V. MILIEUX AIMANTÉS : ASPECTS MACROSCOPIQUES

V. MILIEUX AIMANTÉS :

V. A Rappels de magnétostatique sur les moments magnétiques.

V. B Aimantation M d’un milieu magnétique; distribution de courants

d’aimantation.

V. C Champ magnétique H; induction magnétique B; conditions de passage.

Applications. Force, couple agissant sur les aimants.

V. D Cas des milieux linéaires et isotropes; susceptibilité magnétique χ_m

; perméabilité magnétique µ. Application : action d’un aimant sur un milieu paramagnétique ou diamagnétique.

V.E Energie du milieu magnétique; équations de Maxwell dans la matière

→

→ →

Thalès de Milet

et Cuillère-boussole (Chine)

V. A Rappels de magnétostatique sur les moments magnétiques.

I I B

B

Spire parcourue par un courant orienté– Moment magnétique

Un fil infini parcouru par un courant constant I

crée un champ magnétique 𝐵 : les plans de symétrie contiennent tous le fil, donc 𝐵 leur est perpendiculaire.

Les plans d’antisymétrie sont perpendiculaires au fil, donc ils contiennent 𝐵.

A la fin de l’opération on a une boucle de courant. Les lignes de champ et leurs orientations sont représentées sur la figure.

I

I

O

M θ

e

e

𝐵_𝑀 = 𝜇₀ 4𝜋

𝐼𝜋𝑅²

𝑟³ (2𝑐𝑐𝑐𝜃𝑒_𝑟 + 𝑐𝑠𝑠𝜃 𝑒_𝜃 )

OM=r; R= rayon de la spire r>>R

z

e

p

Lignes de champ d’un moment magnétique – Champ magnétique

m

Les lignes de champ de la boucle de courant ressemblent à celles du dipôle électrique de la figure de droite. Ceci amène à assimiler la boucle de courant à un dipôle magnétique, un moment magnétique 𝑚 .

I

p

-q q

a O

p

M

e

P=q.a

a<<r e

Pour le dipôle électrique le champ est donné par

S=πa2

m=I.S R<<r

+m u

I

De même, pour le moment (dipôle) magnétique le champ magnétique s’écrit

S= π R

𝐵_𝑀 = 𝜇₀ 4𝜋

𝐼𝜋𝑅²

𝑟³ (2𝑐𝑐𝑐𝜃𝑒_𝑟 + 𝑐𝑠𝑠𝜃 𝑒_𝜃 )

m = +m u

aimant

I

m Un solénoïde est un enroulement de

N spires. Chaque spire donne un moment I.S.

Au total on a un moment m=N.I.S.

Le champ créé à

l’intérieur est quasi-uniforme (vaut ≈ B=𝜇₀𝑁.𝐼/𝐿)

l’extérieur

est celui du dipole magnétique de moment m=N.I.S

Il est identique à celui créé par un aimant. 𝑚 va du pôle Sud vers le pôle Nord L

S=πa2

O

m

M

e

m

B_T = 5 10^-5 T

m_T = 0.75 10²³ A.m²

Γ = 𝑚 ∧ _𝐵

Un aimant naturel est la terre. Le pôle Sud géographique correspond

approximativement au pôle Nord de l’aimant. De la sorte l’aiguille d’une boussole aimantée s’oriente vers le Nord géographique car 𝑚 veut être parallèle à 𝐵.

B_T = 5 10^-5 T

aimant

solénoïde

Milieu aimanté permanent – Aimantation courants surfaciques et volumiques

m

Si un aimant est équivalent à un solénoïde parcouru par un courant ,

c’est qu’on doit pouvoir relier l’aimantation de l’aimant à un courant qui produirait un moment magnétique de même intensité.

I

aimant

solénoïde

Milieu aimanté permanent – Aimantation courants surfaciques et volumiques

Si un aimant est équivalent à un solénoïde parcouru par un courant ,

c’est qu’on doit pouvoir relier l’aimantation de l’aimant à un courant qui produirait un moment magnétique de même intensité.

I

𝐵 = 𝜇₀𝑗_𝑠𝑢_𝑧 à l’intérieur du solénoïde N spires

𝑁

𝐿 I = 𝑗_𝑆 𝑗_𝑆𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 ≡ 𝑁𝑑𝑑

𝐿 I L 𝑑𝑑

B=𝜇₀𝑁. I/𝐿

dm =MdV j

= M ∧ n M

n

On considère un aimant consistant en un barreau parallélipipédique aimanté.

On décompose le barreau en un ensemble de mini aimants. Un aimant équivaut à un solénoïde.

dm=MdV I

L’axe de l’aimant est ici perpendiculaire au plan de la figure.

