EXTÉRIORITÉ ET INTÉRIORITÉ
Á PROPOS D'UNE FORMULE
Je me souviens du temps où mon professeur posait cette question : quel est l’esprit de ce problème… avant toute résolution…
et de parler de la beauté de la solution présentée…
Jean - Louis AYME 1
A
B C
I
D
Résumé. L'auteur propose une approche originale d'une formule mettant en parallèle une histoire extérieure et une histoire intérieure…
Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.
Abstract. The author offers an original approach of a formula putting in parallel an external history and an internal history ...
The figures are all in general position and all cited theorems can all be proved synthetically.
1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 30/11/2020 ; [email protected]
UNE FORMULE 2 1969 Canadian Math Olympiad P5
VISION
Figure :
A
B D C
a/2 a/2
Traits : ABC un triangle,
D le pied de la A-bissectrice intérieure et a la mesure de <A.
Donné : AD = [2.AB.AC/(AB + AC)]. cos a/2.
VISUALISATION
2 Prove bisector is $\frac{2ab\cos \frac{C}{2}}{a+b}$, AoPS du 30/10/2020 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c4t194f4h2324831_prove_bisector_is_frac2abcos_fracc2ab Trig biscetor, AoPS du 05/11/2010 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h2331196_trig_biscetor
DE
L'ESPRIT DU PROBLÈME
HISTOIRE EXTÉRIEURE
Le papyrus Rhind écrit par le scribe Ahmès vers 1650 av. J.-C. est centré sur le triangle isocèle. Son auteur indique qu'il est, en partie, une copie de résultats plus anciens remontant au Moyen Empire (vers 2000 av.
J.-C.).
A
B C
I
Selon le géomètre américain Nathan Altshiller-Court 3, le centre I d'un triangle quelconque défini comme point de concours de ses bissectrices intérieures, était connu de l'École pythagorienne fondée par Pythagore de Samos au VIe siècle avant notre ère.
A
B C
I
Euclide d'Alexandrie (-300, -200) récapitulant toutes les connaissances antérieures à son temps des ses Éléments, considère le cercle inscrit à un triangle dans la proposition 4 du Livre IV.
HISTOIRE INTÉRIEURE
Loi de Vibration : rien ne repose, tout remue
A
B C
I
3 Altshiller-Court N., College Geometry, Barnes & Noble, Richmond (1936)
Sans que le Géomètre s'y attende, son regard perçant, analogue à celui du "Bélier terrestre", se détache sans raison de la figure trilatère tracée avec les instruments de Platon sur une page blanche placée devant lui.
Dépassant son égo, il découvre au sein de cette icône trinitaire, une vibrante Semblance martiale, luminescente et transparente. Ayant l'éclat du rubis 4, elle brille dans le ventre 5 d'une noirceur sans éclat du "Bélier 6 céleste" aux cornes roulées.
Libération de l'esprit de l'étreinte de la raison.
L'esprit est contenu dans le corps et
non son contenant.
4 Anciennement, almandin pour sa forme en amande
5 Son oratoire, son Ombre obscure
6 Dans le Zodiaque, le corps du Bélier est orienté d'est en ouest, mais sa tête est tournée vers l'Orient
DE
L'ÂME DU PROBLÈME
HISTOIRE EXTÉRIEURE
A
B C
I
Ia
Dans la première Annale de Gergonne de 1810-11, Simon L'huillier (1750-1840) professeur à l'académie impériale de Genève (Suisse), introduit à la page 156, le A-excercle de centre Ia du triangle ABC.
HISTOIRE INTÉRIEURE
Loi de Polarité : toute chose possède deux pôles de nature identique A
B C
I
Ia
Le Géomètre se remet au travail avec les énergies qui lui restent. Tel un taureau au corps lourd et massif, il élargit ses premiers travaux en labourant son carré de Terre 7 avec son araire mentale sertie d'une pointe de fer recourbée qui rejette ses froides et sèches cogitations de part et d'autre du sillon qu'il trace. En
7 Zone d'une constellation qui s'étend de 30° en 30° à partir du point vernal
courbant encore plus la nuque, il espère découvrir dans cette Terre humide et grasse de labour, le germe enfoui d'une idée qui pourrait l'amener à avoir un bon contact avec le problème...
