Foreword

HAL Id: hal-02332718

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02332718

Submitted on 6 Nov 2019

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Foreword

Cédric Bernardin, Patrick Flandrin

To cite this version:

Cédric Bernardin, Patrick Flandrin.

Foreword.

Comptes Rendus Physique, Centre Mersenne,

2019, Fourier and the science of today / Fourier et la science d’aujourd’hui, 20 (5), pp.387-391.

�10.1016/j.crhy.2019.09.002�. �hal-02332718�

Contents lists available atScienceDirect

Comptes

Rendus

Physique

www.sciencedirect.com

Fourier and the science of today / Fourier et la science d’aujourd’hui

Foreword

JosephFourierholdsaspecialpositioninthehistoryofsciencesandonecannotdobetterthanreferringtoJean Dhom-bres and Jean-Bernard Robert’s authoritative monograph[2] for appreciating his exceptional personality, with respect of coursetohisscientificcareer,butalsotohispoliticalactionsandhissocietalimpact.

Rightlyconsideredasoneofthefathers ofmathematicalphysics,Fourierbuilthismagnusopus—theAnalyticalTheoryof Heat [3]—onavisionofsciencethatisastonishinglymodern,beyondconventionalbarriersbetweendisciplines.Answering a question of fundamental physics raised by the French Academy of Sciences, itis in 1811that he not only established the equation of evolution ofheat in a conductingmaterial, butalso that hecreated forunveiling its solution what will eventually become harmonic analysis. Those breakthroughs, that History will retain under the names of “Fourier law,” “Fourierseries,”and“Fouriertransform,”havesincethenbeenconstantlyandthoroughlystudied,extendedandgeneralized. Thisopenedperspectiveswhosetimelinessisstillpregnantinthescienceoftoday,let itbeinfundamental physicsorin applied mathematics. One can add the attachedcomputational aspects that were atthe heart ofFourier’s visiontoo: in Fourier’sownwords, “theproposedmethodendsupwithnothingvagueandundeterminedinitssolutions;itdrivesthemtotheir ultimatenumericalapplications,aconditionwhichisnecessaryforanyresearch,andwithoutwhichwewouldonlyobtainuseless transformations.”Wouldhavehehadathandourcomputational facilities that,assuggestedby oneofthe articlesinthis volume,Fourierwouldhavecertainlybeenadatascientist inthemostmodernsense.

Fourierhashoweverbeenlong ignored,whereas hehasbeenmorethaninstrumental inthe numericalrevolutionwe experience since the 1950sand that isnow an integral part ofour everyday life:without Fourier,no JPEG, no MP3,no algorithms for medical or astronomical imaging! If he is still today little known from the public at large, Fourier has nevertheless become for scientists—researchersand engineersaltogether—a “common name”,familiar andinescapable in almostallfieldsofscienceandtechnology.Thankstotheadventofcomputersandthediscoveryoffastalgorithmsallowing for powerfulimplementations, Fourier“is back”—quoting Jean-PierreKahane [4] who contributedin a major wayto the rediscovery of thisexceptional figure. The purpose of this dossier entitled “Fourierand the science of today” is to add one morebuildingblock to thisconstruction, asafollow-up ofthe“Fourier year”that hascelebratedin2018the 250th anniversaryofFourier’sbirth.

Physics,mathematics,algorithms,weunderlinedhowmuchthepioneeringworksofFourierpavedthewayforavenues that neverceased tobe explored. Mostrecentdevelopments testify tothe fruitfulnessofhis approach andhisvision, as exemplified here by contributions whose spectrum spans large and complementary aspects of physics and information sciences.

