Cours 3

Cours 3

NOTIONS de section efficace

Définitions et notations

Pour explorer les propriétés du noyau on fait généralement des expériences

de diffusion (« collision ») de particules d’un faisceau qu’on envoie sur une

cible et on observe la diffusion « derrière » la cible. Ce qui intéresse en

général le physicien c’est la probabilité qu’une « réaction se produise ». En fait

la mesure consiste à faire un grand nombre de mesures entre un grand

nombre de particules incidentes et un grand nombre de noyaux cible et de

mesurer les particules diffusées par un détecteur. On s’intéresse à la moyenne

des valeurs mesurées. La probabilité qui nous intéresse c’est le rapport entre

le taux d’interaction et le flux incident. Nous allons voir que cette probabilité

qu’on appelle section efficace est indépendante des variables caractérisant le

faisceau et la cible, c’est-à-dire l’intensité du faisceau et la géométrie et densité de

la cible.

Particule transmise

Particule diffusée

Flux incident

de particules Cible

d

Particules incidentes

Cible

Détecteur

Section efficace

Le nombre de particules que l’on détecte est bien sûr proportionnel au nombre de particules incidentes et au nombre de noyaux cible. La relation de proportionnalité s’exprime par l’intermédiaire d’un coefficient de proportionnalité

.

La relation entre le taux d’interaction (T) (nombre de particules « diffusées » par unité du temps) et la section efficace () est alors

T  σ Φ N

 σ Φ s

S

avec

 - le flux, c’est-à-dire le nombre de particules incidentes par unité de surface et par unité du temps,

Ncible - le nombre de particules cible dans le volume de la cible correspondant à la surface (S) couverte par le faisceau,

scible - le nombre de particules cible par unité de surface (densité surfacique de

Calcul du nombre de particules par unité de volume (n_cible) ou par unité de surface (densité des particules volumique ou surfacique) (s_cible)

Soit d l’épaisseur,  la masse volumique et A est la masse atomique du milieu cible, N_A le nombre d’Avogadro. Le nombre de particules cible par unité de volume ncible est donné par

ρN /A /V

A N )/V M

N (n

/V N

n

 



 



 





n

 ρN

/A

On peut aussi exprimer le nombre de particules dans la cible Ncible :

Sd /A) N

(ρ Sd

n V

n

N







et le nombre de particules cible par unité de surface S_cible :

/A N d (

d n

Sd)/S (n

/S N

s







   )

s

 (   d ) N

/A

s_cible=N_cible/S (unité de mesure cm^-2).

Probabilité d’interaction

Dans la discussion de l’interaction des particules avec la matière, on s’intéresse souvent à la probabilité (p) qu’une particule interagisse avec un milieu d’épaisseur donnée, qui est donnée par le rapport entre le taux d’interaction T et le taux de particules incidentes



σ s σ N (ρ d)/A S

p T 

 



 

On voit que la probabilité d’interaction dépend directement de la quantité (d), appelée la densité de masse surfacique, qui a comme unité de mesure le g/cm².De plus on voit apparaître l’unité de mesure de  : p étant sans dimension,  a les dimensions d’une surface. On peut imaginer  comme une surface géométrique : une particule qui frapperait la cible dans cette aire serait diffusée, tandis qu’à l’extérieur de cette aire elle traverserait la cible sans diffusion. Cependant il faut faire très attention : cette aire représente la probabilité d’un processus : elle n’a rien à voir avec la taille physique des centres diffuseurs de la cible, par exemple.

Exemple : une mesure récente de diffusions de neutrons froids sur une cible de Gd donne une section efficace de 10^-20 m² ce qui équivaudrait à un rayon d’environ 10^-10 m, ce qui représente le rayon d’un atome !!!!

Unité usuelle pour la section efficace :

1 barn = 10^-24 cm² = 10^-28 m² Calcul général de la probabilité d’interaction

Puisque la probabilité d’interaction par unité de distance est cible A

ρ(σ/A) σ n

N d

p

w    

où n_cible désigne le nombre de noyaux cible par unité de volume (densité volumique des noyaux cible).

