Cas d’une edo lin´ eaire autonome sans second membre

(1)

Introduction

(IVP)

x(t) =˙ f(x(t)) x(0) =x₀. D´efinition (Point d’´equilibre)

On appelle point d’´equilibre tout point x_e deRⁿ qui v´erifie f(xe) = 0.

Six0=xe alors on a trivialement comme solutionx(t) =xe pour toutt.

Question: Équilibre stable ou instable ? Lorsque l’on s’écarte de ce point d’équilibre, on y revient ou on s’en écarte ?

Exemple (Pendule simple)

Pour le pendule simple non contrôlé (0,0)est une point d’équilibre stable, alors que(π,0)est un point d’équilibre instable

(2)

Cas d’une edo lin´ eaire autonome sans second membre

On s’intéresse ici à la solution du problème à valeur initiale (IVP)

x˙(t) =Ax(t) x(0) =x0,

Les points d’équilibre sont les éléments de kerA. Si Aest inversible, il n’y a qu’un seul point d’équilibrex_e = 0.

Remarque

Rappels pour les parcours Image & Multim´edia et CIRMA

(3)

Approche ´ el´ ementaire

Exemple

On considère l’équation différentielle ordinaire linéaire scalaire (IVP1)

x(t) =˙ λx(t) x(t0) =x0,

o`uλest un r´eel et x est une fonction deRdansR. On sait que la solution de cette

´equation, qui est unique, est donn´ee par

x(t) =e^λ(t−t⁰⁾x0

On en d´eduit que cette solution est d´efinie sur I =Ret que l’on a comme comportement asymptotique

I Siλ <0alorslimt→+∞x(t) = 0; I Siλ= 0alors x(t) =x0; I Siλ >0

I Si x0<0alorslimt→+∞x(t) =−∞;

I Si x0= 0alors x(t) = 0;

I Si x0>0alorslimt→+∞x(t) = +∞.

(4)

Approche ´ el´ ementaire

Exemple

Si maintenant nous considérons le cas du système différentiel (IVP2)

x(t˙ ) = Λx(t) x(t₀) =x₀, avec

Λ =diag(λ1, . . . , λn) =







λ₁ · · · 0 ... . .. ...

0 · · · λn





.

La solution est alors

x(t) =







e^(t−t⁰^)λ¹x_0,1 ... e^(t−t⁰^)λⁿx0,n





=







e^(t−t⁰^)λ¹ · · · 0 ... . .. ... 0 · · · e^(t−t⁰^)λⁿ





x0 =e^(t−t⁰^)Λx0

(5)

Comportement asymptotique

Remarque

La notation e^(t−t⁰^)Λ sera clair au paragraphe suivant Le comportement asymptotique est alors

I si tous les λ_i sont strictement n´egatifs alors limt→+∞x(t) = 0 ;

I si tous les λi sont n´egatifs ou nuls alors la solution est born´ee quandt →+∞;

I si au moins unλi est strictement positif et que x0,i 6= 0 alors kx(t)k →+∞, quandt →+∞.

(6)

Cas A diagonalisable

Exemple

A=PΛP⁻¹, posons z(t) =P⁻¹x(t), alors z(t) est solution su système différentielle à valeur initiale

(IVP3)

z(t) =˙ P⁻¹x(t) =˙ P⁻¹PΛP⁻¹x(t) = Λz(t) z(t₀) =P⁻¹x₀.

On a donc z(t) =e^(t−t⁰^)ΛP⁻¹x0 et

x(t) =Pz(t) = (Pe^(t−t⁰^)ΛP⁻¹)x₀. Par suite le comportement asymptotique est caract´eris´e par les valeurs propres de la matrice A.

(7)

Exponentielle de matrice

L’espace vectoriel norm´e (M_n(R),k.k), est un espace de Banach.

On considère ici une norme qui vérifiekABk ≤ kAkkBk. La série P+∞

k=0 A^k

k! est alors normalement convergente car

+∞

X

k=0

kA^kk k! ≤

+∞

X

k=0

kAk^k

k! =e^kAk. D´efinition (Exponentielle de matrice)

On appelle exponentiel de matrice l’application exp :M_n(R) −→ M_n(R)

A 7−→ exp(A) =e^A =

+∞

X

k=0

A^k k!.

