Mesures abstraites et théorie de Carathéodory

Mesures abstraites et théorie de Carathéodory

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France

1. Algèbres etσ-algèbres

L’existence, établie par Vitali en 1905, de sous-ensembles non mesurables au sens de Borel-Lebesgue, explique que les cours théoriques sur la notion générale de mesure soient hérissés de tribus, clans, et autres cohortes qui désarçonnent les malheureux étudiants auxquels, bien entendu, on se garde d’expliquer quoi que ce soit ! M. Guinot

SoitX un ensemble quelconque. Classiquement, l’ensemble des sous-ensemblesE ⊂ XoupartiesdeX est noté :

P(X).

Définition 1.1. Une collection A ⊂ P(X) de sous-ensembles de X est appelée une algèbresi :

• X ∈A ;

• A est stable par passage au complémentaire :

A ∈ A =⇒ A^c =X\A∈A;

• A est stable par réunions finies :

∀n∈N^∗ A₁, . . . , A_n ∈ A =⇒ A₁∪ · · · ∪A_n ∈ A. Alors l’ensemble vide appartient aussi àA :

∅ = X^c ∈ A, etA est aussi stable par intersections finies :

∀n∈N^∗ A₁, . . . , A_n ∈ A =⇒ A₁∩ · · · ∩A_n =

= A^c₁∪ · · · ∪A^c_nc

∈ A. De plus, siA, B ∈A, alorsA\B ∈A, simplement parce queA\B =A∩B^c.

Une notion plus archaïque encore que celle d’algèbre sera utile plus tard.

Définition 1.2. Un π-systèmeest un sous-ensembleP ⊂ P(X)stable par intersections finies.

1

Par exemple,A ={∅, X}est une algèbre, ainsi que : A =

A ⊂X: CardA <∞ou CardX\A <∞ .

Le passage à des familles dénombrables de sous-ensembles joue un rôle important pour répondre aux exigences de l’Analyse, laquelle cherche constamment à prendre des limites desuitesde fonctions ousuitesde sous-ensembles, ce qui motive le concept suivant.

Définition 1.3. Une collection A ⊂ P(X)de sous-ensembles deX est appelée uneσ- algèbresi :

• A est une algèbre :

• A est stable par réunions dénombrables :

A₁, A₂, . . . , A_i, . . . ∈ A =⇒ [∞ i=1

A_i ∈ A.

Ici, la lettreσ∼Σde «σ-algèbre» réfère implicitement à la notationP_∞

i=1. Il en découle queA est aussi stable par intersections dénombrables :

A₁, A₂, . . . , A_i, . . . ∈ A =⇒

\∞ i=1

A_i ∈ A,

grâce à la relation ensembliste générale (exercice) :

\∞ i=1

A_i = [_∞

i=1

A^c_i c

.

Par exemple,

∅, X est uneσ-algèbre (grossière !), etP(X)aussi, diteσ-algèbredis- crète.

Uneσ-algèbre est le prototype général de famille d’ensembles sur lequel le concept de mesure va pouvoir être défini dans peu de temps. C’est en quelque sorte une famille de sous-ensembles deX « à mesurer », de diverses manières, avec une ou plusieurs mesures.

Définition 1.4. Un ensembleXmuni d’uneσ-algèbreA est appelé unespace mesurable. Autrement dit, c’est un espace qui se prêtera à être mesuré, qui pourra être mesuré. Il importe de noter que laσ-algèbreA ⊂P(X)sera souvent fixée une fois pour toutes.

Proposition-Définition 1.5. Étant donné une familleM ⊂ P(X)de sous-ensembles de X, la plus petiteσ-algèbre deX contenantM existe, est notée :

σ(M), et est appeléeσ-algèbre engendrée par_M.

Démonstration. L’argument ensembliste très abstrait et très idéal consiste à introduire la

‘gigantesque’ intersection :

σ(M) := \

AA⊃Mσ-algèbre

A, (1.6)

et à voir un miracle se produire.

Lemme 1.7. Une intersection quelconque deσ-algèbres est encore uneσ-algèbre.

1.Algèbres etσ-algèbres 3

Démonstration. Étant donné desσ-algèbresAλindexées par un ensemble quelconqueΛ3 λ, pas forcément fini ou dénombrable, il s’agit donc de vérifier que :

A := \

λ∈Λ

A_λ

est encore uneσ-algèbre.

• Tout d’abord, puisqueX ∈Aλ pour toutλ, il est évident queX ∈A.

• Ensuite, pourn >1entier :

A₁, . . . , A_n ∈ A =⇒ A₁, . . . , A_n ∈ Aλ ∀λ ∈Λ

[Algèbres] =⇒ A1 ∪ · · · ∪An ∈ Aλ ∀λ∈Λ

=⇒ A₁ ∪ · · · ∪A_n ∈ A.

• Puis, pour toutA∈P(X):

A ∈ A =⇒ A ∈ Aλ ∀λ =⇒ A^c ∈ Aλ ∀λ =⇒ A^c ∈ A, ce qui montre queA est une algèbre.

• Enfin, pour ce qui est de la stabilité par réunions dénombrables :

A₁, . . . , A_i, . . . ∈ A =⇒ A₁, . . . , A_i, . . . ∈ Aλ ∀λ ∈Λ

[σ-algèbres] =⇒ [^∞

i=1

A_i ∈ Aλ ∀λ∈Λ

=⇒ [∞ i=1

Ai ∈ A,

il y a formellement peu de différences avec le cas des réunions finies.