La probabilité pour une particule incidente d’avoir une interaction entre x et x+dx est

dx σ n

dx A)ρ (

N dx

w 

 /  

Le flux de particules incidentes  après le passage de la tranche dx aura varié de

dx n

dx w

d            



En intégrant sur une épaisseur x on obtient la loi de variation du flux de particules incidentes :

  ^{x    e}



où (x) c’est le flux de particules qui n’ont pas interagi après la distance x. Le nombre de particules qui ont interagi est donc

  ^{x   }  ^{ e}





1

Exemple. Quelle est la fraction de rayons gammas transmises derrière une cible de Plomb de 1 cm d’épaisseur si la section efficace totale d’interaction est de 10 barns ? On donne la masse volumique du Plomb  = 1.13·10⁴ kg/m³ et la masse molaire du Plomb A= 0.207 kg/mole, N_A=6.02·10²³ mole^-1.

n_cible= (/A)∙6.02·10²³ mole^-1 = 3.3·10²⁸ m^-3

x=10^-2 m, = 10^-27 m², n_cible∙∙ x = 0.33, d’où /0 = e^-0.33 = 0.72

Ce calcul suppose que l’on s’intéresse à tous les processus d’interactions et que l’on ne s’intéresse pas à la direction d’émission des particules diffusées. Ce sera le cas de l’observation d’un flux de neutrons (voir cours sur les neutrons) et on verra aussi des applications dans le cours sur les interactions des rayons gammas.

Dans le cas le plus général la section efficace de diffusion comprend les processus élastiques (particule diffusée défléchie, mais cible et particule gardant leur nature), inélastiques (la cible peut être dans un état excité) et d’absorption de la particule.

Section efficace différentielle

La distribution angulaire des particules diffusées peut apporter des informations sur l’interaction qui a eu lieu entre le faisceau et le noyau cible (par exemple sur la forme du potentiel d’interaction). De plus, en général, les détecteurs ont une certaine granularité et sont donc capables de mesurer le nombre de particules diffusées dans une direction définie par (,) dans un angle solide élémentaire d (coordonnées sphériques).

d

 d(,)



Comme précédemment on définit la section efficace différentielle 



 





 d d



.

Le nombre dn de particules diffusées dans la direction (,) dans l’angle solide élémentaire d est :

  _



 



    



 





 





 d n x

d N d

x n

N

dn





En intégrant dans tout l’espace on retrouve bien sûr

 





 π π θ dθ d

dΩ dΩ dσ

dΩ dσ

σ T 2 sin

0 0

) , ( )

,

(   

 

où T c’est la section efficace définie précédemment.

Diffusion classique et paramètre d’impact - application à l’expérience de Rutherford

Nous allons considérer le cas d’un potentiel d’interaction central V(r) qui dépend seulement de la distance r par rapport au centre du potentiel.

Le faisceau incident sera dans la direction de l’axe z et donc la section efficace différentielle sera une fonction de  seulement, pas de . Un cas particulier est celui de la diffusion de particules  sur un noyau.

On définit le paramètre d’impact du projectile b comme la distance entre la trajectoire du projectile et l’axe passant par le centre de la cible (voir figure), dans la région sans interaction (à grande distance avant la cible).

 b

Du fait de la symétrie, toutes les particules qui ont des paramètres d’impact compris entre b et b+db seront diffusées entre  et +d. Elles sont donc associées à une

«surface » 2b·db perpendiculaire au faisceau.

Nous aurons donc dn particules diffusées à l’angle (, +d) : dn = Ni ·ncible·x· (



 d

d ) d qui est aussi le nombre de collisions associées à la surface 2b·db , soit (Ni ·ncible ·x) 2b·db. D’où N_i ·ncible ·x· (



 d

d ) d = (Ni ·ncible ·x) 2b·db.

Soit si l’on tient compte de d = 2 sin d, on obtient :













d db b

d πbdb πbdb

d d

sin sin

2 2 d

2  

 



Dans le cas de la diffusion coulombienne (potentiel en 1/r) on démontre assez facilement grâce au principe fondamental de la dynamique que :

2

2

2 e

E a Zz b avec

tg a



 _{ }

En dérivant cette formule écrite sous la forme

2 2

ctg θ b  a

on obtient

θ dθ db a

sin 2 4



En utilisant

cos 2 sin 2

2

sin θ θ

θ 

on arrive facilement à

sin 2 1 16

2

θ a

dΩ dσ 

la formule classique pour la diffusion coulombienne sur un noyau ponctuel.

Diffusion par une sphère dure de rayon R :

cos 2 2

) -

sin (   

R R

b  

sin 2 2





R d

db 

, d’où

4 2 sin 2

2 sin

) 2 / cos(

)

( R θ R

θ R

dΩ

dσ    

 La section efficace différentielle est isotrope.

