Chapitre 6: Fonctions Génératrices et Fonctions Caractéristiques

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Chapitre 6:

Fonctions Génératrices et Fonctions Caractéristiques

Prof. Mohamed El Merouani

2019/2020

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Plan

Fonctions génératrices

Fonctions génératrices des moments Fonctions caractéristiques

Applications

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Fonction génératrice :

Soit X une v.a. discrète telle quep_k =P(X=k);k= 0,1,2, ... avec P∞

k=0pk = 1 Définition :

La fonction définie parG(t) =E(t^X) =P∞

k=0pkt^k qui converge pour

|t| ≤1, est dite fonction génératrice de la v.a. X.

Conséquence :

Les moments de la v.a. X s’ils existent peuvent être déterminés par les dérivées de G(t)au point t= 1.

(4)

Fonction génératrice :

En effet,

G⁰(t) =

∞

X

k=1

kp_kt^k−1 ⇒G⁰(1) =E(X) siE|X|<∞.

G⁰⁰(t) =

∞

X

k=2

k(k−1)p_kt^k−2⇒G⁰⁰(1) =E(X(X−1)) siE(X²)<∞.

et ainsi de suite...

E(X²) =G⁰(1) +G⁰⁰(1) et

V ar(X) =G⁰⁰(1) +G⁰(1)−[G⁰(1)]².

(5)

Fonction génératrice :

Exemple :

Soit X la v.a. de Poisson défine par : P(X=k) =e^{−k λ}_k!^k;k= 0,1,2, ...

On a

G(t) =

∞

X

k=0

(tλ)^ke^−λ

k! =e^−λe^tλ=e^−λ(1−t);|t| ≤1 Donc,

G⁰(t) =λe^−λ(1−t) G⁰⁰(t) =λ²e^−λ(1−t)

E(X) =λ;

E(X²−X) =λ²;

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Fonction génératrice des moments :

Définition :

Soit X une v.a. définie sur (Ω,A, P).

La fonction génératrice des moments est définie pour toute variable aléatoireX par :

M(t) =E(e^tX) = P

xe^txP(X=x) si X est discrete;

R+∞

−∞ e^txf(x)dx si X est continue SiE(e^tX) existe dans un voisinage de l’origine.

où eest la base de l’exponentielle népérienne etf est la fonction de densité de la variable aléatoire continueX.

Théorème :

SiM(t) existe pourt∈]−t₀, t₀[, t₀ >0,alors ses dérivées de tout ordre existent poutt= 0 et de plusM⁽ⁿ⁾(0) =E(Xⁿ);n= 0,1,2,· · ·.

(7)

Fonction génératrice des moments :

C’est-à-dire que :

Tous les moments d’ordre npeuvent être calculés à l’aide des dérivées de la fonction génératrice des moments au pointt= 0.

En effet, M⁰(t) = d

dtE(e^tX) = d dt

"

X

x

e^txP(X =x)

#

=X

x

d

dte^txP(X=x)

=X

x

xe^txP(X =x) =E(Xe^tX) si X est dicrete et

M⁰(t) = d

dtE(e^tX) = d dt

Z +∞

−∞

e^txf(x)dx

= Z +∞

−∞

d

dte^txf(x)dx

+∞

(8)

Fonction génératrice des moments :

En posantt= 0, on aM⁰(0) =E(X).

De même,

M⁰⁰(t) = d

dtM⁰(t) = d

dtE(Xe^tX) =E(X²e^tX) etM⁰⁰(0) =E(X²).

D’une facon generale, on a :

M⁽ⁿ⁾(t) =E(Xⁿe^tX), n≥1 etM⁽ⁿ⁾(0) =E(Xⁿ).

Ou encore, d’après le théorème précèdent, si M(t) existe pour t∈]−t₀, t₀[, t₀ >0, alors on peut développer M(t) en série de Mc-Laurin :

M(t) =M(0) +M⁰(0).t

1!+M⁰⁰(0).t²

2!+· · ·+M⁽ⁿ⁾(0).tⁿ n!+· · · AinsiE(Xⁿ) est le coefficient de ^t_n!ⁿ.

(9)

Fonction génératrice des moments :

Remarque :

La fonction génératrice des moments peut ne pas exister.

En effet, E(e^tX) n’est pas toujours définie.

