Ë PCSITroyes J Mathématiques J Ë Cahierd’exercices JË

(1)

v v v

p Cahier d’exercices o p Mathématiques o

p PCSI Troyes o

·l·¶ - ÁmÁÁ

(2)

PCSI Troyes Rédaction et (un peu de) logique 2

TD0 : Rédaction et (un peu de) logique

+Classique et incontournable +Exercice 0.1

Soitf :R−→R. Ecrire à l'aide de quanticateurs les phrases suivantes et écrire leur néga- tion.

a. f est la fonction nulle. (App : montrer quesin n'est pas la fonction nulle) b. f est constante surR. (App : montrer que sinn'est pas constante)

c. f est la fonction identité surR. (App : montrer quesin n'est pas l'identité)

d. L'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans [a, b]. (App : montrer que sin(x) =xadmet au moins une solution dans[0,2π])

e. L'inéquationf(x)>0admet au moins une solution dans R.

f. f estT−périodique avecT >0. (App : montrer que sinest 2π−périodique) g. f atteint toutes les valeurs deN.

h. f est strictement croissante sur R. (App : montrer que sin n'est pas strictement croissante surR)

i. f est majorée surR. (App : montrer que sinest majorée surR)

+Exercice 0.2

Soit(u_n) une suite réelle. Ecrire à l'aide de quanticateurs les phrases suivantes et écrire leur négation.

a. (u_n)est la suite nulle.

b. (un)est constante.

c. (un)est croissante à partir d'un certain rang.

d. (un)est minorée.

Exercice 0.3

Etudier la véracité des propositions suivantes. On écrira ensuite leur négation.

a. P : la fonction valeur absolue est dérivable surR b. P :∃x∈R, x²−x+ 1≤0

c. P :∀x∈R, x²≥x

d. P : la suite(un)dénie parun= (−1)ⁿ est décroissante e. P :∀x∈R, ∃y∈R, x+y=−1

f. P :∀x∈R, ∃y∈R, x²+y²= 1

Exercice 0.4 Ordre des quanticateurs

Comparer les propositions suivantes. On écrira ensuite leur négation.

a. P :∀x∈E, ∃m∈R, x≤m etQ: ∃m∈R, ∀x∈E, x≤m b. P :∀x >0, ∃n∈N, nx >1 etQ:∃n∈N, ∀x >0, nx >1

Exercice 0.5 Implications

Dans chaque cas, on considère deux propositions P et Q. Préciser si l'on a : P ⇒ Q ou Q⇒P ouP ⇔Q.

a. Soitx∈R.P :x²= 4 etQ:x= 2 b. Soitx∈R.P :x >1 etQ:x²>1

c. Soitx∈R.P :|2x−4| ≤ |x−1| etQ:(2x−4)²≤(x−1)² d. Soitx∈R.P :|x+ 1|<2 etQ:−3< x <1

e. Soitx∈R.P :x³>0 etQ:x >0

f. Soit x, y∈R.P :x²+y²= 0 etQ:x= 0ety= 0 g. Soitx, y∈C.P :x²+y²= 0 etQ:x= 0ety= 0

h. Soitf :R−→R.P :f croissante surR etQ:f⁰(x)≥0 ∀x∈R

Exercice 0.6 Raisonnement direct ou par contraposée

Montrer par un raisonnement direct ou par contraposée les implications suivantes.

a. Soitf :R−→Ret I⊂R. f croissante surR⇒f est croissante surI b. Soitk, l∈N. kl= 1 =⇒k= 1, l= 1

c. Soitxun réel. x²≤x=⇒ |x|=x

d. Soitnun entier. n² est impair=⇒nest impair

e. Soitf :R−→Ret m∈R. ∀x∈R, f(x)> m=⇒inff(x)≥m f. Soit f :R−→Ret m∈R. inff(x)≥m=⇒ ∀x∈R, f(x)≥m

PCSI Troyes Rédaction et (un peu de) logique 2

(3)

PCSI Troyes Calculs algébriques 3

Exercice 0.7 Par l'absurde

Montrer par l'absurde les propositions suivantes.

a. ∀x∈R, x6=−2 =⇒^x+1_x+2 6= 1

b. Soit a∈R. (∀ε >0, |a|< ε) =⇒a= 0

c. Soit a, b∈R. (∀x∈R, b < x⇒a < x) =⇒a≤b

Exercice 0.8 Analyse synthèse

Montrer par analyse synthèse les propositions suivantes.

a. Il existe une unique fonctionf :R−→Rqui vérie :

∀x, y∈R, f(y−f(x)) = 2−x−y.

b. Toute fonction deRdansRest somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire dénies surR.

TD1 : Calculs algébriques

+Classique et incontournable OPlus dicile

Se familiariser avec les récurrences

+Exercice 1.1 Récurrence simples

Montrer par récurrence les propositions suivantes (ndésigne toujours un entier naturel).

a. ∀n≥4, P(n) :n²≤2ⁿ b. ∀n≥4, P(n) :2ⁿ≤n!

c. ∀n≥0,P(n) :3ⁿ−1 est pair

d. ∀n≥1,P(n) :1 + 2 +· · ·+n=ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ e. ∀n≥0,P(n) :10ⁿ−1est un multiple de 9

f. ∀n≥0,P(n) :∀x >0, (1 +x)ⁿ ≥1 +nx g. ∀n≥0,P(n) :2n

n

≤4ⁿ

Exercice 1.2 Autres récurrences

a. Soit (un) la suite dénie par u0 = u1 = 1 et pour n ∈ N, un+2 = 5un+1+_n+1² un. Montrer que∀n∈N^∗, on a 1≤un≤n².

b. Soitx∈R^∗tel que x+1

x ∈Z. Montrer que pour toutn≥1, on axⁿ+ 1 xⁿ ∈Z.

Sommes

+ Exercice 1.3 Calculs élémentaires Calculer les sommes suivantes, pourn∈N:

a.

n

X

k=0

n k

b.

n

X

k=0

n k

2^k

c.

n

X

k=0

(−1)^k n

k

d.

n

X

k=0

(0,5)^k

e.

n

X

k=0

(k−2)

Exercice 1.4 Calculs élémentaires

Calculer les sommes suivantes, pourn∈N^∗ : a.

n

X

i=1

2ⁱ+ 2i+ 3

b.

n

X

k=1

2^k 3^k+1

c.

n

X

i=1

(−1)ⁱ

d.

n

X

k=1

3^2k

+ Exercice 1.5 Binôme de Newton

Soitf :x7−→(1 +x)ⁿ oùnest un entier naturel supérieur ou égal à2. a. Calculerf⁰(x)et f⁰⁰(x).

b. En déduire la valeur des sommes suivantes :

n

X

k=1

k n

k

ⁿ

X

k=2

k(k−1) n

k

ⁿ

X

k=1

k² n

k

c. Montrer que pour toutk∈[[1, n]], on a : k n

k

=n n−1

k−1

.

d. Retrouver les valeurs des sommes deb.sans utiliser la questiona.et en utilisantc.

PCSI Troyes Calculs algébriques 3

(4)

PCSI Troyes Sous-ensembles de R 4

+Exercice 1.6 Inégalité de Bernoulli

Montrer à l'aide de la formule du binôme de Newton que, pour tout x∈ [0,+∞[ et tout entier natureln, on a :

(1 +x)ⁿ≥1 +nx.