Physics

Asforphysics,Fourier’smajorcontributionhasbeenthestudyofthephenomenologicallawnamedafterhim,andwhich claimstheproportionalitybetweentheheatfluxandthegradientofthetemperature,fromwhichcanbederived theheat equation.Fourierdidnottrytoexplainthenatureofheatnortoprovethislaw.Inhistreatise[3],hewritesthat“Theobject of [his] workistosetforththemathematicallawswhichthiselementobeys.”Afterabriefdiscussionofrationalmechanics,he continueswith: “Butwhatevermaybetherangeofmechanicaltheories,theydonotapplytotheeffectsofheat.Thesemakeupa specialorderofphenomena,whichcannotbeexplainedbytheprinciplesofmotionandequilibria.”Withthemonumentalworkof Boltzmannandtheinventionofstatisticalmechanics,itisclearthatFourierwaswrongandanimportantbranchofphysics hasbeendevelopedinthedirectionopposite toFourier’sview,trying toderiveFourier’slawandheatequation fromfirst principles. As Peierls once put it: “Itseemsthereisnoprobleminmodernphysicsforwhichthereareonrecordasmanyfalse starts,andasmanytheorieswhichoverlooksomeessentialfeature,asintheproblemofthethermalconductivityof [electrically] non-conductingcrystals.”Morerecentresearch focuson low-dimensionalsystemsthat aremainlysuperdiffusive andforwhich Fourier’slawisnolongervalid. Whilethisisa hottopicinmodernphysics, severalexcellent reviews[1,5,6] existonthe subjectandwillthereforenotbeconsideredinthisvolume.RelatedtoFourier’slaw,fivecontributionsareproposedinhere. https://doi.org/10.1016/j.crhy.2019.09.002

1631-0705/©2019Académiedessciences.PublishedbyElsevierMassonSAS.ThisisanopenaccessarticleundertheCCBY-NC-NDlicense (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).

388 Fourier and the science of today / Fourier et la science d’aujourd’hui

Thefirstcontributioncanserveasanintroductiontothesubject.WhileFourier’slawisempiricallyconfirmedformany physical substances,its completemathematical derivationfroma classicalmicroscopic modelforsolidsorgasismissing, and one hasto turnto molecular dynamics simulations totest its validity. In the articleentitled Fourier’slawbasedon microscopicdynamics,AbhishekDharandHerbertSpohnputinamodernperspectivethenumericalexperimentsperformed duringmorethan50yearsandthatblewupduringthetwolastdecadesthankstotheincreasingcomputationalpower.

WhereasFourierdidnotthinkthatthe“mechanicaltheories”couldapplytothetheoryofheattransport,after Boltzman-n’sopus,ahugeamountofworkhasbeendedicatedpreciselytothistask.ThefirstmathematicaljustificationofBoltzmann’s equation goesback toLanfordduring the1970s,buttheresultsheobtainedarequite disappointingsincethey holdonly fora veryshorttime,in theorderofthemeanfreepath.Moreover, asecond scalinglimit, startingnow fromBoltzmann equation, is necessary to recoverFourier’s law. In their article AmicroscopicviewontheFourierlaw, Thierry Bodineau, IsabelleGallagher,andLaureSaint-Raymondreviewrecentimportantresultsonthedirectderivationofthe(Stokes)–Fourier equationforamodelofhardspheresinaregimewheretheKnudsennumberismuchlargerthantheparticlediameter.

RatherthanstudyingdirectlyFourier’slaw,itisstandardtolookatthethermalconductivityexpressedbyGreen–Kubo formula.Inaclassicalsystemofcoupledoscillators,theconductivityvanishesifthecouplingbetweenoscillatorsdisappears. It isrestoredeven forvery smallcoupling(atomic limit)but,asobserved by Wojciechde Roeck andFrançoisHuveneers in Glassydynamicsinstronglyanharmonicchainsofoscillators, “anharmonicitypreventsefficienttransportofenergydueto frequencymismatch,exceptinrareplacescalledresonanceswherethereisaccidentallynomismatch.Theseresonancesplayacrucial roleinenergytransfer,sincetheymayhostchaoticspotsthatwilleventuallybreakthequasi-periodicbehaviorandensurethevalidity ofFourier’slaw [...]inthelongrun.”Inparticular,throughthestudyofseveralexamples,theauthorssupporttheclaimthat conductivityisanon-analyticfunctionofthecouplingintheatomiclimit.

