Exercice 1
1. Avec une d´etente isotherme, une compression isobare et une compression isochore, il n’y a que deux configurations possibles pour former un cycle thermodynamique1 (figure ci-dessous).
(x)
(y) (z)
V p
(x)
(y) (z)
V p
Parmi ces deux configurations, c’est la deuxi`eme configuration qui poss`ede une compression isochore suivie d’une compression isobare. Par contre la premi`ere confi- guration ne satisfait pas `a ce crit`ere car il poss`ede une compression isobare suivie d’une compression isochore.
Dans la deuxi`eme configuration, l’´etat le plus comprim´e est l’´etat (x) car il est caract´eris´e par la plus grande pression et le plus petit volume. Donc l’´etat (x) repr´esente l’´etat (1) du cycle en question. Il s’ensuit que l’´etat (y) repr´esente l’´etat (2) et l’´etat (z) repr´esente l’´etat (3). Cependant, le cycle de la machine en question est represent´e sur la figure ci-dessous.
(1)
(2) (3)
V p
2. On constate que la machine en question est une machine dynamo-thermique car son cycle ´evolue dans le sens trigonom´etrique.
3. Le pr´esent cycle est caract´eris´e par les pressions extrˆemes pmin = 2 bar et pmax = 20 bar, et les volumes extrˆemesVmin = 1 dm3etVmax= 9,5 dm3. Cependant, d’apr`es la figure ci-dessus, il s’av`ere que :
• pour l’´etat (1) : p1 =pmax et V1 =Vmin;
• pour l’´etat (2) : p2 =pmin etV2 =Vmax;
• pour l’´etat (3) : p3 =pmax et V3 =Vmax.
A.N. : p1 =p3 = 20 bar, p2 = 2 bar, V1 = 1 dm3 etV2 =V3 = 9,5 dm3.
4. La variable d’´etat T est une fonction des variables ind´ependantes petV. Alors, sa diff´erentielle dT peut s’´ecrire :
dT = ∂T
∂p
V
dp+ ∂T
∂V
p
dV (1)
Or, d’apr`es les d´efinitions des coefficients thermo´elastiques α etβ, `a savoir : α = 1
V ∂V
∂T
p
et β= 1 p
∂p
∂T
V
(2) on peut ´ecrire :
∂T
∂V
p
= 1
αV = p
nR (3)
et
∂T
∂p
V
= 1
βp = V −nb
nR (4)
alors, en rempla¸cant ∂T∂V
p et
∂T
∂p
V
dans l’´equation (1) par leurs expressions, on obtient :
dT = V −nb
nR dp+ p
nRdV (5)
• Pour V =Cte, l’´equation (5) s’´ecrit :
dT = V −nb
nR dp (6)
Son int´egration permet d’´ecrire :
T = V −nb
nR p+f(V) (7)
o`u la constante d’int´egration f(V) est une fonction qui peut ´eventuellement d´ependre de V mais elle ne d´epend pas de p.
• Pour p=Cte, l’´equation (5) s’´ecrit : dT = p
nRdV (8)
Son int´egration permet d’´ecrire : T = p
nRV +g(p) (9)
o`u la constante d’int´egration g(p) est une fonction qui peut ´eventuellement d´ependre de p mais elle ne d´epend pas de V.
Cependant, pour p etV quelconques, on peut ´ecrire : V −nb
nR p+f(V) = p
nRV +g(p) (10)
soit :
− nbp
nR +f(V) =g(p) (11)
ou encore :
f(V) =g(p) + nbp
nR =Cte (12)
On pose Cte=T0, alors :
g(p) =−nbp
nR +T0 et f(V) = T0 (13) d’o`u l’´equation d’´etat du gaz en question :
T = p(V −nb)
nR +T0 (14)
ou aussi :
p(V −nb) =nR(T −T0) (15) 5. En consid´erant la transformation isotherme (1)-(2), on peut ´ecrire :
p1(V1−nb) = p2(V2−nb) (16) d’o`u :
nb= p1V1−p2V2
p1−p2 (17)
A.N. : nb= 5,556×10−5m3.
6. D´eterminons maintenant les travaux et les quantit´es de chaleur mis en jeu au cours des diff´erentes transformations :
(a) Pour la d´etente isotherme, c.-`a-d. la transformation (1)-(2), on a : W12=−
Z V2
V1
pdV =−nR(T1−T0) Z V2
V1
dV
V −nb (18) soit :
W12=−p1(V1−nb) lnV2−nb
V1−nb (19)
On a aussi :
Q12 =−W12 (20)
car pour cette transformation, qui est isotherme :
∆U12 =U2−U1 = 6
2nR(T2 −T1) = 0 (21) A.N. : W12=−4,349 kJ et Q12 = 4,349 kJ.