Exemple 1 :

Soit X une v.a. discrète définie par : P(X=k) = 6

π². 1

k² ; k= 1,2,· · · Donc, on a : M(t) = 6

π²

∞

X

k=1

e^tk k² =∞

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Fonction génératrice des moments :

Exemple 2 :

Soit X une v.a. continue de fonction de densité f(x) = 1

2e⁻^x²; x >0 Donc M(t) = _1−2t¹ pourt < ¹₂,

M⁰(t) = 2

(1−2t)² etM⁰⁰(t) = 8

(1−2t)³ pourt < ¹₂, On en déduit E(X) = 2,E(X²) = 8etV ar(X) = 4.

Exemple 3 :

Soit X une v.a. continue de densité de probabilité la fonction

f(x) =ce^−|x|^α,0< α <1,x∈R, oùcest une constante déterminée par la condition R+∞

−∞ f(x)dx= 1.

(11)

Fonction génératrice des moments :

Exemple 3 (suite) : Pour t >0, on a :R∞

0 e^txe^−x^αdx=R∞

0 e^x(t−x^α−1⁾dxet puisque α−1<0,R∞

0 e^txe^−x^αdx n’est pas finie pourt >0; car e^x(t−x^α−1⁾∼_x→∞e^tx.

D’où M(t) n’existe pas ! PourtantE(|X|ⁿ) =cR+∞

−∞ |X|ⁿe^−|x|^αdx= 2cR∞

0 xⁿe^−x^αdx.

Par un changement de variabley =x^α, on obtient E(|X|ⁿ) = ^2c_α R∞

0 yⁿ⁺¹^α ⁻¹e^−ydy= ^2c_αΓ ⁿ⁺¹_α

<∞

On remarque, donc, que même si M(t) est infini, les moments peuvent être finis.

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Fonction génératrice des moments :

Rappel :

Γ est la fonction gamma d’Euler définie sur]0,+∞[par : Γ(α) =R∞

0 e^−tt^α−1dt Propriétés :

1 Γ(α) = (α−1)Γ(α−1) En effet,

Γ(α) =R∞

0 e^−tt^α−1dt= (α−1)R∞

0 e^−tt^α−2dt= (α−1)Γ(α−1)

2 Γ(1) = 1

En effet, Γ(1) =R∞

0 e^−tdt= 1

3 Γ(n) = (n−1)!

En effet, Γ(n) = (n−1)Γ(n−1) = (n−1)(n−2)Γ(n−2) =· · ·=

= (n−1)!Γ(1) = (n−1)!

(13)

Fonctions caractéristiques :

Introduction :

SiX est une v.a. quelconque, la fonction génératrice G(s) =E(s^X), nous invite à former :R+∞

−∞ s^xdF(x).

Cette intégrale a un sens auvoisinage de |s|= 1, ce qui conduit à posers=e^it et á donner à tdes valeurs réelles.

On obtient finalement la fonction : E e^itX

=R+∞

−∞ e^itxdF(x) notéeϕX(t) et dite fonction caractéristique deX

La fonction caractéristique deX a l’énorme avantage d’exister pour tout nombre réel tet toute v.a. X.

En outre, la correspondance entre loi de probabilité d’une v.a. et fonction caractéristique est bijective.

(14)

Fonction caractéristique :

Définition

On définit la fonction caractéristique de la v.a. X, par : ϕX(t) =E(e^itX) =

P

xe^itXP(X=x) si X est discrete;

R+∞

−∞ e^itxf(x)dx si X est continue Comme |e^itx|= 1 pour tout réelt, par exemple, si X est une variable aléatoire absolument continue, l’intégrale

ϕ_X(t) = Z +∞

−∞

e^itxf(x)dx= Z +∞

−∞

e^itxdF(x)

existe pour toute fonction de densité f et la fonction caractéristique peut être définie pour toute variable aléatoire X.

(15)

Propriétés :

1 ϕ_X(0) = 1.

2 |ϕ_X(t)| ≤1, t∈R.

3 SiY =aX+b,aetb étant des constantes, alors ϕY(t) =ϕX(at)e^ibt,

où ϕ_X etϕ_Y sont les fonctions caractéristiques des variables aléatoiresX etY.

4 ϕ(−t) =ϕ(t)

(16)

Preuves :

1 On montre la propriété pour X absolument continue. En effet : ϕ_X(0) =R+∞

−∞ f(x)dx= 1.

2 On montre la propriété pour X absolument continue. En effet :

|ϕ(t)|=|R+∞

−∞ e^itxf(x)dx| ≤R+∞

−∞ |e^itx|f(x)dx=R+∞

−∞ f(x)dx= 1.

3 ϕ_Y(t) =E(eîtY) =E(eît(aX+b)) =eîtbE(eîtaX) =eîtbϕ_X(at).

