Utilisation des séries à termes positifs

230 Séries de nombres réels ou complexes. Com- portement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.

Nous noterons K = R ou C. Sauf précision (un)n∈N, (vn)n∈N, (wn)n∈N. . .désigneront des suites à valeurs dansK.

1 Convergence

Le mouvement est impossible, car avant d’arriver à destina- tion, ce qui se meut doit d’abord arriver au milieu, et ainsi de suite ad infinitum. (paradoxe deZénon) Définition 1. La série de terme général un, notée Σun, est le couple ((un)n∈N,(Sn)n∈N) où pour tout n ∈ N, Sn := u0+· · ·+un (suite des sommes partiellesde la série). L’ensemble des séries surKest muni d’une structure naturelle deK-ev.

Définition 2. On dit que la sérieΣun est :

convergente(CV) si(Sn)converge (dansK),divergente(DV) sinon, grossièrement divergente(DVG) si un6→0lorsquen→+∞, absolument convergente(CVA) siΣ|un|CV,

Cesàro-convergente(CVC) si(_n+1¹ (S0+· · ·+Sn))n∈N converge, commutativement convergente(^σCV) si (∀σ∈S(N), Σuσ(n) CV).

LorsqueΣun CV, la limite de(Sn)est appeléesommede la série, et on la noteP+∞

n=0un. Dans ce cas la quantitéRn:=P+∞

k=n+1uk, n∈N,est bien définie et est appeléereste d’indice nde la série.

Résumé 3. ^σCV⇐⇒CVA, CVA=⇒CV=⇒CVC et DVG=⇒DV.

Toutes les autres implications sont fausses en général (voir les exemples 5,7 et12et laremarque 13). [Com,Gou]

Théorème 4 (Critère de Cauchy). Σun CV si et seulement si

∀ε >0, ∃N ∈N, ∀m > n>N,

m

X

k=n+1

uk

6ε.

Exemple 5. Σ(−1)ⁿ est CVC (de C-somme ¹₂) et DVG.

Exemple 6 (Série géométrique). Pour touta∈C,Σaⁿ CV si et seule- ment si|a|<1, et dans ce casP+∞

n=0aⁿ= ₁₋¹_a.

Exemple 7 (Série harmonique). Σ_n+1¹ est DV et non DVG.

Proposition 8 (Série télescopique). Si(vn)n∈N est telle que pour tout n∈N,un=vn+1−vn, alorsΣun CV si et seulement si(vn)converge.

Exemple 9. Σ_(n+1)(n+2)¹ est CV (de somme1).

Remarque 10. Cette observation est fort utile pour les développe- ments asymptotiques (voir lethéorème 27et lesexemples 28et29).

Théorème 11 (Règle de Leibniz, critère spécial des séries alternées).

On suppose que ((−1)ⁿun)n∈N est réelle de signe constant et que (|un|)n∈N décroît vers 0. Alors Σun CV. Pour toutn∈N, le resteRn

est du signe (au sens large) deu_n+1, et|Rn|6|u_n+1|. [Gou, p. 206]

Exemple 12 (Série harmonique alternée). Σ⁽⁻¹⁾_n+1ⁿ est CV et non CVA.

Une telle série est ditesemi-convergente(SCV).

Remarque 13 ([Com, p. 55], [Hau, p. 123]). Si(un)∈R^N et Σun est SCV, alors ∀a∈R, ∃σ∈S(N), Pⁿ

k=0

uσ(k)−−−−−→_n

→+∞ a.

Utilisation des séries à termes positifs

Quelle que soit(un)n∈N,Σ|un|est une série à termes positifs (SATP) ! Lemme 14 ([Gou, p. 201]). Toute SATP est CV si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.

Proposition 15. L’ensemble des séries à termes positifs convergentes (SATP CV) est une partie génératrice duK-ev des séries CVA.

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Proposition 16. On suppose que Σvn est CVA. Siun =O(vn), alors Σun est aussi CVA.

Exemple 17 (Séries de Riemann). ∀α∈R, Σ_(n+1)¹ α CV ⇐⇒ α >1.

Si un =O(_n^1α)avecα > 1 alorsΣun CV(A). Si _n¹ =O(un) alorsΣun

est non CVA (comme c’est le cas de la série CVΣ⁽⁻¹⁾

n

n+1 ).

Exemple 18 (Exponentielle). Σ^z_n!ⁿ CV(A) pour toutz∈C.

Exemple 19 (Fonction zêta). ζ(z) :=P+∞ n=1 1

n^z existe pour ℜ(z)>1.

Exemple 20 ([Hau, p. 114]). vn := ⁽⁻¹⁾

n

√n ∼ ⁽⁻¹⁾

n

√n +_n¹ =:un lorsque n→+∞, maisΣvn est CV alors queΣun est DV.