(b) Pour la compression isochore, c.-`a-d. la transformation (2)-(3), on a :
W23 = 0 (22)
On a aussi :
Q23 = ∆U23=U3−U2 = 6
2nR(T3−T2)
= 6
2nR(T3−T0)− 6
2nR(T2−T0)
(23) soit :
Q23 = 6
2(p3(V3−nb)−p2(V2−nb)) (24) ou encore, puisque V3 =V2 :
Q23 = 6
2(p3−p2)(V2−nb) (25) A.N. : W23= 0 kJ et Q23= 51 kJ.
(c) Pour la compression isobare, c.-`a-d. la transformation (3)-(1), on a : W31=−p1
Z V1
V3
dV =−p1(V1 −V3) (26) On a aussi :
Q31 = ∆U31−W31 (27) avec :
∆U31=U1−U3 = 6
2nR(T1−T3)
= 6
2nR(T1−T0)− 6
2nR(T3−T0))
(28) c.-`a-d. :
∆U31 = 6
2(p1(V1−nb)−p3(V3−nb))
= 6
2p1(V1−V3)
(29) d’o`u :
Q31 = 6
2p1(V1−V3)−W31 (30) A.N. : W31= 17 kJ et Q31=−68 kJ.
7. La machine thermique en question est une machine dynamo-thermique, c.-`a-d. une pompe `a chaleur. Cette machine peut donc ˆetre utilis´ee soit comme syst`eme de refroidissement soit comme syst`eme de chauffage. Cependant, son efficacit´e ther- mique d´epend de son mode d’utilisation :
(a) En cas d’utilisation comme syst`eme de refroidissement : η=
Qf Wf
=
Q12+Q23 W31
(31) car la quantit´e de chaleur fournieQf =Q12+Q23 et le travail fourniWf =W31. A.N. : η= 3,256.
(b) En cas d’utilisation comme syst`eme de chauffage : η0 =
Qc Wf
=
Q31 W31
(32) car la quantit´e de chaleur c´ed´ee Qc =Q31 et le travail fourni Wf =W31. A.N. : η0 = 4.
Exercice 2
1. D’apr`es le premier principe de la thermodynamique, on a :
dU =δQ+δW avec δQ=T dS et δW =−pdV (33) La forme diff´erentielle de l’´energie interneU s’´ecrit donc :
dU =T dS−pdV (34)
Ceci montre que les variables naturelles de l’´energie interne U sont S etV.
Sachant que H = U +P V, F = U −T S et G = H −T S, on peut facilement montrer que :
dH =T dS+V dp , dF =−SdT −pdV et dG=−SdT +V dp (35) Ainsi, les variables naturelles de l’enthalpie H sont S etp, celles de l’´energie libre F sontT etV et celles de l’enthalpie libre Gsont T et p.
2. Le syst`eme est bivariant car son ´etat peut ˆetre caract´eris´e par deux variables ind´ependantes seulement. On effet, les fonctions d’´etat U(S, V), H(S, p),F(T, V) ou G(T, p), qui permettent de d´ecrire l’´etat du syst`eme, sont toutes des fonctions
`
a deux variables ind´ependantes.
3. En utilisant l’´egalit´e de Schwartz associ´e `a la diff´erentielle totale exacte dU, on aboutit `a la relation de Maxwell relative `a l’´energie interne :
∂T
∂V
S
=− ∂p
∂S
V
(36) En utilisant l’´egalit´e de Schwartz associ´e `a la diff´erentielle totale exacte dH, on aboutit `a la relation de Maxwell relative `a l’enthalpie :
∂T
∂p
S
= ∂V
∂S
p
(37) En utilisant l’´egalit´e de Schwartz associ´e `a la diff´erentielle totale exacte dF, on aboutit `a la relation de Maxwell relative `a l’´energie libre :
∂S
∂V
T
= ∂p
∂T
V
(38) En utilisant l’´egalit´e de Schwartz associ´e `a la diff´erentielle totale exacte dG, on aboutit `a la relation de Maxwell relative `a l’enthalpie libre :
∂S
∂p
T
=− ∂V
∂T
p
(39) 4. D’apr`es les expressions de δQ donn´ees dans l’´enonc´e, on peut ´ecrire :
dS = CV
T dT + l
T dV et dS= Cp
T dT + h
T dp (40)
Etant donn´´ e que ces formes diff´erentielles sont des diff´erentielles totales exactes, alors :
l T =
∂S
∂V
T
et h T =
∂S
∂p
T
(41)
Ces expressions peuvent s’´ecrire, en tenant compte des relations de Maxwell rela- tives `a l’´energie libre et `a l’enthalpie libre ´etablies ci-dessus, comme suit :
l=T ∂p
∂T
V
et h=−T ∂V
∂T
p
(42) Ces deux relations sont, respectivement, la premi`ere et la deuxi`eme relation de Clapeyron.