Alors sans qu'il s'y attende, le "Taureau terrestre" poussant avec effort les limites de son instinct, frôle dans l'étroit et obscur sillon délimité par les cornes lunaires du "Taureau céleste" 8, une Semblance vénustée 9 et translucide, ayant la forme d'une pousse végétale qui s'épanouit en surgissant du sol ; elle a l'éclat de l'agate 10 nacrée.
Libération de l'âmede l'étreinte de l'esprit.
L'âme est au corps comme le contenant
et
non comme le contenu.
8 Culminant à 2872m dans nord de l'Italie, le mont Bego a été à l'âge du bronze, un lieu de gravures rupestres reflétant le culte dédié à un couple primordial "terre-ciel" réactualisé par "le taureau et la vache sacrée"
9 Beauté gracieuse et élégante. Du latin cyprium, du grec Kypros i.e. le bronze de l'île de Chypre où accosta Aphrodite. Le cuivre blanc est un alliage de cuivre, de zinc et d'arsenic. Le laiton ou cuivre jaune est un alliage de cuivre et de zinc.
Pour voiler davantage le sens du cuivre vulgaire et de ses différents alliages, certains les ont traduits par airain, laiton ou encore par lato. Léto appelé latone par les romains est la mère d'Artémis et d'Apollon
10 Zonée en couches concentriques
DU
CORPS DU PROBLÈME
HISTOIRE EXTÉRIEURE
A
B C
I
Ia D
Thalès de Milet au VIe siècle av. J.-C. semble avoir été l'un des premiers géomètres à avoir recherché le point d'un segment divisant celui-ci dans un rapport donné appelé triterne.
Pappus d'Alexandrie au IVe siècle s'intéresse à la construction géométrique des points ''interne et externe'' d'un segment divisant celui-ci dans le même rapport arithmétique donné appelé quaterne harmonique.
Dans la première Annale de Gergonne de 1810-11, Simon L'huillier démontre l'alignement A, I et Ia.
Le quaterne (A, D, I, Ia) est harmonique.
Pour les Anciens, le tracé suppléait tout simplement à un manque de précision concernant la position de deux points et cette situation perdura jusqu'au XIXe lorsque Michel Chasles 11 en introduisant le concept de mesure algébrique d'un segment, résolvait définitivement ce flou positionnel.
HISTOIRE INTÉRIEURE
Loi de Fixation : dépassement des oppositions par leur complémentarité
11 Mathématicien français (15/11/1793-18/12/1880)
A
B C
I
Ia
Comme par un effet bénéfique de l'Art, le Géomètre découvre dans l'abîme du gouffre qui s'ouvre devant lui, une étincelante et furtive Semblance mercurielle ; elle a l'éclat irisé 12 aux reflets argentés de l'œil-de-chat 13.
Liaison entre l'esprit et l'âme.
12 Qui a les couleurs de l'arc-en-ciel qui conduiront au blanc par la suite
Dans la mythologie grecque, Iris, la Messagère des Dieux portait une écharpe aux couleurs de l'arc en ciel
13 Pierre fine, appelée aussi alexandrite et pierre de Lune. Variété de chrysobéryl
DU PROBLÈME
HISTOIRE EXTÉRIEURE
A
B C
I
D
M
0
Ia
Dans la proposition 3 du Livre IV des Éléments d'Euclide, nous trouvons le cercle circonscrit à un triangle.
Jules Alexandre Mention 14 (18/09/1929- ?) démontre dans les Nouvelles Annales de 1850 à la page 324, la millosité du point M relativement au segment [IIa].
Colin Mac-Laurin (1698-1746), dans De Linearum Geometricarum Proprietatibus Generalibus Tractatus dont le début de l'écriture a commencé en 1721 et qui réapparaît en annexe de façon posthume dans Treatise of Algebra en 1748, propose une relation, la moins connue, concernant un quaterne harmonique :
AD.AM = AI.AIa.
