Calcul de la luminosité en général
On projet les particules qui sont distribuées dans la direction longitudinale dans des paquets, sur un plan transversal. On réduit ainsi le problème à deux dimensions.
Comme la distribution de charge dans le paquet est Gaussienne dans toutes les
dimensions, la densité surfacique des positrons dans ce plan transverse est donnée par
Dans cette expression N2 c’est le nombre total de positrons dans un paquet et x,z* c’est la section efficace horizontale ou verticale dans le point d’interaction. Comme les
collisions se produisent dans une région étroite autour du point d’interaction, dans ce qui suit nous seront intéressés dans les valeurs de la section efficace dans ce point. Pour clarté, nous allons notes les valeurs dans IP avec un « * ».
La probabilité qu’un électron dans la surface dxdy collisionne avec un positron de l’autre paquet est
n
2dW
pSi on suppose que les faisceaux d’électrons et de positrons ont la même section
efficace en IP, alors le nombre d’électrons qui traversent la surface dxdy du paquet de positrons par unité de temps est
z dxdz
où nbeam c’est le nombre de paquets équidistants qui circulent avec une fréquence frev et N1 c’est le nombre d’électrons dans un paquet.
On obtient le taux d’événements différentiel
dxdz
qui peut être intégré en utilisant
et en tenant compte de T=σL on obtient l’expression de la luminosité
*
Ordres de grandeurs :
L ~ 1031 cm‐2 s‐1 pour les collisionneurs e+ e‐
L~1030 cm‐2 s‐1 pour proton‐antiprotons
Exemple du LHC : f=40 MHz ; N1=N2= 1011 particules ; σx= σy =1 mm Soit Lnominal~ 1034 cm-2 s-1=1010 b-1 s-1=(1/10-10 b)s-1= (1/100 fb) s-1
Dans une expérience qui dure en secondes on appelle luminosité intégrée le produit L·, qui va conditionner le nombre de particules détectées durant toute l’expérience et donc la statistique et la précision du résultat obtenu : N= σL.
La dimension du produit L c’est l’inverse d’une surface et se mesure en cm-2 ou
barns-1. Ce produit nous permet donc d’estimer la section efficace limite que l’on pourra mesurer dans un temps donné.
DIFFUSION DE RUTHERFORD
Considérons la diffusion qu'une particule chargée subit quand elle est soumise à une force électrostatique répulsive inversement proportionnelle au carré de la distance entre la particule mobile et un point fixe ou centre de force. Ce problème est particulièrement intéressant en raison de son application à la physique atomique et nucléaire. Par exemple, quand un proton, accéléré par une machine telle qu'un cyclotron, passe près d'un noyau de la matière de la cible, il est dévié sous l'action d'une force de ce type, provenant de la répulsion électrostatique du noyau (c'est la raison pour laquelle nous parlons aussi de diffusion
coulombienne).
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Soit O un centre de force et A une particule lancée contre O d'une grande distance avec la vitesse v0 voir figure ci-dessus). Nous choisirons l'axe des X passant par O et parallèle à v0 . La distance b, appelée
"paramètre de choc", est la distance l'axe X des abscisses et le point A. En supposant que la force entre A et O est répulsive et centrale, la particule suivra AMB. La forme de la courbe dépend de la manière dont la force varie avec la distance. Si la force est inversement proportionnelle au carré de la distance, c'est-à-dire si :
la trajectoire est une hyperbole. Avec bien évidemment :
Quand la particule est en A son moment cinétique est mv0 b. Dans une position quelconque telle que M, son moment cinétique, est aussi donné par . Comme le moment cinétique doit rester constant puisque la force est centrale :
L'équation du mouvement dans la direction OY est obtenue en combinant l'équation par :
En éliminant r2 à l'aide de l'avant dernière équation nous pouvons écrire :
Pour trouver la déviation de la particule, nous devons intégrer cette équation depuis l'une des extrémités de la trajectoire jusqu'à l'autre. En A la valeur de vy est nulle car le mouvement initial est parallèle à l'axe des X et nous avons aussi = 0. En B nous avons v = v sin et . Remarquons qu'en B la vitesse est de
elle s'en éloigne. Alors :
Ce qui donne :
Rappelons que :
Ce qui nous donne :
Soit de manière plus détaillée :
Cette relation donne l'angle de déviation en fonction du paramètre de choc b.
Ce qui nous donne aussi :
Bien évidemment, dans les cas scolaires on pose souvent Q=q ce qui simplifie un peu la lourdeur de la relation mais on perd en généralité.
Cette équation est appliquée à l'analyse de la déviation de particules chargées par les noyaux. Remarquons que ce résultant n'est valable que pour une force inversement proportionnelle au carré de la distance. Si la force dépend de la distance selon une autre loi, l'angle de déviation satisfait à une autre équation. Les expériences de déviation sont donc très utiles quant nous voulons déterminer la loi de force dans les interactions entre particules.
Dans les laboratoires de physique nucléaire, on fait des expériences de diffusion en accélérant des électrons, des protons ou d'autres particules au moyen d'un cyclotron, d'un accélérateur de Van de Graaf ou de quelque autre dispositif semblable, et en observant la distribution angulaire des particules déviées.
Il est clair qu'une particule incidente dans une surface définie par un rayon compris entre b et b + db sera respectivement comprise dans l'angle solide de diffusion :
d = 2 b db Avec
d = 2 sin d.
La "section efficace" étant définie par :
θdθ π
πbdb dΩ
dσ
sin 2
2
En combinant cette relation avec :
,
Nous avons donc pour la section (différentielle) efficace de Rutherford (ou de Coulomb) :
A l'aide de la diffusion de Rutherford/Coulomb, Rutherford a pu déterminer une approximation de la taille du noyau de l'atome comme nous l'avons fait remarque au début du chapitre de physique corpusculaire. Le raisonnement appliqué est le suivant pour déterminer une borne inférieure du rayon du noyau :
L'énergie totale d'un système en rotation est l'énergie cinétique de translation sommée à l'énergie cinétique de rotation, sommé à l'énergie potentielle. Ce qui nous donne :
en notant L le moment cinétique donné par nous avons :
d'où :
Il en résulte donc :
D'où l'angle associé à deux distance radiales est donné par :
La figure ci-dessous montre un processus de collision par un potentiel central U(r). La particule incidente possède une vitesse initiale :
en avec et
L'angle est l'angle de déflexion lorsque la particule incidente approche le diffuseur à la distance minimum .
Revenons-en à nos équations où le moment cinétique est lié au paramètre d'impact par la relation ou encore :
Nous pouvons donc écrire après simplifications :
où nous avons posé (l'énergie de rotation et du potentiel considérés comme négligeables par rapport par rapport à l'énergie cinétique) et
La distance minimale d'approche est donc déterminée par la valeur plus grande pour laquelle le dénominateur s’annule:
c'est-à-dire (trivial) :
Nous avons donc :
Comme nous le voyons dans cette dernière relation, la particule incidente subira une collision frontale lorsque b=0. Dès lors, la valeur de l'approche maximale est :
L’expérience de Rutherford permit d’estimer la taille du noyau atomique. En effet, les particules qui ont rebondi sur le noyau avec un angle de diffusion de 180° (nous parlons alors de "rétrodiffusion"), sont celles qui se sont approchées le plus près de ce dernier. Puisque nous avons :
avec une énergie cinétique initiale de 7.7 [MeV], Rutherford trouva pour le rayon de l’atome d’or (Z=79) avec des particules alpha (Z=2) une valeur de :