Plan. Bases de Données : 3ème Forme Normale (3NF) Justification. Définition. Stéphane Devismes

(1)

Bases de Donn ´ees : 3

^`eme

Forme Normale (3NF)

St ´ephane Devismes

Universit ´e Grenoble Alpes

26 ao ˆut 2020

S. Devismes (UGA) 3NF 26 ao ˆut 2020 1 / 30

Plan

1 3^`emeForme Normale

2 Exemple g ´en ´eral

3 Autres formes normales

3^èmeForme Normale Exemple g én éral Autres formes normales

Justification

On a vu qu’on sait toujours calculer une d ´ecomposition BCNF qui

éviter les redondancesOUquipr éserve les d épendances.

En g én éral il n’existe pas de d écomposition BCNF qui satisfait à la fois ces deux propri ét és.

Pour obtenir une d écomposition qui v érifie à la fois les deux

propri ét és, on affaiblit la propri ét é de normalisation de Boyce-Codd.

D ´efinition

Une relationRest en3 `eme forme normale(3NF) si pour tout ensemble d’attributsAon a :

A⁺=Aou A⁺=Sou

A⁺=A∪Bo ù chaque él ément deBfait partie d’une cl é.

Propri ´et ´e :SoientRune relation et

D

une base de d ´ependances fonctionnelles singletons deR.

Rest en 3 `eme forme normale si et seulement si pour toute d ´ependance fonctionnelle singletonA→bde

D

^{on a :}

Aest une supercl ´e (A⁺=S) ou bfait partie d’une cl ´e.

(2)

Preuve de la propri ´et ´e (1/2)

SoitRest une relation en 3 `eme forme normale et

D

^une^{base de}

d ´ependances fonctionnelles singletonsdeR.

SoitA→b∈

D

^.

SiA⁺=A, alors n ´ecessairementb∈AetA→b∈/

D

, contradiction.

SiA⁺=S, alorsAest supercl ´e deR, par d ´efinition.

SiA⁺=A∪Bo ù chaque él ément deBfait partie d’une cl é, alors puisqueb∈/A,b∈B, c’est- à-direbfait partie d’une cl é deR.

Preuve de la propri ´et ´e (2/2)

Supposons une base de d ´ependances fonctionnelles singletonsD^de^R

v ´erifiant : pour toute d ´ependance fonctionnelleA→b∈D^{on a}

Aest une supercl ´e(A⁺=S) ou bfait partie d’une cl ´e.

SoitX un ensemble d’attributs.

Il faut montrer que siX⁺6=XalorsX⁺=Soupour toutb∈X⁺−X,bfait partie d’une cl ´e.

Supposons queX⁺6=X et soitb∈X⁺−X.

D’apr ès l’algorithme de cl ôture, il existeA→b∈D^{tel que}Â^⊆^X⁺^.

Par hypoth `ese,A⁺=Soubfait partie d’une cl ´e.

PuisqueA⊆X⁺,A⁺⊆(X⁺)⁺=X⁺, donc siA⁺=S, alorsX⁺=Saussi.

D’o `u,X⁺=Soupour toutb∈X⁺−X,bfait partie d’une cl ´e:Rest en 3NF.

Propri ´et ´e

SiRest en BCNF alorsRest en 3NF.

L’inverse n’est pas vrai !

Par exemple, soitR(a,b,c)avec l’ensemble de d ´ependances fonctionnelles{a→b,b→a}.

Rn’est pas BCNFcara⁺=ab6=abc

Cependant,Ra deux cl és :acetbc. Donc, les deux parties droitesa etbappartiennent à des cl és :Rest 3NF!

D ´efinition

Une d ´ecompositionR=R[S₁]∗...∗R[S_n]est en3^`emeforme normale (3NF) si chaqueR[S_i]est en 3NF.

(3)

Algorithme de synth `ese 3NF

Entr ´ee.Une baseminimale

D

mindeR.