Strictosensu,Fourier’slawreferstoasingleconservationlawbut,inrealsystems,onehasusuallytoconsiderextra con-served quantitieswhichmayhavean importanteffectontheheattransport.Inhiscontributionentitled Roleofconserved quantitiesinFourier’slawfordiffusivemechanicalsystems,StefanoOllainvestigatestheinfluenceofconservedquantities, apart fromenergy, onheattransport propertiesfordiffusive systems,focusinginparticularonthe rotorchain.Surprising temperatureprofilesinthenon-equilibriumstatesarerevealedbynumericalsimulationsandtheoreticalapproacheswhen the system iscoupled withheat baths andmechanical forces.From a mathematical point of view,a rigorous derivation of suchresults requirestoadd a conservativestochastic noise.The noise doesnot breakthe mainfeatures observed,but providesmoreergodicitypropertiestothesystem.

Seventy years separate Fourier’s death from Planck’s quantum hypothesis, but the problem of heat conduction for quantum systemsis nowadaysan importantresearchtopicin physics.In Fourier’slawandmany-bodyquantumsystems,

ChristianB. Mendlinvestigatesnumericallythermalconductioninthelinearresponsetheory frameworkforthequantum Bose–Hubbard modelin theinfinite-temperature regime.Due tothehigh-dimensionality ofthesystem, sophisticated nu-mericalmethodsbasedontensornetworksareusedtoreducethedimensionandgetanaccurateapproximation.Christian B.Mendlobservesthatthetime-spacecorrelationfunctionofthedensitycoincideswiththekerneloftheheatequation.

Informationsciences

As forinformationsciences, Fourieranalysisis thecentraltool of“classical” signal andimage processing.The rangeof actionofthisdisciplineistodaylargerthan ever,pressingto go“beyondFourier”inmultipledirections.(Oneofthemost successful “post-Fourier” achievementsis nodoubt the wavelettransformation, whoserationale isto provide atemporal localization to the monochromatic wavesthat Fourierconsidered aseverlasting inhis decompositions.) Four themesare tackledhereinthisrespect,sharingallthecommonideaofbeinginspiredbyFourierandbringinghisheritagetofruition. Becauseitisbasedonwavesthatarebothmonochromaticandeverlasting,onewell-knownlimitationofFourieranalysis isitsinabilitytosimplyaccountforspectralcharacteristicsthatbecomeevolutive(localization,modulations)inthecaseof nonstationarysignals,endingupwiththedevelopmentof“time-frequency”methodsaimedatajointdescriptionmimicking amusicalscore.Intheirarticle Synchrosqueezingtransforms:Fromlowtohigh-frequencymodulationsandperspectives, Syl-vainMeignen,ThomasOberlin,andDuong-HungPhamgiveanoverviewofonesuchrecentmethod:the“synchrosqueezing transform.”Using reassignment techniques,therationale isto improvethelocalizationofshort-time Fourier(or wavelet) transforms whileguaranteeinginvertibilityso asto permitreconstruction oftheconstitutivemodesofa signal.Emphasis is put on recentimprovements in termsof adaptivity to strong modulations.Benefits of the approach are illustrated on examplesofgravitationalwavesandmodeswithoscillatingphase.