4 ϕ(−t) =E[e^−itX] =E(costX)−iE(sintX) =

E[cos(tx)] +iE[sin(tx)] =E[cos(tx) +isin(tx)] =E[e^itX] =ϕ(t)

(17)

Théorème 1 :

Soit X la v.a. de fonction de répartition F(x) et de fonction

caractéristiqueϕ_X(t). Alorsϕ_X(t) est uniformèment continue surR Preuve :

On considère la différence : ϕX(t+h)−ϕX(t) =R+∞

−∞ e^itx e^ixh−1 dF(x) ce qui entraîne |ϕ_X(t+h)−ϕX(t)| ≤R+∞

−∞ |e^ixh−1|dF(x) Soit ε >0 arbitraire, choisissonsA suffisamment grand pour que R

|x|>AdF(x)< ^ε₄ et choisissonsh assez petit de manière que pour

|x|< Aon ait :|e^ixh−1|< ^ε₂ Alors on a :

|ϕ_X(t+h)−ϕX(t)| ≤RA

−A|e^ixh−1|dF(x) + 2R

|x|≥AdF(x)< ε car|e^ixh−1| ≤ |e^ixh|+|1| ≤1 + 1 = 2

(18)

Théorème 2 :

Si le moment d’odrek≥1 de la v.a.X existe, la fonction

caractéristiqueϕX(t) admet une dérivée d’odre kcontinue au voisinage de l’origine etϕ^(k)_X (0) =i^kE(X^k).

Preuve : On sait que :

ϕ_X(t) = Z +∞

−∞

e^itxdF(x) on constate que pour tout nombre réel t, on a :

Z +∞

−∞

(ix)^ke^itxdF(x)

≤ Z +∞

−∞

|x|^kdF(x)<∞ (par hypothèse) On peut donc dériver à l’ordre k sous le signe somme l’intégrale qui définit ϕ(t) et écrire, pour tout nombre réelt l’expression

ϕ^(k)_X (t) = Z +∞

−∞

d^k(e^itx)

dt^k dF(x) =i^k Z +∞

−∞

x^ke^itxdF(x)

(19)

Théorème 2 :

Preuve :(Suite)

Cette dérnière intégrale est donc absolument convergente ; elle est uniformément convergente en t.

L’intégrale obtenue est la dérivée d’ordre k deϕ(t) et enfin cette intégrale est continue en t. On a donc :

ϕ^(k)_X (t) =i^k Z +∞

−∞

x^ke^itxdF(x)

la limite pour t= 0 est ϕ^(k)_X (0) =i^kR+∞

−∞ x^kdF(x) =i^kE(X^k).

(20)

Exemples :

Exemple 1 :

On considère X une v.a. qui suit une loi binomiale B(n, p). À partir de sa fonction caractéristique on calculera son espérance mathématique et sa variance.

On a :

ϕ(u) =E(e^iuX) =

n

X

k=0

e^iukP(X =k) =

n

X

k=0

e^iukC_n^kp^k(1−p)^(n−k)

=

n

X

k=0

C_n^k(pe^iu)^k(1−p)^(n−k)= pe^iu+ (1−p)n

.

(21)

Exemple 1 :

La dérivée ϕ⁰(u) s’écrit

ϕ⁰(u) =n pe^iu+ (1−p)n−1

ipe^iu; d’où E(X) = ¹_iϕ⁰(0) =np.

La dérivée seconde est

ϕ⁰⁰(u) =−npe^iu pe^iu+ (1−p)n−2

npe^−iu+ (1−p)

; etE(X²) = _i¹2ϕ⁰⁰(0) =−

−n(n−1)p²−np

=n(n−1)p²+np.

La variance V ar(X)est donc V ar(X) =E(X²)−E(X)² V ar(X) =n(n−1)p²+np−n²p²

(22)

Exemples :

Exemple 2 :

On considère X une v.a. qui suit une loi de PoissonP(λ). À partir de sa fonction caractéristique on calculera son espérance mathématique et sa variance.

On a :

ϕ(u) =E(e^iuX) =

∞

X

k=0

e^iuke^−λλ^k k! =e^−λ

∞

X

k=0

(λe^iu)^k

k! =e^−λe^λe^iu ϕ(u) = exp λ(e^iu−1)

La dérivée ϕ⁰(u) s’écritϕ⁰(u) =λie^iuexp λ(e^iu−1)

; d’où E(X) = 1

iϕ⁰(0) =λ.