Sortie.Res={S₁, ...,S_p}o ù lesS_i fournissent des relations formant une d écomposition deRen 3NF qui pr éserve les d épendances et qui

´evite les redondances.

-BCNF- Appliquer l’algorithme de synth `ese BCNF. Soit Res={S₁, ...,S_n}le r ´esultat obtenu.

-N- Supprimer les redondances :

Tant qu’il y a des inclusionsSi⊆Sj aveci6=j EnleverS_i deRes.

Ajouter les d ´ependances fonctionnelles deS_i `a celles deS_j -R- RetournerRes.

Exemples (1/2)

SoitR(p,m,e)avec la base minimale{p→m,me→p}.

Exemples (2/2)

SoitR(a,b)avec la base minimale{a→b,b→a}.

Preuve de l’algorithme : terminaison

-BNCF- :l’algorithme de synth èse BCNF termine(mais, il est exponentiel —≤eÔ^(|^D^min^|∗|^S^|) —cf.cours pr éc édent).

-N- :polynomial en|Res|et

D

min. -R- :temps constant.

(4)

Preuve de l’algorithme : correction (1/5)

On sait d éj à que l’ensembleRes={S₁, ...,S_n}obtenu avant N v érifie :R[S₁]∗...∗R[S_n]est une d écomposition BCNF deR.

Ensuite, si on supprime un ensembleS_i deRespendant N, cela implique qu’il existej6=itel queS_j∈ResetS_i⊆S_j. Or, puisque Si ⊆Sj, on aR[Sj] =R[Si]∗R[Sj]. Donc, apr ès chaque suppression, on a toujoursle produit naturel des projections deRsur les él éments deResest une d écomposition deR.

De plus,on a pas de perte de d ´ependance fonctionnelle.

Enfin, par N onsupprime toutes les redondances.

Preuve de l’algorithme : correction (2/5)

Il nous reste uniquement à d émontrer, qu’apr ès R, on a

∀i∈ {1, . . . ,p},R[S_i]est 3NF.

SoitRes_f la valeur deRes `a la fin de l’algorithme de synth `ese 3NF. SoitS_i ∈Res_f. Soit

D

_min^Sⁱ ^⊆

D

minle sous-ensemble des

d ´ependances fonctionnelles (singletons) de

D

minattach ées àR[Si] à la fin de l’algorithme.

On adeux cas:Si a ét é ajout é àRes soitlors de l’ étape F,

soitlors de l’ ´etape U

del’algorithme de synth `ese BCNF.

Preuve de l’algorithme : correction (3/5)

Supposons queSi a ét é ajout é àReslors de l’ étape F de l’algorithme de synth èse BCNF.

Alors,S_i est une cl é deR:S_i⁺=Srelativement àDminetS_i→Sest une cons équence deDmin.

De plus,S_i⁺=Si relativement àDmin^Sⁱ :Si est une supercl é deR[Si]. Supposons, par contradiction, queSi n’est pas une cl é deR[Si]:il existeX(^Si tel queX⁺=S_i relativement àDmin^Sⁱ .

AlorsX→Si est une cons équencedeD_min^Sⁱ ^{et de}DmincarD_min^Sⁱ ^⊆Dmin. Par transitivit é (X→Si etSi →S) ,X→Sestaussiune cons équence de

Dmin:X⁺=Srelativement àDmin, c’est- à-dire,X(Si est supercl é deRet doncSi n’est pas une cl é deR, contradiction.

Donc,Si est une cl ´e deR[Si]. Or,∀A→b∈Dmin^Sⁱ , on ab∈Si. Donc,R[Si]

Preuve de l’algorithme : correction (4/5)

Supposons queSia ét é ajout é àReslors de l’ étape U de l’algorithme de synth èse BCNF.

Par construction, il existeAi(^Sitel que :∀b∈Si−Ai,Ai→b∈Dmin^Sⁱ . Soit

D⁰={A→b∈D_min^Sⁱ :A=Ai}.

( `A cause de la suppression des redondances, on peut avoirDmin^Sⁱ 6=D⁰^.)