La section efficace totale est donnée par

2 2

4 dΩ πR σ

  R 

(-)/2 (-)/2

b R



Conclusion de l’expérience de Rutherford et validité

Les résultats de l’expérience de l’époque mettaient en évidence l’existence d’un noyau en confirmant les formules ci-dessus. En effet en utilisant les formules classiques pour la distance d’approche des particules  de 5 MeV envoyées sur une cible d’or très mince, on calcule une distance d’approche à ~ 3·10 ^-14 cm, qui est beaucoup plus faible que le rayon atomique et donc on déduit la présence d’un noyau central contrairement au modèle de Thomson qui postulait l’atome comme une entité de 10^-10 cm avec une distribution de charge uniforme.

Comme on peut le voir dans la figure suivante, si la formule marche bien pour des angles assez petits, elle diverge des résultats expérimentaux à grands angles. Il faut se souvenir qu’on a supposé un calcul classique et un noyau ponctuel. Le décrochement visible sur la figure est en fait dû essentiellement à l’absorption par le noyau. Ce qu’on voit apparaître c’est l’effet d’une force nouvelle à courte distance, la force d’interaction forte qui devient prépondérante.

D’où l’idée de sonder la structure du noyau en utilisant des projectiles de grande énergie et d’autre nature.

Cas particulier d’un collisionneur : définition de la luminosité Cas de faisceau sur cible fixe : étudié jusqu’à présent

La relation entre le taux d’interaction par seconde (T) (nombre de particules

« diffusées ») et la section efficace (σ) est alors

T  σ Φ N

 σ (Φ S)s

T= σ·( nombre de particules incidentes par secondeS)·(nombre de noyaux cible dans l’épaisseur d de ciblescible)

La probabilité d’interaction :

p  T/(Φ S)  σ s

 σ  (ρ  d)N

/ A

T c’est le nombre de cas réalisés pour le processus :

T  σ  (Φ S)  (ρ  d)N

/ A

Le nombre de cas possibles est bien le produit suivant :

(nombre de particules incidentes par secondeS) x (nombre de noyaux cible dans l’épaisseur d de la cible Scible).

On suppose que la taille du faisceau est plus petite que la taille de la cible.

Dans le cas d’un faisceau en « paquets », le nombre de particules incidentes par

seconde est égal au produit de la fréquence de paquets f et le nombre de particules par paquet N₁. Dans ce cas le nombre de cas possibles s’écrit

 

A N fN d

L 

 

1

- f est la fréquence d’arrivée des paquets (ex : 300 Hz),

- N1 le nombre de particules incidentes par paquet (10¹¹ p/paquet),

- (ρd)/A : (masse volumique de la cible H2 liquide)·(épaisseur 10 cm) / (masse atomique de la cible),

- NA le nombre d’Avogadro

- (ρd) N_A /A : nombre de particule cible par unité de surface.

Soit : L = 3 x 10² s^-1 x 10¹¹ p/paquet x 6 x 10²³ mol^-1 x 1.33 g∙cm^-3 x 10^-1 m / (2 g∙mol^-1) = = 1.2 ·10³⁶ cm^-2 s^-1.

L s’appelle la luminosité du faisceau

et le taux d’interaction s’écrit: T = σ L

Cas de 2 faisceaux qui se croisent : collisionneur

Énergie utile

La quantité à prendre en compte pour la création de nouvelles particules ou pour

atteindre l'échelle à laquelle on pourra sonder leur structure est l'énergie disponible dans le centre de masse.

Rappelons qu'en cinématique relativiste l'énergie totale E d'une particule de masse m et son moment

p 

sont reliés par :

2 2

2

p m

E   

et que le carré du quadri-moment

^{p }  ^{E , p } 

2 2

2

2

E p m

p    

En considérant la collision de deux particules a et b, le quadri-moment total du système est :



 



ab

E E p p m m E E p p

p    

2

2

2

2 2

2

 

     

Par définition, dans le centre de masse le moment total est nul et le carré de l'énergie disponible dans le centre de masse s est donné par:

 E

E



p

s   

Considérons les cas d'un accélérateur à cible fixe et d'un collisionneur :

 cible fixe :

p 

 0

et

E

 m

b a b

a

m E m

m

s 



 2

Dans le cas ou l'énergie du faisceau E_a est bien supérieure à la masse des particules E_a >> m_a , m_b (cas général) :

b a

m E s  2

On constate que l'énergie utile n'augmente que doucement, comme la racine carrée de l'énergie du faisceau.

 collisionneur :

p 

  p 

2 2

2

2 2

2 m E p

s 







Dans le cas ou l'énergie du faisceau est bien supérieure à la masse des particules

a

a

m

E 

p 

 E

:

a

a

E

E

s  4

 2

Dans le cas des collisionneurs l'énergie augmente beaucoup plus vite que dans le cas d’une cible fixe, directement proportionnelle à l'énergie des faisceaux.

