestde l'ordre d'unedizainedekeV. Lagure(1.1)est un s hémaré apitulatifde l'ensembledus énario.

Fig.1.1S héma ré apitulatifregroupantlesdiérentes étapes de formationde la proto-étoile, en passant par la supernovae, jusqu'à l'étoileà neutrons.

Ladynamiquede esdiérentspro essusestdé ritepardesmodèlesd'hydrodynamique. Ces modèles arrivent à l'heure a tuelle à prédire le ollapse, la phase de rebond, et la réationdel'ondede ho [4,5,6℄.Néanmoinslaglobalitédes al ulsthéoriquesmontreque

etteondede ho estrésorbéeassezrapidement[6℄, equiimpliquedon quel'ensembledes modèles sont dans l'in apa ité de reproduire lemé anisme d'explosion, etpar onséquent la formation de la supernovae. Lors du pro essus d'explosion, l'onde de ho représente une très faible proportion de l'énergie mise en jeu lors du ollapse, et la majeure partie de elle- i se trouve essentiellement gouvernée par les neutrinos. Seule une onnaissan e détaillée des probabilités d'intera tion des neutrinos ave la matière permettra don de omprendre quantitativement le phénomène d'explosion. L'une des possibilités proposée par J. Margueron et al. [7℄, serait d'avoirun piégeage ompletdes neutrinos dans l'é or e interne de la proto-étoile, lors de la phase d'expansion de l'onde de ho . Si l'on pouvait justierd'unphénomènephysiquequi onduitpendantdestemps ourtsàuneforteopa ité de lamatièreauxneutrinos, lapressionexer éepar lesneutrinos pourraitdon ontribuer à aider l'onde de ho à s'étendre, etreproduire le mé anisme d'explosion. C.J. Horowitz et al. [8,9℄,et H. Sonodaet al. [10℄ ont réalisédes al uls de se tion e a e d'intera tion des neutrinos ave la matière d'étoile présente dans l'é or e interne des protoétoiles. Ces travaux ont démontré que la probabilité de piéger les neutrinos augmente ave la dis-homogénéité de la matière. La se tion e a e d'intera tion élastique

σ(~q)

des neutrinos ave lamatièred'étoileprésentedansl'é or eestproportionnelleaufa teurdeforme

S(~q)

:

σ(~q) ∝ S(~q)

(1.1)

oùlefa teurde formeestdéniparlatransforméedeFourierdelafon tionde orrelation:

S(~q) =

1

(2π)

3/2

Z

d

3

~re

i~

q.~

r

< ρ(~r)ρ(0) >

(1.2)

Si l'on a roît les dis-homogénéités de la matière d'étoile de l'é or e, alors on aura une augmentation des orrélations, etdon de la se tion e a e d'intera tion. La gure (1.2) résume les al uls de se tion e a e réalisés par C.J. Horowitz. Une possibilité intéres-sante d'avoir un piégeage omplet des neutrinos sur de larges é helles, se vérierait lors du passage par un point ritique pendant le refroidissement de l'étoile. En eet, pour un phénomène ritique la fon tion de orrélation diverge, e qui implique qu'il en sera de mêmepour lefa teurde forme,etpar onséquentpour lase tione a e élastique d'inter-a tion.Ilapparaîtdon importantd'étudierlespropriétésthermodynamiquesdelamatière d'étoile, et d'en extraire le diagramme des phases an de déterminer si elui- i présente des instabilités et/ou des points ritiques. Le but de e travail de thèse est d'apporter des informationssurla thermodynamiquede lamatièred'étoile,quipourraientinuersur le pro essus de refroidissement de la proto-étoile. Nous allons maintenant onsa rer une partie plus détailléesur la motivationde e travail de thèse.

Fig.1.2 Fon tionréponsede lamatièred'étoileobtenue àl'aide de al ulde dynamique molé ulaire lassique [8℄. Il est lairement montré que plus la matière d'étoile présentait des dis-homogénéités, plus la se tione a e tendaità être importante.

1.2 Motivation : étude des transitions de phases de la

matière d'étoile.

Lesétoiles(T

∼

0MeV)ouproto-étoiles(T>0MeV)àneutrons,sontdesastrestrèsdenses dontlerayonmesureunedizainedekilomètres,etdontlamasseestde l'ordred'unemasse solaire.Lasolutionde l'équationde Tolman-Oppenheimer-Volko[11, 12℄, qui orrespond àl'équilibrestatiqued'unobjet ompa tauto-gravitant,permetd'a éderauprolde den-sité de l'étoile.Ce prol dépend de façonessentielle de l'équationd'état de lamatière.Du point de vue qualitatif, e prol orrespond à une densité qui peut fortement dépasser la densitéde saturation

ρ

0

dans le entre de l'étoile,quand l'é or eest àdensité

ρ < ρ

0

. Dif-férentesphasesdelamatièrenu léaireontétépréditespardenombreuxtravauxthéoriques [2,3℄, etlagure (1.3) nous en donne un aperçu global. La oupetransverse nous montre que pour le oeur de l'étoile, dont la densité est de l'ordre de trois fois la densité