(23)

Exemple 2 :

La dérivée ϕ⁰⁰(u) s’écrit :

ϕ⁰⁰(u) =−λieîuexp(λ(eîu−1))−λieîuλieîuexp(λ(eîu−1))

=−λieîuexp(λ(eîu−1))−(λieîu)²exp(λ(eîu−1));

d’où

E(X²) = 1

i²ϕ⁰⁰(0) =−(−λ−λ²) =λ²+λ La variance V ar(X)est donc

V ar(X) =λ²+λ−λ² =λ

(24)

Exemples :

Exemple 3 :

On considère X une v.a. qui suit une loi normaleN(0,1)etY une v.a.

qui suit une loi normale N(m, σ). À partir de la fonction caractéristique de X, on calculera la fonction caractéristique deY et on en retrouvra l’espérance mathématique et la variance de Y.

On a :

ϕX(u) = 1

√ 2π

Z +∞

−∞

e^iux−^x

2 2 dx Comme

Z +∞

−∞

e⁻^x

2

2 sinu x dx= 0, alors :

ϕ_X(u) = 1

√2π Z +∞

−∞

e⁻^x

2

2 cosu x dx

(25)

Exemple 3 :

et

ϕ⁰_X(u) =− 1

√2π Z +∞

−∞

xe⁻^x

2

2 sinu x dx Une intégration par partie donne

ϕ⁰_X(u) = 1

√2π Z +∞

−∞

sinu x d

e⁻^x

2 2

donc

ϕ⁰_X(u) =−u 1

√2π Z +∞

−∞

e⁻^x

2

2 cosu x dx=−uϕ_X(u) On en tire ^ϕ_ϕ⁰^X^(u)

X(u) =−u ou [lnϕ_X(u)]⁰ =−u Ce qui implique

lnϕ_X(u) = −u² +c.

(26)

Exemple 3 :

SiY ∼ N(m, σ), on peut représenter Y sous la formeY =σX+moù X ∼ N(0,1); d’où

ϕ_Y(u) =ϕ_σX+m(u) =e^iume^−u

2σ2 2

La dérivée ϕ⁰_X(u)s’écrit

ϕ⁰_Y(u) = (im−uσ²)e^iume^−u

2σ2 2

etE(Y) = ¹_iϕ⁰_Y(0) =m.

La dérivée ϕ⁰⁰_Y(u)s’écrit

ϕ⁰⁰_Y(u) =−σ2e^ium−^u

2σ2

2 + (im−uσ²)²e^ium−^u

2σ2 2

etE(Y²) = _i¹2ϕ⁰⁰_Y(0) =−(−σ²+i²m²) =σ²+m²

La variance V ar(Y) est doncV ar(Y) =σ²+m²−m² =σ²

(27)

On a vu que, pour la fonction génératrice des moments M(t), on a : M(t) =

∞

X

k=0

m_k(t)^k k!

On a un résultat pareil pour la fonction caractéristiqueϕ(t) qui découle du théorème précèdent :

Corollaire :

Si les npremiers moments deX,m_k =E[X^k](k= 1,2,· · ·, n) existent, alors on a pour t→0,

ϕ_X(t) =

n

X

k=0

(it)^k

k! m_k+o(tⁿ)

Preuve : Elle résulte immédiatement du théorème précèdent

(28)

Exemples :

Exemple 4 :

Soit X une v.a. uniforme sur]a, a+b[de densité : f(x) =

₁

b sia < x < a+b 0 ailleurs

Calculons sa fonction caractéristique et en déduire ses moments.

ϕ(t) = 1 b

Z a+b

a

e^itxdx= 1 ibt

e^i(a+b)t−e^iat

= 1 ibt

∞

X

n=0

(it)ⁿ

n! [(a+b)ⁿ−aⁿ]

=

∞

X

n=1

(it)ⁿ⁻¹ n!

(a+b)ⁿ−aⁿ

b =

∞

X

n=0

(it)ⁿ n!

(a+b)ⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹ b(n+ 1)

(29)

Exemple 4 :

En vertu de corollaire, on a :

m_n= (a+b)ⁿ⁺¹−aⁿ⁺¹

b(n+ 1) ;n= 0,1,2,· · ·

(30)

Calculs des moments des lois usuelles :

Pour calculer l’espérance, la variance et les moments d’ordre supérieurs, on peut utiliser :

la méthode directe (définition de ces moments) la fonction génératrice

la fonction génératrice des moments la fonction caractéristique

(31)

Calculs des moments des lois usuelles :

Nous avons déjà calculé l’espérance et la variance pour les lois : binomiale, en utilisant sa fonction caractéristique

de Poisson, en utilisant la fonction génératrice et aussi la fonction caractéristique

normale centrée réduite et la normale N(m, σ), en utilisant la fonction caractéristique

uniforme sur l’intervalle]a, a+b[, en utilisant la fonction caractéristique et son dévellopement en série.

