Groupes : quotients, théorèmes d'isomorphisme

Université Lille I Année 2009-2010

M 402 feuille n^◦1

Groupes : quotients, théorèmes d'isomorphisme

Exercice 1 (Quaternions) Soit H =

z w

−w¯ z¯

: (z, w) ∈ C²

l'ensemble des quaternions. H^∗ désigne H privé de la matrice nulle. On note 1=

1 0 0 1

,i=

i 0 0 −i

,j=

0 1

−1 0

, k= 0 i

i 0

. 1. Montrer que H^∗ est un sous-groupe deGL₂(C).

2. Montrer que i² =j² =k² =−1, ij=k, jk=i, ki=j,ji=−k, kj=−i, ik=−j.

3. En déduire que le sous-groupe de H^∗ engendré par i, j et kest d'ordre 8. On le note H₈. 4. Ecrire la table de H₈.

5. Vérier que les groupes (tous de cardinal 8) H₈, Z/2Z×Z/2Z×Z/2Z, Z/2Z×Z/4Z, Z/8Z et D₄ sont 2 à 2 non isomorphes.

Exercice 2 (Groupes à gauche)

Soit · une loi associative sur un ensemble Gpossédant un neutre à gauche e (i.e., ex =x pour tout x ∈ G) et tel que tout élément x possède un inverse à gauche x⁰ pour e (i.e., x⁰x = e).

Montrer que (G,·) est un groupe. (Indic : commencer par montrer que xx⁰ =e).

Exercice 3 (Union de deux sous-groupes)

Soient Gun groupe et Aet B deux sous-groupes. Montrer queA∪B est un sous-groupe de G ssi A⊂B ouB ⊂A.

Exercice 4 (Groupes dans lesquels tous les carrés valent le neutre)

Soit G un groupe. Montrer que si x² = 1 pour toutx∈G, alors G est un groupe abélien.

Exercice 5 (Produit de deux groupes cycliques)

1. Soit G un groupe abélien. Montrer que si a, b ∈ G sont d'ordre p, q premiers entre eux, alors abest d'ordre pq.

2. Montrer que le résultat est faux sans chacune des hypothèses Gabélien et p,qpremiers entre eux. (Indic :

0 1 1 0

,

1 1 1 0

∈GL₂(Z/2Z)).

Exercice 6 (Image directe et réciproque d'un sous-groupe engendré par une partie) Soient G, G⁰ deux groupes etf un homomorphisme deG dans G⁰.

1. Montrer que si A ⊂G, alors f(< A >) =< f(A)>.

2. Montrer par contre qu'il est faux que si A⁰ ⊂G⁰, alors f⁻¹(< A⁰ >) =< f⁻¹(A⁰)>. Exercice 7 (Sous-groupes d'un groupe cyclique)

1. Montrer qu'un sous-groupe d'un groupe cyclique est cyclique.

2. Montrer que si d|n alors il existe un unique sous-groupe de Z/nZ de cardinal d.

Exercice 8 (Image directe et réciproque de sous-groupes distingués)

1. Montrer que l'image réciproque d'un sous-groupe distingué par un morphisme de groupes est un sous-groupe distingué.

2. Que dire de l'image directe d'un sous-groupe distingué ? Exercice 9 (Produit de sous-groupes distingués)

SoientH etK deux sous-groupes distingués d'un groupeGvériantH∩K ={1}. Montrer que le produit interne HK = {hk /h∈H, k ∈ K} est un sous-groupe distingué de G isomorphe au produit direct H×K.

Exercice 10 (Groupes d'ordre pq)

SoitGun groupe abélien de cardinalpqoùpetqsont deux nombres premiers distincts. Montrer queG est un groupe cyclique. (Indic : montrer d'abord que si a est d'ordrep etb ∈G\< a >, alors b est d'ordre q oupq).

Exercice 11 (Homomorphismes entre groupes cycliques)

Déterminer tous les homomorphismes de groupes de Z/3Z dans Z/7Z, de Z/3Z dans Z/12Z, deZ/12Z dans Z/3Z.

Exercice 12 (Groupes de réels additifs et multiplicatifs) Montrer que les groupes (R,+) et (R^∗+,×) sont isomorphes.

Exercice 13 (Groupes isomorphes à (Q,+))

1. Les sous-groupes (Q,+) et(Z,+) sont-ils isomorphes ? 2. Les sous-groupes (Q,+) et(Q^∗,×)sont-ils isomorphes ? Exercice 14 (Groupes de matrices triangulaires)

Soient T ={(^{a b}_{0 c}) :a, c∈R\ {0}, b ∈R} et U ={(¹_{0 1}^b) :b ∈R}. 1. Montrer que T est un sous-groupe de GL2(R).