ρ

0

, une phase dé onnée de la matière nu léaire, le plasma de quarks etde gluons est prédite. Si ons'éloignedu oeur, onretrouveune matièrenu léairehomogèneàdensités de l'ordrede

ρ

0

étendue sur plusieurskilomètres,pourenn atteindre l'é or ede l'étoilequine fait que quelques entainesde mètres,puisennl'atmosphèrede l'étoile.Cha une de es phasesde lamatièrenu léaire onstitueen elle-mêmeunprojetde re her he àpartentière.Lapartie de l'étoilequinousintéressedans le adre de e travailest l'é or e, et 'est elle- iquifera l'objet de notre étude. Cette dernière est une matière onstituée de neutrons, de protons, et d'un gaz d'éle trons ultra-relativistes et degenerés neutralisant la harge des protons [14℄. Nous appellerons l'ensemble de es onstituants matière d'étoile. Bien qu'il s'agisse

Fig. 1.3  Figurereprésentant la oupetransverse de l'étoileà température nulle[13℄.

d'unematièretrèsdenseàl'é helleatomique,elleapparaît ommeunematièrerelativement diluéed'un pointde vuede la physique nu léaire,oùladensitépeut aller de

ρ

0

à

1/100ρ

0

. Ces faibles densités vont permettre la réation de phases dishomogènes. J.C.Pethi k et D.G. Ravenhall [15, 16, 17℄ ont ee tué des premiers al uls de hamps moyen de type Hartree-Fo kpour lamatièred'étoileàtempératurenulle.Lesrésultatsde estravauxont introduitl'idéede l'existen e dephases exotiquesdansl'é or edesétoiles,appelées phases "pasta" à ause de leurs stru tures géométriques. Le s héma (1.4), représente l'évolution en fon tionde la densitéde la matièrenu léaire de l'é or e, qui présente progressivement des stru tures en forme de "gruyère", de "tubes", de "lasagnes", de "spaghetti", et de "bulles". L'existen e de es phases exotiques est due au phénomènede frustration engen-dré par la ompétitionentre l'intera tion nu léaireetl'intera tion Coulombienne,dontles intensitéssontdu mêmeordredegrandeurà esbassesdensités.Néanmoins es al ulsont été réaliséspourdestempératures nulles,etilsera intéressantd'explorerlediagrammedes phases à des températures nies an de vérier si es phases exotiques persistent. L'une des autres motivationsest d'allerau delà du hamp moyen an d'in lure des orrélations.

Fig. 1.4  S héma représentant la oupe transverse de l'é or e de l'étoile à température nulle. De la plus haute densité à la plus basse, on passe progressivement à des stru tures en forme de "gruyère", de "tubes", de "lasagnes",de "spaghetti",et de "bulles".

Plus ré emment, d'autres appro hes plus sophistiquées basées sur la dynamique molé u-laire ontété proposées par C.J. Horowitz etG. Watanabe[8,18,19℄, etelles ont onrmé l'existen e des es phases exotiques à très basses températures. Dans la plupart de es appro hes, lediagramme des phases aété exploré dans une très faible portion,et les pos-sibles impli ationsde es stru tures sur lespropriétés observationnelles des étoiles restent presque entièrement à faire.La motivation prin ipale de e travail de thèse est d'explorer le diagrammedes phases de la matière d'étoile,et d'essayer d'établir les onnexions entre es diérentes phases exotiques. L'une des autres motivations importantes est d'étudier si ettematièred'étoileprésenteounonunpoint ritique.Nousmontreronsquelafrustration Coulombienne aune inuen e importante sur lathermodynamiquede la matièred'étoile. Il faut égalementremarquer que les appro hes proposées par C.J. Horowitz etG. W atan-abesont des appro hes essentiellement lassiques. Il seraitdon intéressant de réaliserdes al uls plus réalistes à l'aide d'appro hes fermioniques, et e i an de ommuniquer des données thermodynamiques quantitatives utiles aux al uls hydrodynamiques modélisant l'évolution de l'étoile.

1.3 Résumé du travail présenté.

Le travail de ette thèse porte sur l'étude thermodynamique de la matière d'étoile présentedansl'é or edes protoétoilesetétoilesàneutrons.Ilsediviseen deuxparties,une première portant surlesappro hes lassiques,etune se onde sur uneappro he quantique. Le hapitre 2 on ernant les appro hes lassiques propose d'explorer le diagramme des phases à l'aide d'un modèle s hématique de gaz sur réseau adapté au ontexte as-trophysique. Au un ingrédient de physique nu léaire, ni de mé anique quantique n'a été in lus,mais larésolution de e modèleest exa te, etiltient omptede l'ensembledes or-rélations. Ce dernier va nous permettre d'obtenir des premières informationsqualitatives sur la phénoménologie des transitions de phase pour la matière d'étoile. L'inuen e de la frustration Coulombienne est dis utée, ainsi que les possibles impa ts qu'elle pourrait avoir sur les mé anismes de refroidissement, et d'explosion de l'étoile. Il est notamment démontré au oursde ettepartiequelamatièred'étoileest ara tériséeparunetransition de phase de type liquide-gaz, et que l'inuen e de la frustration Coulombienne supprime tout phénomène ritique aupointlimite de latransitiondu premier ordre.Un formalisme basésurlegroupederenormalisationestensuitedéveloppéau hapitre3pourlessystèmes en intera tion à longueportée. Ce derniervaêtre employéan d'appuyerl'argumentation