(32)

Lois discrètes :

Loi de Dirac :

Soit aun nombre fixé. SoitX une v.a. prenant la valeur aavec

P(X =a) = 1et suivant la loi de Dirac au point a. Sa loi de probabilité δaest :

δa(x) =

1 si x=a 0 si x6=a Sa fonction caractéristique est :

ϕ(t) =E(e^itX) =X

x

eîtxδa(x) =eîtaδa(a) =eîta de dérivée ϕ⁰(t) =iaeîta et de dérivée seconde ϕ⁰⁰(t) =−a²eîta donc son espérance mathématique est :

E(X) = 1

iϕ⁰(0) =a etE(X²) = _i¹2ϕ⁰⁰(0) =a², doù sa variance est :

V ar(X) =E(X²)−E(X)²=a²−a² = 0

(33)

Loi de Bernoulli :

Soit une v.a. X qui suit une loi de Bernoulli de paramètre p (0≤p≤1), alors X(Ω) ={0,1} avec P(X= 1) =pet P(X = 0) = 1−p.

Sa fonction caractéristique est : ϕ(t) =E(e^itX) =X

x

P(X =x)eîtx =peît+ (1−p)e⁰ =peît+ (1−p)

de dérivée première ϕ⁰(t) =ipe^it et de dérivée seconde ϕ⁰⁰(t) =−pe^it. Donc son espérance mathématique est E(X) = ¹_iϕ⁰(0) =pet

E(X²) = _i¹2ϕ⁰⁰(0) =p.

D’où sa variance est : V ar(X) =E(X²)−E(X)² =p−p²=p(1−p).

(34)

Loi géométrique (1) :

Soit une v.a. X qui suit une loi géométrique de paramètre pavec

∀k∈X(Ω) ={1,2,· · · , n,· · · }, P(X=k) =p(1−p)^k−1; Sa fonction caractéristique est :

ϕ(t) =E(e^itX) =p

∞

X

k=1

eîtk(1−p)^k−1 = peît 1−(1−p)eît On peut calculer sa dérivée première et sa dérivée seconde et déduire son espérance mathématique E(X) = ¹_iϕ⁰(0) = ¹_p.

De même, on peut calculer E(X²) = _i¹2ϕ⁰⁰(0) = ^2(1−p)_p2 + ¹_p et déduire V ar(X) =E(X²)−E(X)²= ^2(1−p)_p2 +¹_p −_p¹₂ = ^1−p_p2 .

(35)

Loi géométrique (2) :

On peut consiérer la loi géométrique de paramètre p, mais avec X(Ω) ={0,1,2,· · · , n,· · · }qui commence par0 et non pas 1, alors

∀k∈X(Ω), P(X=k) =p(1−p)^k; Sa fonction caractéristique est :

ϕ(t) =E(e^itX) =p

∞

X

k=0

e^itk(1−p)^k = p 1−(1−p)e^it Dans ce cas, on trouve après avoir calculer les dérivées première et seconde de cette fonction caractéristique, l’espérance mathématique E(X) = ^1−p_p et la variance V ar(X) = ^1−p_p2 .

(36)

Loi binomiale négative (1) :

Une v.a.X suit une loi binomiale négative de paramètresnetp et on noteX ∼N B(n, p) si

∀k∈X(Ω) =N^∗; P(X =k) =C_k+n−2^k−1 pⁿ(1−p)^k−1; Sa fonction caractéristique est :

ϕ(t) =

pe^it 1−(1−p)e^it

n

; pour |(1−p)e^it|<1 Son espérance mathématique est :

E(X) = n p Sa variance est :

V ar(X) = n

p²(1−p) Pour n= 1, on retrouve la loi géométrique (1).