Exercice 1.7 Récurrence Montrer par récurrence surn:

a.

n

X

k=1

k²= n(n+ 1)(2n+ 1) 6

b.

n

X

k=1

k³= n²(n+ 1)² 4

c.

n

X

k=1

k×k! = (n+ 1)!−1

d. Pour toutk≤n,

n

X

l=k

l k

= n+ 1

k+ 1

e.

n

X

k=1

(−1)^kk=(−1)ⁿ(2n+ 1)−1 4

f.

n

X

k=1

(−1)^kk²= (−1)ⁿn²+n 2

Exercice 1.8 Sommes téléscopiques

Calculer, pourn∈N,Sn puis en déduire la limite de(Sn)quandntend vers+∞. a. Sn=

n

X

i=1

1 i(i+ 1)

b. Sn=

n

X

k=2

1 k²−1

c. Sn=

n

X

k=1

ln

1 + 1 k

d. Sn =

n

X

k=2

1 k³−k

e. S_n =

n

X

k=2

ln

1− 1 k²

f. Sn =

n

X

k=1

1

k− 1

n+ 1−k

O Exercice 1.9 Calculs

Exprimer, en fonction den∈N, les sommes suivantes : a.

2n

X

k=0

|k−n| b.

2n

X

k=0

min{k, n}

Exercice 1.10 Sommes doubles

Calculer les sommes suivantes, oùnest un entier naturel :

a. X

1≤i,j≤n

ij b. X

0≤i,j≤n

2^2i−j

Exercice 1.11 Sommes triangulaires

Calculer les sommes suivantes, oùnest un entier naturel :

a. X

1≤i<j≤n

ij

b. X

1≤i<j≤n

i

c. X

1≤i<j≤n

(i+j)

d. X

1≤i<j≤n

|i−j|

O Exercice 1.12 Sommes doubles

Calculer les sommes suivantes, oùnest un entier naturel (on déduirab.dea. etc.de a.et b.) :

a. X

1≤i,j≤n

min{i, j} b. X

1≤i,j≤n

max{i, j} c. X

1≤i,j≤n

|i−j|

O Exercice 1.13 Autre calcul Montrer, que pour toutn∈N^∗ :

2n

X

k=1

(−1)^k+1

k =

2n

X

k=n+1

1 k.

Produits

+ Exercice 1.14 Factorielle

Soitn∈N^∗. Exprimer 2×4× · · · ×(2n), puis1×3× · · · ×(2n+ 1) à l'aide de factorielles.

Exercice 1.15 Récurrence

Montrer par récurrence surn∈N^∗ : a.

n

Y

k=0

1 + 1 2k+ 1

>√ 2n+ 3

b. Pour tousa1, . . . , an∈]0,1[,

n

Y

k=1

(1−ak)≥1−

n

X

k=1

ak.

Exercice 1.16 Produits téléscopiques

Calculer, pour m entier naturel,Pm puis en déduire la limite de (Pm)quand m tend vers +∞.

a. P_m=

m

Y

n=2

1− 1

n²

b. P_m=

m

Y

n=1

1 + 1

n

(5)

TD2 : Sous-ensembles de R

Ordre dans R

+Exercice 2.1 Inégalités classiques Montrer les inégalités suivantes :

a. ∀a, b∈R, ab≤ 1

2 a²+b² puis |ab| ≤ 1

2 a²+b² b. ∀a, b, c∈R, ab+ac+bc≤a²+b²+c²

c. ∀a, b≥0, √ ab≤1

2(a+b) d. ∀a, b >0, 1

2(ln(a) + ln(b))≤ln a+b

2

Exercice 2.2 Inéquations

Résoudre dansRles inéquations suivantes. On écrira les solutions sous forme d'union d'intervalles que l'on représentera.

a. |x+ 1| ≤4 b. |x+ 1|>4 c. |2x−4| ≤ |x−1|

d. p

4x²+ 5≤2x−3 e. |x−5| ≤√

2x+ 1 f. x−5≤p

2x²+ 1

Exercice 2.3 Domaines de dénition

Déterminer le domaine de dénition de chacune des fonctions suivantes : a. f :x7−→√

x−3 b. f :x7−→ln(x²−1) c. f :x7−→ln(p

x²+ 1−x) d. f :x7−→ x

ln (x−1)

e. f :t7−→ln (|t| −1) f. f :t7−→

√t

ln(t) g. f :t7−→

r1 +t 1−t

Exercice 2.4 D'autres inégalités Montrer que pourx, yréels, on a :

a. |x|+|y| ≤ |x+y|+|x−y| b. 1 +|xy−1| ≤(1 +|x−1|) (1 +|y−1|)

Parties bornées

Exercice 2.5 Somme de deux ensembles

SoitAetB deux parties non vides et majorées de R.

On noteA+B={a+b, (a, b)∈A×B}. Montrer queA+B admet une borne supérieure et quesup(A+B) = sup(A) + sup(B).

+ Exercice 2.6

SoitAetB deux parties non vides deRtelles que :∀(a, b)∈A×Bon aa≤b. Montrer que sup(A)et inf(B)existent et quesup(A)≤inf(B).

+ Exercice 2.7

Soit A une partie non vide bornée de R. On note −A = {−a, a ∈ A}. Montrer que sup(−A) =−inf(A).

Exercice 2.8 Parties deR

Pour chaque partie deRci-dessous, déterminer lorsqu'ils existent, un majorant, un minorant, le maximum, le minimum, la borne sup et la borne inf.

a. 1

n, n∈N^∗

b. 1

n+ (−1)ⁿ, n∈N^∗

c. 1

2ⁿ +(−1)ⁿ

n , n∈N^∗

d. Q∩[0,√ 2]

Exercice 2.9 Parties deR

Pour chaque partie deRci-dessous, déterminer lorsqu'elles existent, les bornes supérieure et inférieure. On xea, b >0.

a. {a+bn, n∈N} b.

a+ b

n, n∈N^∗

c.

(−1)ⁿa+ b

n, n∈N^∗

d.

a+b(−1)ⁿ

n , n∈N^∗

+ Exercice 2.10 Parties dénies par des fonctions Déterminer la borne supérieure des ensembles suivants :

a.

|x−2|, x∈[−1,1] b.

x²+x−3, x∈[0,1] c.

|x−1|, x∈]−1,1[

O Exercice 2.11

SoitAune partie non vide et bornée deR. On considèreB={|x−y|, (x, y)∈A²}.

(6)

PCSI Troyes Généralités sur les fonctions 6

1. Montrer queB est non vide et majorée.

2. Montrer que la borne supérieure deB est sup(A)−inf(A).

Approximation des réels

O Exercice 2.12 Densité deQdansR

1. Montrer, en utilisant le fait queNn'est pas majoré, que pour tous réelsxety strictement positifs, il existe un entiern≥1, tel quenx > y.

2. Soit deux réelsx < y. Montrer qu'il existen∈N^∗ tel quen(y−x)>1. 3. Pour l'entiernobtenu ci-dessus, on considère

E=

k∈Z, k n ≤x

.

Montrer queE admet un plus grand élément que l'on noterap. 4. Montrer que

x < p+ 1 n < y

et en déduire que pour tous réelsx < y, il existe un rationnel rtel quex < r < y.

TD3 : Généralités sur les fonctions

Limites

+Exercice 3.1 Taux d'accroissement Déterminer les limites des fonctions suivantes :

a. sin(x) x en0 b. cos(x)−1

x en0 c. tan(x)

x en0

d. ln(1 +x) x en0 e. e^x−1

x en0 f.