Dans le cas des collisionneurs d’hadrons, il faut noter cependant que l'énergie disponible dans une collision de deux partons est différente de celle calculée plus haut. En effet, un parton confiné dans un hadron ne porte qu'une fraction x du moment total de l’hadron de sorte que l'énergie disponible dans une collision de partons est :

(3.1) où la probabilité de trouver un parton avec un moment fractionnaire x décroît lorsque x se rapproche de 1. Pour profiter du maximum d'énergie utile accessible dans une

collision entre partons, il est donc indispensable de compenser la perte d'événements due à la distribution décroissante de x par une augmentation en rapport de la luminosité du faisceau.

On a vu qu’on peut écrire T=σ L . T : nombre de cas « réalisés »

L doit être le nombre des cas « possibles » : pour un collisionneur c’est le produit (Nombre de particules du faisceau 1) · (nombre de particules du faisceau 2) dans un point de croisement.

Cas général : les faisceaux 1 et 2 sont en paquets (« bunches ») contenant N1 et N2

particules respectivement.

Deux bunches se croisent avec une fréquence f_rev sur une surface transverse S.

n_beam est le nombre de paquets de chaque faisceau par seconde.

Le nombre de cas possibles est le nombre de croisements L entre les particules de deux faisceaux :

S

N N n

L  f

Calcul de la luminosité en général

On projet les particules qui sont distribuées dans la direction longitudinale dans des paquets, sur un plan transversal. On réduit ainsi le problème à deux dimensions.

Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les

dimensions, la densité surfacique des positrons dans ce plan transverse est donnée par

 





 



  

 



 

* 2

*2 2

*

* 2 2

2

2

2 2

2 exp

z z x

x

z x

N z

x n N



 



Dans cette expression N₂ c’est le nombre total de positrons dans un paquet et _x,z* c’est la section efficace horizontale ou verticale dans le point d’interaction. Comme les

collisions se produisent dans une région étroite autour du point d’interaction, dans ce qui suit nous seront intéressés dans les valeurs de la section efficace dans ce point. Pour clarté, nous allons notes les valeurs dans IP avec un « * ».

La probabilité qu’un électron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de l’autre paquet est

n

dW  

Si on suppose que les faisceaux d’électrons et de positrons ont la même section

efficace en IP, alors le nombre d’électrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par unité de temps est

z dxdz x

N f N n

d

z z x

x rev

beam

 





 



  



* 2

*2 2

*

* 1

1

2 2

2   exp  



où nbeam c’est le nombre de paquets équidistants qui circulent avec une fréquence frev et N1 c’est le nombre d’électrons dans un paquet.

On obtient le taux d’événements différentiel

  ^dxdz

z x

N f n n

N d N

d dT

z x

z x rev beam p

p

 





 



  











* 2

*2 2

*2

*2 2

1 2

1

exp

2     



 ^



qui peut être intégré en utilisant



 ^ _ ^ 

 



 









y dy

2 2

exp

pour obtenir

*

*

2 1

4

rev beam p

p

N N f N n

T      

et en tenant compte de T=σL on obtient l’expression de la luminosité

*

*

2 1

4

rev

beam

f N N

L n



 

qui se mesure en barns^-1·s^-1.

Ordres de grandeurs :

L ~ 10³¹ cm^‐2 s^‐1 pour les collisionneurs e+ e‐

L~10³⁰ cm^‐2 s^‐1 pour proton‐antiprotons

Exemple du LHC : f=40 MHz ; N₁=N₂= 10¹¹ particules ; σ_x= σ_y =1 mm Soit L_nominal~ 10³⁴ cm^-2 s^-1=10¹⁰ b^-1 s^-1=(1/10^-10 b)s^-1= (1/100 fb) s^-1

Dans une expérience qui dure  en secondes on appelle luminosité intégrée le produit L·, qui va conditionner le nombre de particules détectées durant toute l’expérience et donc la statistique et la précision du résultat obtenu : N= σL.

La dimension du produit L c’est l’inverse d’une surface et se mesure en cm^-2 ou

barns^-1. Ce produit nous permet donc d’estimer la section efficace limite que l’on pourra mesurer dans un temps donné.

DIFFUSION DE RUTHERFORD

Considérons la diffusion qu'une particule chargée subit quand elle est soumise à une force électrostatique répulsive inversement proportionnelle au carré de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou centre de force. Ce problème est particulièrement intéressant en raison de son application à la physique atomique et nucléaire. Par exemple, quand un proton, accéléré par une machine telle qu'un cyclotron, passe près d'un noyau de la matière de la cible, il est dévié sous l'action d'une force de ce type, provenant de la répulsion électrostatique du noyau (c'est la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion

coulombienne).