(37)

Loi binomiale négative (2) :

Une v.a.X suit une loi binomiale négative de paramètresnetp et on noteX ∼N B(n, p) si

∀k∈X(Ω) =N; P(X=k) =C_k+n−1^k pⁿ(1−p)^k; Sa fonction caractéristique est :

ϕ(t) =

p

1−(1−p)e^it n

; pour |(1−p)e^it|<1 Son espérance mathématique est :

E(X) =n1−p p Sa variance est :

V ar(X) = n

(1−p)

(38)

Loi multinomiale :

Un vecteur aléatoire X= (X₁, X₂,· · ·, X_m) suit une loi multinomiale de paramètres n, p₁, p₂,· · · , p_m si

P(X1=n1,· · ·, Xm =nm) = n!

n1!n2!· · ·nm!p₁ⁿ¹pⁿ₂²,· · · , pⁿ_m^m où Pm

i=1ni =nSa fonction caractéristique est : ϕ(t) =ϕ(t₁, t₂,· · · , t_m) =

m

X

k=1

p_ke^it^k

!m

L’espérance mathématique d’une composante Xi est : E(X_i) =np_i; (i= 1,2,· · ·, m) Sa variance est :

V ar(X_i) =np_i(1−p_i); (i= 1,2,· · · , m)

(39)

Lois Continues :

Loi uniforme :

Une v.a. continueX suit une loi uniforme sur un intervalle[a, b]et on noteX ∼ U[a, b]si sa densité de probabilité est :

f(x) = ₁

b−a sia≤x≤b

0 sinon

Sa fonction caractéristique est : ϕ(t) = 1

b−a

e^itb−e^ita it Son espérance mathématique est :

E(X) =a+b 2 Sa variance est :

(40)

Loi exponentielle :

Une v.a. continue X suit une loi exponentielle de paramètreλ >0et on noteX ∼ Exp(λ)si sa densité de probabilité est :

f(x) =

λe^−λx six≥0 0 six <0 Sa fonction caractéristique est :

ϕ(t) = λ λ−it

Son espérance mathématique est : E(X) = 1

λ Sa variance est :

V ar(X) = 1 λ²

(41)

Loi gamma :

Une v.a. continueX suit une loi gamma de paramètres α, β >0 et on noteX ∼Γ(α, β)si sa densité de probabilité est :

f(x) = ( _βα

Γ(α)e^−βxx^α−1 six≥0 0 six <0 où Γ(α) =R∞

0 e^−tt^α−1dt.

Sa fonction caractéristique est : ϕ(t) =

1− it

β −α

Son espérance mathématique est : E(X) = α

β Sa variance est :

V ar(X) = α

(42)

Loi bêta :

Une v.a. continue X suit une loi bêta de paramètres α, β >0et on note X ∼ B(α, β) si sa densité de probabilité est :

f(x) = 1

B(α,β)x^α−1(1−x)^β−1 si0≤x≤1

0 sinon

où B(α, β) = ^Γ(α)Γ(β)_Γ(α+β)

Sa fonction caractéristique est : ϕ(t) =Γ(α+β)

Γ(α)

∞

X

k=0

(it)^k k!

Γ(α+k) Γ(α+β+k) Son espérance mathématique est :

E(X) = α α+β Sa variance est :

V ar(X) = αβ

(α+β)²(α+β+ 1)

(43)

Loi de Laplace :

Une v.a.X suit une loi de Laplace de paramétresα etλ >0 si sa densité est :

f(x) =λ

2e^{−λ|x−α|}; x∈]− ∞,+∞[

Sa fonction caractéristique est :

ϕ(t) = λ²e^itα t²+λ² Son espérance mathématique est :

E(X) =α Sa variance est :

V ar(X) = 2

(44)

Loi de Cauchy :

Une v.a.X suit une loi de Cauchy de paramètresα etλ >0si sa densité est :

f(x) = 1 π

λ

λ²+ (x−α)²; x∈]− ∞,+∞[

ϕ(t) = exp (iαt−λ|t|)

(45)

Loi normale :

Une v.a.X suit une loi normale de paramètresm etσ >0 et on note X ∼ N(m, σ) si sa densité est :

f(x) = 1 σ√

2πe⁻

(x−m)2

2σ2 ; x∈]− ∞,+∞[

Sa fonction caractéristique est : ϕ(t) = exp

imt− t²σ² 2

Son espérance mathématique est :

E(X) =m Sa variance est :

(46)

Loi normale centrée réduite :

Une v.a.X suit une loi normale centrée réduite s’il suit une loi normale de paramètre m= 0 etσ = 1 et on note X∼ N(0,1). Sa fonction de densité est :

f(x) = 1

√2πe⁻^(x)2² ; x∈]− ∞,+∞[

ϕ(t) =e⁻^t

2 2

Son espérance mathématique est : E(X) = 0 Sa variance est :

V ar(X) = 1

(47)

Loi du Khi-deux :

Une v.a.X suit une loi de Khi-deux avecndegrés de liberté si sa densité est :

f(x) =

( ₁

2ⁿ²Γ(ⁿ₂)e⁻^x²xⁿ²⁻¹ six >0

0 six≤0

ϕ(t) = (1−2it)⁻ⁿ² Son espérance mathématique est :

E(X) =n Sa variance est :

V ar(X) = 2n

(48)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

Formule d’inversion :

Soit F la fonction de répartition d’une v.a. et soitϕsa fonction caractéristique.