√x−1 x−1 en1

g. sh(x) x en0 h. ch(x)−1

x en0 i. th(x)

x en0

Exercice 3.2 Limites

Déterminer les limites des suivantes : a. lnp

x²+x−1−x

en+∞

b. xln(x²)en0 c.

√x+ 1−2

√x+ 13−4 en3

d. cos(x)−1 x² en0 e. 1

1−x− 2

1−x² en1 f. x²−x√

x+ ln(x)

2x²−1 en+∞

Etude de fonctions

+ Exercice 3.3 Représentation de fonction Représenter les fonctions dénies surRsuivantes :

a. f :x7−→ |x+ 1|

b. g:x7−→ |x|+ 1

c. h:t7−→ |t−1|+ 2 d. i:t7−→ |t+ 2| −1

Exercice 3.4 Etude de fonctions

Etudier les fonctions suivantes (ensemble de dénition, intervalle d'étude, variations, extrema locaux ...) :

a. t7−→ ln(t)

t b. t7−→ t

1 +t⁴ c. x7−→ln|1−x|

Exercice 3.5 Calcul de dérivées

Préciser l'ensemble de dénition des fonctions suivantes et déterminer les dérivées :

a. x7−→ e^xy x−y b. x7−→x^y

c. y7−→x^y

d. t7−→e^x+tsin(xt)

e. θ7−→ sin(θ) cos(t)−1 f. t7−→p

1 +x²t³

Exercice 3.6

Etudier complètement les fonctions :

a. f :x7−→x^x b. g:x7−→

1 + 1

x ^x

sur]0,+∞[

PCSI Troyes Généralités sur les fonctions 6

(7)

PCSI Troyes Nombres complexes et trigonométrie 7

+Exercice 3.7 Inégalités classiques

En réalisant une étude de fonction, montrer les inégalités suivantes : a. sin(x)≤x, ∀x∈h

0,π 2 i

b. x≤tan(x), ∀x∈h 0,π

2 h

c. sh(x)≥x, ∀x∈R+

d. ch(x)≥1 + x²

2 , ∀x∈R

Exercice 3.8 Calcul d'une somme Soitx∈R^∗+ etn∈N.

a. Montrer que th (n+ 1)x

−th(nx) = sh(x)

ch(nx)ch (n+ 1)x. b. En déduire la valeur deS_n(x) =

n

X

k=0

1

ch(kx)ch (k+ 1)x.

O Exercice 3.9 Inégalité

En réalisant une étude de fonction, montrer l'inégalité suivante : 2x <sin(x) + tan(x), ∀x∈i

0,π 2 h

Equations

+Exercice 3.10

Résoudre dansRles équations suivantes : a. x

√x= (√

x)^x b. x^(x^x⁾= (x^x)^x Exercice 3.11 Equations

Résoudre dansRles équations suivantes : a. 2×3^x−3^−x= 0

b. 2^2x−5^x−4^x−1+ 25^x²⁻¹= 0

c. 5ch(x)−4sh(x) = 3 d. 2 ln(x) = ln(x+ 4) + ln(2x)

Exercice 3.12 Inéquations

Résoudre dansRles inéquations suivantes : a. ln(x) + ln(3−x)<ln(2x+ 1) + ln(2) b. ln|x−1| −2 ln|x|+ ln|x+ 1| ≤0

c. e^2x−2e^x−3>0 d. e^−x+e^x−2≥0

Exercice 3.13 Egalité

Montrer que pour toutx∈I, oùI est un ensemble à déterminer, on a : ln

x+p x²+ 1

+ lnp

x²+ 1−x

= 0.

TD4 : Nombres complexes et trigonométrie

+Classique et incontournable O Plus dicile

Diérentes écritures

+ Exercice 4.1 Formes algébriques

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : a. z1= 1 +i

i b. z₂= 1

2−4i c. z₃= 3 + 6i 3−4i

d. z4=2 + 5i

1−i +2−5i 1 +i e. z5=

1 +i√ 35

f. z6=(1 +i)⁹ (1−i)⁷

Exercice 4.2 Module et argument

Donner le module et l'argument principal des nombres complexes suivants : a. z₁= 1 +itanπ

8

b. z2= 1 +e^it

c. z3= 1 + cos(θ)−isin(θ)

d. z₄= sin(θ) +i(1 + cos(θ))

e. z5 = 1 + 2itan(α)−tan²(α) où α ∈ −^π₂,^π₂.

Exercice 4.3 Questions de module

a. Soitz etz⁰ deux nombres complexes. Montrer que|z|+|z⁰| ≤ |z+z⁰|+|z−z⁰|. b. Prouver que pour tous nombres complexesa, btels queab¯ 6= 1, on a :

a−b 1−¯ab

= 1⇐⇒ |a|= 1ou|b|= 1.

(8)

Equations

Exercice 4.4 Racines carrées

Déterminer les racines carrées complexes des nombres complexes suivants : a=i, b= 1 +i, c= 1 +i√

3, d= 1−4i√ 3.

Exercice 4.5 Second degré

Résoudre dansCles équations suivantes : a. (1−i)z²−(6−4i)z+ 9−7i= 0 b. z²+z+ 1 = 0

c. iz²+ (1−5i)z+ 6i−2 = 0

d. z²−1 =i(z+ 1) e. z²−2zcos(α) + 1 = 0

Exercice 4.6 Racinesn−ième

Résoudre dansCles équations suivantes : a. z³= 4√

2(−1 +i) b. z⁸= 1−i

√ 3−i

c. z⁴+ 10z²+ 169 = 0

d. z⁴−(5−14i)z²−2(12 + 5i) = 0

Exercice 4.7 Exponentielle complexe Résoudre dansCles équations suivantes :

e^z=−2, e^z= 5i, e^z= 1 +i.

O Exercice 4.8

On considère l'équationz³−(6 + 5i)z²+ (7 + 17i)z+ 2−14i= 0.

Montrer que l'équation possède une unique solution réelle puis la résoudre dansC.

Exercice 4.9 Equations

Résoudre dansRles équations suivantes : a. cos(2x) =1

2

b. cos(3x)−sin(3x) = 0

c. cos(4x) + 2 sin(x) cos(x) = 0 d. sin²(x)−sin(x)−2 = 0

O Exercice 4.10 Inéquations

Résoudre dans[0,2π]les inéquations suivantes :

a. cosx 4

≥0 b. sin(x)−cos(x)≤0

c. (tan(x)−1)(2 cos(x)−1)>0 d. cos(2x) + cos(x)−1

cos(2x) >2

Trigonométrie

+ Exercice 4.11 Valeurs remarquables

A l'aide de formules trigonométriques, calculer les valeurs de a. cos ^π₈

, sin ^π₈

(avec ^π₄ = 2×^π₈) b. cos ₁₂^π,sin ₁₂^π(avec ₁₂^π = ^π₃−^π₄)

c. cos ^5π₁₂

,sin ^5π₁₂

+ Exercice 4.12 Formules trigonométriques

Soitp, q∈R. A l'aide de la facotirsation par l'angle-moitié dee^ip±e^iq, retrouver les formules trigonométriques :

a. cos(p) + cos(q) b. sin(p) + sin(q)

c. cos(p)−cos(q) d. sin(p)−sin(q)

+ Exercice 4.13 Factorisation

Transformer les expressions suivantes en expression de la formeAcos(x−ϕ)oùAet ϕsont deux réels à déterminer.

a. cos(x)−√ 3 sin(x) b. √

3 cos(x) + sin(x)

c. sin(2x) + cos(2x) d. sin(3x)−cos(3x)

O Exercice 4.14

Soitω=e^2iπ⁵ et x=ω+_ω¹. 1. Montrer queP4

k=0w^k = 0, puis quex²+x−1 = 0. 2. En déduire la valeur decos ^2π₅

.