5. En se pla¸cant dans le cas de volume constant (c.-`a-d. dV = 0), on peut ´ecrire, selon les expressions deδQ donn´ees dans l’´enonc´e :
CVdT =CpdT +hdp (43) soit :
Cp−CV =−hdp
dT (44)
Le taux d’accroissement dTdp ´evalu´e `a volume constant peut ˆetre identifi´e avec ∂T∂p
V. Alors :
Cp−CV=−h ∂p
∂T
V
(45) En rempla¸cant ensuitehpar son expression ´etablies ci-dessus, on obtient la relation de Mayer :
Cp−CV =T ∂V
∂T
p
∂p
∂T
V
(46) 6. En tenant compte de deux relations de Clapeyron et des d´efinitions des coefficients thermo´elastiques, on peut facilement remarquer que la relation de Mayer peut s’´ecrire :
Cp−CV=lαV et Cp−CV=−hβp (47) Sachant que βp = χα
T
, d’apr`es la fameuse relation liant les coefficients thermo´elastiques, il vient :
l = Cp−CV
αV et h=−(Cp−CV)χT
α (48)
7. Sachant que, d’apr`es les d´efinitions de coefficients thermo´elastiques, ∂V∂T
p = αV et ∂T∂p
V =βp. Alors, la relation de Mayer peut s’´ecrire :
Cp−CV =T αV βp (49)
Or βp= χα
T
, alors :
Cp−CV= T V α2
χT (50)
8. Le fait que
∂V
∂p
T
est n´egatif pour tous les corps qu’on connaˆıt implique que χT est toujours positif. De mˆeme pour la quantit´e Cp−CV puisque T V α2 >0.
9. Sachant queCp =γCV, alors l’expression deCp−CV´etablie ci-dessus peut s’´ecrire : (γ−1)CV= T V α2
χT (51)
soit :
CV = T V α2
(γ−1)χT (52)
et par suite :
Cp= γT V α2
(γ−1)χT (53)
10. En se pla¸cant dans le cas de temp´erature constante (c.-`a-d. dT = 0), on peut ´ecrire, d’apr`es les expressions de δQ donn´ees dans l’´enonc´e :
ldV =hdp (54)
soit :
dV dp =
∂V
∂p
T
= h
l (55)
En se pla¸cant dans le cas d’entropie constante (c.-`a-d. dS = 0), on peut ´ecrire, d’apr`es les expressions de δQ donn´ees dans l’´enonc´e :
CVdT +ldV = 0 et CpdT +hdp= 0 (56) ou encore :
dT =− l
CV dV =− h
Cp dp (57)
soit :
dV dp =
∂V
∂p
S
= h
γl (58)
D’apr`es les ´equations (55) et (58), on peut ´ecrire :
γ = ∂V
∂p
T
∂V
∂p
S
(59)
dont on d´eduit la formule de Reech :
γ = χT
χS (60)
o`uγ est l’indice adiabatique, χT =−V1
∂V
∂p
T est le coefficient de compressibilit´e isotherme et χS =−V1
∂V
∂p
S
est le coefficient de compressibilit´e isentrope.
11. D’apr`es ce qui se pr´ec`ede, l’indice adiabatique est donn´e par : γ = χT
χS (61)
Les capacit´es calorifiques sont donn´ees par :
CV = T V α2
(γ−1)χT et Cp = γT V α2
(γ−1)χT (62)
Les chaleurs latentes sont donn´ees par : l = Cp−CV
αV et h=−(Cp−CV)χT
α (63)
A.N. : CV = 208,6 J K−1, Cp = 238,4 J K−1, l = 1,49×109J m−3 et h = 5,96×10−6J Pa−1.
Exercice 3
1. Les lois de Joule ´enoncent que l’´energie interneU et l’enthalpieH d’un gaz parfait ne d´ependent que de sa temp´erature T. Alors, le syst`eme thermodynamique en question n’est pas un gaz parfait car son ´energie interne U d´epend ´egalement du volumeV.
2. La capacit´e calorifique `a volume constant CV s’´ecrit : CV=
∂U
∂T
V
=aVb (64)
3. La forme diff´erentielle dU s’´ecrit : dU =
∂U
∂T
V
dT + ∂U
∂V
T
dV (65)
soit :
dU =aVbdT +abVb−1T dV (66)
Exercice 4
La transformation est isobare (p=Cte), alors :
δQ= dU+pdV = dU + d(pV) = dH (67)
d’o`u :
δQ= dH =CpdT (68)
soit :
δQ= (αT +β) dT (69)
Cependant, la variation d’entropie que subit le gaz s’´ecrit : dS= δQ
T =αdT +βdT
T (70)
Alors, pour une transformation finie entre les ´etats (1) et (2) :
∆S12= Z T2
T1
αdT + Z T2
T1
βdT
T (71)
soit :
∆S12=α(T2−T1) +βlnT2 T1
(72)
