Notions et contenus Compétences exigibles
Écoulement d’un fluide dans Définir la vitesse moyenne d’écoulement dans une le cas laminaire et turbulent. canalisation.
Définir les notions d’écoulement laminaire et turbulent.
Écoulement stationnaire Définir l’écoulement stationnaire.
Débits volumiques et massique. Définir les débits volumique et massique.
Mesurer un débit.
Conservation du débit. Définir et appliquer l’équation de continuité du débit.
Conservation de l’énergie dans Appliquer la loi de conservation
une installation hydraulique. de l’énergie dans une installation hydraulique.
1 Ecoulement d’un fluide dans le cas laminaire et turbulent
1.1 Définition des notions d’écoulement laminaire et turbulent
Lorsqu’un fluide s’écoule dans un tuyau comme s’il glissait parallèlement aux parois qui le guident, on dit que l’écoulement est laminaire. La répartition des vitesses est bien régulière. De tels écoulements génèrent très peu de bruit à cause de leur structure de vitesse bien ordonnée.
Figure 1 – Écoulement laminaire et écoulement turbulent
Lorsqu’un fluide s’écoule avec des variations de vitesse brusques et aléatoires en chaque point, on dit que l’écoulement est turbulent. De tels écoulements génèrent du bruit à cause de leur structure chaotique, ce qui se produit communément dans les forts remous d’un torrent de montagne que l’on peut entendre à plusieurs centaines de mètres.
1.2 Nombre de Reynolds
Le nombre de Reynolds est une grandeur sans unité que l’on calcule pour déterminer la nature laminaire ou turbulente d’un écoulement.
<e= ρdv η
<e : nombre de Reynolds ;
ρ : masse volumique du fluide (en kg.m−3) ;
d : dimension caractéristique de l’écoulement (en m) ; v : vitesse moyenne d’écoulement (en m.s−1) ;
η : viscosité dynamique du fluide (en Pa.s).
Remarques :
1. dans le cas d’un écoulement dans une canalisation, d représente le diamètre interne de la canalisation ou sa plus petite côte intérieure pour une canalisation rectangulaire ; 2. v représente la vitesse moyenne d’écoulement de toutes les particules de fluides (à
la sortie d’un robinet par exemple) et non pas la vitesse d’une seule particule de fluide, car elles diffèrent en direction sens et intensité pour chacune d’elle dans le cas général : v = k−→v moyenk = 1
nk
n
P
i=1
−
→v ik, avec −→vi : vecteur vitesse de la particule i et n : nombre total de particules de fluide (sortant du robinet pendant l’intervalle de temps∆t).
3. Dans le cas des canalisations :
— si <e<2000, l’écoulement est laminaire ;
— si <e>2 000, l’écoulement est turbulent.
1.3 Ordre de grandeur de la viscosité dynamique
Voici quelques valeurs caractéristiques de viscosités (et des encadrements approximatifs) : Fluide air eau huiles bétons boues bitumes Viscosité dynamique 1,6.10−5 1.10−3 1,0.10−5 10 1.10−3 10
η (Pa.s) à 1,2.10−3 à 400 à 20 à 108
2 Ecoulement stationnaire
2.1 Passage de l’hydrosatique à l’hydrodynamique
Dans le module M2, les fluides étaient au repos dans le champ de pesanteur, ils étaient donc immobiles. Dans le cadre de l’hydrodynamique, le fluide n’est plus en équilibre : il est en mouvement.
Figure2 – Fluide est immobile (hydrostatique) et fluide est en mouvement (hydrodynamique)
2.2 Notion d’écoulement stationnaire
Un écoulement est stationnaire (ou permanent) si la vitesse et la pression en chaque point du fluide sont indépendantes du temps.
Figure 3 – Débit volumique à la sortie d’un robinet
La Figure 3 montre que le régime permanent d’écoulement à la sortie d’un robinet se pro- duit uniquement dans l’intervalle de temps [5 s ; 60 s], alors que l’écoulement s’effectue dans l’intervalle [2 s ; 110 s].
3 Débit volumique et massique
3.1 Débit volumique
Lors d’un écoulement, pendant une durée ∆t, le volume∆V de masse∆m traverse une section droite de surface S (Figure 4) :
Figure4 – Volume ∆V traversant une section S pendant l’intervalle de temps∆t
qV = ∆V
∆t
qV : débit volumique en mètres cube par seconde (m3.s−1) ;
∆V : volume de liquide qui s’est écoulé en mètres cubes (m3) ;
∆t : durée de l’écoulement en secondes (s).