Grâce à ce lemme,σ(M)estuneσ-algèbre, et c’est trivialement la plus petite contenant A, puisque l’on peut prendreA :=σ(M)dans la grande intersection (1.6).

Cette proposition-définition débouche sur un exemple absolument fondamental de σ- algèbre, celle découverte et exploitée par Borel dans ses premiers travaux sur la théorie de la mesure des sous-ensembles de la droite réelleR.

Auparavant, un rappel s’impose.

Définition 1.8. Une topologie sur un ensemble (quelconque) X est une collection T ⊂ P(X)de sous-ensemblesO ⊂X, appelésouverts, qui satisfait :

• X ∈T et∅ ∈T ;

• T est stable par réunions absolument quelconques :

∀Λ Oλ

λ∈Λ∈T ^Λ =⇒ [

λ∈Λ

Oλ ∈ T ;

• T est stable par intersectionsfinies :

∀n ∈N^∗ O₁, . . . , O_n ∈ T =⇒ O₁∪ · · · ∪O_n ∈ T.

Deux différences existent par rapport aux σ-algèbres : la stabilité n’a lieu que pour des intersectionsfinies, mais elle a lieu pour des réunionsquelconques, pas forcément dénom- brables.

Définition 1.9. Sur un ensembleX muni d’une topologieT, laσ-algèbreborélienne, no- tée :

BX := σ T ,

est la σ-algèbre engendrée par les ouverts de X. Les éléments de BX sont appelés (en- sembles)boréliens.

Ainsi,BX contient les ouvertsO∈T , mais aussi les intersections dénombrables :

\∞ i=1

O_i

d’ouvertsO_i ∈T , et encore les réunions dénombrables d’intersections dénombrables : [∞

j=1

\∞ i=1

Oj,i

d’ouvertsO_i,j ∈T , et généralement,BX contient tous les ensembles de la forme : [∞

j1=1

\∞ i1=1

· · · · [∞ jν=1

\∞ iν=1

· · · · O_{j1,i1,...,jν,iν,...},

avec des ensembles dénombrables d’indexation. On démontre que ce processus ne s’arrête pas, et que chaque ajout d’intersections ou de réunions dénombrables apporte de nouveaux types d’ensembles, ce qui fait qu’on ne peut pas décrire tous les boréliens de manière compacte et simple.

Toutefois, dans R^d en dimension d > 1 quelconque, on peut, comme cela a déjà été vu dans le chapitre qui construit la mesure de Lebesgue, se servir de diverses familles d’ouverts-types deR^dpour engendrerB_R^d, sans utilisertousles ouverts deR^d.

Proposition 1.10. Les boréliens deR^d sont engendrés par l’une des quatre familles sui- vantes d’intervalles :

]a, b[, [a, b[, ]a, b], [a, b],

avec−∞< a < b <∞.

2. Mesures abstraites et leurs propriétés élémentaires

Il est maintenant grand temps de définir le concept de mesure abstraite. L’idée est qu’un espace fixé peut posséder plusieurs mesures distinctes. Soit doncX un espace mesurable, à savoir muni d’une certaineσ-algèbreA.

Définition 2.1. Unemesureµsur(X,A)est une application à valeurs réelles positives : µ: A −→ R+∪ {∞},

la valeur∞étant acceptée, avec :

µ(∅) = 0,

qui satisfait l’axiome d’additivité dénombrableou deσ-additivité :

µ [∞

i=1

A_i

= X∞

i=1

µ A_i ,

2.Mesures abstraites et leurs propriétés élémentaires 5

pour toute suite A_i∞

i=1de sous-ensemblesA_i ∈A mutuellement disjoints :

∅ = A_i1 ∩A_i2 (∀i16=i2). Lorsque la suite A_i∞

i=1 devient stationnaire à partir d’un certain rang, cette condition incorpore évidemment l’additivité disjointe finie.

Ici, la notion demesureµrequiert donc seulement la condition minimale et intuitivement naturelle que le «µ-poids » de parties sans intersections soit finiment et dénombrablement additif. Rappelons qu’à l’inverse, dans le chapitre consacré à la construction de la mesure de Borel-Lebesgue m sur R^d, l’additivité dénombrable disjointe était un théorème de la théorie, et mêmelethéorème le plus important. Ainsi, le concept de mesure abstraiteren- verse par abstractionun théorème en une définition ! Et grâce à cette force nouvelle, il va nous conduire bien au-delà de la mesure de Borel-Lebesgue surR^d!

Comme la mesureµ(·)peut prendre la valeur∞, il est utile de fixer des règles naturelles de calcul surR+∪ {∞}:

• poura ∈R+, on a :

∞ ±a=∞;

• pour0< a < ∞, on a :

a· ∞ = ∞;

• on a :

∞+∞ = ∞ · ∞ = ∞.

Terminologie 2.2. Un espaceX avec uneσ-algèbreA ⊂ P(X)munie d’une mesureµ est appelé unespace mesuré, et sera souvent noté X,A, µ

.

Avant de parler de mesures, le choix de la σ-algèbre A doit être adapté aux circons- tances.

