Pot pourri de métrologie
JMDC septembre 2010 1 Définitions normalisées des incertitudes
Nous donnons le texte issu de la norme, texte qui n’est pas forcément des plus pratiques. Nous donnons ensuite une traduction
Incertitude de mesure (Norme NF X 07-001) : Paramètre, associé au résultat d’un mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées au mesurande.
Incertitudes type (Norme NF ENV 13005) : Incertitude du résultat d’un mesurage exprimée sous la forme d’un écart-type.
Incertitude élargie (Norme NF ENV 13005) : Grandeur définissant un intervalle autour du résultat d’un mesurage, dont on puisse s’attendre à ce qu’il comprenne une fraction élevée de la distribution des valeurs qui pourraient être attribuées raisonnablement au mesurande.
Traduction :
Une mesure (un « mesurage » en métrologie), donne un résultat entaché d’une erreur. Bien que l’erreur soit inconnue, on peut estimer statistiquement cette erreur avec un niveau de confiance. L’erreur aléatoire peut être caractérisée par son écart-type : il s’agit de l’incertitude type que nous noterons u. On définit alors un intervalle centré sur la valeur X de la mesure et de largeur . Plus k est grand, plus la probabilité (le niveau de confiance) que la vraie valeur soit dans l’intervalle
u k⋅
±
]
[X ±k⋅u est grande.
Exemple : L’aiguille d’un manomètre est entre deux graduations. Toute personne verra l’aiguille entre ces deux graduations, mais certains plutôt à gauche d’autre à droite. La seule chose dont on est sûr est d’être dans cet intervalle. En supposant que l’erreur de lecture suit une loi uniforme (légitime), on déduit que l’écart-type est
3 2
a où a représente une graduation.
Attention : il s’agit de l’erreur de lecture, l’appareil pouvant fluctuer de 10 graduations d’une mesure à l’autre !
Dans ce cas, un coefficient d’élargissement k=1 autour de la valeur centrale (demi-graduation) donne 57.7% de chances que la vraie valeur y soit. Un coefficient k = 3 donne 100%
Incertitudes de type A : Ce sont les incertitudes basées issues de l’expérimentation et/ou l’application de méthodes statistiques. Exemples : calculs d’écarts-types expérimentaux, formules de propagation.
Incertitudes de type B : celles qui ne viennent pas de l’expérimentation. Exemple : incertitudes issues de certificats d’étalonnage, incertitude de lecture entre deux graduations
2 Présentation des résultats
Ils se présentent ainsi (exemple d’une masse en grammes) :
Mesurande, incertitude type ou incertitude et coefficient élargissement) M=100.02147g et u=0.36 mg
M=100.02147(36)g M=100.02147(0.00036)g
M=(100.02147±0.00036)g risque de confusion
M= (100.02147±0.00072)g et k=2 (coefficient d’élargissement) Chiffres significatifs : Exemple, on trouve M=12.783997342 g et u=0.0673176 g Pour M on garde les chiffres exacts+les 2 premiers entachés d’erreur
Pour u on garde le 1er chiffre non nul et le suivant majoré Ici: M=12.784(0.068)g
Le coefficient d’élargissement n’a de sens que lorsqu’on connaît la loi (Gauss, Student, uniforme…). La troisième notation est selon moi à proscrire.
3 Incertitude sur la moyenne d’une série de mesures
Une manière de réduire l’erreur aléatoire est de faire la moyenne N mesures, que nous noterons xi et d’en faire la moyenne. Nous obtenons ainsi :
La moyenne expérimentale, qui sera la valeur supposée vraie :
∑
= xi
x N1 L’écart-type expérimental σE, défini par
( )
∑
−= − 2
2
1
1 x x
N i
σE
et qui caractérise la dispersion des valeurs du mesurande. Il tend vers une constante quand N tend vers l’infini.
L’incertitude type uxdéfinie par
(
−) ( ∑ − )
= ⋅
= 2 2
2
1
1 x x
N N
ux σNE i
Elle tend vers zéro quand N tend vers l’infini.
4 Loi de propagation
Si une grandeur A est fonction de plusieurs grandeurs indépendantes notées ai d’incertitudes types ui alors on a :
∑
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
= ∂ 2
2 2
i i
A u
a u y
Cas particulier de la somme : Si le mesurage comporte une erreur de lecture et une erreur due à l’appareil, on a tout simplement :
2 2 2
app lect
A u u
u = +