⁽¹⁴⁶⁾

Soit O un centre de force et A une particule lancée contre O d'une grande distance avec la vitesse v₀ voir figure ci-dessus). Nous choisirons l'axe des X passant par O et parallèle à v0 . La distance b, appelée

"paramètre de choc", est la distance l'axe X des abscisses et le point A. En supposant que la force entre A et O est répulsive et centrale, la particule suivra AMB. La forme de la courbe dépend de la manière dont la force varie avec la distance. Si la force est inversement proportionnelle au carré de la distance, c'est-à-dire si :

la trajectoire est une hyperbole. Avec bien évidemment :

Quand la particule est en A son moment cinétique est mv0 b. Dans une position quelconque telle que M, son moment cinétique, est aussi donné par . Comme le moment cinétique doit rester constant puisque la force est centrale :

L'équation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant l'équation par :

En éliminant r² à l'aide de l'avant dernière équation nous pouvons écrire :

Pour trouver la déviation de la particule, nous devons intégrer cette équation depuis l'une des extrémités de la trajectoire jusqu'à l'autre. En A la valeur de v_y est nulle car le mouvement initial est parallèle à l'axe des X et nous avons aussi = 0. En B nous avons v = v sin  et . Remarquons qu'en B la vitesse est de

elle s'en éloigne. Alors :

Ce qui donne :

Rappelons que :

Ce qui nous donne :

Soit de manière plus détaillée :

Cette relation donne l'angle de déviation  en fonction du paramètre de choc b.

Ce qui nous donne aussi :

Bien évidemment, dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la relation mais on perd en généralité.

Cette équation est appliquée à l'analyse de la déviation de particules chargées par les noyaux. Remarquons que ce résultant n'est valable que pour une force inversement proportionnelle au carré de la distance. Si la force dépend de la distance selon une autre loi, l'angle de déviation satisfait à une autre équation. Les expériences de déviation sont donc très utiles quant nous voulons déterminer la loi de force dans les interactions entre particules.

Dans les laboratoires de physique nucléaire, on fait des expériences de diffusion en accélérant des électrons, des protons ou d'autres particules au moyen d'un cyclotron, d'un accélérateur de Van de Graaf ou de quelque autre dispositif semblable, et en observant la distribution angulaire des particules déviées.

Il est clair qu'une particule incidente dans une surface définie par un rayon compris entre b et b + db sera respectivement comprise dans l'angle solide de diffusion :

d = 2 b db Avec

d = 2 sin  d.

La "section efficace" étant définie par :

θdθ π

πbdb dΩ

dσ

sin 2

 2

En combinant cette relation avec :

,

Nous avons donc pour la section (différentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb) :

A l'aide de la diffusion de Rutherford/Coulomb, Rutherford a pu déterminer une approximation de la taille du noyau de l'atome comme nous l'avons fait remarque au début du chapitre de physique corpusculaire. Le raisonnement appliqué est le suivant pour déterminer une borne inférieure du rayon du noyau :

L'énergie totale d'un système en rotation est l'énergie cinétique de translation sommée à l'énergie cinétique de rotation, sommé à l'énergie potentielle. Ce qui nous donne :

en notant L le moment cinétique donné par nous avons :

d'où :

Il en résulte donc :

D'où l'angle associé à deux distance radiales est donné par :

La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r). La particule incidente possède une vitesse initiale :

en avec et

L'angle est l'angle de déflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur à la distance minimum .

Revenons-en à nos équations où le moment cinétique est lié au paramètre d'impact par la relation ou encore :

Nous pouvons donc écrire après simplifications :

où nous avons posé (l'énergie de rotation et du potentiel considérés comme négligeables par rapport par rapport à l'énergie cinétique) et

La distance minimale d'approche est donc déterminée par la valeur plus grande pour laquelle le dénominateur s’annule:

c'est-à-dire (trivial) :

Nous avons donc :

Comme nous le voyons dans cette dernière relation, la particule incidente subira une collision frontale lorsque b=0. Dès lors, la valeur de l'approche maximale est :

L’expérience de Rutherford permit d’estimer la taille du noyau atomique. En effet, les particules  qui ont rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180° (nous parlons alors de "rétrodiffusion"), sont celles qui se sont approchées le plus près de ce dernier. Puisque nous avons :

avec une énergie cinétique initiale de 7.7 [MeV], Rutherford trouva pour le rayon de l’atome d’or (Z=79) avec des particules alpha (Z=2) une valeur de :