2. Montrer que U est un sous-groupe distingué de T.

Exercice 15 (Produit de deux sous-groupes)

Soit G un groupe, H etK deux sous-groupes de G. On note HK ={hk;h∈H, k∈K}.

1. Montrer que HK est un sous-groupe deG si et seulement siHK =KH. En déduire que si H est distingué dans G alors HK est un sous-groupe deG.

2. On suppose désormais que ∀h ∈ H, k ∈ K : hk = kh. Montrer que l'application f : H×K →Gdénie par∀h∈H, k ∈K :f(h, k) =hk est un homomorphisme de groupes.

3. Calculer le noyau et l'image de f. Donner une condition nécéssaire et susante pour que f soit un isomorphisme de groupes.

Exercice 16 (Produit de deux sous-groupes, suite)

Soient G un groupe, H etK deux sous-groupes d'ordre ni de G tels que H∩K ={e_G}.

1. Montrer que le cardinal de HK est égal |H||K|.

2. En déduire que si |G| = pq où p est premier et p > q alors G a au plus un sous-groupe d'ordrep. Montrer que si ce sous-groupe existe il est distingué dans G.

Exercice 17 (Le groupe additif des rationnels modulo les entiers) Soit G le groupeQ/Z. Si q ∈Q, on note cl(q)la classe de q modulo Z.

1. Montrer que cl(³⁵₆ ) =cl(⁵₆)et déterminer l'ordre de cl(³⁵₆).

2. Montrer que si x∈G il existe un uniqueα ∈Q∩[0,1[ tel que x=cl(α).

3. Montrer que tout élément de G est d'ordre ni et qu'il existe des éléments d'ordre arbi- traire.

Exercice 18 (Le groupe multiplicatif des réels modulo les réels positifs) Décrire le groupe-quotient R^∗/R^∗+ et montrer qu'il est isomorphe à Z/2Z.

Exercice 19 (Groupe dont le quotient par son centre est monogène) Soit G un groupeZ(G) = {h∈G;∀g ∈g, gh=hg}.

1. Montrer que Z(G)est un sous-groupe distingué de G.

2. Montrer que si G/Z(G) est monogène G est abélien.

Exercice 20 (Quotient d'un groupe de matrices)

SoitGle sous-groupe deGL₂(R)engendré par les matricesA= 1

√2

−1 1 1 1

etB =

−1 0 0 1

. 1. Soit H le sous-groupe de G engendré par AB. Calculer |H|

2. Montrer que H est distingué dansG. Calculer le quotient G/H; en déduire |G|.

Exercice 21 (Groupe spécial linéaire)

Rappel : si A est un anneau (en particulier, si A est un corps), on note GL_n(A) l'ensemble des matrices carrées de dimension n à coecient dans A, qui sont inversibles. GL_n(A) forme un groupe pour la loi× de multiplication des matrices, appelé groupe linéaire. Une matrice carrée de dimension n est dans GL_n(A) ssi son déterminant est un inversible de l'anneau A (ce qui revient à dire, lorsque A est un corps, que son déterminant est non nul).

Pour simplier, on suppose dans l'exercice queA est un corps, noté K.

1. On note SL_n(K)l'ensemble des matrices de déterminant 1. Dire pourquoiSL_n(K) est un sous-groupe distingué de GLn(K)et montrer que GLn(K)/SLn(K)∼=K^∗.

2. Montrer que les matrices diagonales (resp. triangulaires supérieures) de GLn(K)forment un sous-groupe. Sont-ils distingués ?

3. Montrer que Z(GL_n(K)) est le sous-groupe formé par les homothéties.

Exercice 22 (Théorème de Cauchy) Soit G un groupe abélien d'ordre m.

1. Montrer que si xⁿ = 1pour tout x∈ G, alors m divise une puissance de n. (Indic : faire une récurrence sur m en introduisant le sous-groupe H engendré par un élément de Get le groupe quotient G/H).

2. Soit p un nombre premier divisant m. Montrer qu'il existe un élément de Gdont l'ordre est divisible parp. (Indic. : utiliser 1.).

3. En déduire que si p|m, il existe un élément de Gd'ordre p. Exercice 23 (Indicateur d'Euler ϕ(n))

On considère le groupe additif Z/nZ (n>2).