Nous nous proposons d’exprimer F à partir de ϕ.

Théorème général : Soit a, b∈R,a < b. Alors :

Tlim→∞

1 2π

Z T

−T

e^−ita−e^−itb

it ϕ(t)dt=

= 1

2[F(b+ 0) +F(b−0)]−1

2[F(a+ 0) +F(a−0)]

(49)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

Preuve du Théorème général :

e^−ita−e^−itb it ϕ(t)

=|ϕ(t)|

e^−ita−e^−itb it

≤b−a Donc, en vertu du théorème de Fubini, on peut permuter les opérateurs d’intégration et écrire :

I_T = 1 2π

Z T

−T

e^−ita−e^−itb

it ϕ(t)dt= 1 2π

Z ∞

−∞

dF(x) Z T

−T

e^−ita−e^−itb it e^itxdt

= 1 2π

Z ∞

−∞

dF(x) Z T

−T

e^−it(x−a)−e^−it(x−b)

it dt

(50)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

Or, J_T = Z T

−T

e^−it(x−a)−e^−it(x−b)

it dt=

= Z T

−T

cost(x−a)−cost(x−b)

it dt−i

Z T

−T

sint(x−a)−sint(x−b)

it dt

= 2 Z T

0

sint(x−a) t dt−

Z T

0

sint(x−b) t dt

= 2

"

Z T(x−a)

0

sinu u du−

Z T(x−b)

0

sinu u du

#

L’intégrale de DirichletS(v) =Rv 0

sinu

u duest telle que S(v)−→_v→±∞±^π₂

(51)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

Nous avons donc : JT = 2 [S(T(x−a))−S(T(x−b))].

D’autre part I_T = 1 2π

Z ∞

−∞

2 [S(T(x−a))−S(T(x−b))]dF(x).

I_T = 1 2π

Z a−0

−∞

J_TdF(x) + Z a+0

a−0

J_TdF(x) + Z b−0

a+0

J_TdF(x) +

+ Z b+0

b−0

J_TdF(x) + Z ∞

b+0

J_TdF(x)

(52)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

• Six < a < b, on a :

S(T(x−a))−→_T→∞ −π

2, S(T(x−b))−→_T→∞ −π 2. Donc

Tlim→∞

Z a−0

−∞

JTdF(x) = 0.

• Six=a < b, on a :

S(T(x−a)) = 0, S(T(x−b))−→_T_→∞−π 2. Donc

Tlim→∞

Z a+0

a−0

JTdF(x) =π[F(a+ 0)−F(a−0)]

(53)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

• Sia < x < b, on a :

S(T(x−a))−→_T_→∞ π

2, S(T(x−b))−→_T_→∞−π 2. Donc

Tlim→∞

Z b−0

a+0

JTdF(x) = 2π[F(b−0)−F(a+ 0)]

• Sia < x=b, on a :

S(T(x−a))−→_T_→∞ π

2, S(T(x−b)) = 0.

Donc

Z b+0

(54)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

• Sia < b < x, on a :

S(T(x−a))−→_T_→∞ π

2, S(T(x−b))−→_T_→∞ π 2. Donc

Tlim→∞

Z ∞ b+0

J_TdF(x) = 0 En résumé :

Tlim→∞I_T = 1

2π[π(F(a+ 0)−F(a−0))+

2π(F(b−0)−F(a+ 0)) +π(F(b+ 0)−F(b−0))] =

= 1

2[F(b+ 0) +F(b−0)]−1

2[F(a+ 0) +F(a−0)]

(55)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

Corollaire 1 :

Siaetb sont deux points de continuité deF. On a : F(b)−F(a) = lim

T→∞

1 2π

Z T

−T

e^−ita−e^−itb it ϕ(t)dt Formule d’inversion (Paul-Levy)

(56)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

Formule de réciprocité de Fourier :

Corollaire 2 :

Siϕest absolument intégrable, la fonction de répartition F est dérivable dansR et de plus