Whereastheoriginal memoirofFourierwasconcerned withheattheory,Fourieranalysisquicklyprovedinstrumental inacousticsandaudio,foreitherspeechormusic.The articlebyVincent Lostanlen,JoakimAndén,andMathieuLagrange, entitled Fourierattheheartofcomputermusic:Fromharmonicsoundstotexture,proposestorevisitthelegacyofFourier through thelensofcomputermusicresearch.Itfirstdiscusses howtheFourierseriesmarkedaparadigm shiftinthe un-derstandingofacoustics,supplantingthethenprevailingtheoryofconsonanceofharmonicsinthePythagoreanmonochord. Then, it highlightsthe utility ofFourier’sparadigm via three practicalproblems inanalysis–synthesis: imitationof musi-cal instruments,frequencytransposition,andgenerationofaudiotextures.Interestingly,eachoftheseproblemsinvolvesa differentperspectiveontime–frequencyduality,andstimulatesamultidisciplinaryinterplaybetweenresearchandcreation thatisstillongoing.

Initially conceived for one-dimensional time series or signals, Fourier analysis was later generalized to images and multi-dimensional signals. Withtheexplosion ofdigitaldata,both inquantity anddiversity,newgeneralizationsbecome

mandatory.Thisisespeciallythe caseinnetwork science,wherenewproblemsemergeforefficientlyextracting informa-tionfromdatathatarestructuredover potentiallyarbitrarygraphs.Thisquestion isaddressedbyBenjamin Ricaud,Pierre Borgnat,NicolasTremblay,PauloGonc˛alves,andPierreVandergheynstintheirarticle Fouriercouldbeadatascientist:From graphFouriertransformtosignalprocessingongraphs. Theypresentastate oftheartoftheboomingdomainof“graph signalprocessing”,answeringquestionssuchas:howtodefineaFouriertransformoveragraph?Howtointerpretit?How touseit?Discussingpossibleapplications,thisreview revealshowFourier’sworkremainsmodernanduniversal,andhow itsconcepts,comingfromphysicsandblendedwithmathematics,computerscience,andsignalprocessing, playakeyrole inmeetingthecurrentchallengesofdatascience.

WhiletheFouriertransformhasbecomeauniversaltool forthespectrumanalysisofdataendowedwithcharacteristic scales (in time orspace), the wavelettransformoffers a variantbetter matched toclasses ofsignals orfunctionswhose dynamics is scale-invariant. In their article Multivariatescale-freetemporaldynamics:Fromspectral (Fourier)tofractal

(wavelet)analysis, PatriceAbry, Herwig Wendt, Stéphane Jaffard,and Gustavo Didier first propose a state of the artof the formal relationslinking thesetwo analyses within the frameworkof multivariate stationaryrandomprocesses. Then, they evidence how wavelettransform permitsto extend the analysisof multivariate scale invariance(self-similarity and multifractality) beyondsecond-order statistics. The relevance of theseconcepts andtools is illustrated in the context of macroscopiccerebralactivityanalysis.

Whereaswecelebratedin2018the250th_{anniversaryofhisbirth,onecanrealizethroughthesetofcontributionstothis}

volume howstrongFourier’scurrentnessremains. Albeitthemajor advancesthat hisworksprovided orthefundamental questionstheystillraise,Fourierismorethaneverattheheartofthescienceoftoday.

Avant-propos

JosephFourieroccupeuneplaceàpartdansl’histoiredessciences,etonnepeutquerenvoyeràl’ouvragederéférence deJeanDhombresetJean-BernardRobert[2] pourappréhenderlecaractèrehorsnormedupersonnage,danssadimension scientifiquebiensûr,maisaussidanscelledesesactionspolitiquesetdesonimpactsociétal.

