Réflexion d’un choc à la paroi...et optique !

Réflexion d’un choc à la paroi...et optique !

1 ) Introduction :

Dans le cas où existe une réflexion régulière d’un choc sur une paroi, nombre d’étudiants ont tendance à penser que celle-ci « ressemble » à la réflexion d’un faisceau lumineux sur une paroi, et, de là à en déduire que l’angle de réflexion par rapport à la paroi est identique à celui incident, il n’y a qu’un pas ... qu’il ne faut bien sûr pas franchir ! Les chocs sont pilotés par les relations de Rankine-Hugoniot et non par les lois de Descartes !

Toutefois, la nature est formidable, et cette étude se propose de montrer que, dans certaines situations exceptionnelles, l’angle du choc réfléchi est bien identique à celui incident, mais qu’en dehors de ces cas particuliers, ceci est faux.

2 ) Développement :

Les formules manipulées dans ce paragraphe peuvent être trouvées dans les ouvrages d’aérodynamique traitant d’écoulements supersoniques, notamment :

Théories de la Dynamique des Fluides – A. Bonnet et J. Luneau –Ed. Cépaduès, ISBN 2-85428-218-3, 1989 (http://www.cepadues.com/livres/aerodynamique-theories-dynamique-des-fluides-2854282183.html).

On considère un écoulement de Mach M0 > 1 qui aborde un dièdre plan d’angle Ψ < Ψmax(M0)

générant un choc attaché rectiligne qui va frapper la paroi YY’ :

M₀ ! " M₁ !'- " X A X' Y _Y' M₂

On note que l’angle Ψ est également l’angle de déviation de l’écoulement de Mach M1, par la

paroi supérieure, de sorte que si Ψ < Ψmax(M1) il y a effectivement réflexion régulière

représentée sur le schéma ci-dessus : le choc incident issu de A, frappe la paroi YY' et donne naissance au choc réfléchi .

En appelant σ et σ’ les angles respectifs des deux chocs1

, ces derniers font, par rapport à la paroi Y’Y, les angles σ et σ’ - Ψ ( cf.schéma).

Pour M0 et Ψ donnés, la résolution de la polaire de choc (1) fournit l’angle σ du 1 er choc, soit : tg ! - "

(

)

tg ! = 2 # + 1 1 M₀2 sin2! + # -1 # + 1 (1)

Il est alors possible de calculer le Mach normal aval du 1er choc, par la relation :

Mn₁2 = 1 + ! - 1 2 M0 2 _sin2 " ! M02 sin2" -! -1 2 (2)

Puis le nombre de Mach aval par :

M₁ = Mn1

sin ! - "

(

)

(3)

La résolution de la polaire de choc , pour un Mach amont M1 dévié de l’angle Ψ donne alors

accès à l’angle σ’ du 2ème

choc : tg !' - "

(

)

tg !' = 2 # + 1 1 M12 sin2!' + # -1 # + 1 (4)

Il n'y a égalité des angles des chocs incident et réfléchi par rapport à la paroi Y’Y que si la relation suivante est, en plus, vérifiée :

! = !' - " (5)

Formellement, la relation (1) implique que σ = F(M0, Ψ) , les relations (2) et (3) que

M1 = G(M0, Ψ) de sorte que (4) donne σ’ = F(M1, Ψ) = F [G(M0, Ψ), Ψ] : l’égalité

supplémentaire (5) n’est donc obtenue que pour les valeurs du couple (M0, Ψ) qui

satisfont à la relation :

F(M0, Ψ) = F [G(M0, Ψ), Ψ] - Ψ

En pratique, la démarche de résolution de ce problème est la suivante : les relations (2) et (3) donnent M1 en fonction de M0 , σ et Ψ . En reportant alors dans (4) où σ’ a été éliminé grâce

à (5), on obtient une relation faisant intervenir, outre σ et Ψ, le nombre de Mach M0 qui

n’apparaît que via le Mach normal Mn0 = M0 sin σ. Cette dernière quantité est alors éliminée en

tirant son expression de la relation (1).

Après quelques manipulations trigonométriques élémentaires, on aboutit à la relation dont la simplicité est surprenante :

sin 2!