développéeàl'aidedumodèlede gazsurréseau.Ilnousdonneraégalement ertainsindi es supplémentaires sur l'inuen e de l'intera tion Coulombienne sur la phénoménologie des transitions de phase, et plus parti ulièrement elle que pourrait avoir la polarisation des éle trons sur l'existen e du point ritique.

L'appro he quantique est basée sur le modèle FMD. Ce dernier résout les équations de mouvement pour un système de fermions en intera tions, où les états à une parti ule sontapproximés ommeétantdes gaussiennes.Le hapitre4est onsa rée audétailsde la dérivation du formalismedéjà établi par H. Feldmeier[20, 21, 22℄, qui dans notre as est reformulé dans un formalisme Skyrme Hartree-Fo k. La résolution numérique des équa-tions de mouvements est détaillée, et de nombreux tests numériques sont réalisés an de le valider. Le hapitre 5 est ensuite onsa ré aux appli ations du modèle à la stru ture nu léaire,oùdes al ulsd'étatsfondamentauxetderésonan es géantes monopolairessont réalisés pour quelques noyaux.Avant d'ee tuer tout al ulde thermodynamique pour la matièred'étoile,le hapitre6se propose de ommen erpar un as simplequiest elui des noyauxnis. L'implémentationd'un thermomètrenu léaire an d'extrairelatempérature du système nu léaire est dis utée. Des tests d'ergodi ité du système nu léaire sont égale-mentprésentés. Finalementun premieraperçu dudiagrammede phaseest obtenuàpartir des ourbes aloriques.Un al ulexploratoireestprésentépourunnoyaud'Hélium4,et e i ave diérentes paramétrisationsdel'intera tionde Skyrme.Un al ulde ourbe alorique est également réalisé ave l'intera tion Coulombienne an d'en tester l'inuen e de ette dernière sur la thermodynamique du noyau. Enn le hapitre 7 propose une ébau he du formalisme qui permettra à terme de traiter numériquement le problème quantique de la matièreinnie d'étoileà l'aide du modèle FMD.

Thermodynamique de la matière

d'étoile à l'aide d'une appro he Ising.

2.1 Introdu tion.

Depuis environ unetrentaine d'années, de nombreux travauxthéoriques ont permis de prédire que la matière nu léaire innie en l'absen e d'intera tion Coulombienne est ar-a térisée par une transition de type liquide-gaz, de telle sorte que l'on pourra distinguer deux phasesainsi qu'unezone de oexisten e. Cettezonede oexisten eseterminepar un point de transition du se ond ordre ara térisé par une divergen e des longueurs de or-rélation.Dansun telpoint,lepotentielthermodynamiqueainsi queses dérivées premières sont ontinues, tandis qu'au moins l'une de ses dérivées se ondes présenteune dis ontinu-ité. On passe don de façon ontinue d'une phase à l'autre sans que l'on puisse parler de oexisten e des deux phases. Laprésen e d'une transitionde type liquide-gazest due à la forme spé ique de l'intera tion nu léon-nu léon. En eet l'intera tion forte responsable de la ohésion nu léairesemanifeste parun potentielà ourteportée età oeur dur. Pour etteraison,lamatièrenu léaireadmetqualitativementlamêmephénoménologieque elle d'un uidede Van-Der-Waals, etl'on pourraassimilerl'intera tion nu léaire ommeétant analogue à un potentiel de Lennard-Jones [23℄. Du point de vue théorique, la transition liquide-gaz appartient à la lasse d'universalité d'Ising, 'est à dire que l'on peut extraire les mêmes exposants ritiques que eux du modèle d'Ising. Si l'on her he à modéliser de manièrequalitativelaphénoménologiedes transitionsde phasesdelamatièrenu léaire,on pourra don utiliser un modèle appartenantà la lasse d'universalité d'Ising. Unex ellent modèle permettant de réaliser e genre d'études est le modèle de gaz sur réseau [24℄, iso-morpheau modèle d'Ising. Ce modèle lassique néglige l'aspe t fermioniquedes nu léons, mais il est néanmoins un modèle très puissant. En eet, il permet de réaliser des al uls exa ts à température nie au delà du hamp moyen. La possibilité de réaliser des résolu-tionsnumériquesexa tesde lathermodynamiquedu modèleimplique queles orrélations, ainsi que les u tuations des diérentes observables peuvent être entièrement prises en ompte. Lemodèledegaz sur réseauestdon un très bon andidat sil'onsouhaiteétudier les signaux de transitions de phase de lamatière nu léaire. Néanmoinsan d'obtenir une modélisation orre tedelaphénoménologiedestransitionsdephasesdelamatièred'étoile, il nous sera né essaire d'in lure un ingrédient essentiel qui est le Hamiltoniende frustra-tion Coulombienne.Cedernierdevra tenir omptedel'intera tionCoulombienneentre les diérentesparti ules hargées onstituantnotreuidenu léaire,etnousdémontreronsque