Par exemple, lorsque l’ensemble X est discret — penser à N ou à Z —, la σ-algèbre discrèteP(X)est souvent intéressante. Sur de tels espaces, lamesure de comptage(ou de dénombrement) est définie par :

η(A) :=

_CardA lorsque A est fini,

∞ autrement.

Lorsque l’ensembleX est un espace topologique, laσ-algèbre borélienneBX est sou- vent la meilleure à considérer. Sur de tels espaces, étant donné un élément quelconque fixé x∈X, lamesure de Diracest définie par :

δx(A) :=

1 lorsque A3x, 0 lorsque A63x.

Bien entendu, l’exemple le plus fondamental de mesure surR^dest celui de la mesure de Borel-Lebesgue, laquelle a été construite à grand renfort de raisonnements géométriques dans un des chapitres qui précédent. Implicitement d’ailleurs, nous avons obtenu un énoncé d’unicité, dont la démonstration est laissée au lecteur comme exercice de compréhension et d’assimilation du cours.

Théorème 2.3. En dimensiond > 1 quelconque, sur la familleB_R^d des sous-ensembles boréliens deR^d, il existe uneuniquemesuremsatisfaisant :

(1) la mesure de tout rectangle fermé borné est égale à son volume :

m [a₁, b₁]× · · · ×[a_d, b_d]

= Yd i=1

b_i−a_i

;

(2) la mesure de tout A ∈ B_R^d est invariante par translation au moyen de tout vecteur x∈R^d:

m A+x

= m(A).

Revenons maintenant aux mesures abstraites générales.

Définition 2.4. Soitµune mesure sur un espace mesurable(X,A).

• Lorsqueµ(X)<∞, la mesureµest ditefinie.

• La mesureµest diteσ-finielorsqueXse décompose en une réunion dénombrable : X =

[∞ n=1

X_n

de sous-ensemblesX_n⊂Xtous de mesuresµ(X_n)<∞finies.

• Lorsque A = BX est la σ-algèbre des boréliens associés à une topologie sur X, la mesureµest diteborélienne

• La mesure µ est dite de Borel lorsqu’elle est borélienne et finie sur tous les sous- ensembles compactsK ⊂X.

Par exemple, surR^d, la mesure de Lebesguemestσ-finie, borélienne, et de Borel (exer- cice mental).

Définition 2.5. Soitµune mesure sur un espace mesurable(X,A).

• Unatomedeµest un élémentx∈X avec{x} ∈A tel que : µ({x}) > 0.

• Lorsque A = BX est la σ-algèbre des boréliens associés à une topologie sur X, le support topologique de µ, noté suppµ, est le plus petit sous-ensemblefermé F ⊂ X tel que :

µ F^c

= 0.

Évidemment, la mesure de LebesguemsurR^dn’a aucun atome.

Nous pouvons maintenant commencer à détailler certaines propriétés générales élémen- taires des mesures abstraites. Tout d’abord, la croissance.

Lemme 2.6. Pour tousA, B ∈A avecA⊂B, on a : µ(A) 6 µ(B), et si de plusµ(A)<∞:

µ B\A

= µ(B)−µ(A).

Preuve. En effet, la réunionB =A∪(B\A)étant disjointe, on a par simple additivité : µ(B) = µ(A) +µ B\A

> µ(A).

2.Mesures abstraites et leurs propriétés élémentaires 7

Contrairement aux apparences algébriques, cette dernière équation ne fournit pas ins- tantanémentµ(B\A), car lorsque µ(A) = ∞, d’oùµ(B) = ∞aussi, la soustraction est indéterminée :

∞ − ∞ = ?,

comme le montrent surRmuni de la mesure de Borel-Lebesgue les deux exemples : B := [0,∞[, A :=

[1,∞[, [2,∞[.

Comme corollaire naturel, toujours avecA, C ∈A, siA∩C=∅, en posantB :=A∪C, il découle de ce lemme l’additivité simple qui était requise en axiome :

µ A∪C

= µ(A) +µ(C).

Proposition 2.7. Si A_i∞

i=1 est une suite d’ensemblesA_i ∈A croissante :

A_i ⊂ A_i+1 (∀i>1), alors :

lim

i→∞µ A_i

= µ [∞

i=1

A_i

.

Démonstration. PosonsA₀ :=∅et, pour tout entierj >1, introduisons les différences : B_j := A_j

A_j−1,

avecB₁ = A₁. Alors pouri > 1fixé, cette collection de couronnes (esquisser une figure manuscrite) remplit :

A_i = [

16j6i

A_j = [

16j6i

B_j

en une réunion mutuellement disjointe :

∅ = B_j1 ∩B_j2 (16j16=j2), et donc les axiomes d’additivité disjointe finie et dénombrable permettent de transformer la limite :

lim

i→∞µ A_i

= lim

i→∞µ [

16j6i

A_j

= lim

i→∞µ [

16j6i

B_j

= lim

i→∞

X

16j6i

µ B_j

= X∞

j=1

µ B_j

= µ [_∞

j=1

B_j

= µ [_∞

j=1

A_j

en le résultat annoncé.

Dans ce lemme, la limite de la suite numérique croissante µ(A_i) ^∞_i=1 est bien entendu autorisée à valoir∞.

Pour les suitesdécroissantesA_i+1 ⊂A_id’ensembles, le résultat analogue est en général faux sans une hypothèse supplémentaire, comme le montre la suite d’intervalles :

A_i := [i,∞[ ⊂ R ⁽ⁱ>1), tous de mesure de Borel-Lebesgue égale à∞, mais d’intersection∩^∞i=1A_i = ∅vide et de mesure nulle.