Exercice 4.15 Linéarisation Linéariser :

cos²(x) sin²(x), cos(2x) sin³(2x), cos⁵(x).

Exercice 4.16 Sommes

Soitn∈N,x, θ∈R. Calculer les sommes suivantes :

(9)

PCSI Troyes Suites numériques 9

a.

n

X

k=0

cos(x+kθ) b.

n

X

k=0

sin(x+kθ)

En déduire les valeurs de

n

X

k=0

cos(k)et

n

X

k=0

sin(k).

Exercice 4.17 Polynôme

Exprimercos(5x)comme un polynôme en cos(x).

Géométrie

+Exercice 4.18 Ensemble de points

Déterminer l'ensemble des pointsM d'axeztels que |z+ 5|=|z−i|.

+Exercice 4.19 Axe des réels

a. Déterminer les entiers naturels npour lesquels(√

3 +i)ⁿ ∈R−. b. Déterminer les nombres complexesupour lesquels ^u−1_1+u ∈R.

Exercice 4.20 Même module

Déterminer les nombres complexesz tels quez,¹_z et 1−z aient le même module.

Exercice 4.21 Triangle équilatéral

On considère le polynôme complexeP(z) =z³+ 8i. 1. Montrer que2iest solution deP(z) = 0. 2. Résoudre dansCl'équationP(z) = 0.

3. Montrer que les points M, M⁰, M⁰⁰ d'axe respective les racines de P(z) forment un triangle équilatéral.

Exercice 4.22 Points alignés

Soitz etz⁰ deux nombres complexes de module1 vériant1 +zz⁰ 6= 0. 1. Montrer que _1+zz^z+z⁰0 est réel.

2. Montrer que les pointsM(z), M⁰(z⁰)et M⁰⁰

z+z⁰ 1+zz⁰

sont alignés.

O Exercice 4.23 Points alignés

Soit a un nombre complexe de module 1. On xe n ∈ N^∗ et on note z0, . . . , z_n−1 les racines de zⁿ = a. Montrer que les points M0, M1, . . . , M_n−1 d'axes respectives (1 +z0)ⁿ,(1 +z1)ⁿ, . . . ,(1 +z_n−1)ⁿ sont alignés.

On pourra montrer que les points sont tous sur la droite d'argument ^θ₂ oùθest l'argument dea.

Oraux de concours

Exercice 4.24 Centrale PC 2009

Déterminer lesz∈Ctels que les points d'axe1,z et1 +z²sont alignés.

Exercice 4.25 CCP PC 2011

Déterminer lesz∈Ctels que|z|=|z+ 1|= 1.

TD5 : Suites numériques

Généralités

+ Exercice 5.1 Convergence

Calculer, si elles existent, les limites des suites suivantes :

a. u_n=

1 + 1 n

ⁿ

b. u_n=

1−1 n

n

c. un =

1 + 1 n

ⁿ²

d. u_n =

1 + 1 n²

n

+ Exercice 5.2 Suite d'entiers

Montrer qu'une suite de nombres entiers convergente est stationnaire ie constante à partir d'un certain rang.

(10)

+Exercice 5.3 Suites adjacentes

Montrer que les suites suivantes sont adjacentes :un=

n

X

k=0

1

k! et vn=un+ 1 n×n!

+Exercice 5.4 Caractérisation séquentielle de la borne sup SoitAune partie non vide et bornée de RetM un réel.

1. Montrer que :

M = sup(A)⇐⇒

M majoreA

∃(xn)⊂A, lim(xn) =M 2. Enoncer un résultat analogue pourinf(A).

Exercice 5.5 Monotonie

Etudier la monotonie des suites suivantes : a. un =e^ln(n)ⁿ

b. u_n =√

n−8 ln(n)

c. un=n²e⁻ⁿ d. un= (−1)ⁿ

n

e. u_n =

n

X

k=1

√1 k−n

Exercice 5.6 Convergence

Etudier la convergence des suites suivantes : a. u_n =nsin

1 n+ 1

b. u_n = p

n⁴+n²+n− n²−n

c. un =√

n+ 1−√ n−1 d. u_n = ln(n+ 1)−ln(n) e. u_n =

n−1 n+ 1

n

f. un = ln(n)ⁿ¹

g. un=

−1 2

ⁿ + 3

h. un= 4 3−2ⁿ i. un= n+ sin(n)

n²+ 1 j. u_n= cos(n)−n k. un= ln(n) + (−1)ⁿ

l. un=ncos(n) + 2n

m. u_n = (−1)ⁿcos(n) +n² n. u_n = (−1)ⁿ√

2n+ 1−n o. u_n =√

n+ 1 cos(n)−n

p. un =bxnc

n oùx∈R q. u_n = 1

n²

n

X

k=1

bkxc où x∈R

Exercice 5.7 Suites adjacentes

Montrer que les suites suivantes sont adjacentes : a. un =

n−1

X

k=1

1

k²(k+ 1)² et vn=un+ 1

3n² b. un=

n

X

k=1

1

n+k et vn=

2n

X

k=n

1 k

+ Exercice 5.8 Suites convergeant vers0 Soitu∈R^N.

a. Si u_n > 0 pour tout n ∈ N et s'il existe k ∈]0,1[ tel que pour tout n ∈ N on a : un+1

u_n ≤kalors montrer que(u_n)converge vers0. b. Siuvérie∀n, m∈N^∗, 0≤un+m≤n+m

nm alors montrer quelim(un) = 0. c. Siuvérielim un

1 +un

= 0alors montrer quelim(un) = 0. d. Siuest bornée et vérie lim un

1 +u²_n = 0alors montrer quelim(un) = 0.

O Exercice 5.9 Une suite

Etudier la convergence de la suite dénie pourn∈N^∗ par :un =

n

X

k=1

√ 1 n²+k.

Exercice 5.10

Soit u et v deux suites à valeurs dans [0,1] et telles que lim(unvn) = 1. Montrer que lim(un) = 1et lim(vn) = 1.

O Exercice 5.11 Suite extraite

Soit(u_n)une suite réelle croissante telle que(u_2n)converge. Montrer que(u_n)converge.

O Exercice 5.12 Une suite implicite

Pourn∈N^∗, on dénit la fonctionϕn:R+−→Rparϕn(x) =x+· · ·+xⁿ⁻¹+xⁿ. 1. Montrer que pour n∈N^∗, l'équationϕn(x) = 1admet une unique solution dansR⁺,

que l'on notera un. 2. Calculeru1et u2.

3. Montrer que(u_n)est décroissante et en déduire qu'elle converge.

4. Montrer queun(1−uⁿ_n) = 1−un pour n≥1. 5. Déterminer la limite de(un).

(11)

PCSI Troyes Ensembles et applications 11

Suites récurrentes

Exercice 5.13 Suites arithmético-géométriques Etudier les suites suivantes :

a. u0= 1 etun+1= 3un−3 pour toutn∈N.

b. u0= 2 etun+1= 2un+ 3 pour toutn∈N.