son inuen e pourra modierla physiquede notresystème. L'eet du hampCoulombien danslathermodynamiquedesnoyauxnis aétépris en omptedansde nombreuseétudes su essives [25, 26,27,28, 29℄. Il aété onstaté quel'eet de lafrustration Coulombienne avait tendan e à modier de manière signi ative la thermodynamique des noyaux. Cela se manifeste par un abaissement du point ritique et une rédu tion de la zone de oexis-ten e. Dans e hapitre,nous développerons don un modèle de gaz sur réseau adapté au ontexte astrophysique, que nous appellerons le modèle Ising-Star. Nous bâtirons dans un premier temps notre modèle, tout en détaillant la onstru tion du Hamiltonien total du système dans le ontexte astrophysique, etnous hoisirons l'ensemblestatistique dans lequel noustravaillerons.Ensuitenousétudieronsleseets delafrustrationCoulombienne en omparantnosrésultatspour unematièred'étoile hargéeà euxpourunematière neu-tre. Nous illustrerons ette étude en exposant lediagramme de phases des deux systèmes. Enn nous terminerons notre travail en ee tuant des al uls de nite size s aling an d'extraire des informationssur l'existen e d'un point ritique pour lamatière d'étoile.

2.2 Le modèle Ising-Star.

2.2.1 Le modèle de gaz surréseau dansun ontexte astrophysique.

Les é or es des étoiles et proto-étoiles à neutrons sont essentiellement onstituées de neutrons, de protons, et d'un gaz d'éle trons ultrarelativiste dégénéré [14℄ neutralisant la harge des protons. Le modèle de gaz sur réseau que nous allons développer, devra tenir omptedesdiérentesintera tionsexistantes entre lesparti ules onstituantleuide nu léairedans e ontexte astrophysique.Il onsisteà onsidérerun réseau ubiqueàtrois dimensions de volume

V = L

3

. Chaque site

i

du réseau est ara térisé par son nombre d'o upation

n

i

. L'o upation est égale à 0 si le site est vide, ou égale à 1 si elui- i est o upé. Etant donné que nous nous intéressons uniquement à l'inuen e de la frustration Coulombiennesur laphénoménologie des transitionsde phases,nous négligerons leseets liés à l'isospin, et nous ne distinguerons don pas les protons et les neutrons. La matière d'étoileétantunsystèmeinni,onpeutdénirlesdensitésde hargeprotonique

ρ

p

=

Z

L

3

et baryonique

ρ =

A

L

3

telque haque site sera ounon o upé par un quasi nu léon de harge

q

p

= ex

,où

e

est la harge éle tronique,et

x

lafra tion protonique ave

x =

ρ

p

ρ

=

Z

A

.Nous supposeronsquelegaz d'éle trons est distribuéde manièrehomogènesur l'ensemblede la matièred'étoile[14,18℄.Par onséquentonpeutrépartirde manièreuniformela hargedes éle tronssur ha undes

N

sitesduréseau,detelsorteque

q

e

= −

Ze

N

serala hargeliéeaux éle tronssur ha undessitesdu réseau.Chaquesite

i

posséderaalorsune harge

q

i

= n

i

−

P

N

j

n

j

N

in luant la harge du nu léon ainsi que elle de la harge uniformément délo alisée des éle trons. La neutralité en harge doit être stri tement respe tée sur toute portion ma ros opique de la matière d'étoile [3℄, et e i an d'éviter une divergen e de l'énergie Coulombienne. Globalement le réseau est neutre de harge tel que

P

N

i=1

q

i

= 0

, mais lo alementla hargepeutu tuerdansdessous-domainesduréseau.Ilendé oulequenous devrons uniquement onsidérer l'intera tion nu léaire entre les nu léons, et l'intera tion Coulombiennenu léon-nu léon,éle tron-nu léon,etéle tron-éle tron.LeHamiltonientotal de notre système s'é rira sous la formesuivante:

H

Total

= H

Cin

+ H

Int

où

H

Cin

estleHamiltoniend'énergie inétiqueet

H

Int

leHamiloniend'intera tion, omposé d'une partienu léaireet d'unepartie Coulombienne :

H

Int

= H

n

+ H

C

(2.2)

Nous expli iterons par la suite plus en détail le Hamiltoniend'intera tion. On peut don é rire lafon tion de partition total du système dans l'ensemble anonique :

Z

Total

=

N

X

i=1

X

n

i

=0,1

Z

+∞

−∞

. . .

