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Submitted on 1 Jan 1906
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La pression hydrostatique et les deux équations d’état de la couche capillaire
Gerrit Bakker
To cite this version:
Gerrit Bakker. La pression hydrostatique et les deux équations d’état de la couche capillaire. J. Phys.
Theor. Appl., 1906, 5 (1), pp.550-556. �10.1051/jphystap:019060050055001�. �jpa-00241133�
- Ine variation sinusoïdale satisfaisant à l’équation
puisque la condition d’équilibre dans le fil est Il = Cte.
La fonction sinusoïdale, oscillant entre 11, et zéro, sera
D’où
Si .~ est très grand par rapport à a, l’intégrale cos f 21t ~ aclx
devient négligeable par rapport à :1:, et l’on a encore
Les deux hypothèses sur la loi de variation de H nous donnent u. = ,t.
La fonction de u à rendre maxima devient :
Le maximum est obtenu pour U2 =
;2’
Le rapport des unités, h, est l’inverse de la vitesse it de propaga- tion des ondes.
LA PRESSION HYDROSTATIQUE ET LES DEUX ÉQUATIONS D’ÉTAT
DE LA COUCHE CAPILLAIRE ;
Par M. GERRIT BAKKER.
§ 1. - l’r"~’.v,vrrm ~~~~y’~yLtl~l~rjlr~’ rtW ’riltZl~ (( lt~ s’tlï’~1C;8 de la ~Otl~~z~
ca~~tllccir’~,y’ ~. - La phase homogène d’un fluide à une température
donnée est déterminée à l’état d équilibre par la pressionp et le volume spécifique v ; la relation entre 1> et ?, s’appelle l’éqitatioiz d’êtai.
(1) Nous supposerons comme toujours que la couche capillaire est phnc cL qu’elle se trouve entre les phases hOll1ogènes du liquide et de la vapeur.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019060050055001
551
Nous avons vu que la pression ell ieiz ~~~~~~tt l~~teriezco de la couche
capillaii-e dépend de la direction,’> ; par suite. l’état d’équilibre
d’un point de la couche capillaire n’est pas, comme celui d’une
phase homogène, déterminé par la densité et une pression unique.
On peut démontrer de la manière suivante que la pression hy- drostatique est maxima normalement à la couche capillaire, minima parallèlement à celle-ci, la valeur maxima étant la même pour tous les points de la couche et égale à la pression de la vapeur saturée A cet effet, adoptons un système d’axes de coordonnées rectangu- laires, l’axe des z étant normal à la surface de la couche capillaire.
Soient Pxx, ~~~t,, Piz, les pressions connues de la théorie de l’élas-
ticité ; lorsqu’on fait abstraction des forces extérieures on a :
Dans la direction des axes des x et des y, le gradient des pro-
priétés de la couche capillaire est nul ; donc :
et par suite,
Dans les phases homogènes qui limitent la couche capillaire, on a :
, pxx - p~-3- = pzz = pression de lu B;1 PPUl’ saturée = p, ;
donc, en un point de la couche capillaire, on a aussi :
pz= = Cte = pl = pression de la vapeur saturée.
~ 2. - Pression hJdros~ali~2~e parallèle ri la surfaCe de la cotiche
- ’:
. capillaire. - Si l’on représente par -
f e r Â
la force attractive der
deux éléments de volume placés à la distance r, on trouve pour les cohésions S, et S2 respectivement normale et parallèle à la surface de la couche capillaire (’-’) :
et
Dans ces expressions, V est le potentiel des forces d’attraction (1) J. de Phys., 3e série, t. IX, p..~00 ; 1900.
(2) J. de Ph!ls., 3e série, t. IJ~, p..~00 ; 1900.
Il différentielle de l’élément de normale h à la surface de la cuucl ~ capillaire.
Dans t >it= direction, la pression hydrostatique est la différence
entre la pi~>;siuii thermique li et la cohésion S :
d’ 0 il " 1) :
A température donnée, la pression y, de la vapeur saturée est une constante ; on aura donc en différentiant ’2B:
soit,L le potentiel thermodynamique d’une phase homogène de den-
sité égale à celle du point considéré de la couche capillaire; on sait
que l’on a ~2) :
l’indice 1 se rapportant à la phase homogène liquide. En éliminant d2V l, . (3) et !.’ 1 vient en remar uant quc ‘?;~~’î.~-’ - (j
-y-~ dh~ entre les équations (3) et (4), 1 il vient en remarquant que .
est le coefficient de la pression moléculaire de Laplace 31 :
Si l’on remarque que la pression thermique 0(-*) donne :
on a :
(1) .J. le 1>hi/s., k° série, t. ’1, p. 108 : 1902. ~-- Par erreur, il y est écrit : « en se servant de la fonction potentielle - ~’ ~_~u. » ~ SUtf ~l~tl)~r’ ,i~((~ti~’r P r~r~m i ~rlc~, ~ , Il faut t
° ’
italiques I, j>. li>1 l
~BJ l ~~’tn . t. 1~’, I~. 1~
(~) J. t~ "l’rit’, t 1. p. III" 3’série, t. B’111. 11 ~;;1S~9.2013
‘~Olr 8ll~~1 ~ ~’~t ·~ IW . ~lll’ yJt~S. ~~jtr’mr.. 1-~..~ E~ t*S:1894.
553
En adoptant la formule de Van der ii’aals pour la pression ther-
D ~T
mique. ~ - ~RT z-b d’où par suite on a :
. FiG.l.