(8)

Propri´ et´ e de l’exponentielle de matrice

Th´eor`eme

1. e⁰=I

2. si A=diag(λ1, . . . , λn)alorsexp(A) =diag(e^λ¹, . . . ,e^λⁿ) 3. si P est inversible on aexp(PAP⁻¹) =Pexp(A)P⁻¹ 4. si A et B sont deux matrices qui commutent alors

exp(A+B) = exp(A) exp(B) (1)

5. pour toutαetβ, e^(α+β)A=e^αAe^βA 6. pour toute matrice A, e^Aest inversible et

(exp(A))⁻¹= exp(−A) (2)

7. pour toute matrice A, l’application t→e^tAest C^∞et d

dte^tA=Ae^tA=e^tAA (3)

(9)

Solution

Th´eor`eme

L’unique solution de (IVP)

x˙(t) =Ax(t) x(t₀) =x₀, s’´ecrit

x(t) =e^(t−t⁰^)Ax0

(10)

n = 2 et A diagonalisable dans C, t

₀

= 0

I v =v1+iv2 (respectivement ¯v =v1−iv2) vecteur propre associ´e `a la valeur propre λ=α+iβ (respectivement λ¯=α−iβ),β >0

I (v₁,v₂) est une base de C² et donc aussi une base de R². Soit P la matrice de passage

Av =λv =A(v₁+iv₂) =Av₁+iAv₂ = (α+iβ)(v₁+iv₂).

I

A=PBP⁻¹ avec B=

α β

−β α

.

I Dans cette base le syst`eme ˙x(t) =Ax(t) s’´ecrit ˙z(t) =Bz(t).

I La solution enz est donc

e^tBz0

(11)

n = 2 et A diagonalisable dans C, t

₀

= 0

I

tB =tαI+tβ

0 1

−1 0

=tαI +tβC

I Les matrices tαI et tβC commutent, par suite exp(tB) =e^αtexp

tβ

0 1

−1 0

I C²=−I

I

exp

tβ

0 1

−1 0

= 1−^β²₂^t² +^β_4!⁴^t⁴ − · · · βt−^β³_3!^t³ +· · ·

· · · ·

!

=

cos(βt) sin(βt)

−sin(βt) cos(βt)

(12)

n = 2 et A diagonalisable dans C, t

₀

= 0

I

z(t) = exp(αt)

cos(βt) sin(βt)

−sin(βt) cos(βt)

z₀.

I Stabilit´e

I Siα <0 alorsz(t)→0 quandt →+∞;

I Siα= 0z(t) est born´e ;

I Siα >0 et z06= 0 alors||z(t)|| →+∞quandt →+∞.

(13)

n = 2 et A non diagonalisable dans C

I L’unique valeur propreλest r´eel et le sous espace propre est de dimension 1 et Aest semblable `a la matrice

J = λ 1

0 λ

I Dans cette base le système différentielle s’écrit ˙z(t) =Jz(t)

I

J =λI + 0 1

0 0

=λI+C

I les matrices commutent et la matrice C² = 0

I

z(t) =e^λt

I+ 0 t

0 0

z0.

I Une nouvelle fois donc, si λ <0 alors z(t)→0 quand t →+∞

(14)

Plan de phase pour n = 2

−5 −4 −3 −2 −1 0 1

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1 0

x 1 x2

−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Figure:λ1= 1et λ2= 3;λ1=−1etλ2=−3;λ=±√ 5

(15)

Plan de phase pour n = 2

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

−4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Figure: λ= 1±2i;λ=−1±2i;λ=±i√

3retour slide stabilit´e

(16)

Plan de phase pour n = 2

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

0 10 20 30 40 50 60 70

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

Figure:λ= 2;λ=−2;λ= 0

(17)

Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires avec second membre

On s’intéresse dans cette section aux équations différentielles linéaires à condition initiale

(IVP4)

x(t) =˙ A(t)x(t) +b(t) x(t0) =x0,

Les fonctionsA:I ⊂R→ M_n(R) etb :I →Rⁿ seront toujours suppos´ees de classe C^k,k ≥0.

(18)

R´ esolvante

On considère ici l’équation linéaire homogène

˙

x(t) =A(t)x(t). (4)

Th´eor`eme

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire et homogène (4)E est un espace vectoriel de dimension n.

(19)

D´ emonstration

Le fait queEsoit un espace vectoriel est imm´ediat. Consid´erons maintenant l’application

Lt₀:Rⁿ −→ E x0 7−→ x(.,t0,x0)

oùx(.,t0,x0) est l’unique solution de l’équation différentielle vérifiantx(t0) =x0. Il est évident que cette application est linéaire. L’existence et d’unicité de solution implique que cette application est une bijection, d’où le résultat en ce qui concerne la dimension.

D´efinition

On appelle résolvante de l’équation différentielle linéaire et homogènex(t) =˙ A(t)x(t) l’application

R(t,t0) :Rⁿ −→ Rⁿ x0 7−→ x(t,t0,x0).