Considéréàjustetitrecommeun despèresde laphysique mathématique,Fouriera construitson œuvremajeure –la

Théorieanalytiquedelachaleur [3] –surunevisionétonnammentmodernedelascience,au-delàdescloisonnements disci-plinaires. Enréponseàunequestion dephysique fondamentaleposéepar l’Académiedessciences,c’est en1811que non seulementilétablitl’équationd’évolutiondelatempératuredansuncorpsconducteur,maisaussiqu’ilinvente,pourla ré-solutiondecelle-ci,legermedecequideviendral’analyseharmonique.Cesapportsrévolutionnaires,quel’histoireretiendra souslenomde« loideFourier »,« sériesdeFourier » et« transformationdeFourier »,n’ontdepuiseudecessed’êtreétudiés, développés etgénéralisés.Ceci aouvert desperspectivesdontl’actualiténesedément pasdanslascience d’aujourd’hui, quecesoitenphysiquefondamentaleouenmathématiquesappliquées.Onpeutyajouterlesaspectscalculatoiresassociés qui étaienteux aussiau cœurde lavisiondeFourier,lui qui écritdelaméthodequ’ila développéequ’elle « [

. . .

Fourieracependantétélongtempsignoré,alorsmêmequ’ilestceluiparquilarévolutionnumériquequenous connais-sonsdepuislesannées1950estdevenuepossibleets’estinvitéeaucœurdenotre viequotidienne :sansFourier,pasde JPEG, pasde MP3,pasd’algorithmespourl’imageriemédicaleouastronomique !S’ilestaujourd’huiencorepeuconnudu grandpublic,Fourierestnéanmoinsdevenupourleschercheurscommepourlesingénieursun« nomcommun »,familieret incontournabledanslaquasi-totalitédeschampsscientifiquesettechnologiques.Grâceàl’avènementdesordinateursetla découverted’algorithmesrapidespermettantde mettreenœuvrelapuissancedesesméthodes,Fourierestainsi–depuis quelquesannéesdéjà–« deretour »,pourreprendrel’expressiondeJean-PierreKahane[4],quiacontribuédefaçonmajeure àlaredécouverted’unscientifiqued’exception.L’ambitiondecedossierintitulé« Fourieretlascienced’aujourd’hui » estde rajouterunepierreàcetédifice,dansleprolongementdel’« annéeFourier »,quiamarquéen2018le250eanniversairede lanaissancedecesavant.

Physique, mathématiques, algorithmes, on a souligné combien les travaux pionniers de Fourier ont ouvert des voies qui n’ont cessé depuis d’être explorées. Lesdéveloppements les plus actuels témoignent encore de la fécondité de son approche etdesavision,comme entémoignenticiun ensemblede contributions dontlespectreexplore delargespans complémentairesdelaphysiqueetdessciencesdel’information.

Physique

Ducôtéde laphysique,lacontributionmajeuredeFourierasansnuldouteétél’étudedelaloiphénoménologiquequi porteson nom etqui stipule laproportionnalité entrele fluxde chaleur etle gradientde température, de laquelle peut êtredérivéel’équationdelachaleur.Fouriern’avaitpaspourobjectifd’expliquerlanaturedelachaleurnideprouvercette loi.Dans son traité [3], ilécrit que « lebutde [son] ouvrageestd’exposerlesloismathématiquesquesuitcetélément ». Après unebrèvediscussiondelamécaniquerationnelle,ilcontinue :« Maisquellequesoitl’étenduedesthéoriesmécaniques,ellesne s’appliquentpointauxeffetsdelachaleur.Ilscomposentunordrespécialdephénomènesquinepeuvents’expliquerparlesprincipesdu mouvementetdel’équilibre. » ÀlasuitedutravailmonumentaldeBoltzmannetdel’inventiondelamécaniquestatistique,il apparaîtclairementqueFourieravaittort,puisqu’unebrancheimportantedelaphysiques’estdéveloppéedansladirection opposée au point de vuede Fourier, enessayant de dériver despremiers principesla loi de Fourier et l’équationde la

390 Fourier and the science of today / Fourier et la science d’aujourd’hui

chaleur. Comme l’aénoncéPeierls : « Ilsemblequ’iln’yaitpasdeproblèmeenphysiquemodernepourlequelontétéenregistrés tantdefauxdéparts,ettantdethéoriesquiontnégligédesaspectsessentiels,queleproblèmedelaconductivitéthermiquedescristaux

[électriquement]nonconducteurs. » Lesrecherches lesplusrécentesseconcentrentsurlessystèmesdebassedimensionqui sontprincipalementsuperdiffusifsetpourlesquelslaloideFouriern’estpasvalide.Bienquecesoitunsujetbrûlantdela physiqueactuelle,plusieursexcellentsouvrages[1,5,6] surlesujetexistent,etilneseradoncpasconsidérédanscevolume. EnlienaveclaloideFourier,cinqcontributionssontproposéesici.