Z

+∞

−∞

d~p

3A

_{exp (−β (E}

Cin

+ E

Int

))

(2.3)

où

β

est l'inverse de la température. Etant donné que le Hamiltonien d'énergie inétique agituniquementdansl'espa edesimpulsionsetqueleHamiltoniend'intera tiondans elui des positions, la fon tion de partition total peut être fa torisée omme un produit d'une fon tion de partition ontenant les informationsliées à la dynamique de notre système et d'une autre ontenant ellesliées àl'intera tion :

Z

Total

= Z

Cin

Z

Int

(2.4)

On peut ainsi donnerl'expression de la valeur moyenne d'une observable

< A

k

>

Total :

< A

k

>

Total

= −

∂ log (Z

Total

)

∂λ

k

= −

∂ log (Z

Cin

)

∂λ

k

−

∂ log (Z

Int

)

∂λ

k

= < A

k

>

Cin

+ < A

k

>

Int (2.5)

où

λ

k

est le paramètre de Lagrangeasso ié àl'observable. La fon tionde partition orre-spondant à la partie inétique peut être à son tour fa torisée, ar elle ne ontient au un terme de ouplage entre lesnu léons etles éle trons :

Z

Cin

= Z

n

Cin

Z

e

−

Cin (2.6)

e quisetraduitpar l'additivitédes dérivées des logarithmesdes fon tionsde partitionssi l'on her he à onnaître la valeur moyenne de l'observable

< A

k

>

Cin telque :

< A

k

>

Cin

= −

∂ log (Z

Cin

)

∂λ

k

= −

∂ log (Z

n

Cin

)

∂λ

k

−

∂ log



Z

e

−

Cin



∂λ

k

= < A

k

>

n

Cin

+ < A

k

>

e

−

Cin (2.7)

On remarque que la partie inétique ontribue uniquement à ajouter un terme qui or-respond exa tement à la phénoménologie du gaz parfait pour les nu léons et elle d'un gaz de fermion ultrarelativiste et dégénéré pour les éle trons. La thermodynamique de es deux gaz libres étant bien onnue, la fon tion de partition asso ié ne présente pas de non-analy ité et n'a pas d'inuen e sur la phénoménologie des transitions de phases. Nous pouvons don nous aran hir du Hamiltonien d'énergie inétique. Etant ex lusive-ment intéressés par les transitions de phases de la matière d'étoile, nous nous limiterons par la suite à prendre en ompte uniquement le Hamiltonien d'intera tion, omme étant égal au Hamiltonien total. Nous allons maintenant nous onsa rer à la onstru tion des Hamiltoniensd'intera tion nu léaireet Coulombienne.

2.2.2 Implémentation de l'intera tion nu léaire.

Commenousl'avonsénon é lorsde l'introdu tionde e hapitre,l'intera tionnu léaire est uneintera tionde ourteportéeà oeur dur quiest asso iée àun systèmeappartenant à la lasse d'universalité d'Ising. Si l'on est uniquement intéressé aux propriétés ritiques de la matièred'étoile, ellepeut être approximée à l'aide du Hamiltoniend'Ising telque :

H

n

= −ǫ

X

<i,j>

n

i

n

j

(2.8)

oùlasommeportesurlespluspro hesvoisins,touten respe tantles onditionsauxlimites périodiquesande s'aran hirdeseets debords delaboite.Sileréseauestsusamment étendu, on reproduira ainsi ave une bonne approximation un blo de matière nu léaire innie.La onstanted'intera tionnu léaire

ǫ

peutêtre hoisiedetellesorteàreproduireles ordresdegrandeur pourlesénergies,quisont omparablesà eux delaphysiquenu léaire. En onsidérant que lorsque tous les

N

sites du réseau sont o upés, on doit retrouver l'énergiede saturation de la matièrenu léaire :

−

ǫ

N

X

<i,j>

= −3ǫ = −16.5MeV

(2.9)

Ce i impose pour l'ensemblede nos al ulsla valeur

ǫ = 5.5MeV

.

2.2.3 Implémentation de l'intera tion Coulombienne.

L'implémentationde l'intera tion Coulombiennedans le adrede notre modèleest as-sez déli ate. En eet le prin ipe de base est d'utiliser un réseau de taille nie, alors que la matière d'étoile que nous souhaitons modéliser est innie, et l'intera tion Coulombi-enne entre les parti ules hargées est de portée innie. L'implémentation de l'intera tion Coulombienne dans le modèle Ising-Star, onsiste dans un premier temps à répliquer de manière uniforme le réseau selon les trois dire tions de l'espa e an de reproduire une matière nu léaire innie, et ensuite à al uler toutes les intera tions possibles entre les parti ulesla onstituant.Notrete hnique estéquivalenteàlaméthode de sommation d'E-wald ourammentutilisée en physique de lamatière ondensée [30, 31℄. Si l'on réplique le réseau prin ipal

M

fois, on peut é rire simplement l'expression de l'énergie d'intera tion Coulombienne par réseau :