Par d éfinition,D⁰⁶⁼0/; de plus,A⁺_i =Si, c’est- à-dire,Aiest une supercl é deR[Si]. SoitAi→b∈D⁰^⊆^Dmin^Sⁱ . PosonsAi=a1, . . . ,ak etsupposons, par contradiction, queAi

n’est pas une cl é deR[Si]. Il existe doncK(Âⁱ^{, tel que}^K⁺=Sirelativement àDmin^Sⁱ . Donc K→Siest une cons équence deDmin^Sⁱ , et par r éflexivit é et transitivit éK→best aussi une cons équence deDmin^Sⁱ et donc deDmin.

Soitx∈ {1, . . . ,k}eta1...6ax...aktels queK⊆ {a1, . . . ,ak} − {ax}.

K⊆ {a1, . . . ,ak} − {ax} (refl)

a1...6ax...ak→K K→b (trans)

a1...6ax...ak→b

Donc,a1...6ax...ak→best une cons ´equence deDmin:Dminn’est pas une base minimale deR, contradiction. Donc,Aiest une cl ´e deR[Si].

(5)

Preuve de l’algorithme : correction (5/5)

Enfin, montrons queR[S_i]est en 3NF.

Supposons, par contradiction, qu’il existeA→b∈D_min^Sⁱ ^{telle que}^A⁺⁶⁼^Si

relativement àD_min^Sⁱ êt^bn’appartient à aucune cl é deR[S_i]. En particulier,b∈/A_i, donc par constructionA_i→b∈D⁰^.

Tout d’abord,A⁺_i =S_i− {b}relativement àD⁰^{− {}Âi →b}, doncA_i →S_i− {b}est une cons équence deD⁰^{− {}Âi →b}.

De plus,A⊆S_i etb∈/A(carA→best une d épendance singleton) impliquent A⊆S_i− {b}et par r éflexivit éS_i− {b} →A.

Par

A_i→S_i− {b} S_i− {b} →A (trans)

A_i→A A→b

(trans)

A_i→b

DoncA_i→b∈Dminestune cons ´equence deDmin− {A_i→b}, ce qui implique que

Dminn’est pas une base minimale deR, contradiction.

Donc,∀A→b∈D_min^Sⁱ ^{telle que}Â⁺⁶⁼^Si,bqui fait partie d’une cl é deR[S_i]. D’o ù, R[S_i]est 3NF.

Diagramme conceptuel

Reprenons une variante de l’exemple de la biblioth `eque, vu lors du chapitreConception.

La conception avait men é à un diagramme de ce genre (en simplifiant les cardinalit és : 1 pourmonoet * pourmulti).

Batiment nomB

Oeuvre isbn titre

∗ ∗

1∗

Ecrivain nom prenom

Salle numS

EY

Livre numL dateE

1 ∗ ∗ 1

Membre numM nom prenom

Relations

En alg `ebre relationnelle, on obtient : Ecrivains (nom, prenom) Oeuvres (isbn,titre)

Auteurs (isbn, nom, prenom) Membres (numM, nom, prenom) Salles (numS, nomB)

Livres (numL, isbn, numM, dateE, numS, nomB)

avec des contraintes d’int égrit é à écrire ...

Il n’y a pas de contrainte de d épendance fonctionnelle autre que celles donn és par les cl és donc c’estune d écomposition BCNF!

Normalisation (1/2)

Maintenant, oublions tout cela et partons de l’ensemble des attributs (les noms sont simplifi ´es) et d’une base de d ´ependances entre ces attributs.

Attributs (il y en a 11) :

nom prenom isbn titre numM nom prenom numS nomB numL dateE

n p i t m n⁰ p⁰ s b l e

Base de d ´ependances (ici 9 d ´ependances singletons) : (d1)i→t,(d2)m→n⁰p⁰,(d3)l→itmesb.

On peut noter quel→test inutile, on va v ´erifier que les algorithmes s’en rendent compte.

On peut noter quenetpn’apparaissent pas dans cette base.

