Chapitre 4: Fonctions génératrices (notions)

Chapitre 4:

Fonctions génératrices (notions)

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1 Généralités

On considère ici le cas particulier des v.a. à valeurs dans l’ensemble N des entiers naturels. Ces v.a. interviennent souvent dans les applica- tions. Il est donc important de disposer d’une méthode de portée très générale qui facilite le calcul de leur loi de probabilité et de leurs mo- ments. Une idée qui s’est révélée très fructueuse consiste à associer à toute v.a. X à valeurs dans N, une série entière qui contient tous les renseignements concernant la loi de probabilité deXet qui a l’avantage d’être admirablement bien adaptée à l’opération consistant à addition- ner des v.a. indépendantes.

Soit X une v.a. à valeurs dans N, de loi de probabilité donnée par la suite p_n =P(X =n) (n∈N).

Définition 1.1 : On appelle fonction génératricede X, la série en- tière

(1) GX(t) =

+∞

X

n=0

pntⁿ

(on notera que cette série converge au moins pour |t| < 1 puisque G_X(1) = 1<+∞).

La fonction génératrice caractérise parfaitement la loi de probabilité d’une v.a.. En effet si X et Y sont deux v.a. à valeurs entières telles queGX(t) =GY(t)pour tout|t|<1, l’unicité du développement d’une fonction en série entière montre que X etY ont la même loi.

Théorème 1.2 : Soient G_X1, . . . , G_Xn les fonctions génératrices res- pectives de n v.a. indépendantes X₁, . . . , X_n et à valeurs dans N. La v.a. S =X1+· · ·+Xn a une fonction génératrice GS donnée par

(2) G_S(t) =

n

Y

i=1

G_Xi(t).

∗Notes du cours de Probabilités de M1 de M. L. Gallardo, Université de Tours, année 2008-2009. Les démonstrations sont détaillées dans le cours oral.

démonstration : On suppose n= 2 (le cas général se fait ensuite par récurrence sur n). Posons S =X₁+X₂ et

G_X1(t) =

+∞

X

i=0

a_itⁱ et G_X2(t) =

+∞

X

j=0

b_jt^j.

Pour calculer ck = P(S = k) (k ∈ N), utilisons le système complet d’événements [X₂ =j] (j ∈N). Il vient

ck =

+∞

X

j=0

P([X1+X2 =k]∩[X2 =j])

=

n

X

j=0

P([X₁ =k−j]∩[X₂ =j])

=

n

X

j=0

P([X₁ =k−j])P([X₂ =j])

=

n

X

j=0

ak−jb_j.

Donc c_k est le coefficient du terme en t^k dans le développement du produit G_X1(t)G_X2(t). D’où le résultat.

Exemple 1.3 (et exercices) : 1) siX suit la loi de BernoulliB(1, p), on a

G_X(t) = 1−p+pt.

2) si X suit la loi binomiale B(n, p), on a G_X(t) = (1−p+pt)ⁿ.

3) Si X suit la loi de Poisson de paramètre λ(>0), G_X(t) = e^λ(t−1).

4) Si lesX_i(i= 1, . . . , N) sont des v.a. indépendantes de lois binomiales respectives B(n_i, p) de même paramètre p, la v.a. S =Pn

i=1X_i est de loi binomialeB(PN

i=1n_i, p).

5) Si lesXi (i= 1, . . . , N) sont des v.a. indépendantes de lois de Poisson respectives de paramètres λ_i, la v.a. S =Pn

i=1X_i est de loi de Poisson de paramètre λ =PN

i=1λ_i.

Exercice 1.4 : Une boîte contient quatre boules numérotées0,1,1,2.

On effectue n tirages avec remise. SoitS_n la somme des numéros tirés.

Déterminer la loi de probabilité de la v.a. S_n. Solution : On a

G_S1(t) = 1 4 +1

2t+1 4t² =

1 +t 2

2

.

Les tirages étant avec remise, S_n est la somme de nv.a. indépendantes et de même loi que S₁. D’après le théorème, on a donc

G_Sn(t) =

1 +t 2

2n

.

En développant avec la formule du binôme de Newton, on déduit im- médiatement

P(S_n=k) = 1

2²ⁿC_kⁿ (k = 0,1, . . . ,2n).

Théorème 1.5 : Soit X une v.a. à valeurs entières de fonction géné- ratrice G_X. Si X a un moment d’ordre 2, les dérivées à gauche G⁰_X(1) et G⁰⁰_X(1) existent¹ en t= 1, et on a

E(X) = G⁰_X(1) (3)

V ar(X) = G⁰⁰_X(1) +G⁰_X(1)−

G⁰_X(1)2

.

Inversement si G_X est deux fois dérivable en t = 1, X a un moment d’ordre 2 et les formules (3) s’appliquent².

démonstration: On peut toujours dériver formellement terme à terme la série entière G_X(t), ce qui donne

G⁰_X(t) =

+∞

X

n=1

np_ntⁿ⁻¹ et G⁰⁰_X(t) =

+∞

X

n=2

n(n−1)p_ntⁿ⁻².