(

)

tg " - # -1 # + 1 tg 2"

( )

$ % & ' ( ) = 0 (6)

• On remarque que Ψ = 0 est solution du problème quelle que soit la valeur du Mach M0 : ce

cas correspond en fait :

- soit à l'absence de choc: celui-ci dégénère en une onde de Mach parfaitement réversible L'angle σ tend vers

! µ0 = Arcsin 1 M₀ " # $ % &

' . Les ondes de Mach font l'angle

!

±µ0 avec les lignes de

courant : ainsi une onde de Mach qui vient frapper une paroi sous l'angle

!

+ µ0 repartira avec

l'angle

!

- µ0 ce qui vérifie bien la propriété.

- soit un choc normal…dans ce cas le choc incident est , d'une certaine façon, confondu avec sa propre réflexion, les deux faisant 90° par rapport à la paroi.

• La relation précédente fournit également une solution particulière σ = 0 mais qui correspond à Ψ = 0 pour M∞ -> ∞.

• En dehors de ces solutions particulières, on trouve que tous les chocs ayant un angle σ tel que :

tg ! = 3 - "

" + 1 (7)

auront la propriété recherchée, mais uniquement ces chocs-là.

Pour γ = 1.4, cette valeur est proche de ! " 39.23 °, tandis que, pour un gaz monoatomique, ! = 5

3 et la relation (7) fournit ! " 35.26 °.

En reportant alors cette valeur dans la polaire de choc (1), on obtient pour un Mach M0 donné,

la déviation Ψ nécessaire, soit, tous calculs faits :

tg ! = " + 1 3 - " (3 - ") M₀2 - 4 (3" - 1) M₀2 + 4 # $ % & ' ( (8)

Cette déviation Ψ n'est positive que si le nombre de Mach varie de M0 =

2

3 - ! ( soit

M₀ ! 1.5811 pour γ = 1.4) à +∞, auquel cas Ψ croît de façon monotone de 0 à ! = Arctg

(

3 - "

)

" + 1

(

)

3" - 1 # $ % & ' ( .

Inversement, pour Ψ donné, la relation (8) fournit le Mach nécessaire pour vérifier cette propriété très particulière, soit :

M₀2 = 4 1 + 3 - ! ! + 1 tg " # $ % & ' ( 3 - ! - (3! - 1) 3 - ! ! + 1 tg " (9)

Le dénominateur n'est positif que si tg! "

(

3 - #

)

# + 1

(

)

3# - 1 . Pour γ = 1.4, cette valeur est proche de ! " 31.48 °.

Si la déviation satisfait l'inégalité précédente, alors, on a systématiquement M₀2 ! 1. 3) Calcul des écoulements aval :

Une fois connus ces résultats, on peut également donner l'ensemble des paramètres des écoulements aussi bien à l'aval du 1er

choc que du 2nd

. Ceci permet également de donner une autre limitation liée au fait que chacun des chocs considérés est censé être faible.

Dans tout ce qui suit, nous supposerons que M0 est donné, de sorte que l'angle Ψ de déviation à

imposer est calculé par (8).

On note que (7) s'écrit également :

sin ! = 3 - "

2 (10)

De sorte que le Mach normal amont du 1er

choc est Mn₀ = M₀ 3 - !

2 . On note au passage que,

le Mach normal aval, va être calculé par la relation Mn₁ = F( Mn₀) où F X

( )

=

1 + ! -1 2 X 2 ! X2 - ! -1 2 est idempotent c'est-à-dire est telle que F = F-1. Le Mach normal aval Mn1 étant connu, le

Mach aval du 1er

En remplaçant toutes les quantités en fonction du seul paramètre M0, le Mach aval du 1 er choc s'écrit : M₁ = M₀4

(

3 - !

)

2! 2 - ! +1

(

)

16 + M0 2

(

3- !

)

! -1

(

)

4 + 1 1 +

(

3 - !

)

! -1

(

)

8 M0 2 " # $ % & ! 3- !

(

)

4 M0 2 - ! - 1 2 " # $ % & (11)

Le polynôme de degré 4 du numérateur, n'a pas de racine réelle et est strictement positif. Au dénominateur, le terme dans la 2ème _{parenthèse est positif pour M}

0 > 1.

Compte tenu de (5), de (10) et de (11), le Mach normal amont du 2ème

choc, soit

Mn1

[

]am.