Exercice 5.14 Suites récurrentes linéaires d'ordre2

Exprimer le terme généralun en fonction denpour les suites suivantes : a. u₀= 0,u₁= 3et u_n+2=−u_n+1+ 2u_n pour toutn∈N.

b. u₀= 5,u₁= 6et u_n+2= 6u_n+1−9u_n pour toutn∈N.

c. u0= 5,u1= 1et un+2=−9un pour toutn∈N.

Exercice 5.15 Une suite récurrente linéaire d'ordre2 Pourn∈N, on noteun=

n

X

p=0

n n−p

. 1. Calculeru0 et u1.

2. Montrer que pour toutn∈N,un+2=un+1+un.

3. En déduire une autre expression deu_n en fonction den∈N.

Exercice 5.16 Suites croisées

On considère les suites(un)et(vn)dénies paru0= 1,v0= 2et pourn∈N: un+1= 3un+ 2vn, vn+1= 2un+ 3vn.

1. Montrer que la suiteu−v est constante.

2. En déduire une expressiondeun en fonction devn pour n∈N.

3. Montrer que(un)est arithmético-géométrique.

4. Exprimer les termes généraux de(u_n)et de(v_n).

Exercice 5.17

On considère la fonctionf dénie parf(x) =^1+x_2+x pourx∈R\{−2}. 1. Montrer que l'équationf(`) =`admet deux solutions notées`1< `2.

2. On considère les suites(un)et(vn)dénies paru06=−2et pourn∈N: un+1 =f(un), vn =un−`2

un−`1

.

(a) Montrer que(vn)est géométrique.

(b) Exprimer le terme général de(un)et en déduire sa limite.

Exercice 5.18 Suite complexe simple

On considère la suite(zn)dénie parz0∈Cet pourn∈N: zn+1=1

2zn+1 2|zn|.

1. Montrer que siz0∈Ralors(zn)est une suite réelle constante.

2. Montrer que siz0∈C\Ralorszn∈C\Rpour toutn∈N.

3. Pour n∈N, on noter_n =|zn|etα_n l'argument dez_n dans]−π, π]. Montrer que rn+1=rncosαn

2

, αn+1=αn

2 . 4. Montrer que pour toutn∈N, on a :

αn= 2⁻ⁿα0, rn = r0sin(α0) 2ⁿsin(2⁻ⁿα₀).

O Exercice 5.19 Suite non linéaire d'ordre 1

Soita∈Ctel que0<|a|<1 et(un)la suite dénie paru0=aet pourn∈N: un+1= un

2−un

.

1. Montrer que(un)est bien dénie et que|un|<1pour toutn∈N.

2. Etudier la convergence de (u_n).

TD6 : Ensembles et applications

(12)

Ensembles

+Exercice 6.1 Inclusions

SoitAet B deux parties non vides deE. Montrer que : a. A∪B=B⇐⇒A⊂B

b. A∩B=B⇐⇒B ⊂A

c. A∩B=A∪B⇐⇒A=B

d. Si C ⊂A∪B alors a-t-on C ⊂ A ou C⊂B?

+Exercice 6.2 Union disjointe

SoitAet B deux parties non vides de E. EcrireA∪B comme une union disjointe de trois ensembles, puis de deux ensembles.

Exercice 6.3 Diérence symétrique

SoitE un ensemble. On appelle diérence symétrique sur E l'application∆ dénie par :

∆ : P(E)× P(E) −→ E (A, B) 7−→ A∆B oùA∆B={x∈A∪B, x /∈A∩B}.

1. SiE=R,A= [0,1]etB =]¹₂,+∞[, déterminerA∆B.

2. SoitA, B ∈ P(E). Montrer que A∆B = (A∩B¯)∪(B∩A)¯ (oùA¯ désigne le complé- mentaire deAdansE).

3. SoitA∈ P(E). DéterminerA∆A,A∆∅,A∆E,A∆ ¯A. 4. SoitA, B, C∈ P(E). Montrer que

(A∆B)∩C= (A∩C)∆(B∩C).

5. SoitA, B∈ P(E). Montrer queA∆B=B⇐⇒A=∅.

Exercice 6.4 Bornes supérieures et inférieures SoitAet B deux parties deRnon vides.

a. Montrer que siA⊂B etB est majorée alorssup(A)existe etsup(A)≤sup(B). Qu'en est-il des bornes inférieures ?

b. Montrer que siAet B sont majorées alorssup(A∪B) = max(sup(A),sup(B)).

Exercice 6.5 Ensembles des parties

a. DécrireP(∅)et P(P(∅)).

b. DécrireP({a, b})etP(P({a, b})).

O Exercice 6.6 Equations

SoitEun ensemble etA,B deux parties de E. Résoudre dans P(E):

a. A∩X =B b. A∪X =B.

Applications

+ Exercice 6.7 Images et images réciproques SoitEet F deux ensembles etf ∈F^E. Montrer que :

a. ∀A, A⁰∈ P(E), f(A∪A⁰) =f(A)∪f(A⁰) b. ∀A, A⁰∈ P(E), f(A∩A⁰)⊂f(A)∩f(A⁰)

c. ∀B, B⁰ ∈ P(F), f⁻¹(B∪B⁰) =f⁻¹(B)∪f⁻¹(B⁰) d. ∀B, B⁰ ∈ P(F), f⁻¹(B∩B⁰) =f⁻¹(B)∩f⁻¹(B⁰)

Exercice 6.8 Composée des images

SoitEet F deux ensembles etf ∈F^E. Montrer que :

a. ∀A∈ P(E), A⊂f⁻¹(f(A))avec égalité si et seulement sif est injective.

b. ∀B∈ P(F), f(f⁻¹(B))⊂B avec égalité si et seulement sif est surjective.

+ Exercice 6.9 Fonction indicatrice

SoitAetB deux ensembles deE. Montrer les propriétés suivantes : a. 11²_A= 11_A

b. 11_A= 1−11_A

c. 11_A∩B= 11_A11_B

d. 11_A∪B= 11_A+ 11_B−11_A11_B Exercice 6.10

SoitE etF deux ensembles etf ∈F^E. Montrer que pour tout(A, B)∈ P(E)× P(F)on a : f A∩f⁻¹(B)

=f(A)∩B.

Exercice 6.11 Composée d'applications

SoitA, B, C, Dquatre ensembles etf ∈B^A,g∈C^B, h∈D^C trois applications.

(13)

PCSI Troyes Limites et fonctions continues 13

a. Montrer que :g◦f injective=⇒f injective.

b. Montrer que :g◦f surjective=⇒gsurjective.

c. Montrer que :(g◦f et h◦gbijectives )⇐⇒f, get hbijectives.

Exercice 6.12 Fonctions numériques

Etudier l'injectivité et la surjectivité des applications suivantes. Dans le cas où la réciproque existe, l'expliciter.

a.

N −→ N n 7−→ 2n

b.

N −→ N n 7−→ n+ 1

c.

C −→ C z 7−→ z¯

d.

R\{1} −→ R x 7−→ ^2−x_x−1

e.

R −→

0,^π₂ x 7−→ Arctan(e^x) f.

C\{1} −→ C\{1}

z 7−→ ^z+2_z−1

Exercice 6.13 Fonction numérique Soitf :R−→Rdénie parf(x) =|x²−1|.

1. f est-elle injective ? surjective ? 2. Déterminerf(]0,2])etf⁻¹([0,1[).