2 Asymptotique

Proposition 21 (Comparaison série-intégrale, [Gou, p. 204]).

Soit f ∈ C(R+,R₊) décroissante. Alors Σf(n) et R+∞

0 f(t)dt sont de même nature, et

1. s’il y a divergence,P

k6nf(k)−Rn

0 f(t)dt converge dansR+, 2. sinon,R+∞

n+1f(t)dt6P

k>nf(k)6R+∞

n f(t)dtpour toutn∈N.

Exemple 22 (Série harmonique). SoitHn :=Pn k=1 1

k, n>1. Il existe γ∈R₊ tel queHn= log(n) +γ+o(1)lorsquen→+∞.

Exemple 23. Pour tout 0 < α < 1, Pn

k=1k^−α ∼ ₁₋¹αn^1−α lorsque n→+∞. Pour toutα >1,P

k>n 1

k^α ∼ α¹−1n^1−αlorsque n→+∞. Exemple 24. ∀s >1, 1 +_(s−1)2^{1 s}−1 6ζ(s)61 + _s−¹₁ doncζ(s)∼ s−¹1

lorsques→1⁺ etζ(s)→1lorsque s→+∞.

Proposition 25 (Règle de Raabe-Duhamel, [Gou, p. 205]). Si un >0 pour tout n∈ N et s’il existe α∈ Rtel que ^un+1_un = 1−^αn +O(n⁻²) lorsquen→+∞, alors il existeλ >0tel que un ∼λn^−α.

Exemple 26. Il existeλ >0tel quen!∼λnⁿ⁺¹²e⁻ⁿ lorsquen→+∞. Théorème 27 (Sommation des relations de comparaison, [Gou, p. 202]).

On suppose queΣvn est une SATP CV.

1. Siun=o(vn), alorsΣun CV(A) etP

k>nun=o(P

k>nvn).

2. Siun=O(vn), alorsΣun CV(A) et P

k>nun=O(P

k>nvn).

3. Siun∼λvn (λ∈K^∗), alorsΣun CV(A) etP

k>nun∼λP

k>nvn. On suppose queΣvn est une SATP DV.

4. Siun=o(vn), alorsP

k6nun=o P

k6nvn . 5. Siun=O(vn), alorsP

k6nun =O P

k6nvn . 6. Siun∼λvn (λ∈K^∗), alorsP

k6nun∼λP

k6nvn. Exemple 28. Soit pour tout n>1,εn:=Hn−log(n)−γ.

Alorsεn−εn+1=−_n+1¹ +log(1+¹_n) =_2n¹2+o(_n¹2), doncεn= _2n¹ +o(¹_n).

D’où Hn= log(n) +γ+_2n¹ +o(_n¹)lorsquen→+∞.

Exemple 29 (Sinus itéré, [Gou, p. 219]). Soient u0 ∈ ]0,^π₂] et pour n>1,un = sin(un−1). Alorsun=»

3

n −³₁₀^√3log_n^√n_n +o(^log_n√ⁿn).

Théorème 30 (Formule d’Euler-Maclaurin, [Gou, p. 301]). Soient m < ndansZ,r∈N^∗ etf ∈ C^r([m, n],C). Alors

n

X

k=m

f(k) = Z n

m

f(t)dt+1

2[f(m) +f(n)] +

r

X

k=2

bk

k![f^(k−1)(n)−f^(k−1)(m)]

+(−1)^r+1 r!

Z n

m

B˜r(t)f^(r)(t)dt,

où – (Bk)k∈N est la suite des polynômes de Bernoulli définie parB₀= 1 et B_k^′ =kBk−1, R1

0 Bk(x)dx= 0pour toutk>1,

– pour toutk∈N,bk=Bk(0)et B˜k est la fonction1-périodique sur Rqui coïncide avecBk sur]0,1[et vaut ¹₂(Bk(0) +Bk(1))en0.

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Exemple 31. Hn = log(n) +γ+ _2n¹ +Pr−1 k=2

(−1)^k−1bk

k n^−k+O(n^−r) lorsquen→+∞, quel que soitr∈N^∗. [Gou, p. 302]

Formule 32 (de Stirling). n! = (ⁿ_e)ⁿ√

2πn(1 +_12n¹ +_288n¹ 2+ O

n→+∞(_n¹3)).

3 Compléments

Proposition 33 (Règle d’Abel, [Gou, p. 207]). On suppose que pour tout n ∈ N, un = wnvn, où 1) (wn) est réelle et décroît vers 0, 2) la suite (Sn)n∈N des sommes partielles de Σvn est bornée. Alors

∀n∈N^∗, Pn

k=0uk=Pn−1

k=0(wk−wk+1)Sk+wnSn, doncΣun est CV.

Exemple 34. Pour tousθ∈R\2πZ etα >0, la sérieΣ^e_n^niθα est CV.