1. Montrer que pour tout a∈Z,a¯est un générateur deZ/nZssia etn sont premiers entre eux.

2. On note ϕ(n) le nombre de générateurs de Z/nZ. Montrer que sip est premier, ϕ(p^α) = p^α−p^α−1 (où α>1est un entier).

3. Montrer que si metn sont premiers entre eux, alorsϕ(mn) =ϕ(m)ϕ(n). En déduire que pourn =p^α₁¹· · ·p^α_k^k, on a ϕ(n) = n(1− _p¹

1)· · ·(1− _p¹

k). 4. Montrer que pour toutn >1,P

d|nϕ(d) = net que cette propriété caractérise la fonction ϕ.

Exercice 24 (Sous-groupe ni du groupe multiplicatif d'un corps)

1. Soit G un groupe abélien ni d'ordre n. On suppose que pour tout diviseur d de n, l'ensemble G(d) = {x ∈ G|x^d = 1} a au plus d éléments. Montrer qu'il y a dans G exactement ϕ(d) éléments d'ordred. (Indic. : montrer d'abord que s'il existe un élément x∈Gd'ordre d, alors < x >=G(d)).

2. En déduire que si K est un corps ni, alors le groupe multiplicatif (K^×,×)est cyclique.

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Groupes : quotients, théorèmes d'isomorphisme

Correction 16 HK ={hk /h∈H, k ∈K}.

1. Soit φ : H × K → HK dénie par φ(h, k) = hk. Montrons que φ est bijective : φ est surjective par dénition de HK et si φ(h, k) = φ(h⁰, k⁰) alors hk = h⁰k⁰ et donc h⁰⁻¹h =k⁰k⁻¹ or H∩K = {e_G} et donc h⁰⁻¹h =e_G et donc h =h⁰, de même k =k⁰ et donc φ est injective.

Commeφ est bijective CardH×K =CardHK et donc CardHK =CardH.CardK. 2. Supposons qu'il existe deux sous-groupesH etK distincts et d'ordrep. Montrons d'abord

que H ∩K = {e_G}. En eet H ∩K est un sous-groupe de H et donc le cardinal de H∩K divise CardH = p avec p premier. Or comme H 6=K alors H∩K 6= H et donc CardH∩K = 1, c'est ce que nous voulions démontrer.

Maintenant d'après la première question HK est un sous-groupe de cardinal p² dans le groupe G de cardinalpq < p². Donc il ne peut exister deux sous-groupe d'ordre p. Supposons maintenant que H soit un sous-groupe d'ordre p, c'est donc l'unique sous- groupe d'ordre p d'après ce que nous venons de démontrer. Pour g ∈ G le sous-groupe gHg⁻¹ est du même ordre que H (car pour g xé le morphisme θ_g deG dans G, θ_g(h) = ghg⁻¹ est un automorphisme et en particulier un biction donc Cardθ_g(H) = CardH ).

Par conséquent gHg⁻¹ =H et doncH est un sous-groupe distingué.

Correction 18 La relation d'équivalence associée au quotientR^∗/R^∗+ est : x∼y⇔xy⁻¹ >0.

Six >0alorsx∼+1 car x(1)⁻¹ >0(en faitxest équivalent à n'importe quel réel strictement positif) ; si x <0alors x∼ −1 car x(−1)⁻¹ >0, enn −1et +1 ne sont pas équivalents. Il y a donc deux classes d'équivalence : R^∗/R^∗+ ={+1,−1}.

L'application φ : R^∗/R^∗+ −→ Z/2Z dénie par φ(+1) = ˜0 et φ(−1) = ˜1 est un isomorphisme entre les deux groupes.

Correction 20 NotonsC =AB= ^√1₂

1 1

−1 1

.

1. Un calcul donne C⁸ = I et pour 1 6k 6 7, C^k 6=I. Donc le groupe H engendré par C est d'ordre 8. Attention ! même siA² =I etB² =I on a (AB)² 6=I car AB 6=BA. 2. Pour montrer que H est distingué il sut de montrer que ACA⁻¹ et BCB⁻¹ sont dans

H. Mais ACA⁻¹ =ACA =AABA=BA = (AB)⁻¹ ∈H. De même BCB⁻¹ = (AB)⁻¹. DoncH est distingué dans H.

Un élément M de Gs'écrit

M =A^a1B^b1A^a2. . . A^anB^bn a_i, b_i ∈Z.

Mais dansG/Htout termeABouBAvautIDoncG/H ={I, A, A², A³, . . . , B, B², B³, . . .}

mais commeA² =B² =I et AB∈H alors G/H s'écrit simplement : G/H =

I, A .

Enn, par la formule |G|=|H| × |G/H| nous obtenons |G|= 8×2 = 16.