Exercice 6.14 Fonction numérique Soitf :R−→Rdénie parf(x) =_1+x^2x2.

1. f est-elle injective ? surjective ?

2. Montrer que la restriction def à[−1,1]réalise une bijection vers un ensemble que l'on précisera. Expliciter la réciproque.

Des bijections fondamentales

+Exercice 6.15 Nest en bijection avec l'ensemble des nombres pairs

On noteN2 l'ensemble des entiers naturels pairs. Construire une bijection deNversN2.

O Exercice 6.16 N² est en bijection avec N^∗

Soitf :N²−→N^∗ dénie parf(n, p) = 2ⁿ(2p+ 1). Montrer quef est une bijection.

(Pour la surjectivité, on pourra raisonner par récurrence.)

+Exercice 6.17 Rest en bijection avec ]0,1[

1. Montrer queRest en bijection avec]−^π₂,^π₂[.

2. Montrer que]−^π₂,^π₂[est en bijection avec]0,1[. En déduire queRest en bijection avec ]0,1[.

Exercice 6.18 Une bijection deP(E)dans lui-même

SoitEun ensemble. Montrer que l'applicationφdénie deP(E)dansP(E)parφ(A) = ¯A, est un bijection.

O Exercice 6.19 P(E) est en bijection avec{0,1}^E

SoitE un ensemble et φ: P(E)−→ {0,1}^E l'application dénie parφ(A) = 11_A. Montrer queφest bijective.

Fonctions trigonométriques réciproques

+ Exercice 6.20 Formules remarquables Montrer que :

a. Pour toutx∈[−1,1], on a cos(Arcsin(x)) =√

1−x² etsin(Arccos(x)) =√ 1−x². b. En déduire l'expression de la dérivée de Arcsin et de Arccos sur]−1,1[.

c. Pour toutx∈R, on acos(Arctan(x)) = ^√¹

1+x² etsin(Arctan(x)) = ^√^x

1+x². Exercice 6.21 Valeurs exactes

Calculer : Arccos

cos 4π

3

, Arcsin

sin 5π

6

, Arctan

tan

−2π 3

.

Exercice 6.22 Equations

Résoudre dansRles équations suivantes : a. Arccos(x) =Arcsin

1 3

+Arccos 1

4

b. Arccos(x) = 2Arccos3 4

c. 2Arcsin(x) =Arcsin 2xp

1−x²

d. Arccos(x) =Arcsin(2x).

O Exercice 6.23 Argument et Arctan 1. Soitz=a+ibun nombre complexe. A quelles conditions l'argument principal dez vaut Arctan ^b_a

?

(14)

2. Calculer(1 +i)(1 + 2i)(1 + 3i).

3. En déduire que Arctan(1) +Arctan(2) +Arctan(3) =π.

Oraux de concours

Exercice 6.24 CCP PC 2011 SoitE un ensemble etf :E−→E.

1. On suppose quef est surjective. Montrer quef◦f est surjective.

2. On suppose quef vérief◦f ◦f =f. Montrer quef est surjective si et seulement si f est injective.

TD7 : Limites et fonctions continues

Limites

+Exercice 7.1 Limites

Déterminer un prolongement par continuité des fonctions suivantes : a. xsin(1/x)en0

b.

√1 +x−√ 1−x

x en0

c. x^xen0⁺ d. (1 +x)¹^x en0

e. sin(x) sin(1/x)en0

Exercice 7.2

Déterminer les limites, lorsqu'elles existent :

a. e^x−cos(x) en+∞ b. xsin

1 x

en+∞

Suites récurrentes non linéaires

+Exercice 7.3 Suites récurrentes

Etudier la convergence des suites suivantes : a. u0∈R, et pour toutn∈N, un+1=u²_n+ 1.

b. u0= 1, et pour toutn∈N,un+1=√ 1 +un. c. u0∈Retun+1=e^uⁿ−1 pour toutn∈N.

d. u0≥1 etun+1= 1 + ln(un)pour toutn∈N.

O Exercice 7.4 Somme et produit d'une suite Soituune suite dénie paru0∈]0,1[et pourn∈N,

un+1=un−u²_n.

1. Montrer queuest monotone, convergente et déterminer sa limite.

2. Déterminer la limite de

n

X

k=0

u²_k.

3. Déterminer la limite de

n

Y

k=0

(1−uk).

O Exercice 7.5 Une suite récurrente

Soit[a, b]un intervalle deRetf : [a, b]−→[a, b]une fonction1−lipschitzienne. On considère (u_n)une suite dénie paru₀∈[a, b]et pourn∈N:

un+1= 1

2(f(un) +un).

Montrer que(un)_n∈Nest bien dénie et que(un)_n∈Nconverge vers un point xe def.

Continuité

+ Exercice 7.6 Fonctions constantes

Soitf :I−→Rune fonction continue surIun intervalle de R.

a. Montrer que si l'ensemblef(I)est ni, alorsf est constante sur I. b. Montrer que si|f|est constante sur Ialorsf est constante surI. c. Montrer que sif(I)⊂Zalorsf est constante surI.

+ Exercice 7.7 Fonctions bornées

Soitf :R−→Rune fonction continue surR.

a. Montrer que sif est périodique alorsf est bornée surR.

b. Montrer que sif admet une limite nie en+∞et en −∞, alorsf est bornée surR.

(15)

PCSI Troyes Fonctions dérivables 15

Exercice 7.8 Degré impair

Soit a0, a1, . . . , an des réels avec n ∈ N. Montrer que si n est impair alors l'équation

n

X

k=0

akx^k= 0admet au moins une solution réelle.

Exercice 7.9

Soitf, gcontinues sur[a, b]et telles quef(x)> g(x)pour toutx∈[a, b]. Montrer qu'il existe m >0tel que :∀x∈[a, b], f(x)≥g(x) +m.

Exercice 7.10 Fonction lipschitzienne

On dit qu'une fonctionf :I−→Rest lipschitzienne s'il existe un réelkpositif tel que pour toutx, y∈I, on a :

|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|.

Montrer qu'une fonction lipschitzienne surIest continue surI.

O Exercice 7.11

Soitf, g deux fonctions continues sur un intervalleI deRtelles que :

∀x∈I, g(x)6= 0 et|f(x)|=|g(x)|.

Montrer quef =g ouf =−g surI.

O Exercice 7.12 Indicatrice deQ

Montrer que la fonction11_Q indicatrice deQest discontinue en tout point deR\Q.

TD8 : Fonctions dérivables

Quelques fonctions particulières

Exercice 8.1 Une fonction de classeC¹ Soitf dénie surRpar :

f(x) =

x²ln|x| six6= 0

0 six= 0

Montrer quef est de classeC¹.f est-elle deux fois dérivable en0?

Exercice 8.2 Dérivées successives

Déterminer les dérivéesn−ièmes des fonctions suivantes : a. x7−→x^p (avecp∈N)

b. x7−→ 1 x

c. x7−→x²(1 +x)ⁿ d. x7−→e^ax (aveca∈R)

e. x7−→xcos(x)

+ Exercice 8.3 Périodicité

Soitf :R−→Rune fonction dérivable surR.

a. Montrer que sif⁰ ne s'annule pas alors f ne peut être périodique.

b. Montrer que sif estT−périodique alorsf⁰ est T−périodique.

