QCM – Page 210

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Lycée Fénelon Sainte-Marie 1 - 3 M. Lichtenberg

QCM – Page 210

Question Q1 Æ Réponse a

En unités d’aire, l’aire du domaine considéré est égale à :

2 2 3 2 3 3

1 1

1 1 1 8 1 7

2 1

3 3 3 3 3

x dx=⎡⎢⎣ x ⎤⎥⎦ = × − × = − =

∫

L’unité graphique de chaque axe étant de 1

0, 5cm cm

=2 , une unité d’aire correspond donc à un carré de 1 1 ² 1 ²

cm cm

2 2 4

⎛ × ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

Ainsi, en cm², l’aire du domaine considéré est égale à : 7 1 7 3× =4 12. La réponse b est à rejeter car les bornes de l’intégrale sont inversée.

La réponse c est à rejeter car l’intégrale est multipliée par 4 au lieu de 1 4.

Question Q2 Æ Réponse b

Notons m cette valeur moyenne :

2 3 4 2 4 4

0 0

1 1 1 1 1 1 1 1

2 0 16 2

2 0 2 4 2 4 4 2 4

m= −

∫

t dt= ⎡⎢⎣ t ⎤⎥⎦ = ⎛⎜⎝ × − × ⎞⎟⎠= × × =

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Question Q3 Æ Réponse b

En utilisant la linéarité de l’intégrale, on a :

( ) ( )

3 3 3

1 1 1

3 2

1

2 2

3 3

2 2

3 1

2 2 2

1 1

3 3 1

2 2

3 9 1 2 3 4

1

f t t dt f t dt tdt

t

⎛ − ⎞ = −

⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤

= × − ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞

= −⎜⎝ × − × ⎟⎠

= − −

= −

∫ ∫ ∫

Question Q4 Æ Réponse a

Considérons la fonction ₃1 t6t −t.

On a facilement : ^t³^{− =}^t ^{t t}

(

²^{− =}¹

)

^{t t}

⁽

⁺¹

⁾⁽

^t⁻¹

⁾

^.

Pour tout réel t dans l’intervalle

[

^{4 ; 5}

]

^{, on a :}

• t>0.

• ^t^{+ ∈}¹

[

^{5 ; 6}

]

^{et donc}^t^{+ >}¹ ⁰^.

• ^t^{− ∈}¹

[

^{3 ; 4}

]

^{et donc}^t^{− >}¹ ⁰^.

Finalement, sur l’intervalle

[

4 ; 5 , le produit

]

^{t t}

(

⁺¹

)(

^t⁻¹

)

est strictement positif.

Ainsi, la fonction : ₃1

t6t −t prend des valeurs strictement positive sur l’intervalle

[

^{4 ; 5}

]

^et

l’intégrale ⁵ ₃

4

1 dt t −t

∫

est positive.

Question Q5 Æ Réponse c

Comme on a, pour tout réel t : ^0,1^≤ ^{f t}

( )

^≤¹, il vient : ² ²

( )

²

10,1dt 1f t dt 11dt

− ≤ − ≤ −

∫ ∫ ∫

^.

On a :

∫

₋²₁¹^dt⁼

[ ]

^t ²₋₁^{= − − =}²

( )

¹ ³ et donc : ² ²

10,1dt 0,1 11dt 0,1 3 0, 3

− = × − = × =

∫ ∫

^.

On a donc : ^{0, 3}^≤

∫

₋²₁^{f t dt}

( )

^≤³^.

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Question Q6 Æ Réponse c

En utilisant la relation de Chasles, il vient :

( ) ( ) ( )

( )

1 0 1

1 1 0

0 1 2

1 0

0 1

2 3

1 0

2 2 3 3

1 1

2 3

1 1 1 1

0 1 1 0

2 2 3 3

1 1

0 0

2 3

5 6

f x dx f x dx f x dx

x dx x dx

x x

− −

−

= +

= − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= −⎢⎣ ⎥⎦ +⎢⎣ ⎥⎦

⎛ ⎞

= − × − − × −⎜⎝ ⎟⎠+ × − ×

= + + −

=