Or : qV = ∆V
∆t = S∆l
∆t =S∆l
∆t =Sv (très utile en BTP pour calculer le débit volumique), soit : qV =Sv
qV : débit volumique en mètre cube par seconde (m3.s−1) ; S : section droite de la canalisation en mètres carrés (m2) ;
v : vitesse moyenne de l’écoulement en mètres par seconde (m.s−1).
3.2 Débit massique
En reprenant la figure 4, on trouve : qm = ∆m
∆t
qm : débit massique en kilogrammes par seconde (kg.s−1) ;
∆m : masse de liquide qui s’est écoulé en kilogrammes (kg) ;
∆t : durée de l’écoulement en secondes (s).
Or ρ= ∆m
∆V soit ∆m =ρ∆V soit qm = ∆m
∆t = ρ∆V
∆t =ρ∆V
∆t =ρqV, soit : qm =ρ qV
qm : débit massique en kilogrammes par seconde (kg.s−1) ; qV : débit volumique en mètres cubes par seconde(m3.s−1) : ;
ρ : masse volumique du fluide en kilogrammes par mètre cube (kg.m−3).
3.3 Quelques conversions utiles
Unité de 60 000 1 000 3 600 60 3,6
départ L.min−1 L.s−1 m3.h−1 kg.min−1 t.h−1 Unité SI 1,0 m3.s−1 1,0 m3.s−1 1,0 m3.s−1 1,0 kg.s−1 1,0 kg.s−1
4 Mesure de débits
La mesure d’un débit volumique peut être déterminée à partir du temps de remplissage (ou de vidange) d’un récipient de volume connu (c’est ce que l’on fait en TP).
Dans une canalisation, l’écoulement n’est pas directement accessible. Il est souvent nécessaire d’utiliser des capteurs dont la grandeur mesurée permet de connaître la valeur du débit (volu- mique ou massique suivant la nature du capteur). Ce type de technologie est largement utilisé dans de nombreux secteurs d’activités professionnelles. Citons à titre d’exemple les mesures de débit par ultrasons, ondes électromagnétiques, coriolis, vortex, à turbine, principe thermique, pression différentielle (diaphragme, tuyère ou venturi, tube de Pitot), etc.
Figure 5 – Quelques systèmes de mesure de débit : clepsydre, ultrasons, tube de Pitot
Voici quelques ordres de grandeur de débits :
Fleuves Lance à Ventilation d’une Robinet d’eau français incendie pièce d’habitation domestique Débit 500 à 1000 40 à 1500 15 à 150 5 à 15 volumique m3.s−1 L.min−1 m3.h−1 L.min−1
5 Conservation du débit
5.1 Conservation du débit en régime permanent pour un fluide in- compressible
Toute l’eau entrant par un côté d’une canalisation pendant un certain intervalle de temps ressort de l’autre côté pendant le même intervalle de temps. Il n’y a pas d’accumulation d’eau (canalisation indéformable) ni de perte d’eau (pas de fuite de la canalisation). La masse d’eau entrante est égale à la masse d’eau sortante. De même, le volume d’eau entrant est égal au volume d’eau sortant pendant le même intervalle de temps (fluide incompressible à masse volumique constante, quelle que soit la pression).
qV(sortant) = ∆V(sortant)
∆t et qV(entrant) = ∆V(entrant)
∆t or∆V(sortant)=∆V(entrant)
donc qV(sortant)=qV(entrant)=qV soitρqV(sortant)=ρqV(entrant)= qm(sortant)= qm(entrant).
Figure 6 – Installation hydraulique de récupération d’eau de pluie
Lors de l’écoulement permanent d’un fluide incompressible dans un réseau de canalisations, il y a conservation des débits volumiques et massiques ce qui implique que la somme des débits entrants est égale à la somme des débits sortants.
Application de la loi de conservation du débit volumique appliquée au réservoir dont on suppose que le volume ne varie pas :
qV(Citerne) = qV(Jardin) + qV(Cuisine) + qV(Salle de bains) + qV(Machine à Laver) Application de la loi de conservation du débit massique appliquée au réservoir dont on suppose que la masse ne varie pas :
qm(Citerne) = qm(Jardin) + qm(Cuisine) + qm(Salle de bains) + qm(Machine à Laver)
5.2 Vitesse moyenne d’écoulement dans une canalisation lors d’un changement de la section d’écoulement
En régime permanent, le débit volumique dans une canalisation est conservé. En cas de chan- gement de la section de la canalisation, la vitesse moyenne de l’écoulement change.