Proposition 2.8. Si A_i∞

i=1 est une suite d’ensemblesA_i ∈A décroissante :

Ai+1 ⊂ Ai (∀i>1), et siµ(A1)<∞, alors :

i→∞lim µ A_i

= µ \∞

i=1

A_i

.

Ici, cette limite est alors un nombre deR+, elle ne peut valoir∞car elle est6µ(A1).

Démonstration. Le passage au complémentaire : B_i := A₁

A_i (i>1)

permet, grâce à l’hypothèseµ(A₁)<∞requise dans le Lemme 2.6, d’écrire : µ B_i

= µ A₁

−µ A_i . Or comme la suite Bi

_∞

i=1 est alorscroissante(exercice) :

B_i ⊂ B_i+1 (i>1), la Proposition 2.7 — appliquée dans un sous-cas où les mesuresµ(B_i)6µ(A₁)<∞sont uniformément bornées — donne :

i→∞lim µ B_i

= µ [_∞

i=1

B_i

.

Ceci permet d’effectuer un calcul :

i→∞lim

µ A₁

−µ A_i

= µ [_∞

i=1

A₁ A_i

= µ

A₁ [∞

i=1

A_i

= µ A₁

−µ [_∞

i=1

A_i

dont le résultat, après multiplication par−1et soustraction deµ(A₁), est exactement celui

qui était visé.

Enfin, toute mesure satisfait une propriété très souvent utile de sous-additivité dénom- brable.

3.Théorème des classes monotones et théorème de Dynkin 9

Proposition 2.9. Si A_i∞

i=1 est une famille dénombrable d’ensembles A_i ∈ A quel- conques — pas forcément deux à deux disjoints —, alors :

µ [∞

i=1

Ai

6

X∞ i=1

µ Ai

.

Démonstration. En forçant la suite à dégénérer ∅ = A_n+1 = A_n+2 = · · · à partir d’un certain rangn >2, cet énoncé contient clairement la sous-additivitéfinie :

µ A₁∪ · · · ∪A_n

6 µ(A₁) +· · ·+µ(A_n).

Or une telle sous-addititivé finie s’obtient par récurrence facile (exercice) à partir du cas n= 2, lequel, en partant de la décomposition disjointe :

A₁ ∪A₂ = A₁∪ A₂\A₁ , a déjà été presque démontré dans le Lemme 2.6 :

µ A₁ ∪A₂

= µ(A₁) +µ A₂\A₁ 6 µ(A₁) +µ(A₂).

Grâce à cette sous-additivité finie, en introduisant alors astucieusement la suite auxiliaire visiblement croissante :

B_i := [

16j6i

A_i (i>1),

afin de pouvoir appliquer la Proposition 2.7, des calculs transformationnels simples :

µ [_∞

i=1

A_i

= µ [_∞

i=1

B_i

= lim

i→∞µ B_i

= lim

i→∞µ A₁∪ · · · ∪A_i 6 ^lim

i→∞

h µ A1

+· · ·+µ Ai

i

= X∞

i=1

µ A_i

concluent la sous-additivité dénombrable annoncée.

3. Théorème des classes monotone et théorème de Dynkin

Un concept un peu moins ‘riche’ que celui de σ-algèbre, grâce auquel de nombreuses démonstrations de la théorie des mesures abstraites peuvent être simplifiées, est le suivant.

Définition 3.1. Un sous-ensembleM ⊂P(X)est appelé uneclasse monotonesi :

• X ∈M ;

• M est stable pardifférence propre, i.e.pour toute paire emboîtéeA ⊂ B d’ensembles A, B ∈M, on a aussiB\A ∈M ;

• M est stable par réunion dénombrable croissante, i.e.quelle que soit la suite A_i∞ avecA_i ∈M et : i=1

A_i ⊂ A_i+1 (i>1),

on a aussi :

[∞ i=1

A_i ∈ M.

Observons qu’une classe monotome est stable par passage au complémentaire, carX ∈ M etA∈M donneA^c =X\A∈M.

De plus, une classe monotone est stable par intersections décroissantes, car pour B_i∞ avecBi ∈M et : i=1

B_i+1 ⊂ B_i (i>1), en introduisantA_i :=X\B_i, d’oùA_i ⊂A_i+1, il vient∪^∞i=1A_i ∈M, puis :

\∞ i=1

Bi = X [∞

i=1

Ai ∈ M.

Ainsi, une classe monotone est stable par limite monotone, croissante ou décroissante, d’en- sembles, ce qui justifie la terminologie !

Évidemment, touteσ-algèbre est une classe monotone (exercice mental).

Lemme 3.2. Une classe monotoneM stable par intersections finies est uneσ-algèbre.

Démonstration. En effet, la réécriture astucieuse d’une réunion dénombrable disjointe quelconque d’élémentsA_i ∈M sous la forme croissante :

[∞ i=1

A_i = [∞ i=1

[

16j6i

A_j

montre queM est stable par réunions infinies dénombrables, donc aussi par réunions finies quelconques — considérer des suites A_i∞

i=1stationnaires à partir d’un certain rang.