SiX a un moment d’ordre deux, les dérivées à gauche G⁰_X(1) etG⁰⁰_X(1) sont finies et les formules annoncées pourE(X)etV ar(X)en découlent

aussitôt. L’autre assertion est facile.

Exercice 1.6 : Retrouver l’expression de l’espérance et de la variance des lois binomiales et de Poisson en utilisant le théorème 1.5.

2 Exemple d’application des fonctions gé- nératrices

2.1 Somme d’un nombre aléatoire de variables aléa- toires

Soit X = X1, . . . , Xi, . . . une suite de v.a. à valeurs entières, indé- pendantes et de même loi de fonction génératrice G(t) = P+∞

n=0p_ntⁿ. On considérera que l’indice i figure le temps et que la suite X décrit l’état d’un système aléatoire au cours du temps, la v.a. Xi mesurant l’état du système à l’instant i.

1En effet, les séries G⁰_X(t) et G⁰⁰_X(t) convergent pour tout |t| <1 et les limites lim_t→1−G⁰_X(t) =E(X)et lim_t→1−G⁰⁰_X(t) =E(X(X−1))existent par le théorème du prolongement d’Abel ; on déduit alors du théorème des accroissements finis que ces limites sont les dérivées à gaucheG⁰_X(1)etG⁰⁰_X(1).

2dans ce cas ce sont des dérivées ent= 1.

Pour tout entier n ∈ N fixé on considère la v.a. S_n totalisant les X_i jusqu’à l’instantn :

(4) S₀ = 0 et S_n=

n

X

i=1

X_i si n ≥1.

Dans certains problèmes (nous verrons un exemple ci-dessous) on est amené à considérer une somme d’un nombre aléatoire N de termes : S_N =PN

i=1X_i oùN est une v.a. à valeurs entières, définie sur le même espace probabilisé que lesXi et indépendante de la suiteX ³. La somme S_N est définie précisément de la manière suivante :

(5) ∀k∈N, ∀ω∈[N =k], S_N(ω) = S_k(ω).

On notera que puisque les événements [N = k] (k ∈ N) forment un système complet⁴, la valeur S_N(ω) est bien définie pour tout ω ∈ Ωet que les valeurs prises par S_N sont entières. Nous admettrons que S_N est bien une v.a.⁵

Remarque 2.1 : Il est facile de trouver une expression pour la loi de probabilité de la v.a. S_N, en notant que grâce à la formule de la probabilité totale, pour tout j ∈N, on a

P(S_N =j) =

+∞

X

n=0

P(S_N =j|N =n)P(N =n)

=

+∞

X

n=0

P(S_n=j)P(N =n), (6)

car P(S_N = j|N = n) = P(S_n = j|N = n) = P(S_n = j) d’après l’hypothèse d’indépendance⁶. Mais cette expression de la loi deS_N n’est pas très maniable. Le résultat qui suit donne une expression très simple de la fonction génératrice deS_N de laquelle on peut déduire simplement les moments de S_N.

On note H(t) = P+∞

n=0q_ntⁿ la fonction génératrice de N.

Proposition 2.2 : 1) La v.a. SN définie en (5) a une fonction géné- ratrice donnée par la formule

(7) G_SN(t) =H(G(t)) =H◦G(t)

2) si les v.a. X_i et N ont un moment d’ordre deux,S_N a également un moment d’ordre deux et on a

E(S_N) =E(N)E(X₁)

V ar(S_N) =E(N)V ar(X₁) + (E(X₁))²V ar(N).

3i.e. telle que pour tout entierk, les v.a.N, X₀, X₁, . . . , X_k sont indépendantes.

4i.e. une partition deΩ.

5L’espace Ω n’étant pas discret en général dans les situations de ce type, il conviendrait de vérifier la condition de mesurabilité.

6en effet on peut montrer facilement queN etSn sont indépendantes.

démonstration : Pour n ∈ N, par la définition (4) de S_n et par le théorème 1.2, on voit que

(8) G_S0(t) = 1 et G_Sn(t) = (G(t))ⁿ pour n≥1.

Pour tout n ∈ N, notons p^∗n_j = P(Sn = j) le coefficient de t^j dans le développement en série entière de G_Sn(t). D’après la formule (6), P(S_N =j) =P+∞

n=0q_np^∗n_j . On a donc

GS_N(t) =

+∞

X

j=0

P(SN =j)t^j =

+∞

X

j=0 +∞

X

n=0

qnp^∗n_j t^j

=

+∞

X

n=0

q_n

+∞

X

j=0

p^∗n_j t^j

!

=

+∞

X

n=0

q_nG_Sn(t)

=

+∞

X

n=0

q_n(G(t))ⁿ =H(G(t)).

De plus si les X_i et N ont un moment d’ordre deux, on peut dériver deux fois les fonctions H et G en t = 1 donc la fonction composée H◦Gaussi, ce qui montre que S_N a un moment d’ordre deux et grâce au théorème 1.5 on obtient alors

E(S_N) =H⁰(G(1))G⁰(1) =H⁰(1)G⁰(1) =E(N)E(X₁) V ar(S_N) = (H◦G)⁰⁰(1) + (H◦G)⁰(1)−((H◦G)⁰(1))²

=E(N)V ar(X₁) + (E(X₁))²V ar(N).

