f ∈ C(R,R), Z 1
0
f(t)dt= 0
.
O Exercice 15.19 Familles deRR
Déterminer si les familles suivantes deRRsont libres ou liées : 1. (cos,sin);
2. (x7−→1, x7−→cos(x), x7−→cos(2x), . . . , x7−→cos(nx))oùn∈N; 3. (x7−→1, x7−→ex, x7−→e2x, . . . , x7−→enx)oùn∈N.
Sous-espaces de matrices
+Exercice 15.20 Sous-espaces deMn(R)
Parmi les sous-ensembles F de E = Mn(R) suivants, déterminer ceux qui sont des sous-espaces vectoriels :
a. F =
A∈ M2(R), A2= 0 b. F =
A∈ Mn(R), A=tA c. F =
A∈ Mn(R), A=−tA d. F =GLn(R)
e. F est l'ensemble des matrices diago-nales de taillen
f. F est l'ensemble des matrices triangu-laires supérieures de taillen
+Exercice 15.21
Déterminer une base et la dimension du sous-espace vectoriel suivant : F =
a+ 2b a−b
3b 2a
∈ M2(R), a, b∈R
+Exercice 15.22 Matrices symétriques et antisymétriques
On désigne parSn(R)etAn(R)l'ensemble des matrices symétriques, respectivement antisy-métriques, deMn(R).
1. Montrer que :Mn(R) =Sn(R)⊕An(R).
2. Déterminer la dimension deSn(R)puis celle deAn(R).
3. Dans le casn= 2, décomposer la matriceA=
2 1
−3 5
comme somme d'une matrice deSn(R)et d'une matrice deAn(R).
Exercice 15.23
On xeA∈ Mn(R)et on considèreF={M ∈ Mn(R), AM =M A}. 1. Montrer queF est unR−espace vectoriel.
2. Déterminer dim(F)lorsquen= 2 etA=
3 −1 7 1
.
Exercice 15.24 Sous-espaces supplémentaires On considère les deux espaces vectoriels F =
a 2a+b
−b −a
, (a, b)∈R2
et G = a 3a+b
−b −2a+b
, (a, b)∈R2
. Montrer que F⊕G=M2(R).
O Exercice 15.25 On noteA=
0 1
−2 2
et on considèreE=
x y
−2y x+ 2y
, (x, y)∈C2
. 1. Montrer queE est un espace vectoriel dont on déterminera une base.
2. Montrer queE est stable par le produit matriciel.
3. Résoudre dansE, l'équation X2=A.
4. Déterminer les éléments deE inversibles dansE.
Aller plus loin
Exercice 15.26
SoitAetB deux parties d'un K−e.v.E. Comparer Vect(A∩B)et Vect(A)∩Vect(B).
Exercice 15.27
SoitF et Gdeux s.e.v. d'unK−e.v.E. Montrer que : F∩G=F+G⇐⇒F =G.
O Exercice 15.28
Soit E un espace vectoriel, A, B et F trois sous-espaces vectoriels de E tels que A ⊂ B.
PCSI Troyes Espaces vectoriels 29
PCSI Troyes Dénombrement 30
Montrer que :
A∩F =B∩F et A+F =B+F =⇒A=B.
Oraux de concours
Exercice 15.29 CCP TSI 2018 SoitE=
ϕ∈ C2(R,R), ∀x∈R, ϕ00(x) = (1 +x2)ϕ(x) . 1. Montrer queE estR-espace vectoriel.
2. Montrer que siu, v∈E alorsu0v−uv0 est une fonction constante.
3. On considèref etg les fonctions dénies surRpar :
∀x∈R, f(x) =ex2/2, g(x) =f(x) Z x
0
1 f(t)2dx.
(a) Montrer quef, g∈E.
(b) Montrer que (f, g)est une base deE.
Exercice 15.30 X ESPCI PC
Soit(v1, v2, v3)une famille libre de vecteurs deR3. Est-ce encore une famille libre dansC3?
Exercice 15.31 Centrale PC 2009
Soitk∈NetPk = (X−1)k(X+ 1)k. Montrer que(P0, . . . , Pn)est libre. Trouver les racines deP =
n
X
k=0
Pk.
TD16 : Dénombrement
+Classique et incontournable OPlus dicile
+Exercice 16.1 Equipes
On dispose d'un groupe de cinq personnes.
1. Combien d'équipes de trois personnes peut-on former ?
2. Combien d'équipes avec un chef, un sous-chef et un adjoint peut-on former ? 3. Combien d'équipes avec un chef et deux adjoints peut-on former ?
+ Exercice 16.2 Mains dans un jeu de cartes On tire simultanément5cartes d'un jeu de32cartes.
1. Combien de tirages diérents peut-on obtenir ?
2. Combien de tirages diérents peut-on obtenir contenant : a. 5 piques ou5 coeurs ?
b. 5 cartes de même couleur ? c. au moins1 as ?
d. deux paires ?
e. 2 piques et3 coeurs ? f. au plus 1as ?
