TDCDiffractiondelalumi`ere TDDiffraction

TDC Diffraction de la lumi`ere

I Apodisation

1. On peut ´ ecrire, compte tenu de la transparence du diaphragme spα, tq “ Ks ₀ exppiωtq

ż _a{2

´a{2

exp ˆ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙ dx

qui s’int` egre en

spα, tq “ Ks ₀ exppiωtq λ 2iπpα ´ α ¹ q

„ exp

ˆ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙ a{2

´a{2

soit

spα, tq “ Ks ₀ exppiωtq λ 2iπpα ´ α ¹ q

„ exp

ˆ iπa

λ pα ´ α ¹ q

˙

´ exp

ˆ ´iπa

λ pα ´ α ¹ q

˙

donc

spα, tq “ Ks ₀ exppiωtq λ 2iπpα ´ α ¹ q

” 2i sin

´ πa

λ pα ´ α ¹ q

¯ı

“ Ks ₀ exppiωtq λ

πpα ´ α ¹ q sin

´ πa

λ pα ´ α ¹ q

¯

On fait alors apparaitre la fonction sinc spα, tq “ aKs ₀ exppiωtq λ

aπpα ´ α ¹ q sin

´ πa

λ pα ´ α ¹ q

¯

“ aKs ₀ exppiωtqsinc

´ πa

λ pα ´ α ¹ q

¯

L’intensit´ e diffract´ ee est alors ´ egale ` a Ipαq “ a ² K ² s ² ₀ sinc ²

´ πa

λ pα ´ α ¹ q

¯

“ I ₀ sinc ²

´ πa

λ pα ´ α ¹ q

¯

Quand on a les deux ´ etoiles dans des directions α 1 et α 2 , on additionne les intensit´ es puisque les ´ etoiles ne sont pas des sources coh´ erentes

I _t pαq “ I ₁ sinc ²

´ πa

λ pα ´ α ₁ q

¯

` I ₂ sinc ²

´ πa

λ pα ´ α ₂ q

¯

Si les intensit´ e sont identiques, alors le crit` ere ` a utiliser est celui de Rayleigh : il faut que la largeur angulaire ` a mi hauteur de chacun des deux sinc soit plus petite que l’´ ecart angulaire entre les deux ´ etoiles ε “ α ₁ ´ α ₂ , soit

ε ą λ a

Si I ₂ ! I ₁ , alors le crit` ere n’est plus valable car le maximum principal de la deuxi` eme ´ etoile peut ˆ etre

noy´ e dans un maximum secondaire de la premi` ere.