Théorème 35 (de Müntz, [Gou, p. 291]). Si(un)n∈Nest réelle stricte- ment croissante avecu0 = 0et limun>1, alorsVecthx7→x^uniⁿ∈N est dense dans(C([0,1],R),k · k∞)si et seulement siΣ_un+1¹ DV. Dév. 1

Séries entières

Définition 36. Il existe un uniqueR∈[0,+∞]tel que pour toutz∈C, la sérieΣunzⁿ CV si|z|< Ret DV si|z|> R. On dit alors queΣunzⁿ est unesérie entièrederayon de convergenceR.

Exemple 37. Σ^z_n!ⁿ est une série entière de rayon de convergence infini.

On suppose dans la suite que Σunzⁿ est de rayon de convergence au moins1 et on note f:x∈]−1,1[7→P+∞

n=0unxⁿ.

Proposition 38. SiΣunest CVC, de C-sommeℓ∈C, alorsf(x)−−−→^x→1− ℓ. On dit queΣun converge au sens d’Abel(CVAb) versℓ. [X82]

Théorème 39 (taubérien fort, [Gou, p. 289], [X82]). Si∀n, un ∈R, si Σun CVAb vers ℓ∈Ret s’il existe A∈Rtel quenun 6Apour tout

n∈N, alorsΣun est CV, de somme ℓ. Dév. 2

Remarque 40. CV⇐⇒CVC⇐⇒CVAb lorsque(un)∈(R+)^N.

Séries de Fourier

Si f ∈ L¹, soit fˆ:ξ 7→ R

Re^−2iπξtf(t)dt sa transformée de Fourier. Si f ∈L¹_2π, soientcn(f) := _2π¹ R2π

0 f(t)e^−intdt, n∈Z,ses coeff. de Fourier.

Formule 41 (de Parseval). Si f ∈L²_2π, alors 1

2π Z 2π

0 |f(t)|²dt=X

n∈Z

|cn(f)|². Application 42. P+∞

n=1 1

n² = ^π₆² etP+∞ n=1 1

n⁴ =^π₉₀⁴.

Formule 43 (sommatoire de Poisson). Si f ∈L¹∩ C⁰(R)est telle que (i) ∃M >0, ∃α >1, ∀x∈R, |f(x)|6M(1 +|x|)^−α,

(ii) P

n∈Z|fˆ(n)|<+∞. Alors

+∞

X

n=−∞

f(n) =

+∞

X

n=−∞

fˆ(n). [QZ, p. 96]

Irrationalité et transcendance [Duv]

Exemple 44 (p. 1). Le nombreeest irrationnel.

Exemple 45 (p. 7). ∀q∈Z,|q|>2,

+∞

P

n=0

q⁻ⁿ² est irrationnel.

Exemple 46 (p. 8). ∀q∈Z,|q|>2, ⁺P^∞

n=0

q⁻²ⁿ est transcendant.

Proposition 47 (p. 115). On dit que α ∈ R\Q est un nombre de Liouville si ∀n ∈ N^∗, ∃^pq ∈ Q, q > 1, |α− ^pq| < _q¹n. Par exemple P+∞

n=010^−n! est un nombre de Liouville. Tous les nombres de Liouville sont transcendants.

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Références

[Com] JeanCombes: Suites et séries.

[Duv] DanielDuverney: Théorie des nombres. 2^ème édition.

[Gou] XavierGourdon : Analyse. 2^ème édition.

[Hau] Bertrand Hauchecorne : Les contre-exemples en mathéma- tiques. 2^ème édition.

[QZ] HervéQueffélec et ClaudeZuily: Analyse pour l’agrégation.

4^ème édition.

[X82] 1^ère épreuve du concours d’entrée à l’école Polytechnique, 1982.

Développements proposés

1. Théorème de Müntz (théorème 35). Je supposerai pour simplifier queun →+∞et je ne démontrerai pas les résultats suivants : Lemme A.SoitEun espace préhilbertien. Pourx1, . . . , xn ∈Eon note G(x1, . . . , xn) := det(hxi, xji)16i,j6n. Si (x1, . . . , xn) est libre etV := Vecthx1, . . . , xni, alorsG(x1, . . . , xn)>0et

∀x∈E, d(x, V)²= G(x1, . . . , xn, x) G(x1, . . . , xn) .

Lemme B. Soient a1, . . . , an, b1, . . . , bn ∈ C tels que ai+bj 6= 0 pour tous16i, j6n. Alors

det Å 1

ai+bj

ã

16i,j6n

=

Q

16i<j6n

(aj−ai)(bj−bi)

Q

16i,j6n

(ai+bj) .

2. Théorème taubérien fort (théorème 39). Je raisonnerai sur le dessin ci-contre.

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