HISTOIRE INTÉRIEURE Loi de l'Effet : toute chose a un effet
En ouvrant largement ses pinces philosophiques comme pour mieux saisir l'esprit de l'opération en cours, le Géomètre tel un "Crabe terrestre" au regard tout rond et tout droit sortis de l'enfance, invente dans le matras une Semblance lumineuse 15, encore opaque mais légèrement translucide sur les bords, ayant la forme ronde et l'éclat soyeux d'une perle 16 en pleine croissance intérieure alors, qu'à l'extérieur, la Lune devenue pleine souligne discrètement la bosse protectrice du "Crabe céleste" et qu'apparaissent à l'horizon, les premières lueurs de l'aube
17d'un jour nouveau. Et dans cette savoureuse préhension, l'Ombre obscure i.e. l'âme du chercheur qui n'est pas
14 Mention, Nouvelles Annales (1850) 324; The Mathematical Monthly (1859).
15 La Lune
16 Les perles sont des sphéroïdes constitués par des couches concentriques de nacre déposées autour d'une particule pouvant être un grain de sable
17 Du latin alba i.e. blanc. L'aube apparaît au quart Nord-Est. C'est aussi le lieu de pose de la première pierre
seulement cela, retrouve par sympathie, sa majestueuse ductilité 18 en enveloppant tout et en ne laissant rien en dehors d'elle.
Dis-solution imparfaite ou
entrée dans le lab-oratoire 19. De l'e-space solide
à
la fluidité obscure de l'in-space.
18 Qui peut être étiré sans se rompre
19 L'Oeuf philosophique des alchimistes
DU PROBLÈME
HISTOIRE EXTÉRIEURE
A
B D C
Se souvenant d'un résultat du péruvien Miguel Ochoa Sanchez 20,
(AB + AC)/AM = 2.cos α/2
et de 21 AB.AC = AI.AIa = AB.AC
AD.AM = AI.AIa.
AD.(b + c) = 2.b.c.cos α/2
AD = [2.AB.AC/(AB + AC)]. cos a/2.
HISTOIRE INTÉRIEURE
Loi de Causalité : toute chose a une cause.
Et dans ce rugissement d'éveil, le "Lion terrestre" invente au centre une Semblance translucide, ayant la forme de colonnes facettées en pleine croissance longitudinale et l'éclat vitreux d'une topaze mordorée 22 alors, qu'à l'extérieur, les premières lueurs jaune dorées de l'aurore renforcent la crinière 23 du "Lion céleste" qui fera tout plier devant lui.
En en se souvenant de l'intrus, voire du coeur de l'immensité sans limite de l'Ombre obscure que des alchimiste ont appelé le "Petit Roi" 24 par souci de protéger cette découverte, l'esprit qui n'est pas seulement cela, retrouve par sympathie, sa majestueuse malléabilité 25 en rayonnant partout et en touchant tout en dedans de lui.
De l'opacité à
la translucidité de l'in-space.
20 https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/MiguelOchoaSanchez.shtml
Ayme J.-L., Autour du cercle inscrit, 47. 1. Rapport Problème 2, G.G.G. vol. 50, p. 8-9.
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/47.%201.%20Rapports.pdf
21 Ayme J.-L., Le produit AB.AC, Problème 5, G.G.G. vol. 17, p. 13-14 ;.
http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/47.%201.%20Rapports.pdf
22 Topaze dorée de couleur jaune de miel
23 Chevelure abondante qui rayonne à partir d'un foyer privilégié voire l'esprit du géomètre
24 Régulus en latin. L'étoile régulus placée au coeur de la constellation du Lion est celle qui a la plus forte luminosité
25 Que l'on peut façonner ou réduire en feuilles
Á PROPOS DES PIERRES PRÉCIEUSES
L'un des plus anciens textes sur l'utilisation magiques des pierres précieuses remonte au IVe millénaire avant notre ère du temps de Sumer 26.
Dans l'Ancien Testament datant de Moïse qui vécut vers 1510 av. J.-C., nous trouvons de nombreuses indications sur l'emploi de ces pierres dites de vertu i.e. de force.
Ce n'est qu'au XIIe siècle, qu'Alain de Lille dans son ouvrage De planctu naturae établit une relation entre les gemmes, le Zodiaque, les planètes du système solaire et les anges de la Chorélie.
Rappelons qu'une contemporaine, Hildegarde de Bingen (1098-1179) reçut par vision directe, la connaissance des applications thérapeutiques des gemmes.
Celles-ci se caractérisent par leur forme, structure, couleur et dureté.
*
Existant entre l'âme et les gemmes un rapport étroit, celles-ci, par leurs effets secrets, transmettent à l'âme le message des étoiles…
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26 Sumer est une région antique, située à l'extrême sud de la Mésopotamie antique, couvrant une vaste plaine parcourue par le Tigre et l'Euphrate, bordée, au sud-est, par le golfe Persique