Une adapation aisée de la démonstration de la Proposition-Définition 1.5 fournit une Proposition-Définition 3.3. Étant donné un sous-ensemble quelconqueE ⊂P(X), l’en- semble :

mon(E) := \

Mclasse monotoneM⊃E

M

est une classe monotone, la plus petite contenant E, appelée classe monotone engendrée

par_E.

Rappelons qu’unπ-systèmedemande seulement la stabilité par intersections finies.

Théorème 3.4. [des classes monotones]La classe monotone engendrée par unπ-système E ⊂P(X)coïncide avec laσ-algèbre qu’il engendre :

mon(E) = σ(E).

L’intérêt de cet énoncé est que si M est une classe monotone contenant un π-système E, alorsσ(E)⊂M.

Démonstration. L’inclusionmon(E)⊂σ(E)est triviale, carσ(E)estune classe monotone qui contientE, donc contient la plus petite possible contenantE.

Donc le but est d’obtenir l’inclusion inverse :

mon(E) ⊃ σ(E).

3.Théorème des classes monotones et théorème de Dynkin 11

Comme mon(E) est — per se — une classe monotone, le Lemme 3.2 dit qu’il suffit de montrer quemon(E)est stable par intersections finies, pour déduire que c’est uneσ-algèbre, donc qu’elle contient la plus petiteσ(E)contenantE.

Or pour établir queA∩B ∈^mon(E)quels que soientA, B ∈^mon(E), deux étapes sont nécessaires.

Premièrement, introduisons : M1 :=

A∈^mon(E) : ∀B ∈E, A∩B ∈^mon(E) . Assertion 3.5. En fait :

M1 = mon(E).

Preuve. CommeE est unπ-système, il est clair queM1 ⊃E. Pour avoirM1 =mon(E), il suffit de montrer queM1 estune classe monotone, carmon(E)est la plus petite contenant E. Trois axiomes sont à vérifier.

• On aX ∈M1, carX ∈^mon(E)et∀B ∈E, il est clair queX∩B =B ∈E ⊂^mon(E).

• SoientA₁, A₂ ∈M1 avecA₁ ⊂A₂. Alors∀B ∈E, par définition deM1 : A₁∩B

A2∩B ∈ M1 ⊂ ^mon(E), et commemon(E)est une classe monotone, il vient :

A₂∩B

A₁∩B

| {z }

= (A2\A1)∩B

∈ ^mon(E),

et ceci montre queA₂\A₁ appartient bien aussi àM1.

• Soit enfin A_i∞

i=1 une suite d’ensemblesA_i ∈M1croissante : A_i ⊂A_i+1. Alors∀B ∈ E, par définition deM1 :

A_i∩B ∈ M1 ⊂ ^mon(E) (∀i>1), et commemon(E)est une classe monotone, il vient :

i

∪

| {z }

= (∪Ai)∩B

∈ ^mon(E),

ce qui montre que∪A_i appartient bien aussi àM1.

Deuxièmement, introduisons : M2 :=

A∈^mon(E) : ∀B ∈^mon(E), A∩B ∈^mon(E) . Assertion 3.6. En fait :

M2 = mon(E).

Preuve. Tout d’abord, nous affirmons que :

M2 ⊃ E.

En effet, soitA∈E quelconque, doncA ∈^mon(E). Alors∀B ∈^mon(E), grâce au résultat qui vient d’être démontré, on aB ∈M1, puis par définition deM1, il vient :

B∩A

| {z }

=A∩B

∈ ^mon(E),

ce qui montre bien queAsatisfait la condition d’appartenance àM2.

Ensuite, par minimalité de mon(E) ⊃ E, il suffit de montrer que M2 est une classe monotone. Les arguments sont très similaires à ceux de l’Assertion 3.5.

• On aX ∈M2, carX ∈^mon(E)et∀B ∈^mon(E), il est clair queX∩B =B ∈^mon(E).

• SoientA₁, A₂ ∈M2 avecA₁ ⊂A₂. Alors∀B ∈^mon(E), par définition deM2: A₁∩B

A₂∩B ∈ M2 ⊂ ^mon(E), et commemon(E)est une classe monotone, il vient :

A₂∩B

A₁∩B

| {z }

= (A2\A1)∩B

∈ ^mon(E),

et ceci montre queA₂\A₁ appartient bien aussi àM2.

• Soit enfin A_i∞

i=1 une suite d’ensemblesA_i ∈M2croissante : A_i ⊂A_i+1. Alors∀B ∈

mon(E), par définition deM2 :

A_i∩B ∈ M2 ⊂ ^mon(E) (∀i>1), et commemon(E)est une classe monotone, il vient :

i

∪

| {z }

= (∪Ai)∩B

∈ ^mon(E),

ce qui montre que∪A_i appartient bien aussi àM2.

En conclusion, cette égalitémon(E) =M2fait voir quemon(E)est stable par intersec-

tions finies, ce qui conclut le plan d’argumentation.

Voici une application du Théorème 3.4 des classes monotones.

Théorème 3.7. [de Dynkin] Soit (X,A) un espace mesurable, avec A ⊂ P(X) une σ-algèbre. Si deux mesuresµ₁ etµ₂sur(X,A)de même poids totalfini :

µ₁(X) = µ₂(X) < ∞

prennent les mêmes valeurs sur un certain sous-ensembleE ⊂A :

µ₁(E) = µ₂(E) (∀E∈E), qui est stable par intersections finies (unπ-système), alors :

µ₁

σ(E) = µ₂

σ(E). Démonstration. Introduisons l’ensemble de coïncidence :

M :=

A∈A : µ₁(A) = µ₂(A) ⊃ E. Assertion 3.8. Cet ensembleM estune classe monotone.