Figure7 – Conservation du débit volumique lors d’un changement de section
qV =S1v1 =S2v2
qV : débit volumique en mètre cube par seconde (m3.s−1) ;
S1 et S2 : sections droites de la canalisation en mètres carrés (m2) ;
v1 etv2 : vitesses moyennes de l’écoulement en mètres par seconde (m.s−1).
Pour un écoulement permanent, la conservation du débit volumique implique qu’une contraction de la section d’écoulement engendre une augmentation de la vitesse moyenne d’écoulement du fluide. Inversement, l’augmentation de section entraîne une diminution de vitesse du fluide.
Pour une section circulaire S=πR2 : S1v1 =S2v2 ⇔v2 = S1
S2v1 = πR21
πR22v1 = R21 R22v1 =
R1 R2
2
v1.
Donc le rapport des vitesses est égal à l’inverse du rapport des sections, il est aussi égal à l’inverse du carré du rapport des rayons ou des diamètres. Par exemple, si le diamètre ou le rayon de la canalisation devient deux fois plus petit, la vitesse est quatre fois plus grande.
Inversement, si le diamètre devient trois fois plus grand, la vitesse devient neuf fois plus petite.
6 Conservation de l’énergie dans une installation hydrau- mique
6.1 Théorème de Bernoulli
6.1.1 Introduction
Le théorème de Bernoulli a été établi en 1738 par Daniel Bernoulli. Il a posé les bases de la dynamique des fluides et, d’une façon plus générale, de la mécanique des fluides. Initialement utilisé pour des fluides en circulation dans une conduite, il a trouvé un important champ d’application en aérodynamique (portance). Il postule la conservation de l’énergie totale du fluide. Il correspond donc à un cas idéal, non vérifié dans la réalité, mais qui fonctionne très bien avec un écoulement incompressible (la masse volumique reste constante), irrotationnel (ce qui implique un écoulement non tourbillonnaire), d’un fluide parfait (les effets visqueux sont négligeables, tout comme les pertes de charge), en régime permanent, en négligeant les transferts de chaleur.
6.1.2 Théorème de Bernoulli sans machine
Figure8 – Notion de tube de courant, de filet de courant et de ligne de courant
Figure9 – Théorème de Bernoulli entre deux points A et B sur une même ligne de courant
Sur une même ligne de courant : 12 ·ρ·v2+ρ·g·z+p= constante.
Soit : 12 ·ρ·vA2 +ρ·g·zA+pA= 12 ·ρ·vB2 +ρ·g·zB+pB, ou : 12 ·ρ·vA2 +ρ·g·zA+pA
− 12 ·ρ·vB2 +ρ·g·zB+pB
= 0.
Avec :
— pA et pB : pressions du fluide aux points A et B en pascals (Pa) ;
— zA et zB : altitudes des points A et B en mètres (m) ;
— vA etvB : vitesses moyennes du fluide aux points A et B en mètres par seconde (m.s−1) ;
— ρ : masse volumique du liquide en kilogrammes par mètre cube (kg.m−3) ;
— g : accélération de la pesanteur en mètres par seconde au carré (m.s−2).
6.1.3 Théorème de Bernoulli avec machine
Figure10 – Théorème de Bernoulli avec Machine
1
2 ·ρ·v2B+ρ·g·zB+pB = 12 ·ρ·v2A+ρ·g·zA+pA+Pext qV Soit : 12 ·ρ·v2B+ρ·g·zB+pB
− 12 ·ρ·v2A+ρ·g·zA+pA
= Pext qV . Avec :
— Pext: puissance (algébrique >0 pour énergie reçue par le fluide et <0 pour énergie perdue par le fluide) à laquelle l’environnement échange l’énergie avec le fluide en watts (W) ;
— qV : débit volumique du fluide en mètres cubes par seconde (m3.s−1).
Utilisation pratique du théorème de Bernoulli :
— L’origine des altitudes est choisie où l’on veut ;
— Tout point situé sur une surface libre est à la pression atmosphérique (pA=patm) ;
— S’il n’y a aucun échange d’énergie avec l’extérieur entre les deux points choisis (par exemple B et C) alors le théorème se simplifie en :
1
2 ·ρ·vB2 +ρ·g·zB+pB
= 12 ·ρ·v2C+ρ·g·zC +pC
— La vitesse d’écoulement en un point peut être négligée par rapport à celle dans la cana- lisation si la surface de l’écoulement est très grande en ce point, ce qui est le cas d’une surface libre beaucoup plus grande que la section de la canalisation (vA= 0).