2. On peut ´ ecrire, compte tenu de la transparence du diaphragme spα, tq “ Ks ₀ exppiωtq

ż _a{2

´a{2

cos

´ πx a

¯ exp

ˆ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙ dx

On coupe le cosinus en deux exponentielles complexes spα, tq “ Ks ₀ exppiωtq

2

ż _a{2

´a{2

„ exp

ˆ iπx a

˙

` exp

ˆ ´iπx a

˙

exp ˆ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙ dx

donc

spα, tq “ C

˜ ż _a{2

´a{2

exp ˆ iπx

a

˙ exp

ˆ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙ dx `

ż _a{2

´a{2

exp

ˆ ´iπx a

˙ exp

ˆ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙ dx

¸

soit

spα, tq “ C

˜ ż a{2

´a{2

exp ˆ

ix ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ q ` π a

˙˙

dx ` ż a{2

´a{2

exp ˆ

ix ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ q ´ π a

˙˙

dx

¸

qui s’int` egre en

spα, tq “ Cp 1 i ` _2π

λ pα ´ α ¹ q ` ^π _a ˘

„ exp

ˆ ix

ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ q ` π a

˙˙ _a{2

´a{2

` 1

i ` _2π

λ pα ´ α ¹ q ´ ^π _a ˘

„ exp

ˆ ix

ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ q ´ π a

˙˙ a{2

´a{2

q

et donc

spα, tq “ Cp 1 i ` _2π

λ pα ´ α ¹ q ` ^π _a ˘

„ 2i sin

ˆ a 2

ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ q ` π a

˙˙

` 1

i ` _2π

λ pα ´ α ¹ q ´ ^π _a ˘

„ 2i sin

ˆ a 2

ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ q ´ π a

˙˙

q donc

spα, tq “ Cp 1

` _π

λ pα ´ α ¹ q ` _2a ^π ˘

” sin

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q ` π 2

¯ı

` 1

` _π

λ pα ´ α ¹ q ´ _2a ^π ˘

” sin

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q ´ π 2

¯ı q

On reconnait sinpα ´ π{2q “ cospαq et sinpα ` π{2q “ ´ cospαq spα, tq “ Cp´ 1

` _π

λ pα ´ α ¹ q ` _2a ^π ˘

” cos

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q

¯ı

` 1

` _π

λ pα ´ α ¹ q ´ _2a ^π ˘

” cos

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q

¯ı

q

et en mettant en facteur et en r´ eduisant au mˆ eme d´ enominateur spα, tq “ C

„

´ 1

` _π

λ pα ´ α ¹ q ` <sub>2a</sub> <sup>π</sup> ˘ ` 1

` _π

λ pα ´ α ¹ q ´ _2a ^π ˘

 cos

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q

¯

“ C

» – ´

π a

´ π

²

λ

²

pα ´ α ¹ q ² ´ _4a ^π

²2

¯ fi fl cos

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q

¯

En simplifiant

spα, tq “ ´Ca 1 π

´ apα´α

¹

q λ

¯ ₂

´ ¹ ₄ cos

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q

¯

et en rempla¸ cant C par sa valeur

spα, tq “ ´Ks ₀ exppiωtqa 1 2π

´ apα´α

¹

q λ

¯ ₂

´ ¹ ₄ cos

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q

¯

ce qui donne pour l’intensit´ e

Ipαq “ K ² s ² ₀ a ² 1 4π ²

„ ´

apα´α

¹

q λ

¯ 2

´ ¹ ₄

 2 cos ²

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q

¯

La fonction a ses minima pour

cos

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q

¯

“ 0

soit aπ

λ pα ´ α ¹ q “ p2k ` 1q π 2 k “ 0 ´ etant exclu car ce n’est pas un minimum. On a donc

α ´ α ¹ “ 3λ 2a

pour le premier minimum. Le pic central est donc plus large que dans l’ouverture simple.

Le maximum principal se trouve dans la direction α “ α ¹ qui permet de maximiser le cosinus, donc I max “ K ² s ² ₀ a ²

4π ² p ¹ ₄ q ² “ 4

π ² K ² s ² ₀ a ²

soit un maximum att´ enu´ e d’un facteur _π ⁴

2

“ 0.41 par rapport ` a l’ouverture simple.

On peut alors r´ e´ ecrire

I pαq “ I max

1 16

„ ´

apα´α

¹

q λ

¯ 2

´ ¹ ₄

 2 cos ²

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q

¯

Les maximums secondaires correspondent ` a des maximums du cosinus, hors du pic central, donc cos

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q

¯

“ 1 ce qui donne

aπ

λ pα ´ α ¹ q “ nπ

donc

α ´ α ¹ “ n λ a

Le premier maximum secondaire est le premier ` a correspondre ` a cette condition et hors du pic principal donc

α ´ α ¹ “ 2 λ a La valeur du premier maximum secondaire est donc

Ipαq “ I max

1 16

« ˆ

ap2

^λ_a

q λ

˙ 2

´ ¹ ₄

ff ₂ “ I max

1 16

”

p2q ² ´ ¹ ₄

ı ₂ “ I max

1 16 “ ₁₅

16

‰ ₂ “ 4, 4 ¨ 10 ^´3

Le maximum secondaire est donc 10 fois plus faible.