La premièrecontribution peutservird’introductionau sujet.Bienque laloide Fouriersoitexpérimentalement confir-méepourdenombreusessubstancesphysiques,sadérivationmathématiquecomplèteà partird’unmodèlemicroscopique classiquede solideoudegazestinexistante,etl’on doitalorssecontenter desimulations moléculairesdynamiquespour tester savalidité. Dans Fourier’slawbasedonmicroscopicdynamics, AbhishekDhar et HerbertSpohn placentdans une perspectiveactuellelesexpériencesnumériquesquiontétéeffectuéesdepuisplusde50ansetontexplosédurantlesdeux dernièresdécennies,enraisondel’accroissementdelapuissancedesoutilsinformatiques.

QuandbienmêmeFouriern’envisageaitpasquedes« théoriesmécanistes » puissents’appliquerpourlathéoriedu trans-port thermique,forceestde constater,aprèsl’œuvrede Boltzmann,qu’un énormetravaila étéeffectuéprécisément dans cetteoptique.Lapremièrejustificationmathématiquedel’équationdeBoltzmannestdueàLanforddanslesannées1970, maislesrésultatsqu’ilaobtenussontassezdécevants,puisqu’ilsnes’appliquentquepourunepériodedetempstrèscourte, del’ordredutempsdelibreparcoursmoyen.Deplus,unesecondelimited’échelle,partantcettefoisdel’équationde Boltz-mann,estnécessairepourretrouverlaloideFourier.Dans AmicroscopicviewontheFourierlaw,ThierryBodineau,Isabelle GallagheretLaureSaint-Raymondpassentenrevuedesrésultatsrécentsimportantssurladérivationdirectedel’équation de(Stokes)–FourierpourunmodèledesphèresduresdansunrégimeoùlenombredeKnudsenestbienplusgrandquele diamètredesparticules.

Plutôtqued’étudierdirectementlaloideFourier,ilestusueld’examinerlaconductivitéthermiquedéfinieparlaformule de Green–Kubo. Dansdessystèmes classiques d’oscillateurscouplés,laconductivité devientnulle silecouplage entreles oscillateursdisparaît.Elleestrestauréemêmepouruntrèspetitcouplage(limiteatomique)mais,commeilestobservépar WojciechDeRoeck etFrançoisHuveneersdans Glassydynamicsinstronglyanharmonicchainsoscillators,« l’anharmonicité

empêcheuntransportefficacedel’énergieenraisondel’écartdesfréquences,saufenderaresoccasionsappeléesrésonancesoùiln’ya accidentellementpasd’écart.Cesrésonancesjouentunrôlecrucialdansletransfertd’énergie,puisqu’ellespeuventpermettrel’existence derégionschaotiquesquibriserontéventuellementlecomportementquasipériodiqueetassurerontlavaliditédelaloideFourierà longterme ». Enparticulier, àtravers l’étudede plusieursexemples,les auteurs soutiennentlefait que laconductivité est unefonctionnonanalytiqueducouplagedanslalimiteatomique.