H

C

=

κ

2M

N M

X

i6=j

q

i

q

j

r

ij

(2.10) où

κ = α~cρ

1/3

0

x

2

est la onstante d'intera tion Coulombienne dépendant de la fra tion protonique

x

et de la densité de saturation nu léaire

ρ

0

. La densité de saturation est i i imposéeandexerlepasduréseaudetelsorteàretrouverlespropriétésdesaturationde lamatièrenu léairelorsqueleréseauestentièrementrempli.En hoisissant

ρ

0

= 0.16f m

−3

ladistan e entredeuxsites pro hesvoisinsseradonnéepar

r

0

= ρ

−1/3

0

= 1.842f m

.Sa hant

que l'on a utilisé l'approximation de réseaux répliqués et identiques, il en sera de même pour ha une des harges onstituants lesréseaux répliqués telque :

On peut ainsi approximerl'équation (2.10) par :

H

C

≈

κ

2M

N

X

i=1

N

X

j=1

M

X

~

n

q

i

q

j

|~r

ij

+ ~nL|

(2.12)

et l'on peut s hématiquement représenter le modèle par la guresuivante :

j

j

★

j

★

j

★

j

★

j

★

j

★

j

★

j

★

l

i

ο

i

ο

i

ο

i

ο

i

ο

i

ο

i

ο

i

ο

i

r

ij

★

r

ij

r

_i

ο

_j

★

Fig. 2.1  Représentation s hématique du réseau prin ipal uniformément répliqué dans l'espa eà deux dimensions où

i

0

_{= i + ~nL}

et

j

∗

_{= j + ~nL}

.

L'expression duHamiltoniend'intera tionCoulombienne(2.12)né essited'être manip-ulée, an d'ee tuer des al uls numériques. On peut la ré-é rire omme un produit des nombres d'o upations par un élément de matri e où:

H

C

=

κ

2

N

X

i=1

N

X

j=1

n

i

n

j

C

ij

(2.13)

Les élémentsde matri es

C

ij

représentent un potentield'intera tion Coulombienne renor-malisé entre deux nu léons du réseau,et ilsseront tabulés une foispourtoutes avanttout al ul Monte-Carlo. Ils tiennent ompte de l'é rantage du aux intera tions ave les éle -trons, ainsi que elles existantes ave lesparti ules appartenantaux réseaux répliqués. Le potentield'intera tion Coulombienne renormaliséest donnépar :

C

ij

= lim

M →∞

1

M

M

X

~

n

1

|~r

ij

+ ~nL|

−

1

N

N

X

k=1



1

|~r

ik

+ ~nL|

+

1

|~r

jk

+ ~nL|



+

1

N

2

N

X

k=1

N

X

l=1

1

|~r

kl

+ ~nL|

!

(2.14) où le premierterme traduitl'intera tion Coulombienne entre les nu léons, le se ond elle entre les nu léons et les éle trons, et le dernier elle entre les éle trons. La somme sur

~n

spé iequel'onréplique

M

foisleréseauuniformémentselonlestroisdire tionsdel'espa e. Nousavonsdémontré[32℄ àl'aidede développementsmultipolaires,quepourune distan e

de répliques dans ha une des trois dire tions de l'espa e sut amplement an d'obtenir une ex ellente onvergen e et e i pour des boites ayant un volume supérieur ou égale à

N = 5

3

. On peut égalementremarquer que es élémentsde matri esont symétriques :

C

ij

= C

ji

(2.15)

et que si l'ensemble du réseau est entièrement o upé, haque nu léon verra sa propre harge é rantée par elle de la harge éle tronique répartiesur le même site. Dans e as d'o upation omplète, lo alement on aura sur ha un des sites

i

du réseau une harge nulle, ainsiqu'unesuppressionglobalede l'intera tionCoulombiennequisereèteparune autre propriété des éléments de matri es

C

ij

où:

N

X

i=1

C

ij

= 0

(2.16)

quitraduitlaneutralitéglobaledusystème.La onditiondepériodi itédoitêtreégalement respe tée an de s'aran hir des eets de bords de laboite. On peut réé rirela onstante de ouplage

C

ij

sous une forme plus ompa te [32℄ :

C

ij

= lim

M →∞

1

M

M

X

~

n

1

|~r

ij

+ ~nL|

∗

−

1

N

N

X

k6=0

1

|~r

0k

+ ~nL|

∗

!

(2.17)

où l'astérisque indique que le réseau a la topologie d'un réseau à bords périodiques. Ce i orrespond à redénir la selon la ondition suivante :

∆x

ij

=

Min

(|x

ij

|, L − |x

ij

|)

(2.18)

pour haque dire tionde l'espa e. Ladistan e totales'é rit :

r

ij

=

q

∆x

2

ij

+ ∆y

ij

2

+ ∆z

ij

2

(2.19) Nous pouvons observer que la propriété d'invarian e par translation et respe tée ave la dénition(2.19):l'intera tionCoulombienneentredeux sitesnedépendquedeladistan e qui lessépare.

