le 29 Novembre 2008 UTBM MT11
Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr
Calcul matriciel
Introduction.
A un syst`eme lin´eaire de p ´equations `a n inconnues on associe un tableau avec p lignes et n colonnes qui contient les coefficients du syst`eme.
Grˆace `a ces tableaux (matrices) nous allons ´elaborer une th´eorie math´ematique permettant de r´esoudre ces syst`emes. Cette th´eorie d´ebouchera sur d’autres applications (exponentielle de matrices, syst`emes d’´equations diff´erentielles...)
1 Les matrices.
1.1 D´ efinitions - Notations.
D´efinition 1.1 Soit n, p∈N.
Une matrice M de taille (p, n) ou p×n `a coefficients r´eels (resp. complexes) est un tableau comportant p lignes et n colonnes de nombres r´eels (resp. complexes).
L’ensemble des matrices p×n `a coefficients r´eels (resp. complexes) est not´e Mp,n(R) (resp.
Mp,n(C)).
Exemples 1.2
M =
2 −1 3
0 4 2
√2 1 5
3
4 2 π
4 0 3.14
∈ M5,3(R).
√2 est le coefficient de M, troisi`eme ligne, premi`ere colonne. On le note souvent m3,1.
Notation 1.3 Une matrice M ∈ Mp,n(R) (ou Mp,n(C)) est not´ee de fa¸con g´en´erique :
M = (mi,j)1≤i≤p,1≤j≤n =
m1,1 m1,2 ... m1,n m2,1 m2,2 ... m2,n
... ... ... ...
... ... ... ...
mp,1 mp,2 ... mp,n
avec ∀1≤i≤p,∀1≤j ≤n, mi,j ∈R (ou C).
Exemples 1.4 A= (ai,j)1≤i≤4,1≤j≤3 avec ai,j = 2i+j
Vocabulaire 1.5 i) Si p = n, M est appel´e matrice carr´ee d’ordre n. Les termes mi,i, 1≤i≤n, sont appel´es termes de la diagonale de M.
L’ensemble des matrices carr´ees de taille n est not´e Mn(K) (K = R ou C suivant les cas).
ii) Les ´el´ements de M1,n(K) sont appel´es matrices lignes.
Les ´el´ements de Mp,1(K) sont appel´es matrices colonnes ou vecteurs.
iii) Soit M = (mi,j)∈ Mp,n(K) ( on ”oublie” souvent les indices).
La ii`eme ligne est not´ee Li = (mi,1 mi,2 ... mi,n).
La ji`eme colonne est not´ee Cj =
m1,j m2,j ...
...
mp,j
.
D’o`u
M = (C1 C2 ... Cn) =
L1
L2 ...
...
Lp
.
1.2 Lien avec les syst` emes.
Soit un syst`eme
a1,1x1 +a1,2x2+...+a1,nxn =b1 a2,1x1 +a2,2x2+...+a2,nxn =b2
... ...
... ...
ap,1x1+ap,2x2 +...+ap,nxn =bp
o`ux1, ..., xn∈K sont les inconnues et ai,j, bj ∈K.
On associe `a ce syst`eme 3 matrices :
A= (ai,j)∈ Mp,n(K), b =
b1 b2 ...
...
bp
∈ Mp,1(K), X =
x1 x2 ...
...
xn
∈ Mn,1(K)
et une application :
fA : Kn −→ Kp
X =
x1
x2 ...
...
xn
7→ A .
x1
x2 ...
...
xn
:=
a1,1x1+a1,2x2+...+a1,nxn a2,1x1+a2,2x2+...+a2,nxn ...
...
ap,1x1+ap,2x2+...+ap,nxn
Le syst`eme s’´ecrit alors fA(X) = b.
Remarque 1.6 Par le raisonnement pr´ec´edent, on peut associer une application fM :Kn−→
Kp `a toute M ∈ Mp,n(K).
Exemples 1.7 M :=
0 −3 2
3 0 −1
−2 1 0
. Alors
fM : R3 −→ R3
V =
x y z
7→
−3y+ 2z 3x−z
−2x+y
=V1∧V (produit vectoriel)
avec V1 =
1 2 3
1.3 Egalit´ e entre 2 matrices.
A= (ai,j)∈ Mp,n(K) et B = (bi,j)∈ Mp,n(K)) Soient les deux applications associ´ees fA et fB. Alors
fA=fB ⇐⇒ ∀X ∈Rn, fA(X) = fB(X)
⇐⇒ ∀X ∈Rn,
a1,1x1+a1,2x2+...+a1,nxn a2,1x1+a2,2x2+...+a2,nxn ...