3. On peut ´ ecrire, compte tenu de la transparence du diaphragme spα, tq “ Ks ₀ e ^iωt

« ż _a{2

0

ˆ 1 ´ 2x

a

˙ exp

ˆ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙ dx `

ż ₀

´a{2

ˆ 1 ` 2x

a

˙ exp

ˆ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙ dx

ff

On transforme la deuxi` eme int´ egrale ż ₀

´a{2

ˆ 1 ` 2x

a

˙ exp

ˆ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙

dx “ ´ ż _´a{2

0

ˆ 1 ` 2x

a

˙ exp

ˆ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙ dx

et on utilise une nouvelle variable d’int´ egration x ¹ “ ´x (dx “ ´dx ¹ )

´ ż _´a{2

0

ˆ 1 ` 2x

a

˙ exp

ˆ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙

dx “ ´ ż _a{2

0

ˆ 1 ´ 2x ¹

a

˙ exp

ˆ

´ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx ¹

˙ p´qdx ¹

On peut donc r´ e´ ecrire l’amplitude complexe spα, tq “ Ks ₀ e ^iωt

ż _a{2

0

ˆ 1 ´ 2x

a

˙ „ exp

ˆ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙

` exp ˆ

´ 2iπ

λ pα ´ α ¹ qx

˙

dx

On reconnait le cosinus, donc

spα, tq “ 2Ks ₀ e ^iωt ż _a{2

0

ˆ 1 ´ 2x

a

˙ cos

ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ qx

˙ dx

On int` egre par partie

spα, tq “ 2Ks ₀ e ^iωt r

„ˆ 1 ´ 2x

a

˙ sin

ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ qx

˙ λ

2πpα ´ α ¹ qx

 _a{2

0

´ ż a{2

0

ˆ

´ 2 a

˙ sin

ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ qx

˙ λ

2πpα ´ α ¹ q dxs

Le premier terme est nul car en x “ 0 le sinus est nul et en x “ a{2 c’est le terme 1 ´ ^2x _a qui est nul. Il reste

spα, tq “ 2Ks ₀ e ^iωt ż _a{2

0

ˆ 2 a

˙ sin

ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ qx

˙ λ

2πpα ´ α ¹ q dx

qui donne

spα, tq “ 2Ks ₀ e ^iωt λ aπpα ´ α ¹ q

ż _a{2

0

sin ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ qx

˙ dx

et s’int` egre en

spα, tq “ 2Ks ₀ e ^iωt λ aπpα ´ α ¹ q

λ 2πpα ´ α ¹ q

„

´ cos ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ qx

˙ a{2 0

donc

spα, tq “ Ks ₀ e ^iωt λ ² aπ ² pα ´ α ¹ q ²

„

´ cos ˆ 2π

λ pα ´ α ¹ q a 2

˙

` 1



et

spα, tq “ Ks ₀ e ^iωt λ ² aπ ² pα ´ α ¹ q ²

” 1 ´ cos

´ aπ

λ pα ´ α ¹ q

¯ı

Or 1 ´ cosp2aq “ 2sin ² paq donc

spα, tq “ 2Ks ₀ e ^iωt λ ²

aπ ² pα ´ α ¹ q ² sin ²

´ aπ

2λ pα ´ α ¹ q

¯

On cherche ` a faire apparaitre un sinus cardinal spα, tq “ 2Ks ₀ e ^iωt a

4

4λ ²

a ² π ² pα ´ α ¹ q ² sin ²

´ aπ

2λ pα ´ α ¹ q

¯

“ Ks ₀ e ^iωt a 2 sinc ²

´ aπ

2λ pα ´ α ¹ q

¯

ce qui donne comme intensit´ e

I pαq “ K ² s ² ₀ a ² 4 sinc ⁴

´ aπ

2λ pα ´ α ¹ q

¯

L’intensit´ e maximale est 4 fois plus faible que l’ouverture simple.

Les minima se situent l` a o` u le sinus est ´ egal ` a 0 sin

´ aπ

2λ pα ´ α ¹ q

¯

“ 0

soit aπ

2λ pα ´ α ¹ q “ nπ donc

α ´ α ¹ “ n 2λ a

le premier minimum est donc deux fois plus loin que dans l’ouverture simple.

Les maximums secondaires correspondent au maximum du sinus en dehors du pic principal sin

´ aπ

2λ pα ´ α ¹ q

¯

“ 1

soit aπ

2λ pα ´ α ¹ q “ p2n ` 1q π 2 donc

α ´ α ¹ “ p2n ` 1q λ

a

n “ 0 donne une valeur dans le pic principal, le premier maximum secondaire est donc α ´ α ¹ “ 3 λ

a qui a pour valeur

I pαq “ I _max

˜ 1

aπ 2λ 3 ^λ _a

¸ 4

“ I _max

˜ 1

3π 2

¸ 4

“ 2.03 ¨ 10 ^´3

On a gagn´ e un nouveau facteur 2 au prix d’un ´ elargissement et d’une att´ enuation du pic central.