Strictosensu, laloi de Fourierfait référenceà uneseule loide conservation mais,dans lessystèmes réels, on doiten principeconsidérerd’autresquantitésconservéesqui peuventavoiruneffetimportantsurletransportdelachaleur.Dans

RoleofconservedquantitiesinFourier’slawfordiffusivemechanicalsystems,StefanoOllaétudie l’influencedesquantités conservées,endehorsdel’énergie,surletransportdelachaleurpourdessystèmesdiffusifs,ensefocalisantprincipalement sur la chaîne des rotateurs.Dans les étatsstationnaires hors équilibre, lorsquele système est couplé avec des bains de chaleur etdesforcesmécaniques, desprofils de températuresurprenantssontmis enévidenceà traversdessimulations numériquesoupardesétudesthéoriques.Dupointdevuemathématique,ladérivationdetelsrésultatsnécessited’ajouter unbruitstochastiqueconservatif.Lebruitnebrisepaslescaractéristiquesprincipalesobservées,maisfournitdespropriétés ergodiquesausystème.

Soixante-dix ansséparent lamort de Fourierde l’hypothèsequantique de Planck,mais le problèmede la conduction de lachaleurpourles systèmesquantiquesestde nos joursunsujetde rechercheimportantenphysique.Dans Fourier’s

lawandmany-bodyquantumsystems, ChristianB. Mendl étudie numériquementlaconduction thermiquedans le cadre de la théorie de la réponse linéaire pour le modèle quantiquede Bose–Hubbard à température infinie. En raison de la grande dimension dusystème, desméthodesnumériquessophistiquées baséessur desréseaux detenseurs sontutilisées pour réduirela dimensionetobtenir uneapproximationfidèle.ChristianB. Mendl observequelafonction decorrélation spatio-temporelledeladensitécoïncideaveclenoyaudel’équationdelachaleur.

Sciencesdel’information

Du côté des sciences de l’information, l’analyse de Fourier est l’outil central du traitement du signal et des images « classique ». Le champd’action de cettediscipline étantaujourd’huiplus large que jamais,les appelsà aller« au-delàde Fourier » sefontpressants,etdansdemultiplesdirections.(Undessuccès« post-Fourier » lesplusconnusestsansdoutela transformationenondelettes,dontleprincipeestdefournirunelocalisationtemporelleauxondesmonochromatiques,que Fourierconsidéraitdanssesdécompositionscommeéternelles.)Quatre thèmessontabordés icisouscet angle,partageant l’idéecommunedes’inspirerdeFourieretd’enfairefructifierl’héritage.

Parce qu’elle est basée sur des ondes à la foismonochromatiques et éternelles, unedes limitations bien connuesde l’analyse de Fourier est de ne pas pouvoir prendre en compte de façon simple des caractéristiques spectrales évolu-tives (localisation, modulations) dans le cas de signaux non stationnaires, ce qui a conduit à développer des méthodes dites « temps-fréquence » traitant conjointement desdeux aspects, à la façond’une portée musicale.Dans l’article «

Syn-chrosqueezingtransforms:Fromlow- tohigh-frequencymodulationsandperspectives,SylvainMeignen,ThomasOberlinet Duong-Hung Pham présentent le principed’une desplus récentes parmi celles-ci : la« transformée synchrosqueezée ». Il s’agit,enutilisantdestechniquesde réallocation,d’accroîtrelalocalisationdestransforméesde Fourieràcourtterme(ou

en ondelettes), touten assurant à la transformation d’être inversible de façon à permettre la reconstruction des modes constitutifs d’un signal. L’articlemeten particulierl’accent sur desaméliorations récentes s’adaptantà des situations de fortes modulations. Lesavantages de l’approche sont illustrés sur des exemples d’ondesgravitationnelles et de modes à phaseoscillante.