Preuve. Comme précédemment, trois conditions sont à vérifier.

• On aX ∈M, carµ₁(X) =µ₂(X).

• SoientA, B ∈M avecA⊂B. Alors le Lemme 2.6 et l’hypothèse de finitude permettent d’écrire :

µ₁ B\A

= µ₁(B)−µ₁(A) = µ₂(B)−µ₂(A) = µ₂ B\A , ce qui donneB\A∈M aussi

4.Complétions deσ-algèbres 13

• Soit A_i∞

i=1 avec A_i ∈ M etA_i ⊂ A_i+1. Alors la Proposition 2.7 et l’hypothèse per- mettent d’écrire :

µ₁

_i

∪

∪

ce qui donne∪A_i ∈M aussi — fin de cette assertion !

Ainsi,M est une classe monotone qui contient leπ-systèmeE, donc contientmon(E), et alors le Théorème 3.4 des classes monotones offre :

M ⊃ ^mon(E) = σ(E),

ce qui montre bien queµ₁ etµ₂coïncident surσ(E).

4. Complétions deσ-algèbres

Soit(X,A)un espace mesurable, avecA ⊂P(X)uneσ-algèbre, et soitµune mesure fixée sur(X,A). Étant donné un ensembleA∈A, il existe en général beaucoup de sous- ensemblesE ⊂Aqui n’appartiennentpasàA.

Introduisons la classe des ensemblesµ-négligeables : Nµ :=

N ∈P(X) : ∃A ∈A avecN ⊂Atel queµ(A) = 0 .

Il semble alors très naturel d’attribuer une mesure0aux ensembles deNµ, même si ils ne sont pasa prioridans le groupeA de ceux qu’on ‘peut’ mesurer.

Plus généralement, si un ensembleE ⊂X peut être encadré par deux ensembles deA dont laµ-mesure coïncide, on est tenté d’attribuer la mêmeµ-mesure àE, ce qui conduit à introduire aussi la classe :

Aµ :=

E ⊂X: ∃A1, A2 ∈A avecA1 ⊂E ⊂A2tels queµ(A2\A1) = 0 . En prenantA₁ :=∅, on voit que :

Aµ ⊃ Nµ.

Proposition 4.1. Cet ensemble s’identifie en fait à laσ-algèbre engendrée parA ∪Nµ: Aµ = σ A ∪Nµ

.

Démonstration. Tout d’abord, montrons queAµestuneσ-algèbre. Trois conditions sont à vérifier.

• On aX ∈Aµ, carA1 :=X =:A2 donneµ(A2\A1) = µ(∅) = 0.

• SoitE ∈Aµ, accompagné deA₁, A₂ ∈A avecA₁ ⊂ E ⊂A₂ tels que0 =µ(A₂\A₁).

Les complémentairesA^c₁,A^c₂ satisfont doncA^c₁ ⊃E^c ⊃A^c₂, et aussi : µ A^c₁

A^c₂

= µ A^c₁∩A₂

= µ A₂\A₁

= 0,

ce qui fait voir queE^c ∈Aµaussi.

• Enfin, soit une suite quelconque E_i∞

i=1d’élémentsE_i ∈Aµ, donc accompagnée d’en- cadrantsA_1,i ⊂E_i ⊂A_2,iappartenant àA satisfaisant :

µ A_2,i A_1,i

= 0 (∀i>1).

CommeA est une σ-algèbre,∪A_1,i ∈ A ainsi que ∪A_2,i ∈ A, et l’encadrement unio- nique :

[∞ i=1

A1,i ⊂ [∞ i=1

Ei ⊂ [∞ i=1

A2,i,

agrémenté de l’observation ensembliste — exercice ! l’inclusion peut être stricte ! — générale :

[

i>1

A_2,i [

i>1

A_1,i ⊂ [

i>1

A_2,i A_1,i,

permet, grâce à la sous-additivité dénombrable deµ: µ [

i>1

A_2,i [

i>1

A_1,i

6 µ [

i>1

A_2,i A_1,i

6 X∞

i=1

µ A_2,i A_1,i

= 0

de conclure que∪E_iest encadré comme il faut pour appartenir au ‘club’Aµ. Ainsi,Aµest uneσ-algèbre, et comme elle contient (trivialement) :

Aµ ⊃ A et Aµ ⊃ Nµ,

elle contient nécessairement la plus petite σ-algèbre que le mariage de ces deux-là en- gendre :

Aµ ⊃ σ A ∪Nµ

. Pour terminer, l’inclusion inverse gage d’égalité :

Aµ ⊂ σ A ∪Nµ

est plus facile. En effet, soitE ⊂ Aµ, encadréA₁ ⊂ E ⊂ A₂ parA₁, A₂ ∈ A tels que µ(A₂\A₁) = 0. L’inclusion :

E\A₁ ⊂ A₂\A₁ montre queE\A₁ ∈Nµ, et la décomposition :

E = A₁

|{z}∈A

∪ E\A₁

| {z }

∈N^µ

montre qu’on a en fait un peu mieux pour conclure :

Aµ ⊂ A ∪Nµ ⊂ σ A ∪Nµ

.