2.2 Le processus de Galton-Watson

En étudiant le mécanisme de l’extinction des noms de famille noble en Grande-Bretagne, Galton et Watson ont été amenés a étudier le processus suivant :

On considère des particules pouvant donner naissance à des particules de même nature. Au départ on suppose qu’il y a 1 particule (génération zéro). Chaque particule a la même probabilitép_kde produire elle même k particules (k ∈N) et on note µ=P+∞

k=0kpk <+∞ le nombre moyen de descendants d’une particule quelconque. Les particules descendantes de lan-ième génération forment lan+ 1-ième génération. Les particules de chaque génération se comportent indépendamment l’une de l’autre.

Notons X_n,k le nombre de particules produites par la particule n^ok de la n−1-ième génération. On a donc

N1 =X1,1

N₂ =X_2,1+· · ·+X_2,N1 ...

N_n =X_n,1+· · ·+X_n,Nn−1 ...

etc

N_n est le nombre de particules composant la n-ième génération⁷ On va s’intéresser ici au comportement de la suite

x_n =P(N_n = 0)

(probabilité d’extinction à la n-ième génération et à sa limite quand n→+∞ (= la probabilité d’extinction du nom de famille).

Exercice 2.3 : On note G_n la fonction génératrice de N_n et G=G₁. On suppose que p₀ 6= 0 ⁸.

1) Montrer queGn+1(t) = Gn(G(t)) =G(Gn(t)).

2) En déduire que la suite x_n vérifie les formules de récurrence x₁ =G(0) et x_n+1 =G(x_n)

et que la limiteξ = lim_n→+∞x_n existe.

3) Montrer que si µ≤1alors ξ = 1.

4) si µ >1 montrer queξ < 1.

5) Montrer queξ =P(∪^+∞_n=0[N_n= 0]) .

solution : 1) D’après la proposition 2.2, on a G_n+1(t) = G_n(G(t)) et par récurrence descendante, on obtientG_n+1(t) = (G◦ · · · ◦G)(t)(n+1 fois) donc par associativité de la composition des applications, on a aussi

G_n+1(t) = G(G_n(t)).

2) On en déduit que x_n+1 = G_n+1(0) = G(G_n(0)) = G(x_n) avec x₁ = G(0) = p₀. Mais la fonction G est strictement croissante⁹ sur [0,1]; d’où 0 < p₀ = x₁ implique G(0) = x₁ < G(x₁) = x₂. Supposons par hypothèse de récurrence quex_n−1 < x_n, alorsx_n=G(x_n−1)< G(x_n) = x_n+1. Donc la suite x_n est croissante ; comme elle est majorée par 1, elle est donc convergente vers une limite ξ ∈]0,1] qui vérifie forcément

ξ=G(ξ) puisque la fonction G est continue.

3) Étudions les racines de l’équationt =G(t). D’abordt = 1est racine évidente. Notons aussi que si on a deux racinest₁ =G(t₁)ett₂ =G(t₂) alors ^G(t2_t^)−G(t1)

2−t₁ = 1et donc il existe c∈]t₁, t₂[tel que G⁰(c) = 1d’après le théorème des accroissements finis. Or la fonction G⁰ est strictement croissante sur[0,1]ce qui prouve qu’il existe uncunique dans[0,1]tel que G⁰(c) = 1. On en conclut que l’équation t =G(t) a au plus deux racines dans [0,1] donc au plus une racine dans[0,1[¹⁰.

S’il y a effectivement une racine dans [0,1[, il existe¹¹ c∈ [0,1[ tel que G⁰(c) = 1 donc comme G⁰ est strictement croissante,

G⁰(1) =µ >1.

7attention la somme définissantN_n doit être prise au sens de la formule (5) i.e.

pourω∈[N_n−1= 0], on a N_n(ω) = 0.

8sinon il est clair qu’il ne peut pas y avoir extinction.

9c’est sur série entière à coefficients≥0 et il existe un coefficient pk >0 pour unk≥1.

10cart= 1 est racine.

11d’après ce qu’on a vu plus haut.

Ainsi lorsqueµ≤1, il n’y a pas de racine dans[0,1[et alors forcément, limx_n =ξ = 1.

4) Siµ >1, il faut montrer quex_nconverge effectivement vers la racine ξ < 1. Ceci est facile¹², il suffit de remarquer que x₁ < ξ et que, par récurrence, pour tout n,x_n < ξ (faire une figure).

5) Il est trivial de remarquer que les événements [N_n = 0] forment une suite croissante. Par la propriété de continuité de la probabilité par limite croissante¹³, on obtient ξ = limx_n = P(∪^+∞_n=0[N_n = 0]) = P(extinction du nom de famille).

Note à l’attention des lecteurs : Merci de me signaler les coquilles ou erreurs que vous auriez pu remarquer dans ce fichier. Votre attention permettra d’améliorer la prochaine version de ces notes de cours.

12exercice de niveau L1.

13théorème du chapitre deux.