Exercice 16.3 Formule de Vandermonde
Soitn, p, k∈Ntels que0≤k≤n+p. L'objectif est de montrer
k
X
`=0
n
` p
k−`
= n+p
k
de deux façons diérentes :
a. avec la formule du binôme de Newton à partir de(1 +x)n+p= (1 +x)n(1 +x)p; b. avec le dénombrement : siE=E1tE2avec Card(E1) =net Card(E2) =p, déterminer
le nombre de parties deE àk éléments, puis le nombre de parties de E à kéléments dont `sont dansE1 (avec`≤k).
Exercice 16.4 Grilles de mots croisés
Une grille de mots croisés est un tableau rectangulaire à nlignes et pcolonnes, constituée den×pcases, dont certaines sont noircies et d'autres non.
1. Dans cette question, on s'intéresse aux grilles à 6 lignes et 4 colonnes avec 4 cases noircies.
(a) Combien de grilles diérentes peut-on former ? (b) Parmi ces grilles, combien ont :
i. exactement deux coins noircis ? ii. au moins un coin noirci ?
iii. exactement une case noircie par colonne ?
iv. exactement une case noircie par colonne et au plus une case noircie par ligne ? 2. Dans cette question, on s'intéresse aux grillesn×pàkcases noircies (k∈ {1, . . . , np}).
(a) Combien de grilles diérentes peut-on former ? (b) Parmi ces grilles, combien ont :
i. au plus une case noircie par colonne ?
PCSI Troyes Dénombrement 30
PCSI Troyes Probabilités 31
ii. au plus une case noircie par colonne et au plus une case noircie par ligne ?
O Exercice 16.5 Sous-ensembles d'un espace produit SoitE un ensemble ànéléments.
1. Déterminer le cardinal de l'ensemble{(A, B)∈ P(E)2, A∩B=∅}. 2. Déterminer le cardinal de l'ensemble{(A, B)∈ P(E)2, A∪B=E}.
Exercice 16.6 Ecritures de nombres à7 chires
SoitAl'ensemble des nombres entiers naturels à7chires ne comportant aucun1. Déterminer le cardinal des ensembles suivants :
a. A;
b. A1, l'ensemble des nombres deAayant7chires diérents ; c. A2, l'ensemble des nombres pairs deA;
d. A3, l'ensemble des nombres deA dont les chires forment une suite strictement crois-sante.
Exercice 16.7 Formule du capitaine
Soitn∈Net kun entier naturel tel que0≤k≤n. Prouver de manière combinatoire que k
n k
=n n−1
k−1
.
Exercice 16.8 Nombre de suites strictement croissantes
Dénombrer l'ensemble des suites strictements croissantes de[[1, p]]vers[[1, n]].
O Exercice 16.9 Nombre de surjections
L'objectif de cet exercice est d'exprimer le nombre de surjections de{1, . . . , n}sur{1, . . . , p}
que l'on noteraS(n, p)avecn, p∈N∗. 1. Calculer
(a) S(n, p) pour p > n (b) S(n, n) (c) S(n,1) 2. Démontrer que, pour toutn >1 et toutp >1, on a :
S(n, p) =p(S(n−1, p) +S(n−1, p−1)).
3. Montrer que pour toutn∈N∗ on a :
∀1≤p≤n, S(n, p) =
p
X
k=0
(−1)p−k p
k
kn.
Exercice 16.10 Nombres de Catalan
On s'intéresse au nombre de bons parenthésages d'un produit dennombres avecn≥2: (i) deux facteurs ou plus ne sont jamais sans parenthèses ;
(ii) un facteur seul ne peut être entouré de parenthèses.
Etant donné un produit de nnombres, on appelle nombre de Catalan d'ordre net on note Cn le nombre de "bons parenthésages" possibles. On pose, par convention, C1 = 1. Exemples :
• n= 2. Le produitab se parenthèse d'une seule façon :(ab). AinsiC2= 1.
• n= 3. Le produitabcse parenthèse de deux façons :(a(bc))ou((ab)c). AinsiC3= 2.
• n= 4. Le produitabcdse parenthèse de cinq façons :((ab)(cd)),(((ab)c)d) . . . Ainsi C4= 5.
1. Donner les trois autres parenthésages possibles dans le casn= 4.
Lors d'un parenthésage, le produit des nnombres s'écrit toujours comme le produit de deux facteurs(XY). On appelle ce produit l'opération la plus externe. Par exemple pour n= 4:
• l'opération la plus externe de((ab)(cd))est donnée parX = (ab)etY = (cd);
• l'opération la plus externe de(((ab)c)d)est donnée parX = ((ab)c)etY =d.
2. Expliciter, pour chaque parenthésage déterminé en question1., l'opération la plus ex-terne.
Si un produit est formé den+ 1facteurs alors chaque facteur X etY de l'opération la plus externe est un produit depfacteurs pour un certainp≤n.
3. Montrer qu'on a la relationC5=C1C4+C2C3+C3C2+C4C1, puis préciser la valeur deC5.
4. Justier la formuleCn+1=
n
X
p=1
CpCn+1−p (?). 5. Montrer queCn= 2nn
− n+12n .
PCSI Troyes Probabilités 31
PCSI Troyes Probabilités 32
6. Faire le lien avec le nombre de chemins sous-diagonaux dans une grillen×n.
TD17 : Probabilités
+Classique et incontournable OPlus dicile