(6)

Normalisation (2/2)

En appliquant l’algorithme r écursif BCNF avec successivementA=i, A=m,A=l, on obtient la d écomposition BCNF (sans redondance et sans perte de d épendance) :

R=R[i,t]∗R[m,n⁰,p⁰]∗R[l,i,m,e,s,b]∗R[l,n,p] En appliquant l’algorithme de synth èse BCNF on obtient la m ême d écomposition.

En effet la base donn ée est minimale (c’est facile à v érifier), d’o ù les 3 premi ères relations dans la d écomposition.

Mais de plus la seule cl é deRestlnp(c’est facile à v érifier), d’o ù la 4^èmerelation.

Puisqu’il n’y a pas de redondance dans cette d ´ecomposition, l’algorithme de synth `ese 3NF ne fait rien de plus.

Comparaison

Relations calcul ´ees

O (i,t) M (m, n’,p’)

L (l, i, m, e, s, b) A (l, n, p)

Relations initiales

Ecrivains (nom, prenom) Oeuvres (isbn,titre)

Auteurs (isbn, nom, prenom) Membres (numM, nom, prenom) Salles (numS, nomB)

Livres (numL, isbn, numM, dateE, numS, nomB) Les relationsOeuvres,Membres,Livres, correspondent exactement aux

relationsO,M,L.

La relationSallesadisparu, et en effet elle ´etait redondante par rapport `a Livres.

La relationEcrivainsadisparu, et en effet elle ´etait redondante par rapport `aAuteurs.

La relationAuteurs(i, n, p)ne correspond pas exactement à la relation A(l,n,p): on n’a pas su traduire par des d épendances fonctionnelles le fait que des livres correspondant à la m ême œuvre doivent avoir les m êmes auteurs.

Discussion

Par d éfinition, la BCNF estoptimaleau sens o ù elle n’a que les d épendances fonctionnelles dues aux cl és.

On a vu deux façons de construire une d écomposition BCNF, mais la premi ère ne pr éserve pas les d épendances et la seconde n’ évite pas les redondances.

On a vu un exemple o ù on trouve une d écomposition BCNF avec ces deux propri ét és, mais elle n’est pas compl ètement satisfaisante.

La 3NF autorise certaines d ´ependances fonctionnelles autres que les cl ´es.

Son avantage est qu’on peut construire une d écomposition 3NF qui à la fois pr éserve les d épendances et évite les redondances.

Hi ´erarchie

Il existe toute une hi ´erarchie de formes normales, de la plus faible vers la plus forte :

1NF⇐2NF⇐3NF⇐BCNF⇐4NF⇐5NF⇐6NF

(7)

1NF et 2NF

1NF :la premi `ere forme normale impose que les attributs ont un type atomique.

2NF :il s’agit d’une version affaiblie de la 3NF.

Une relationRest en2^`emeforme normale(2NF) si pour tout ensemble d’attributsAon a :

A⁺=Aou A⁺=Sou

A⁺=A∪Bo ù pour chaque él émentbdeB: soitbfait partie d’une cl é (comme pour la 3NF)

soitbne fait pas partie d’une cl ´e, mais dans ce casAn’est pas strictement inclus dans une cl ´e.

4NF et 5NF

Bien que la BCNF n’ait que les d épendances fonctionnelles dues aux cl és, qui sontin évitables, on a d éfini des formes normales plus fines relativement d’autres crit ères (d épendances multivalu ées) ...

Conclusion

Il n’y a pas une forme normalemeilleureque les autres, ni une d ´ecompositionmeilleureque les autres.

En particulier, il n’est pas vrai que la meilleure forme normale est la plus forte.

En pratique, la 3NF et la BCNF sont souvent un bon compromis.

Noter que la normalisation ne tient pas compte des valeurs absentes, cela peut poser probl `eme.

Lorsqu’on conc¸oit une base de donn ´ees en passant par un diagramme de conceptionraisonnable, on obtientsouventdes relations au moins en 3NF.