Maintenant, nous pouvons réaliser le programme de prolongement de la mesureµà la σ-algèbre complétée_Aµ.

Théorème 4.2. La fonctionµ: Aµ−→R+∪ {∞}définie par : µ(E) := µ A₁

= µ A₂

lorsqueA₁ ⊂ E ⊂ A₂ avecA₁, A₂ ∈A satisfaisantµ(A₂\A₁) = 0l’est sans ambiguïté, et elle constitue une mesure sur l’espace mesurable complété :

X,Aµ

.

4.Complétions deσ-algèbres 15

De plus, elle prolonge :

µ = µ

A, et c’est l’unique mesureν surAµprolongeantµ=ν

A.

Démonstration. L’ambiguïté provient de la non-unicité des encadrants. Soient donc deux autresB₁, B₂ ∈ A avecB₁ ⊂ E ⊂ B₂ tels queµ(B₂\B₁) = 0. Il en découle l’encadre- ment :

A∪B₁ ⊂ E ⊂ A₂∩B₂, avec bien sûrA₁∪B₁ ∈A ainsi queA₂ ∩B₂ ∈A, et comme :

A₂∩B₂

A₁∪B₁

⊂ A₂\A₁, il est clair que laµ-mesure de ce nouvel interstice est nulle :

µ

A₂ ∩B₂

A₁∪B₁

6 µ A₂\A₁

= 0.

Pour établir que cette fonction maintenant rigoureusement définie µ: Aµ −→ R+ ∪ {∞}est bel et bien une mesure, sachant queµ(∅) = 0est évident, l’objectif est l’axiome d’additivité dénombrable disjointe.

Soient donc E_i∞

i=1, E_i ∈Aµ, E_i∩E_i0 =∅pour16 i 6=i⁰. Par définition de Aµ, il existe des encadrantsA_1,i⊂E_i ⊂A_2,iappartenant àA et satisfaisant :

µ A_2,i A_1,i

= 0 (i>1).

CommeA est uneσ-algèbre, on a∪A_1,i ∈A et∪A_2,i∈A, puis : [∞

i=1

A_1,i ⊂ [^∞

i=1

E_i ⊂ [^∞

i=1

A_2,i,

et grâce au fait que lesA_1,i ⊂E_isont eux aussi mutuellement disjoints :

∅ = A_1,i∩A_1,i0 (∀16i6=i⁰), on peut leur appliquer laσ-additivité deµ:

µ [

i>1

E_i

:= µ [

i>1

A_1,i

= X∞

i=1

µ A_1,i

= X∞

i=1

µ E_i ,

laquelle établit en beauté celle deµ!

De plus, il est absolument clair que µ prolonge µ, car sur un ensemble E ∈ A, en prenant simplementA₁ := E =: A₂, d’où µ(A₂\A₁) = µ(∅) = 0, on trouve µ(E) :=

µ(A₁) = µ(E).

Enfin, soitνune mesure surAµqui prolongeµ=ν

A. L’objectif est d’atteindreν=µ.

Soit E ∈ Aµ quelconque, avec A₁ ⊂ E ⊂ A₂ et µ(A₂\A₁) = 0. La décomposition disjointeE =A₁∪(E\A₁)donne :

ν(E) = ν A1

+ν E A1

= µ A1

+ν E A1

[E\A1⊂A2\A1] 6 µ A1

+ν A2

A1

= µ A1

+µ A2

A1

◦, ce qui, après soustraction deµ(A₁)entre les lignes 2 et 4, force :

ν E\A1

= 0, et un retour aux lignes 1 et 2 conclut que :

ν(E) = µ(A1) = µ(E).

5. Mesures extérieures et mesurabilité au sens de Carathéodory

Rappelons que la construction de la mesure de Borel-Lebesgue sur R^d procédait en 3 étapes.

Considérer tous les cubes relativement compactsQ⊂R^dde volume|Q|<∞. Définir la mesure extérieure de sous-ensembles arbitrairesE ⊂R^dpar :

m^∗(E) := inf

X∞ j=1

Qj,

où l’infimum est pris sur la famille de tous les recouvrements ∪Q_j ⊃ E de E par des familles dénombrables Q_j∞

j=1de cubesQ_j ⊂R^d.

Montrer, au moyen d’exhaustions par des cubes, que les sous-ensembles ouverts O ⊂ R^d — pour la topologie standard deR^d — ont un volume, ou unemesure, bien définis :

O = m(O) := m^∗(O).

Définir la sous-classe (stricte) dansP(R^d)des ensemblesmesurablesA⊂ R^dau sens de Borel-Lebesgue par l’approximabilité arbitraire au moyen des ensembles-mesurables types que sont les ouverts :

∀ε > 0 ∃O ⊃ A ouvert tel que m^∗ O\A 6 ε.

Dans sa théorie plus élaborée, toujours en se servant d’une certaine mesure extérieure comme auxiliaire, Carathéodory définit d’une manière alternative vraiment puissante les sous-ensembles mesurables dans le cas le plus général possible.

Par conséquent, comme dans les sections précédentes, soitXun ensemble abstrait quel- conque, au lieu de ce vieuxR^dconcret déguingandé.

