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On étudie un écoulement (E) irrotationnel et permanent d’un fluide incompressible (µ = C

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Academic year: 2022

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(1)

On étudie un écoulement (E) irrotationnel et permanent d’un fluide incompressible (µ=Cte) autour d’un cylindre d’axe OZ et de rayon R, en rotation uniforme (Ð→

Ω =Ω.Ð→uz).

Très loin du cylindre, le fluide a la vitesse normale à l’axeOZ. On repèrera un point du fluide par ses coordonnées cylindriques (r, θ). On peut considérer l’écoulement comme la superposition de deux écoulements potentiels

⎧⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎩

E1 :ϕ1=− (1+R2

r2).r.v0.cosθ

E2 :ϕ2=−k.θ avec kune constante positive

1. Déterminer le champ des vitesses du fluide en M. Vérifier que ce champ correspond bien à un écoulement d’un fluide incompressible.

2. Calculer la circulationζ du champ de vitesse le long d’une courbe fermée.

3. On pose α = k R.v0

Déterminer le nombre de points où la vitesse s’annule. Représenter les lignes de champ selon les valeurs deα.

Donnée :Pour un scalaire U(r, θ, z), dans B{Ð→ur,Ð→uθ,Ð→uz}: ∆U = 1 r.∂

∂r(r.∂U

∂r) + 1 r2.∂2U

∂θ2 +∂2U

∂z2

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