II R´ esolution d’une lunette

1.

L ₂ L ₁

O 1

F ₂ ¹ θ ¹

θ F ₁ ¹ “ F 2

D’apr` es le sch´ ema

tan θ “ h

F ₁ et tan θ ¹ “ h F ₂ donc

F ₁ tan θ “ F ₂ tan θ ¹ Comme les angles sont petits,

θ ¹ θ “ F 1

F ₂ “ 16

2 ¨ 10 ^´2 “ 800 Le grossissement est bien ´ evidemment n´ egatif en valeur alg´ ebrique.

Le cercle oculaire est l’image de la monture ` a travers l’oculaire. Compte tenu du montage afocal F ₁ ¹ “ F 2 , la distance entre les deux lentilles vaut d “ 16, 02 m. On peut alors appliquer la relation de conjugaison pour d´ eterminer la position p du cercle oculaire

1

OA ¹ ´ 1 OA “ 1

f ₂ ¹ soit 1 p “ 1

16, 02 ` 1 0, 02

donc p “ 2.0025 cm, soit quasiment dans le plan focal image de L 2 ce qui est coh´ erent avec le fait que la distance entre les deux lentilles est tr` es grande devant la distance focale de la lentille L <sub>2</sub> . L’objet peut donc ˆ etre consid´ er´ e comme ´ etant quasiment ` a l’infini (voir r´ eglage du goniom` etre avec un objet lointain).

Le grandissement est alors ´ egal ` a

γ “ OA ¹

OA “ 0.02 16 “ 1

800 le diam` etre du cercle oculaire est donc

d “ 80

800 “ 0, 1 cm

2. Le diam` etre angulaire de la tache de diffraction d’une ouverture circulaire est donn´ e par θ _d “ 1, 22 λ

a{2 “ 1, 22 0.54 ¨ 10 ^´6

0.4 “ 1.647 ¨ 10 ^´6 rad

3. Le crit` ere de Rayleigh impose que l’´ ecart entre les deux ´ etoile doit ˆ etre sup´ erieur ` a θ _d “ 1.647¨10 ^´6 rad.

4. Il faut que l’´ ecart angulaire ∆θ ¹ soit sup´ erieur ` a β. Comme ∆θ ¹ “ Gθ _d “ 1.22 _a{2 ^Gλ , on a a ă 2.44λG

β “ 1.8 m

III Diffraction par un d´ efaut dans une lame de verre

1.

tpxq “

"

t ₀ exp “

´ ^2iπ _λ pn ´ 1qe ‰

|x| ą ^a ₂ t 1 exp “

´ ^2iπ _λ pn ´ 1qpe ´ hq ‰

|x| ă ^a ₂ On pose

t 1 pxq “ t 0 exp

„

´ 2iπ

λ pn ´ 1qe



ce qui permet d’´ ecrire la transparence sous la forme tpxq “

"

t ₁ |x| ą ^a ₂ t 1 exp “ _2iπ

λ pn ´ 1qh ‰

|x| ă ^a ₂ On peut alors ´ ecrire la transparence sous la forme tpxq “ t 1 pxq ` t 2 pxq avec

t ₂ pxq “

"

0 |x| ą ^a ₂ t 1

“ exp “ _2iπ

λ pn ´ 1qh ‰

´ 1 ‰

|x| ă ^a ₂

L’amplitude diffract´ ee spα, tq s’´ ecrit alors comme la somme des amplitude diffract´ ees par les pupilles de transparence t ₁ pxq et t ₂ pxq spα, tq “ s ₁ pα, tq ` s ₂ pα, tq avec

s ₁ pα, tq “ K ¹ s ₀ e ^iωt ż

Σ

t ₁ pxq exp ˆ

´ 2iπ λ αx

˙ dx et

s ₂ pα, tq “ K ¹ s ₀ e ^iωt ż

Σ

t 2 pxq exp ˆ

´ 2iπ λ αx

˙ dx

On calcule la premi` ere int´ egrale, t 1 ´ etant une constante s ₁ pα, tq “ K ¹ s ₀ e ^iωt t 1