(20)

Th´ eor` eme

Th´eor`eme

1. On a R(t,t0).x0=x(t,t0,x0)

2. Si le système est autonome on a R(t,t0) =e^(t−t⁰^)A 3. Pour tout t₀ fixé, R(.,t₀) est la solution du problème de

Cauchy

(IVP5)

X˙(t) =A(t)X(t) X(t₀) =I_n 4. Pour tout t0,t1 et t2 dans I on a

R(t₂,t₀) =R(t₂,t₁)×R(t₁,t₀) 5. Pour tout t₀,t₁ dans I on a R(t₀,t₁) = (R(t₁,t₀))⁻¹ 6. Si A(.)est C^k, alors R(.,t0)est C^k+1

(21)

Solution

Th´eor`eme

La solution du probl`eme de Cauchy lin´eaire (IVP6)

x(t) =˙ A(t)x(t) +b(t) x(t0) =x0,

s’´ecrit

x(t) =R(t,t0)x0+ Z t

t0

R(t,s)b(s)ds. (5)

Remarque

Dans le cas où l’équation différentielle est autonome on obtient x(t) =e^(t−t⁰^)Ax0+

Z t t0

e^(t−s)Ab(s)ds. (6)

(22)

Cas d’une edo non lin´ eaire

On consid`ere l’´equation (IVP7)

x(t) =˙ f(x(t)) x(t0) =x0, o`u

f : Ω∈Rⁿ −→ Rⁿ x 7−→ f(x), Ω ouvert

(23)

Fonction localement lipschitzienne

D´efinition (Fonction localement lipschitzienne)

L’application f : Ω⊂Rⁿ→Rⁿ,Ωouvert, est localement lipschitzienne par rapport `a la variable x si et seulement si pour tout(x0)∈Ωil existe un voisinage V ∈ V(x₀)et une constante k≥0tels que

∀x1∈V,∀v2∈V,||f(x1)−f(x2)|| ≤k||x1−x2||.

Th´eor`eme

Si f est diff´erentiable par rapport `a x et si l’application

∂f

∂x : Ω −→ L(Rⁿ,Rⁿ)

x 7−→ ∂f

∂x(x) est continue alors f est localement lipschitzienne.

(24)

Th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz

Théorème (Théorème de Cauchy-Lipschitz)

Soit f : Ω→Rⁿ,Ωouvert deRⁿ, f continue et localement lipschitzienne par rapport `a x alors pour tout x0∈Ω, il existe une unique solution locale au probl`eme de Cauchy

(IVP)

x(t) =˙ f(x(t)) x(t0) =x0.

D´efinition (Flot)

On appelle flot de l’équation différentielle x(t) =˙ f(x(t)), l’application(t,x0)→x(t,x0) où x(t,x0)désigne la solution au temps t du problème de Cauchy (IVP).

(25)

Stabilit´ e

D´efinition (Point d’´equilibre)

On appelle point d’´equilibre tout point xe deRⁿ qui v´erifie f(xe) = 0.

D´efinition

Nous dirons qu’un ´equilibre x_e est stable si, pour tout ε >0, il existeδ >0 tel que

||x₀−x_e||< δ et t>0⇒ ||x(t,x₀)−x_e||< ε Toute solution proche dex_e en reste proche

Remarque

Toute solution dont la condition initiale est dans une boule B(x_e, δ) reste dans la boule B(x_e, ε), et donc dans un compact de Ω, pour t>0 (on suppose εsuffisamment petit pour que Bf(xe, ε)∈Ω).

(26)

Equilibre asymptotiquement stable ´

D´efinition

Nous dirons qu’un ´equilibre xe est asymptotiquement stable si il est stable et si il existe un voisinage V de x_e tel que, pour tout x₀ ∈V ,

t→+∞lim x(t,x0) =xe.

Remarque

En automatique, on appelle souvent points d’´equilibre stable les points d’´equilibre asymptotiquement stable !

(27)

Stabilit´ e dans le cas lin´ eaire autonome et sans terme constant

Th´eor`eme

1. L’origine est un équilibre asymptotiquement stable dex(t) =˙ Ax(t)si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont de partie réelle strictement négative

2. Si A a au moins une valeur propre de partie r´eelle strictement positive, alors l’origine n’est pas un ´equilibre stable dex(t) =˙ Ax(t)

Remarque

L’origine peut ˆetre un ´equilibre stable mais non asymptotiquement stable (cf.plan de phase lorsqueλ=±i√

3

Th´eor`eme

L’origine est un équilibre stable dex(t) =˙ Ax(t)si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont de partie réelle négative ou nulle et si pour toute valeur propre de partie réelle nulle, les multiplicités algébrique et géométrique co¨ıncident

(28)

Pendule simple non contrˆ ol´ e

l

mg α

Figure:Pendule simple.











˙

x₁(t) =x₂(t)

˙

x₂(t) =−^g_l sin(x₁(t)) x1(0) =x0,1 =α0

x₂(0) =x_0,2 = ˙α₀

(29)

La figure?? montre les trajectoires dans le plan de phase. On a un point d’équilibre stable, mais non asymtotiquement stable et un point d’équilibre instable. La figure ??montre les trajectoires du pendule simple non contrôlé avec frottement. Le point d’équilibre stable devient alors un point d’équilibre asymptotiquement stable.