Or j’ai démontré (1) que 2013~ est négatif pour tout point de la couche
.11 ’ 1 "l’ , .6/~ r/n~ d 1 ...
capillaire ; ~ comme v == il s’ensuit dÉ > 0; 2013’ a donc le même
p ~A ~A ~
signe que u. 2013 (1-,. (considérons l’isotherine théorique de James
Thomson et la partie rectiligne de 1"isotlieriiie réelle I4K. Soit F le
point qui satisfait à la condition :
surface NHCMN = surfcu - 1.1",_il 1,.
Aux points H, K et F, le potentiel thermodynamique a la même
(1) .~o~tale~t clen I’h~fsik, 4" série, t. XVII. p. 411 et ..18: 1905.
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valeur -L, : par conséquent, aux points de la couche capillaire où la
Ù ’.. Ù. 1 1 ,les point, l J 1 ~ 1, el?~., = o.
densité est identiqu’ ’ des points M. K et F. , ~ )c i 0.
Considérons la /Ig, r; (pu représente la variation en fonction de h
de la pression P2 parallèle à la surface de la couche capillaire.
AB représenta 1 ’ paisseur de la couche capillaire ; en A et B, on
doit avoir 1). i Pt - AR - BS. Le point correspond au point F de
l’isotherme théorique, car
dl;
0.Entre R et Q il doit y avoir un point d’innexton 1; entre S et Q, il y a un autre point d’inflexion Y.
La constante capillaire H, de Laplace étant donnée, comme je l’ai
montré ~’~ par la relation :
est représentée par l’aire Rl’(.~~’Sl~. Je dis que cette aire équivaut à la
moitié du rectangle RU~’S. En effet, soit p la pression correspondant
au point F de la fig. 1 (point Q de la lîg. 2) j’ai trouvé la relation (2) :
p3 étant la valeur minima des pressions p.,. De plus, on a (3) :
Il s’eusuit :
ce qui dt’ln1ontre la proposition énoiicée plus haut.
; :L - Les de2~4~.1 e’quations d’état de la couche ccryitlcci~-e. - Si on
veut rattacher les propriétés de la couche capillaire à celles de l’iso-
therme théorique, il ne faut pas exprimer ~_, en fonction de IL, mais,
au cuntraire en fonction du volumo spécifique v - 1 ; e , c ’ est ce que (t) J. de l’
~
~~, t. 1 B. l’ ¡II;. . 1, .()o.
(2) J. tif’ 1 1 II’. t. N , p. IL~4 ~I~~quation (14a)J ; 1906.
(3) J. t" "-/ lIt’. t. Il, p. 358 [équation ~7)]; 1903.
555 nous allons faire maintenant. Des expressions i ~ et ’ i a’, on tire :
D autre part, on a, en adoptant pour 9 l’expression de Van der Waals :
--
d’où, en migrant par parties, et l’indice 1 se rapportant à la phase homogène du liquide :
Remplaçons dans (i0) V par sa valeur en fonction de v et remarquons
que :
il vient :
A température constante, l’équation t11 ) donne la relation qui
existe entre P2 et v.
Si l’on représente les deux phases homogènes du liquide et de la
vapeur saturée par l’équation classique de Van der NN’aals :
l’état d’un point à l’intérieur de la couche capillaire est donné
par (1 i) et par
pf = Cte = pression de la vapeur saturée,
la première équation se rapportant à une direction parallèle, la
seconde à une direction normale à la surface de la couche capil-
laire.
On pourrait refaire les calculs précédents en utilisant les équations
d’état de Boltzmann, Reinganum, van Laar et Jaeger.
L’équation (11) ne se prêtant pas facilement à la discussion, nous
allons étudier directement les quotients dilfé>rentiels d¡P’2 ( b et 2013~’(IV
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L’équation f ~ peut s’écrire :
CI P, d 1 ..’ - -1 ’ . li,2 .
~~p3 a donc le même signe que ’1. - u, ; il s"ensuit que 2013~7 qui est
d t~ ’ ~ ’ ‘ ~ ( t’
nul aux points 11, F et lk de l’isotherme théorique (fig. 1 , est négatif
pour les points compris entre Il et F et positif pour les points com- pris entre F et K.
Différentions les deux membre.., de (12), il vient :
Aux UX points pOInts G 1> et d ’ . ’1 e 11";Ot lerme tliéorique t leorlque (fig. ¡c-g. 1) B ) ,d p du =:z == o,0,
.)
Aupoint(;’, !J., ’ -1). 1 = 2,clp > o, donc c ~’ ~ o. La courbe lIiNi’Uli
( 1.’2
qui représente y., en fonction de v j/qy. 1) est donc, en V, convexe
vers l’axe des volumes. ()r, en 11, la tangente à cette courbe doit être
parallèle à l’axe des volumes ; la courbe a donc un point d’inflexion entre Il et V. On démontre pareillement que la courbe a encore un
point d’innexion entre ii et U.
Rappelons d’ailleurs que l’on a NVF - FS (1), ce que l’on peut
voir immédiatement en remplaçant dans (10) 0 par p + aç=, et en remarquant que pour un point de la couclie capillaire ayant même densité que le point F (fig. 1 ’), V =_. - 2a p.
En effet, pour tous les points de la couche, on a (2) :
or, au point F, fJ- == po" donc :
(1f J. rie /’/~?.. 3" s~nic~, t. I~, p. 1(li ’équation (l~a~).
(’-’~ .l. ~~N l’lr~~~.. ~~ ., m~~, t 11, l~ :!’~:1U03.