En traçant le potentiel Coulombien renormalisé (2.2.3), on peut onstater qu'il a une forme quasien

1/r

. Le terme d'auto-intera tion pour les distan es nulles est physique, et provientde l'intera tion d'uneparti uleave ses propresrépliques.Notre méthode perme-ttrait une implémentation exa te de l'intera tion Coulombienne pour la matière d'étoile tout en s'aran hissant des eets de bords du réseau,si ladistributionde lamatièreétait véritablement périodique. Ce i reste évidemment une approximation dans le sens où la longueur de orrélation sera restreinte par la dimension linéaire du réseau. Nous revien-drons sur etteapproximationà lan du hapitre.Après avoirformulélesexpressions des Hamiltoniensd'intera tion nu léaire et Coulombienne,nous allons maintenant étudier les relationsd'équivalen e entre le modèled'Ising etle modèle Ising-Star.

2.2.4 Isomorphisme ave le modèle d'Ising.

Unedes propriétés remarquablesdu modèlede gaz surréseau, etplus parti ulièrement elle de notre modèle dans e ontexte astrophysique, est elle d'isomorphisme ave le

Fig. 2.2  Représentation de la matri e

C

ij

al ulée pour 10 répliques, en fon tion des distan es dis rètes

r

ij

a essibles sur un réseau

V = 5

3

.

modèle d'Ising. En eeton peut retraduire la variable nombre d'o upation

n

i

d'un site

i

donné en terme de spin

s

i

= ±

1

2

où la onnexion entre es deux variable est simplement donnée par :

n

i

= s

i

+

1

2

(2.20)

On aura don une orientation up du spin si lesite est o upé,et une orientation down si elui- i est vide.On peut ainsiré rire l'ensembledes observablesde notresystème dans l'espa e des spins. Une des quantité les plus intéressantes à regarder dans et espa e, est la quantité

H

Total

− µA

, qui va nous donner la valeur du potentiel himique

µ

à imposer si l'on souhaite étudierla riti ité du système. Enutilisantles propriétés des éléments de matri e

C

ij

régis par leséquations (2.15) et(2.16), onpeut laréé rire telque :

H

Total

− µA = −ǫ

X

<i,j>

s

i

s

j

+

κ

2

N

X

i=1

N

X

j=1

C

ij

s

i

s

j

− (3ǫ + µ)

N

X

i=1

s

i

−

N

2

 3

2

ǫ + µ



(2.21)

et par identi ation, notre modèle est équivalent àun système magnétique en intera tion à ourte et longue portée, soumi à un hamp magnétique externe

B = (3ǫ + µ)

. On peut réexprimer l'équation pré édente omme:

H

Total

− µA = H

Ising

+ H

Coul

− B.M + C

(2.22)

où

M =

P

N

i=1

s

i

estl'aimantationdusystème,et

C

une onstante.Lemodèled'Isingapour paramètre d'ordre l'aimantation

M

qui doit s'annuler au point ritique. L'isomorphisme (2.21) montre que pour le modèle de gaz sur réseau, le paramètre d'ordre est la densité

ρ = (M/N + 1/2)

. Si l'on souhaite étudier la possibilité d'avoir un point ritique ave

ρ = 1/2

), 'est à dire que notre potentiel himique ritique devra respe ter la relation

µ

c

= −3ǫ

.

Le modèle Ising-Star peut être onne té au modèle ferromagnétique frustré par un terme d'intera tion Coulombienne[33,34℄, etqui est dé rit par le Hamiltoniensuivant :

H

Fe

= −ǫ

X

<i,j>

s

i

s

j

+

κ

2M

N M

X

i6=j

s

i

s

j

r

ij

(2.23)

En imposant la ondition

µ = µ

c

, la liaisonentre lesdeux modèles est donnée par :

H

Total

− µ

c

A = H

Fe

−

κ

2¯

r

M

2

_{+ N}

3ǫ

4

(2.24) où

1

¯

r

= lim

M →∞

1

M

M

X

~

n

1

N

N

X

k6=0

1

| ~

r

0k

+ ~nL|

∗

(2.25)

Dans le as où l'on ne onsidère qu'une intera tion entre pro he voisins, l'isomorphisme entre le modèle de gaz sur réseau dans l'ensemble grand anonique et le modèle d'Ising est parfaitement respe té [24℄. Si l'on revient au as des systèmes hargés donnée par l'équation(2.24), onremarque quel'isomorphismeentre lemodèle Ising-Staret lemodèle ferromagnétiquefrustréest uniquementrespe té sil'on imposela ontrainte

M = 0

.Cette ontrainte ne orrespond pas à la thermodynamique de l'é or e de la proto-étoile, ar ette dernière est dé rite pour des très faibles densités telles que typiquement

ρ < 1/2

, 'est à dire pour une aimantation preferentiellement négative. Toute fois si l'on travaille dans l'ensemblegrand- anonique onobtiendra toute une distribution de

M

,et onpourra par é hantillonnage onsidérer la réponse physique qui nous intéresse. Finalement il faut remarquerquelaprésen edutermenon-linéaire

M

2

vaae terdire tementla ourburede ladistributiondu paramètred'ordre, etdon modierlespropriétésdes phasesdu modèle Ising-Star qui est déni pour tout

M

par rapportau modèle ferromagnétique frustré qui n'estdéniquepour

M = 0

.Eneetilestbien onnuquelefaitd'imposerune ontrainte sur le paramètre d'ordre peut modier statistiquement la thermodynamique du système [35℄, et don a priori nous nous attendons pas dans le modèle Ising-Star à retrouver le même diagrammede phase quedans les travaux des référen es [33, 34℄.