...
ap,1x1+ap,2x2+...+ap,nxn
=
b1,1x1+b1,2x2+...+b1,nxn b2,1x1+b2,2x2+...+b2,nxn ...
...
bp,1x1+bp,2x2 +...+bp,nxn
⇐⇒ ∀1≤i≤p,∀1≤j ≤n, ai,j =bi,j (Il suf f it de prendre des X particuliers).
D´efinition 1.8 2 matrices A= (ai,j)∈ Mp,n(K) et B = (bi,j)∈ Mp,n(K))sont ´egales ssi
∀1≤i≤p,∀1≤j ≤n, ai,j =bi,j.
2 Op´ erations sur les matrices.
2.1 Addition de Matrices.
A= (ai,j)∈ Mp,n(K) et B = (bi,j)∈ Mp,n(K)) Soient les deux applications associ´ees fA et fB. Alors, pour X ∈Rn,
(fA+fB)(X) =
a1,1x1+a1,2x2 +...+a1,nxn
a2,1x1+a2,2x2 +...+a2,nxn ...
...
ap,1x1+ap,2x2+...+ap,nxn
+
b1,1x1+b1,2x2+...+b1,nxn
b2,1x1+b2,2x2+...+b2,nxn ...
...
bp,1x1+bp,2x2+...+bp,nxn
=
(a1,1+b1,1)x1+ (a1,2+b1,2)x2+...+ (a1,n+b1,n)xn (a2,1+b2,1)x1+ (a2,2+b2,2)x2+...+ (a2,n+b2,n)xn
...
...
(ap,1+bp,1)x1+ (ap,2+bp,2)x2+...+ (ap,n+bp,n)xn
On en d´eduit donc que (fA+fB) =fA+B avec
A+B =
a1,1+b1,1 a1,2+b1,2 ... a1,n+b1,n a2,1+b2,1 a2,2+b2,2 ... a2,n+b2,n
... ... ... ...
... ... ... ...
ap,1+bp,1 ap,2+bp,2 ... ap,n+bp,n
.
D´efinition 2.1 Soit 2 matrices A = (ai,j)∈ Mp,n(K) et B = (bi,j)∈ Mp,n(K)). On d´efinit la somme de A et B de la fa¸con suivante :
A+B = (ai,j+bi,j)i,j ∈ Mp,n(K)).
Propri´et´es 2.1.1 (exo)
(Mp,n(K)),+) est un groupe commutatif avec :
OMp,n(K)) = (o)i,j et −(ai,j)i,j = (−ai,j)i,j.
2.2 Multiplication par un scalaire.
A= (ai,j)∈ Mp,n(K).
Soient l’application associ´ee fA. Soit λ∈K.
Alors, de la mˆeme fa¸con que pr´ec´edemment, on montre queλ.fA =fλ.A avec
λ.A=
λ.a1,1 λ.a1,2 ... λ.a1,n
λ.a2,1 λ.a2,2 ... λ.a2,n ... ... ... ...
... ... ... ...
λ.ap,1 λ.ap,2 ... λ.ap,n
.
D´efinition 2.2 Soit A = (ai,j) ∈ Mp,n(K). On d´efinit le multiplication de A par λ de la fa¸con suivante :
λ.A = (λ.ai,j)i,j ∈ Mp,n(K)).
Propri´et´es 2.2.1 (exo.)
Soient λ, µ∈K et A, B ∈ Mp,n(K).
i) (λ+Kµ).A=λ.A+Mp,n(K)µ.A.
ii) λ(A+Mp,n(K)B) = λ.A+Mp,n(K)λ.B.
iii) λ.(µ.A) = (λ×Kµ).A.
(Les indices indiquent dans quel ensemble s’effectue l’op´eration).
2.3 Produit de Matrices.
A= (ai,j)∈ Mp0,n0(K) et B = (bi,j)∈ Mp,n(K)) Soient les deux applications associ´ees fA et fB. On suppose n0 =p.
Alors, pour X ∈Rn,
(fA◦fB)(X) = fA(fB(X))
=
a1,1(b1,1x1+...+b1,nxn) +...+a1,p(bp,1x1+...+bp,nxn) a2,1(b1,1x1+...+b1,nxn) +...+a2,p(bp,1x1+...+bp,nxn) ...
...
ap,1(b1,1x1+...+b1,nxn) +...+ap,p(bp,1x1+...+bp,nxn)
=
(a1,1.b1,1+...+a1,p.bp,1)x1+...+ (a1,1.b1,n+...+a1,p.bp,n)xn ((a2,1.b1,1+...+a2,p.bp,1)x1+...+ (a1,1.b1,n+...+a1,p.bp,n)xn ...
...