S

M

dm =MdV

M

n

𝝏𝝏𝝏

𝝏𝝏 < 𝟎 𝝏𝝏𝝏

𝝏𝝏 > 𝟎

j

= -

j

= 𝛻 ∧ M

et

sont appelés courants ampériens.

j

= M ∧ n j

= 𝛻 ∧ M

Ils ne sont PAS réels, mais produisent exactement le champ B du solénoïde équivalent à l’aimant

j

= 𝛻 ∧ M

Champ magnétique – Induction magnétique

Dans un milieu aimanté, B (Tesla) est appelé l’induction magnétique

Ampère ⇒ 𝛻 ∧ B = µ

(j

+j

)

B- µ

_{M =} ^µ

_H

Dans un milieu aimanté, H (Ampère/mètre) est appelé le champ magnétique

H est contrôlé par les courants réels j

Ampère ⇒ 𝛻 ∧ H =j

Conditions de passage

1

2 n

𝛻. B =0 ⇒ B

= B

à la frontière

𝛻 ∧ H =j

⇒ H

- H

= à la frontière ^j

^{∧ n}

Courant surfacique réel

Cylindre aimanté– Sphère aimantée

Aimantation par unité de volume M constante et dirigée suivant

u

u

O h

R

θ

B

(O) = µ

M cos( θ )

h→0 champ au centre d’une spire circulaire h→ ∞ champ dans un solénoide infini

B

𝑚 = 𝜋𝑅²ℎ𝑀 𝑐𝑐𝑐 𝜃 = ℎ

2 ℎ²

4 + 𝑅² 𝐼 = 𝑗_𝑆ℎ

𝑗_𝑆 = 𝑀

⇒

𝑗_𝑠 𝑠

𝑗_𝑠 = 𝑀˄𝑠 = 𝑗_𝑠𝑢_𝜃

Cylindre aimanté– Sphère aimantée

Aimantation par unité de volume M constante et dirigée suivant

u

u

B

B

= 2

3 µ

M

Constant dans la sphère de rayon a

⇒

𝑗_𝑆 = 𝑀𝑐𝑠𝑠(𝜃) θ

𝑠

𝑚 = 4

3𝜋𝑎³𝑀

𝑗_𝑠 = 𝑀˄𝑠 = 𝑗_𝑠𝑢_𝜑

m m

I I

I I

F F

Force d’attraction entre deux moments parallèles et

colinéaires

𝑬

= −𝒎. 𝑩

𝑭 =−𝜵𝑬

Ex. boussole indiquant le Nord géographique

m m

1

Γ = 𝒎 ∧ _𝑩

Force, couple, énergie

1

→ 𝐵₁ = 𝜇₀ 2𝜋

𝑚

𝑟³ 𝑒_𝑟 → 𝐸_𝑝 = − 𝜇₀ 2𝜋

𝑚²

𝑟³ → 𝐹⃗ = −3𝜇₀ 2𝜋

𝑚²𝑒_𝑟 𝑟⁴

Aimantation permanente: ferromagnétisme.

Retournement de parois par un champ magnétique

Matériau dépourvu d’aimantation rémanente.

On applique un champ magnétique externe dirigé vers le bas.

Les zones noires indiquent les régions où l’aimantation est parallèle au champ appliqué

M_sat : aimantation à saturation

Aimant doux ⇒ m est quasi-constant, quelque soit H₀ appliqué.

M_r : aimantation rémanente; ± Hc est le champ magnétique coercitif

Aimantation induite

M = [ χ ]H

M = χ

H

H H

Bertin, Faroux, Renault, Electromagnétisme 4

Bertin, Faroux, Renault, Electromagnétisme 4

=

lhi :

l

h

i

𝐸_𝑝 = −𝑚𝐵;𝑐𝑠 𝐵 → 𝐵 + 𝛿𝐵, 𝛿𝐸_𝑝 = −𝑚𝛿𝐵

𝑑δ𝐸_𝑝 = −𝑀𝑑𝑀𝛿𝐵

𝑀 = 𝜒_𝑚H, χ_m<<1 ⇒ H≅ B/µ₀

→ 𝛿𝐸_𝑝 = −χ_𝑚𝑀𝐵𝛿𝐵/𝜇₀

Si M est uniforme dans le matériau,

Matériau aimanté→ 𝑑𝑚 = 𝑀𝑑𝑀

B xO

B xO

χ_m<<1 ⇒ H≅ B/µ₀

→ 𝛿𝐸_𝑝 = −χ_𝑚𝑀𝐵𝛿𝐵/𝜇₀

→ 𝛿𝐸_𝑝 = −χ_𝑚𝑀𝐵𝛿𝐵/𝜇₀

Le liquide paramagnétique monte dans le tube capillaire.

Equilibre avec le poids du liquide

Equations de Maxwell dans la matière aimantée

Sans hypothèses particulières, celles-ci s’écrivent

ρlibre ≡ ρ₀ densité volumique de charges « extérieures » 𝐽⃗^{libre ≡} 𝐽⃗₀ densité volumique de courants « extérieurs »

Cas des milieux lhi : on remplace 𝐷 par ε𝐸 et 𝐵 par µ𝐻