+ Exercice 8.4 Fonctions convexes

Montrer que les fonctions suivantes sont convexes : a. f : ]0,+∞[ −→ R

x 7−→ −ln(x)

b. f : R −→ R x 7−→ x²

c. f : R −→ R x 7−→ e^x

d. f : R −→ R

x 7−→ ln(1 +e^x)

Exercice 8.5 Inégalités de convexité

a. En utilisant la fonction f :]1,+∞[−→ R dénie par x 7−→ −ln(ln(x)), montrer que pour tousx, y >1, on a :

ln x+y

2

≥p

ln(x) ln(y).

b. En utilisant la fonctionf :]0,+∞[−→R dénie parx7−→xln(x), montrer que pour tous x, y, a, b >0, on a :

xlnx a

+ylny b

≥(x+y) ln x+y

a+b

.

Rolle et accroissements nis

+ Exercice 8.6 Théorème des accroissements nis Montrer les inégalités suivantes :

a. Pour toutx≥0,sin(x)≤x. b. Pour toutx≥0,ln(1 +x)≤x.

c. Pour tout x≥0,e^x≥1 +x. d. Pour tout x≥0, Arctan(x)≥ x

1 +x².

PCSI Troyes Fonctions dérivables 15

(16)

PCSI Troyes Primitives et Equations diérentielles 16

+Exercice 8.7 Théorème des accroissements nis Montrer les inégalités suivantes :

a. Pour tout x >0, _x+1¹ ≤ln(x+ 1)−ln(x)≤ ¹_x. b. Pour tout x >0, ₂^√¹_x+1 ≤√

x+ 1−√

x≤ ₂^√¹_x. c. Pour tousa, b∈R,|sin(b)−sin(a)| ≤ |b−a|.

+Exercice 8.8 Suite récurrente d'ordre1

Soit(u_n)la suite dénie par u₀ ∈ I =]3,4[et u_n+1 = 4− ¹₄ln(u_n). On notef la fonction associée.

1. Montrer que(u_n)est bien dénie, puis quef admet un unique point xeαdansI. 2. Montrer que pour toutn∈N, on a|un+1−α| ≤ ₁₂¹|un−α|.

3. En déduire que(un)converge versα.

+Exercice 8.9 Nombre de racines d'un polynôme

On considère une fonction polynomialeP admettant n racines distinctes surR où n ≥2. Montrer queP⁰ admet au moinsn−1 racines distinctes surR.

Exercice 8.10

Soitf :R−→Rla fonction dénie parf(x) = sin(x) + cos(x)

1 + cos²(x) . Montrer que pour tout réel a, f⁰ s'annule au moins une fois sur]a, a+ 2π[.

Exercice 8.11

SoitP(x)le polynôme déni parP(x) = 3x⁴−11x³+ 12x²−4x+ 2. Montrer queP⁰s'annule au moins une fois sur]0,1[.

Exercice 8.12

Soitf : [a, b] −→R continue et strictement positive sur [a, b], dérivable sur ]a, b[. Montrer qu'il existec∈]a, b[tel que :

f(b)

f(a) =e^(b−a)

f0(c) f(c).

Exercice 8.13 Estimation d'erreur

Majorer l'erreur commise dans les approximations suivantes : a. √

10001≈100 b. 0,999²≈1 c. cos(1)≈ ¹₂

O Exercice 8.14

Soitf : [a, b]−→Rcontinue sur [a, b], deux fois dérivable sur ]a, b[. Montrer que pour tout x∈[a, b], il existec∈]a, b[tel que :

f(x) =f(a) +f(b)−f(a)

b−a (x−a) +(x−a)(x−b) 2 f⁰⁰(c).

TD9 : Primitives et Equations diérentielles

Primitives

Exercice 9.1 Calculs élémentaires de primitives

Déterminer les primitives des fonctions suivantes en précisant un intervalle de dénition : a. x7−→sin(4x−5)

b. x7−→ e^2x e^2x−3 c. x7−→ 2x−4

√

x²−4x+ 8

d. x7−→sin³(x) cos(x) e. x7−→ ln(x)

x f. x7−→ 1

xln(x)

Exercice 9.2 Calculs élémentaires d'intégrales

Calculer les intégrales suivantes en identiant une primitive : a. Z 1

0

e^t 2 +e^tdt

b. Z 4 1

e^√^x

√x dx

c. Z 9 4

dt t√ t

d. Z 1 0

2u+ 1 (u²+u+ 3)³du

e. Z 1 0

1

(x+ 1)(x+ 2)dx

f. Z 2e e

3 x(ln(x))²dx

Exercice 9.3 Intégration par parties

Déterminer les primitives suivantes en eectuant une intégration par parties : a. Z

xcos(2x)dx

b. Z e 1

ln(t)dt

c. Z

(x²+ 1) sin(x)dx

d. Z

e^2xcos(x)dx

(17)

Exercice 9.4 Changement de variables

Calculer les intégrales suivantes en utilisant le changement de variables indiqué entre paren- thèses :

a. Z 1 0

p1−x²dx avecx= sin(u)

b. Z 1 0

tp

1−t²dtavect= sin(u) c. Z 1

0

dt

e^t+ 1 avecu=e^t

d. Z e 1

dt tp

ln(t) + 1 avecu= ln(t) e. Z ln 2

0

√e^x−1dxavecu=√ e^x−1

f. Poura >0,Z a 1/a

ln(x)

x²+ 1dxavect= ¹_x Exercice 9.5 Changement de variables

Déterminer les primitives suivantes en utilisant le changement de variables indiqué entre parenthèses :

a. Z dt

√t+√

t³ avecu=√ t

b. Z dt t√

t²−1 avecu= ¹_t

c. Z dt

√e^t−1 avecu=√ e^t−1

d. Z dx

3 +e^−x avect=e^x Exercice 9.6 Autres calculs

Calculer les intégrales suivantes :

a. Z π/2 0

e^2xcos(x)dx

b. Z π/2 0

cos⁵(x)dx

c. Z π/2

−π/2

sin⁷(x)dx

d. Z π/2 0

e^−xsin(4x)dx

e. Z 1/2 0

1 x²−1dx

f. Z 1/2 0

1 x²−x−1dx

g. Z 1/2 0

1

2x²−x+ 1dx

h. Z 2 0

1

4x²−24x+ 36dx

O Exercice 9.7

Déterminer les primitives suivantes : a. Z

sin(ln(t))dt

b. Z x⁷ (x⁴+ 1)²dx

c. Z 1

e^x+e^−xdx

d. Z

tan⁴(t)dt

EDL Premier ordre

Exercice 9.8 Coecients constants

Résoudre dansRsur des intervalles à déterminer les équations suivantes a. y⁰−2y= 3

b. 4y⁰+y=e^2x

c. 2y⁰−3y= (x−1)e^x d. y⁰+y= sin(2x)

+ Exercice 9.9 Circuit RL

Dans un circuit RL, la loi des mailles s'écrit(E) : _dt^di+^R_Li= ^e(t)_L .

a. Cas où e(t) = 0 (régime libre). Résoudre l'équation homogène (E) en supposant i(0) =i0.

b. Cas oùeest un échelon de tension :e(t) = 0sit <0 ete(t) =E0>0est xé (régime forcé) pour t > 0. Pour t = 0, on suppose qu'il n'y a aucun courant dans le circuit.

Pourquoi s'agit-il d'un problème de Cauchy ? Résoudre (E).

c. Dans ce dernier cas, donner la solution transitoire et la solution permanente.