ż

Σ

exp ˆ

´ 2iπ λ αx

˙ dx

Cette int´ egrale ´ etant une int´ egrale sur le plan de la pupille avec une transparence uniforme t 1 , elle ne donne de contribution non nulle que pour α “ 0 (image g´ eom´ etrique). La deuxi` eme int´ egrale donne

s ₂ pα, tq “ K ¹ s ₀ e ^iωt ż _a{2

´a{2

t ₁

„ exp

„ 2iπ

λ pn ´ 1qh



´ 1

 exp

ˆ

´ 2iπ λ αx

˙

dx

L` a encore, la transparence t 2 est uniforme sur le domaine d’int´ egration, donc s ₂ pα, tq “ K ¹ s ₀ e ^iωt t ₁

„ exp

„ 2iπ

λ pn ´ 1qh



´ 1

 ż _a{2

´a{2

exp ˆ

´ 2iπ λ αx

˙ dx

ce qui donne

s ₂ pα, tq “ K ¹ s ₀ e ^iωt t 1

„ exp

„ 2iπ

λ pn ´ 1qh



´ 1

 asinc

´ παa λ

¯

On peut alors calculer l’intensit´ e en dehors de l’image g´ eom´ etrique I pαq “ K ¹² s ² ₀ |t ₁ | ² a ² sinc ²

´ παa λ

¯ „ˆ exp

„ 2iπ

λ pn ´ 1qh



´ 1

˙ ˆ exp

„

´ 2iπ

λ pn ´ 1qh



´ 1

˙

soit (|t ₁ | ² “ 1)

I pαq “ K ¹² s ² ₀ a ² sinc ²

´ παa λ

¯ „

1 ` 1 ´ exp

„ 2iπ

λ pn ´ 1qh



´ exp

„

´ 2iπ

λ pn ´ 1qh



donc

Ipαq “ K ¹² s ² ₀ a ² sinc ²

´ παa λ

¯ „

2 ´ 2 cos ˆ 2π

λ pn ´ 1qh

˙

que l’on ´ ecrit

I pαq “ I ₀ sinc ²

´ παa λ

¯ „ 1 ´ cos

ˆ 2π

λ pn ´ 1qh

˙

2. S’il n’y a pas de cache, l’ensemble pL 2 , L 3 q forme l’image de la lame sur l’´ ecran. Comme le sillon ne fait qu’introduire un d´ ephasage suppl´ ementaire, il n’apparait pas sur l’image. Rappel : la figure de diffraction s’observe dans le plan de la lentille L 2 !

Si le cache est pr´ esent, l’onde apr` es le cache a pour amplitude complexe s “ s ₂ , soit spα, tq “ K ¹ s ₀ e ^iωt t 1

„ exp

„ 2iπ

λ pn ´ 1qh



´ 1

 asinc

´ παa λ

¯

qui a un facteur pr` es constant

t ₁

„ exp

„ 2iπ

λ pn ´ 1qh



´ 1



est l’expression de l’amplitude diffract´ ee par une fente fine infiniment longue sur l’axe Oy, de largeur a sur Ox, dont l’amplitude diffract´ ee est

spα, tq “ K ¹ s ₀ e ^iωt asinc

´ παa λ

¯

L’image d’une fente par le syst` eme de lentille pL ₂ , L ₃ q est une fente nette, puisque le plan de l’´ ecran est le plan conjugu´ e de la face de sortie de la lame par pL ₂ , L ₃ q. On doit donc observer une image claire du sillon sur un fond sombre. Le d´ efaut, invisible normalement, est mis en ´ evidence par strioscopie.

Il faut, pour que le montage fonctionne, que les d´ efauts soient ”petits”, et donc donnent un sinus cardinal tr` es ´ etal´ e, afin que le cache n’absorbe pas l’amplitude diffract´ ee s ₂ en mˆ eme temps que le faisceau α “ 0.

La condition est donc r ! ^λ _a f 2 , car

sinc

´ παa λ

¯

» sinc ˆ πxa

f 2 λ

˙

dans l’approximation des petits angles.