Définition 5.1. Unemesure extérieureµ^∗ surXest une fonction définie surtousles sous- ensembles deX :

µ^∗: P(X) −→ R+∪ {∞}, satisfaisant :

(1) µ^∗(∅) = 0;

(2) siE₁ ⊂E₂, alorsµ^∗(E₁)6µ^∗(E₂);

5.Mesures extérieures et mesurabilité au sens de Carathéodory 17

(3) si E_i∞

i=1 est une famille dénombrable d’ensembles, alors : µ^∗ [

i>1

E_i

6 X^∞

i=1

µ^∗(E_i).

Nous avons déjà vu que la mesure extérieure de Borel-Lebesgue m^∗ sur R^d possède toutes ces qualités. Redisons quem^∗appartient à une classe de mesures extérieures qui sont déduites, par recouvrements dénombrables au moyen de cubes-modèles concrets à volumes connus, de l’ensemble E considéré. Mais dans le cadre général de la théorie abstraite de la mesure, cette idée sera systématisée ultérieurement, lorsque nous introduirons la notion antécédante de «prémesure».

Étant donné une mesure extérieure µ^∗ sur un ensemble X, le Problème de la mesure demande d’«inventer» une notion correspondante d’ensemble mesurable. Redisons que dans le cas de la mesure de Borel-Lebesguem surR^d, les ensembles mesurablesA ⊂ R^d ont été définis en demandant qu’ils soient approximables par des ouverts O ⊃ A, eux- mêmes mesurables, tels quem^∗ O\A

puisse être rendu arbitrairement petit.

Dans un cadre abstrait général, c’est le mathématicien grec Carathéodory qui a trouvé, en 1918, un substitut ingénieux à la construction de Borel-Lebesgue.

Définition 5.2. Un sous-ensembleA ⊂ X est dit mesurable au sens de Carathéodory, ou simplementC-mesurable, si, pour tout sous-ensemble arbitraireE ⊂X, il satisfait :

µ^∗(E) = µ^∗ E∩A

+µ^∗ E∩A^c .

DÉCOMPOSER

UNION

A

E

E∩A

E∩A^c

Autrement dit,Asépare tout ensembleEen deux morceaux disjoints : E = E∩A

∪ E∩A^c ,

qui se comportent bien vis-à-vis de la mesure extérieure, au sens oùµ^∗ est additive, et non pas seulement sous-additive :

µ^∗(E) 6 µ^∗ E∩A

+µ^∗ E∩A^c

(toujours vrai), comme cela découle de la Définition 5.1.

Plus encore, comme la figure tente de le suggérer à une intuition de complexité, le «bord deAdansE» est supposé n’être pas trop «sauvage» pour queµ^∗ne compte aucune ‘masse parasite’ le long de la découpe deE opérée parAet parA^c.

Observons au passage queA⊂Xest Carathéodory-mesurable si et seulement si,∀E ⊂ X, on a :

µ^∗(E) > µ^∗ E∩A

+µ^∗ E∩A^c , (5.3)

puisque l’inégalité inverse est toujours vraie par sous-additivité deµ^∗.

Nous savons tous que la cohérence théorique est l’une des friandises préférées des ma- thématiciens.

Théorème 5.4. Un sous-ensembleA ⊂R^dest mesurable au sens de Borel-Lebesgue si et seulement si il l’est au sens de Carathéodory.

Démonstration. Premièrement, traitons l’implication =⇒. Soit donc A ⊂ R^d BL- mesurable, et soitE ⊂R^dun sous-ensemble quelconque.

Commem^∗(E)est l’infimum de la somme des volumes d’une réunion dénombrable de cubes ouverts recouvrantE, en prenant une suite minimisante de tels recouvrements, pour toutn>1entier, il existe un ouvertOn⊃E tel que :

m^∗(E) 6 m^∗ On

6 m^∗(E) + ¹_n, donc l’ensemble :

G :=

\∞ n=1

On

(qui est un «G_δ») est mesurable, contientE ⊂G, et satisfait : m(G) = m^∗(E).

Alors la décomposition disjointe en ensembles BL-mesurables : G = G∩A

∪ G∩A^c

donne, en tenant compte du fait quem ≡m^∗ sur les ensembles BL-mesurables : m^∗(E) = m(G) = m G∩A

+m G∩A^c

= m^∗ G∩A

+m^∗ G∩A^c . Ensuite, l’inclusionE ⊂Gimplique :

E∩A ⊂ G∩A et E∩A^c ⊂ G∩A^c, puis la monotonie dem^∗ donne :

m∗ E∩A

6 m∗ G∩A

et m^∗ E∩A^c

6 m^∗ G∩A^c , d’où en poursuivant :

m^∗(E) = m^∗ G∩A

+m^∗ G∩A^c

> m^∗ E∩A

+m^∗ E∩A^c ,

ce qui est exactement l’inégalité ‘difficile’ (5.3) qui suffit pour conclure la C-mesurabilité.

Deuxièmement, traitons l’implication ⇐=. Soit donc A ⊂ R^d tel que, pour tout E ⊂ R^d:

m^∗(E) = m^∗ E∩A

+m^∗ E∩A^c . (5.5)

Supposons temporairement pour simplifier quem^∗(A)< ∞. Comme pour la première implication (mais avecA au lieu deE), pour tout n > 1, il existe un ouvertOn ⊃ A tel que :

m^∗(A) 6 m^∗ On

6 m^∗(A) + ¹_n,