x 0 < x I 0 < x I I 0 la suite onverge vers la raine X, pour x I 0 <

(1)

Faulté de Sienes et Tehniques

L2 Physique 20052006

Modélisation, Simulation et Outils Informatiques

Exeries de Révision

Le but de es exeries est, d'une part, de proposer des sujets qui étendent les tehniques

présentées dansleoursetlestravauxpratiques(etdirigés)réaliséspendantladuréeoielle

de la matière et, d'autre part, proposer des points de repère pour l'examen érit. Mais il ne

faut roireque l'examen selimitera auxsujets présentés ii!

1. Chaos : Soit l'équation

x ³ − 4x − 1 = 0

Par une étude graphique il est possible de se rendre ompte que ette équation possède

trois raines réelles, notées

X < Y < Z

^. ^Caluler ^haune ^de ^es ^raines ^par ^la ^méthode

de NewtonRaphson ave une préisionde 3 hires après la virgule.

Le fait que la même réurrene de NewtonRaphson onverge vers une limite diérente,

dépendantedelaonditioninitiale,estassezsurprenante.Trouverlesvaleursdepartage

x ^I ₀

^et

x ^{I I} ₀

^, ^telles ^que, ^pour

x 0 < x ^I ₀ < x ^{I I} ₀

^la ^suite ^onverge ^vers ^la ^raine

X

^, ^pour

x ^I ₀ <

x 0 < x ^{I I} ₀

^elle^onverge ^vers ^la ^raine

Y

^et ^pour

x ^{I I} ₀ < x 0

^elle ^onverge ^vers ^la ^raine

Z

^.

OPTIONNEL :Si l'on prend deux onditions initiales de part et d'autre d'une de es

valeurs de partage, estimer l'éloignement des trajetoires.

2. Théorie dePerturbations : Résoudre l'équation

x ³ − εx − 1 = 0

Cette équation possède une raine réelle, lorsque

ε = 0

^, ^à ^savoir

x = 1

^. ^Pour

0 < ε ≤ 2

ellepossède,également,une raineréelle.Calulerlavaleurde ette raineen employant

laméthode de lasérie de perturbations

x(ε) =

∞

X

n=0

a n ε ⁿ

etenalulantlesoeients

a 0

^,

a 1

^et

a 2

^.^Comparer^ave^la^méthode^deNewtonRaphson.

Préision: 3 hires après la virgule.

3. Equations DiérentiellesMéthodes Expliites :Soit l'équation

y ^′′ (x) = −a ² y(x)

ave

a

ûne ônstante ^réelle êt ônditions înitiales

y (0) = 0

^,

y ^′ (0) = 1

^. ^Erire ^la ^méthode

d'Euler sous laforme

y n+1

z n+1

= A (h) y n

z n

(2)

ave

z(x) = y ^′ (x)

^et

x = nh

^. ^En ^imposant ^que ^les ^valeurs ^propres ^de ^la ^matrie

A(h)

soienttouteslesdeux, en valeurabsolue,inférieures à1,pour quelaméthode soitstable,

déterminer laplus grande valeur possible du pas

h

^, ^omme^fontion ^du ^paramètre

a

^.

4. Equations DiérentiellesMéthodes Impliites : Pour l'équation préédente on érit la mé-

thode d'Euler de la manièresuivante:

y n+1 − y n

h = z n+1

z n+1 − z n

h = −a ² y n+1

Ladiéreneave leas préédent estque,danslemembrede droiteonutiliselesvaleurs

z n+1

^et

y n+1

^et ^non

z n

^et

y n

^,^omme ^d'habitude^!^Mais, ^bien ^sûr, ^l'on ^peut, ^enore, ^érire

ette nouvelleréurrene sous la forme

y n+1

z n+1

= B (h) y n

z n

Comparer les matries

B (h)

^et

A (h)

^. ^Imposer, ^de ^nouveau, ^la ^ondition ^que ^les ^valeurs

propresde la matrie

B ( h )

^soient,^en ^valeur ^absolue,inférieures à1et déterminerla plus grandevaleur pour le pas

h

^pour êtte^méthode. ^Disuter âvantages êtinonvénientspar

x 0 < x I 0 < x I I 0 la suite onverge vers la raine X, pour x I 0 <

x 3 − 4x − 1 = 0

X < Y < Z

x I 0

x I I 0

x 0 < x I 0 < x I I 0

X

x I 0 <

x 0 < x I I 0

Y

x I I 0 < x 0

Z

x 3 − εx − 1 = 0

ε = 0

x = 1

0 < ε ≤ 2

x(ε) =

∞

X

n=0

a n ε n

a 0

a 1

a 2

y ′′ (x) = −a 2 y(x)

a

y (0) = 0

y ′ (0) = 1

y n+1

z n+1

= A (h) y n

z n

z(x) = y ′ (x)

x = nh

A(h)

h

a

y n+1 − y n

h = z n+1

z n+1 − z n

h = −a 2 y n+1

z n+1

y n+1

z n

y n

y n+1

z n+1

= B (h) y n

z n

B (h)

A (h)

B ( h )

h

x ³ − 4x − 1 = 0

x ^I ₀

x ^{I I} ₀

x 0 < x ^I ₀ < x ^{I I} ₀

x ^I ₀ <

x 0 < x ^{I I} ₀

x ^{I I} ₀ < x 0

x ³ − εx − 1 = 0

a n ε ⁿ

y ^′′ (x) = −a ² y(x)

y ^′ (0) = 1

z(x) = y ^′ (x)

h = −a ² y n+1