2.2.5 Le modèle Ising Star à température nie.

L'ensemble multi-grand- anonique.

L'ensemblestatistiquedanslequel nousallons ee tuernos al ulsdoitêtre judi ieuse-ment hoisi,ettoutparti ulièrementsil'onsouhaiteremonteràl'intégralitédu diagramme des phasesdelamatièred'étoile.Lameilleurepossibilitéest d'obtenirdesspe tres en den-sité à diérentes températures. L'ensemblestatistique permettant de pro éder à e genre d'étude est l'ensemble grand anonique, où la probabilité d'avoir un état mi ros opique

(n)

donné est dénie par :

P

(n)

β, µ, E

(n)

, A

(n)

, V

=

exp −β E

(n)

_{− µA}

(n)

où

Z (β, µ) =

Z

W (E, A, V ) exp (−β (E − µA)) dEdA

(2.27)

où

E

et

A =

P

N

i=1

n

i

étant respe tivement l'énergie et le nombre de nu léons dénissant l'état mi ros opique,

W (E, A, V )

la densité des états, et

Z (β, µ)

la grande fon tion de partition du système. Si l'on her he à étudier l'inuen e de la frustration Coulombienne surlathermodynamiquedelamatièred'étoile,onpeutétendrel'ensemblegrand- anonique vers l'ensemble multi-grand- anonique [24, 27℄. Le prin ipe de base est d'attribuer à ha une des deux observables

E

n

et

E

C

, les paramètres de Lagrange

β

n

et

β

C

qui leur seront respe tivement asso iés. On peut ainsi réé rire la probabilité dans et ensemble telle que :

P

(n)



β

n

, β

C

, µ, E

n

(n)

, E

(n)

C

, A

(n)



=

exp



_−β

n



E

n

(n)

− µA

(n)



− β

C

E

_C

(n)



Z (β

n

, β

C

, µ)

(2.28) où

Z (β

n

, β

C

, µ) =

Z

W (E

n

, E

C

, A, V ) exp (−β

n

(E

n

− µA) − β

C

E

C

) dE

n

dE

C

dA

(2.29) En faisant varier es deux paramètres de Lagrange, on teste indépendamment l'inten-sité de ha une des deux intera tions sur la thermodynamique de notre système. En e qui on erne l'intera tion Coulombienne, l'ensembledes al uls vaêtre ee tué àfra tion protonique onstante

x = 1/3

, e qui onstitue une valeur typique pour les proto-étoiles à neutrons. Néanmoins lors du pro essus d'évolution de la proto-étoile, la fra tion pro-tonique est un paramètre dynamique qui évolue en fon tion du temps. Le fait de faire varier le paramètre de Lagrange

β

C

est équivalente à faire varier la fra tion protonique, ar l'on peut redénir à tout moment un nouveau paramètre de Lagrange

β

′

C

= xβ

C

. La modi ationdu paramètre de Lagrangeasso iéàl'intera tionCoulombienneest don une mesurede lavariationde lafra tion protonique.On peut remarquer quelorsque l'on on-traintla ondition

β

n

= β

C

,onretrouvel'ensemblegrand anoniqueusuel pourlafra tion protonique standard imposée à

x = 1/3

.Il en est de même lorsque l'onimpose

β

C

= 0

. Le asdelamatièrenu léaireordinaire(non hargée)estexaminépar ettedernière ondition.

Réalisation numérique du modèle : l'algorithme de Metropolis.

An de générer orre tement l'ensemble des événements onstituant l'ensemble statis-tique, l'ensemble des diérentes ongurations du modèle de gaz sur réseau sontobtenues par des al uls de type Monte-Carlo. L'algorithme utilisé est elui de Metropolis [36℄. Le prin ipe de la méthode est de partir d'une onguration

(1)

donnée. Ensuite nous séle -tionnons aléatoirement un site

i

du réseau, et on lui hange son nombre d'o upation. On obtient ainsi une nouvelle onguration

(2)

où les variations de l'énergie totale et du nombre de parti ules par rapport àla onguration(1)serontdonnées par :

∆E

Total

(1,2)

= E

(2)

Total

− E

(1)

Total (2.30)

∆A

(1,2)

_{= A}

(2)

_{− A}

(1)

(2.31)

Dansle as oùlavariationde laquantité

∆E

(1,2)

Total

− µ∆A

(1,2)

est négative,la onguration