6.2 Equation aux dimensions, conservation de l’énergie
Grandeur Dimension
Energie ML2T−2
EC = 12mv2 [EC] = [m] [v]2 =M(LT−1)2 =M L2T−2 Energie par unité de volume
E V
= [E]
[V] = M L2T−2
L3 =M L−1T−2
1
2 ·ρ·v2 1
2 ·ρ·v2
= [ρ]·[v]2 =M L−3·(LT−1)2 1
2 ·ρ·v2
=M L−3·L2T−2 =M L−1T−2
ρ·g·z [ρ·g·z] = [ρ]·[g]·[z] =M L−3·LT−2·L=M L−1T−2
p [p] = [f orce]
[surf ace] = M LT−2
L2 =M L−1T−2
Pext qV
Pext qV
=
energie´ temps
[qV] =
M L2T−2 T
L3T−1 = M L2T−3
L3T−1 =M L−1T−2
— 12 ·ρ·v2 est l’énergie cinétique par unité de volume de fluide au point considéré (qui est également homogène à une pression appeléepression dynamique) ;
— ρ·g·z est l’énergie potentielle par unité de volume de fluide au point considéré (qui est également homogène à une pression appeléepression hydrostatique) ;
— p est l’énergie de pression par unité de volume de fluide au point considéré (éga- lement appelée pression motrice) ;
— Pext qV
est homogène à une énergie par unité de volume gagnée ou perdue par le fluide dans l’environnement à cause de la machine (avec hausse ou baisse de pression totale).
L’analyse dimensionnelle permet de constater que l’équation de Bernoulli correspond bien à une conservation de l’énergie totale qui apparaît sous trois formes dans l’écoulement : cinétique, pression et potentielle. Si en un point donné, en l’absence de machine, l’une de ces trois énergies augmente alors l’une, au moins, deux autres diminue et inversement afin que leur somme reste constante dans l’écoulement (considéré, dans ce cadre, comme un système conservatif).
6.3 L’effet Venturi
Figure11 – Effet Venturi
D’après la conservation du débit, A1v1 =A2v2 (ou A représente la section et v la vitesse) ou encore vv1 = AA2 (1). D’après le théorème de Bernoulli : p1+ρgz1+ 12ρv12 =p2+ρgz2+12ρv22.
Avecz1 =z2 on obtient : p1−p2 = 12ρv22− 12ρv21 = 12ρv12
v2
v1
2
−1
. D’après (1), p1−p2 = 12ρv21
A1
A2
2
−1
,p1−p2 sera donc positive (dépression en A2 < A1).
Ici, l’énergie potentielle reste constante, l’énergie cinétique augmente dans l’étranglement ce qui provoque une diminution de l’énergie de pression (paradoxe ou effet Venturi). Cette différence de pression permet de mesurer la vitesse donc le débit volumique du fluide (débitmètre à pression différentielle à diaphragme, tuyère, venturi ou tube de Pitot - utilisé également dans l’aviation).
6.4 Le vol des avions
Figure12 – Principe du vol des avions : extrados, intrados, incidence de l’aile, polaire de l’aile L’air est accéléré sur l’extrados, au-dessus de l’aile, ce qui augmente l’énergie cinétique et diminue l’énergie de pression de l’air, et ralenti à l’intrados, en-dessous de l’aile, ce qui génère une dépression à l’intrados et une surpression à l’extrados donc une portance qui permet à l’avion de voler. C’est sur le même principe (théorème de Bernoulli) que les oiseaux volent, les planches à voile et les voiliers avancent (même contre le vent), grâce au profil d’aile des voiles.
Remarques : en plus de laportance verticale montante, il y a latrainée horizontale vers l’arrière due au frottement de l’air qui ralentit l’avion. La portance dépend de l’angle d’attaque de l’aile qui risque de décrocher si celui-ci est trop grand à cause du décollement des filets d’air (>18˚).
6.5 Théorème de Bernoulli et relation fondamentale de l’hydrosta- tique
Figure 13 – Application du théorème de Bernoulli en statique des fluides
Pour deux points A et B immobiles dans un fluide immobile, on utilise la relation de Bernoulli sans machine en posant vA=vB = 0, soit :
1
2 ·ρ·vA2 +ρ·g·zA+pA= 12 ·ρ·vB2 +ρ·g·zB+pB⇒ρ·g·zA+pA=ρ·g·zB+pB
⇒ρ·g·zA−ρ·g·zB =pB−pA ⇒pB−pA=ρ·g·(zA−zB)⇒pB−pA =ρ·g·h
On retrouve la relation fondamentale de l’hydrostatique. Ceci signifie que le théorème de Ber- noulli est une généralisation de la relation fondamentale de l’hydrostatique.