Exercice 9.10 Coecients variables

Résoudre dansRsur des intervalles à déterminer les équations suivantes a. y⁰−tan(x)y= cos(x)

b. y⁰+1

xy= 2 sin(x²) c. xln(x)y⁰+y=x

d. (1 +e^x)y⁰−e^xy= 2x(e^x+ 1)² e. x²y⁰+y= 1

f. xy⁰+y= cos(x)

O Exercice 9.11 Coecients variables

Résoudre dansRsur des intervalles à déterminer les équations suivantes a. y⁰− 2x

1 +x²y=xln(1 +x²) b. x²y⁰−y= 1

x

c. cos(x)y⁰+ sin(x)y= cos(x)

d. (x²+ 1)y⁰+xy=x³ Exercice 9.12 Problèmes de Cauchy

Résoudre dansRles problèmes de Cauchy suivants : a.

y⁰−cos(x)y= 0

y(^π₂) = 1 b. (x+ 2)y⁰−y=^x+2_x+3

y(0) = 0 c.

y⁰−¹_xy= ln(x) y(1) = 0

(18)

O Exercice 9.13 Seconds membres diérents

Résoudre dansRsur]−1,1[les équations diérentielles suivantes :

a. (1−x²)y⁰−xy= 1 b. (1−x²)y⁰−xy=x c. (1−x²)y⁰−xy=x²

O Exercice 9.14

Résoudre dansRl'équation diérentiellex(x²−1)y⁰+ 2y=x².

O Exercice 9.15 Equations de Bernoulli On souhaite résoudre dansR(E) : y⁰+y=xy³.

a. Justier que (E) n'est pas une équation diérentielle linéaire et montrer que 0 est solution.

b. On écarte le casy= 0. Diviser(E)pary³et poserz= _y¹2. Réécrire(E)en une équation enznotée(E⁰).

c. Résoudre(E⁰).

d. En déduire les solutions de(E).

Utiliser la même méthode pour résoudre dansR l'équation (E) : y⁰ +ytan(x) +y² = 0. Dans ce cas on divisera pary² et on poseraz= ¹_y.

O Exercice 9.16 Evolution de population

La croissance d'une certaine population est régie par l'équation y⁰ = λy(1−y) où λ >0 est xé. Résoudre l'équation diérentielle en utilisant la méthode de l'exercice précédent. En déduire les variations de la croissance de la population suivant que0< y(0)<1ouy(0)>1.

Exercice 9.17

Résoudre dansRl'équation diérentielle(1 +x)²y⁰⁰+ 2xy⁰= 0.

EDL Second ordre

Exercice 9.18 Second ordre homogène

Résoudre dansRles équations diérentielles suivantes :

a. y⁰⁰+y⁰−y= 0 b. y⁰⁰+ 4y⁰+ 13y= 0 c. y⁰⁰−6y⁰+ 9y= 0

+Exercice 9.19 Circuit RLC

Un circuit RLC comporte en série une résistanceR, une bobine d'inductanceLet un condensateur de capacitéC. On note u la tension aux bornes du condensateur. On admet queu

vérie l'équation diérentielle

(E) : Lu⁰⁰+Ru⁰+ 1 Cu= 0.

Résoudre(E)dansRlorsque a. R >2

qL

C (régime apériodique) b. R= 2

qL

C (régime critique) c. R <2

qL

C (régime sinusoïdal amorti) Exercice 9.20 Second membre polynomial

Résoudre dansRles équations diérentielles suivantes :

a. y⁰⁰−4y⁰+ 3y= 3t−2 b. y⁰⁰−4y⁰=t²+ 1 c. y⁰⁰=−t+ 3 Exercice 9.21 Second ordre non homogène

Résoudre dansRles équations diérentielles suivantes : a. y⁰⁰−4y⁰+ 3y= (2t+ 1)e^−t

b. y⁰⁰−4y⁰+ 3y= (2t+ 1)e^t c. y⁰⁰−2y⁰+y= (t−1)e^t Exercice 9.22

On considère l'équation diérentielle

(E)y⁰⁰−2y⁰+y= 2e^x x³ .

a. Vérier que la fonctionyp(x) =^e_x^x est une solution particulière de(E). b. Donner toutes les solutions dansRde(E).

c. Donner la solution de(E)qui vériey(1) = 0et y⁰(1) = 0. Exercice 9.23 Signaux

Résoudre dans R l'équation (E) : x⁰⁰+ 2λx⁰+ω₀²x = F₀cos(ω₀t) où ω₀ > 0, F₀ > 0 et λ > ω₀. On précisera la solution transitoire et la solution permanente.

(19)

PCSI Troyes Matrices et systèmes linéaires 19

Exercice 9.24 Masse reliée à deux ressorts

Une massem est reliée à deux ressorts xés sur une droite horizontale et glisse sans frotter sur le sol. Les positions des ressorts sont repérés par leur abscisse respectivement0 etL. La position de la masse est repérée par son abscissex∈]0, L[.

Les ressorts ont pour raideurs respectivesk etk⁰, pour longueurs à vide l0 etl⁰₀. Le mouve- ment de la masse au cours du temps est régi par l'équation diérentielle :

(E) : mx⁰⁰=−k(x−l₀) +k⁰(L−x−l⁰₀).

a. Déterminer l'abscisse xeq correspondant à la position d'équilibre, c'est-à-dire lorsque l'accélération est nulle.

b. Montrer que(E)peut s'écrirex⁰⁰+ω²(x−xeq) = 0oùωest une constante à déterminer.

c. Résoudre(E). Exercice 9.25 Résonance

Résoudre dans R l'équation (E) : y⁰⁰+ω₀²y = cos(ωx) où ω₀, ω > 0 sont des constantes xées. Que se passe-t-il lorsqueω se rapproche de ω₀?

Exercice 9.26 Recollement

Déterminer les solutions de classeC²surRde l'équation y⁰⁰+y=|x|+ 1.

TD10 : Arithmétique

Diviseurs

Exercice 10.1 Décomposition

1. Soitn∈N^∗. Montrer que l'ensembleA(n) ={k∈N, 2^kdivisen}admet un plus grand élément.

2. En déduire que tout entier naturel nnon nul s'écrit sous la formen = 2^p(2q+ 1)où (p, q)∈N².

3. Montrer que l'écriture précédente est unique.

+ Exercice 10.2

Montrer que pour tout entier naturel, a. 17ⁿ−1est divisible par16; b. 4ⁿ+ 6n−1est divisible par9; c. 10ⁿ−1est multiple de9; d. 3ⁿ−1 est pair.

Exercice 10.3

Déterminer les entiers naturelsnqui divisentn+ 8.

Exercice 10.4

Montrer que pour toutn∈N^∗, ⁿ³⁺⁽ⁿ⁺²⁾₄ ³ est un entier.

Exercice 10.5

Montrer que pour toutn∈N^∗, n²divise(n+ 1)ⁿ−1.

Exercice 10.6 Systèmes dansN² Résoudre dansN²:

a.

pgcd(x, y) = 5

ppcm(x, y) = 60 b.

x+y= 100 pgcd(x, y) = 10

O Exercice 10.7

Déterminer tous les entiers naturels non nulsntels quen+ 1divisen²+ 1.

Exercice 10.8

Soita, b∈N. Montrer que :

ab=pgcd(a, b)×ppcm(a, b).

Oraux de concours

Exercice 10.9 X ESPCI PC 2013

Déterminer le nombre de diviseurs de36 000 000 000.

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