(ap0,1.b1,1+...+ap0,p.bp,1)x1 +...+ (ap0,1.b1,n+...+ap0,p.bp,n)xn
On en d´eduit donc que (fA◦fB) = fA×B avec
A×B := (ai,1.b1,j+...+ai,p.bp,j)1≤i≤p0,1≤j≤n∈ Mp0,n(K).
D´efinition 2.3 Soit 2 matrices A= (ai,j)∈ Mp0,n0(K) et B = (bi,j)∈ Mp,n(K)) avec n0 =p.
On d´efinit le produit de A et B de la fa¸con suivante :
A×B = ( Xk=p
k=1
ai,k.bk,j)1≤i≤p0,1≤j≤n∈ Mp0,n(K).
Exemples 2.4 i)
1 2 3 4 5 6 7 8 1 3 6 9
×
1 2 2 1 3 1 2 2
=?.
ii)
1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1
×
1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1
=?.
Th´eor`eme 2.5 Le produit matriciel est associatif (i.e. A×(B×C) = (A×B)×C).
Preuve.
On sait que fA◦(fB◦fC) = (fA◦fB)◦fC. CQFD
CQFD
Remarque 2.6 1) Le produit matriciel n’est pas commutatif.
Exemple : µ
1 0 0 0
¶
×
µ0 0 1 0
¶ 6=
µ0 0 1 0
¶
×
µ1 0 0 0
¶ . 2) (Mn(K),+,×) est un anneau (non-commutatif) (exo)
3 Matrices carr´ ees inversibles.
3.1 Matrice identit´ e.
On connait l’application identit´e dans Kn :
idKn : Kn −→ Kn
x1 x2
...
...
xn
7→
x1 x2
...
...
xn
Il est facile de voir que idKn =fIn avec
In=
1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
0 0 0 ... 0 1
In ∈ Mn(K) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf les termes de la diagonale qui sont ´egaux `a 1.
D´efinition 3.1 La matriceIn ∈ Mn(K)d´efinie ci-dessus s’appelle matrice identit´e d’ordre n.
Propri´et´es 3.1.1 Dans Mn(K), In est l’unique matrice telle que
∀A∈ Mn(K), A×In=In×A=A.
Preuve en exo.
3.2 Le groupe lin´ eaire.
D´efinition 3.2 Soit A ∈ Mn(K). On appelle matrice inverse de A, si elle existe, l’unique matrice, not´ee A−1 telle que
A×A−1 =A−1×A=In. Si A−1existe, on dit que A est inversible.
L’ensemble des matrices inversibles de Mn(K) est not´e Gln(K).
Propri´et´es 3.2.1 (Gln(K),×) est un groupe (non ab´elien donc (A×B)−1 =B−1×A−1).
Preuve. (´evident d’apr`es ce qui pr´ec`ede).
3.3 Inversion d’une matrice.
Soit A= (ai,j)∈ Mn(K) une matrice. On a vu que l’on pouvait associer `a A le syst`eme
a1,1x1 +a1,2x2+...+a1,nxn =b1 a2,1x1 +a2,2x2+...+a2,nxn =b2
... ...
... ...
ap,1x1+ap,2x2 +...+ap,nxn =bp o`ux1, ..., xn∈K sont les inconnues et bj ∈K.
Rappel 3.3 Par des op´erations dites´el´ementaires sur les lignes (´echange de 2 lignes, mul- tiplication d’une ligne par un scalaire non-nul, ajout `a une ligne d’une autre ligne multipli´ee par un scalaire), on obtient un syst`eme dit ´equivalent (i.e. avec les mˆemes solutions).
Si par des op´erations ´el´ementaires sur les lignes, on peut obtenir un syst`eme du type
x1 = c1,1.b1+c1,2.b1 +...+c1,n.bn
x2 = c2,1.b1+c2,2.b1 +...+c2,n.bn x3 = c3,1.b1+c3,2.b1 +...+c3,n.bn ... ... ... ... ... ... = ...
... ... ... ... ... ... = ...
xn = cn,1.b1+cn,2.b1+...+cn,n.bn
cela signifie que le syst`eme est deCramer(i.e.admet une unique solution quel que soit les bi).
Cette solution est alors
C.
b1 b2
...
...
bn
avec C= (ci,j)∈ Mn(K).
Cela signifie donc que A.C =C.A=In, d’o`u A−1 =C.
Exemples 3.4 Inverser par la m´ethode des syst`emes la matrice A=
1 0 1 1 1 −1
0 1 0
.
Solution : A−1 =
1 2
1 2 −12
0 0 1
1
2 −12 12
.
![Exercice 1 [Th´eor`eme Chinois] R´esoudre dans Zle syst`eme](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)