F⁰(x) =f(x) = 1 2π

Z +∞

−∞

e^−itxϕ(t)dt

(Formule de réciprocité de Fourier) Preuve :

F⁰(x) = lim

h→0

F(x+h)−F(x)

h = lim

h→0 lim

T→+∞

1 2π

Z T

−T

e^−itx−e^−it(x+h) ith ϕ(t)dt

(57)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

Preuve de la Formule de réciprocité de Fourier :

F⁰(x) = lim

h→0 lim

T→+∞

1 2π

Z T

−T

1−e^−ith

ith e^−itxϕ(t)dt

Or,

1−e^−ith

ith e^−itxϕ(t)

≤ |ϕ(t)|

et puisque, par hypothèseR∞

−∞|ϕ(t)|dt <∞, on peut en vertu de théorème de Lebesgue, passer à la limite sous l’opérateur d’intégration et on a :

T→+∞lim 1 2π

Z T

−T

1−e^−ith

ith e^−itxϕ(t)dt= 1 2π

Z ∞

−∞

1−e^−ith

ith e^−itxϕ(t)dt

(58)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

Preuve de la Formule de réciprocité de Fourier :

F⁰(x) =f(x) = 1 2π

Z ∞

−∞

h→0lim

1−e^−ith

ith e^−itxϕ(t)dt

= 1 2π

Z ∞

−∞

e^−itxϕ(t)dt

Cette dernière intégrale est absolument convergente en x: C’est une fonction continue en x.

Donc, la v.a. correspondante àF(x) est absolument continue, de densité

f.

(59)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

Exemple

Trouvons la densité de la v.a. dont la fonction caractéristique est ϕ(t) =e^−c|t|.

(60)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

En effet, puisqueϕ(t) est absolument intégrable, la distribution est absolument continue avec la densité :

f(x) = 1 2π

Z +∞

−∞

e^−itxϕ(t)dt= 1 2π

Z +∞

−∞

e^−itxe^−c|t|dt

= 1 2π

Z 0

−∞

e^t(c−ix)dt+ 1 2π

Z +∞

0

e^−t(c+ix)dt Les fonctions à intégrer sont holomorphes, donc

f(x) = 1 2π(c−ix)

h

e^t(c−ix)i0

−∞− 1 2π(c+ix)

h

e^−t(c+ix)i+∞

0

= 1 2π

1

c−ix+ 1 c+ix

= c

π(c²+x²)

(61)

Détermination d’une loi de probabilité sur R par sa fonction caractéristique :

Formule d’inversion - Théorèmes d’unicité :

Théorème :

Si deux fonctions de répartitions correspondent à la même fonction caractéristique, alors elles sont égales.

i.e. ϕ_F₁ =ϕ_F₂ =⇒F1 =F2

La fonction caractéristique d’une v.a. détermine la loi de cette variable.

Autrement dit, si deux v.a. admettent même fonction caractéristique, alors elles ont même loi.

Proposition :

Soit ϕX(u) est la fonction caractéristique d’une v.a. X etϕY(u)est la fonction caractéristique d’une v.a. Y.

(62)

Fonction caractéristique et indépendance :

Théorème :

Soit (X, Y) un couple de v.a. indépendantes. Alors, pour tout réelt, on a :

ϕX+Y(t) =ϕX(t)ϕY(t) Preuve :

En effet, ϕ_X+Y(t) =E(eît(X^+Y⁾) =E(eîtXeîtY), d’où, puisqueX etY sont indépendantes, donc aussieîtX eteîtY :

ϕ_X_+Y(t) =E(e^itX)E(e^itY) =ϕ_X(t)ϕ_Y(t).

On peut généraliser le théorème précédent de la façon suivante : Théorème :

Soient X₁, X₂,· · · , X_n des v.a. indépendantes. Alors, pour tout réelt, on a :

ϕ^Pⁿ

i=1Xi(t) = Πⁿ_i=1ϕXi(t)

(63)

Fonction caractéristique et indépendance :

Remarque :

On peut trouver des v.a. X etY non indépendantes qui vérifient, quand même, ϕ_X+Y(t) =ϕ_X(t)ϕ_Y(t).

Contre-exemple :

Soit X une v.a. de CauchyC(0,1); sa fonction caractéristique est donnée parϕ_X(t) =e^−|t|. Le couple(X, Y), où Y =X vérifie : ϕX+Y(t) =ϕ2X(t) =e^−2|t|= (e^−|t|)² =ϕX(t)ϕY(t).

Corollaire :

Le produit de deux fonctions caractéristiques est une fonction caractéristique.