= M1 sin(!' ) = M1 sin(! + ") = Mn1

sin(! + ")

sin ! - "

(

)

= F Mn

(

0

)

tg! + tg" tg! - tg" ,

s'exprime uniquement en fonction de M0. Il permet alors de calculer le Mach normal aval du 2 ème

choc par :

Mn2 = F Mn

(

[

1

]am.

)

d'où le Mach aval du 2 ème choc : M2 = F Mn

(

[

1

]am .

)

sin !' -"

(

)

= F Mn

(

[

1

]am .

)

sin! Il en résulte que : M₂ sin! = F F Mn

(

0

)

tg! + tg" tg! - tg" # $ % & ' ou F !1 M₂ sin"

(

)

= F Mn

(

₀

)

tg" + tg# tg" - tg# Ou, comme F est idempotent :

F M

(

₂ sin!

)

= F Mn

(

₀

)

tg! + tg" tg! - tg"

Ces manipulations facilitent l'expression finale de M2 en fonction uniquement de M0. Il vient,

tous calculs effectués :

M2 = 1 +

(

! - 1

)

2 M0 2 3! -1

(

)

3 - !

(

)

16 M0 2 - ! -1 2 " # $ % & (12)

1 +

(

! -1

)

2 M0 2 3! -1

(

)

3 - !

(

)

16 M0 2 - ! -1 2 " # $ % &

' 1 où le dénominateur est positif.

Il vient alors : M₀ ! 8

5- 3"

4) Conclusion :

Cette étude a permis de montrer que lors d’une réflexion régulière2

d’un choc sur une paroi, et en dehors des cas, absence de choc ou choc normal, seuls les chocs, dont l’angle incident σ est tel que tg ! = 3 - "

" + 1, se réfléchiront en formant avec la paroi exactement le même angle. Cette propriété n'est obtenue que pour les chocs dont les Mach amont M0 et déviation Ψ

sont reliés par tg ! = " + 1 3 - " (3 - ") M₀2 - 4 (3" - 1) M₀2 + 4 # $ % & ' ( .

Dans cette relation, les valeurs du Mach M0 admettent deux limitations :

- une limitation basse nécessaire à l'obtention d'un angle Ψ ≥ 0, soit :

M0 !

2

3 - " soit M0 ! 5

2 " 1.5811 en gaz diatomique, ou

M₀ ! 3 " 1.73205 pour un gaz monoatomique. - une limitation haute3

afin que la réflexion du choc soit régulière, ce qui implique :

M₀ ! 8

5- 3" soit M0 ! 10 " 3.1623 en gaz diatomique (valeur double de

la limitation basse). Pour un gaz monoatomique, la limitation haute est rejetée à l'infini.

En dehors de ces cas particuliers, l’angle de réflexion est bien sûr distinct de l’angle incident, et ce d’autant plus que l’angle du choc incident est éloigné de la valeur donnée en (7).

2 _{La réflexion "non régulière" conduisant à un détachement du choc réfléchi, est obtenu lorsque la déviation Ψ est}

supérieure à la valeur conduisant à un aval exactement sonique. Ce cas donnera lieu à un autre document.

3 _{Cette limitation haute, surprenante, provient du fait que la propriété σ = σ' - ψ implique que l'angle ψ croît avec}

M0 d'après (8)! Le bénéfice, pour un attachement du choc réfléchi, d'une augmentation de Mach M0, est annihilé

• Exemple n°1 : si M0 = 2, il faut imposer à l'écoulement une déviation Ψ = 9.92421929° qui

génère un 1er

choc dont l'angle est σ = 39.23152048° et pour Mach aval M1 = 1.643330387.

Ce nouvel écoulement redressé par la paroi de l'angle Ψ = 9.92421929° donne lieu à un choc réfléchi d'angle σ' = 49.1557397713° soit σ' - Ψ = 39.23152048° qui est bien égal à σ, et un Mach aval de M2 = 1.290994449.

• Exemple n°2 : si M0 = 3, la déviation à imposer est Ψ = 21.22287111° générant un 1 er

choc d'angle est σ = 39.23152048° et un Mach aval M1 = 1.928223867.

Ce dernier dévié de l'angle Ψ = 21.22287111° donne lieu à un choc réfléchi d'angle

σ' = 60.45439165° soit σ' - Ψ = 39.23152048° = σ, et un Mach aval , limite supersonique, de M2 = 1.022142906.