AlorsquelemémoireorigineldeFourierconcernaitlathéoriedelachaleur,l’analysedeFouriers’estrapidementrévélée centrale enacoustique etenaudio,quece soitpour laparoleoupour lamusique. L’articledeVincent Lostanlen,Joakim AndénetMathieuLagrange,intitulé Fourierattheheartofcomputermusic:Fromharmonicsoundstotexture,propose de thématiserl’œuvredeFourieràlalumièrede sesimplications enrecherchemusicale.Ilretraced’abordlechangementde paradigme que les séries de Fourier ont opéré enacoustique, supplantant un mode de pensée qui était essentiellement fondésurlesconsonancesdumonocordepythagoricien.Ilsouligneensuitel’intérêtduparadigmedeFourieràtraverstrois problèmespratiquesenanalyse/synthèse :l’imitationd’instrumentsdemusique,latranspositionfréquentielleetla généra-tiondetexturessonores.Chacundesestroisproblèmesconvoqueuneperspectivedifférentesurladualitétemps-fréquence etsusciteundialoguemultidisciplinaireentrerechercheetcréationquiesttoujoursd’actualité.

Initialement conçue pour des séries temporelles ou des signaux unidimensionnels, l’analyse de Fouriera ensuite été généralisée aux images et aux signaux multidimensionnels. Avec l’explosion du nombre et de la diversité des données numériques,de nouvellesgénéralisations deviennent nécessaires. Il enest ainsien science desréseaux, oùde nouveaux problèmes se posent quant à l’extraction d’informationà partir de données structurées sur desgraphes potentiellement arbitraires.C’est cette question qu’abordent Benjamin Ricaud,Pierre Borgnat,Nicolas Tremblay,Paulo Gonc˛alveset Pierre Vandergheynst dans leur article Fouriercouldbeadatascientist:FromgraphFouriertransformtosignalprocessingon graphs. Ils présentent un état de l’art du domaine en plein développement que constitue le « traitement du signal sur graphes », enrépondant à des questionstelles que : commentdéfinir unetransformée de Fouriersur graphe ? comment l’interpréter ?commentl’utiliser ?Endiscutantde possiblesapplications,cetravailillustreenquoiladémarchede Fourier restemoderneet universelle,soulignant commentsesidées, essentiellement issuesde laphysique, puis enrichiespar les mathématiques,l’informatique et lathéoriedu signal, demeurentessentiellespourrépondre auxdéfis actuelsenscience desdonnées.

Silatransformée de Fourierestaujourd’huidevenueun outiluniversel pourl’analyse spectralede données possédant deséchelles(detempsoud’espace) caractéristiques,latransforméeenondelettesoffreunevarianteadaptéeà desclasses designauxoufonctionsdontladynamiqueestinvarianted’échelle.Dansl’article Multivariatescale-freetemporaldynamics: Fromspectral (Fourier)tofractal (wavelet)analysis, PatriceAbry,HerwigWendt,StéphaneJaffard etGustavoDidier pro-posentdansunpremiertempsunétatdel’artdesrelationsformellesentreces deuxanalysesdanslecadredesprocessus aléatoiresstationnairesmultivariés.Ilsmontrentensuitelacapacitéqu’alatransforméeenondelettesàétendrel’analysede l’invarianced’échellemultivariée(auto-similarité etmultifractalité) au-delàdesstatistiquesde secondordre.Lapertinence decesconceptsetoutilsestillustréeetdiscutéedansdescontextesd’analysedel’activitécérébralemacroscopique.

Alorsquel’onvientdefêterle250e _{anniversairedesanaissance,onréaliseàtraversl’ensembledescontributionsàce}

volumeà quelpoint Fourierportelamarqued’uneactualitéqui nesedément pas.Quecesoitpar lesavancéesmajeures quesestravauxontpermisd’obtenirouparlesquestionsfondamentalesqu’ilscontinuentdesusciter,Fourierestplusque jamaisaucœurdelascienced’aujourd’hui.

References

[1]A.Dha,Heattransportinlow-dimensionalsystems,Adv.Phys.57(2008)457.

[2]J.Dhombres,J.-B.RobertJoseph,Fourier,créateurdelaphysiquemathématique,Collection« Unsavant,uneépoque »,Belin,Paris,1998,767p.

[3] J.-B.Fourier,ThéorieAnalytiquedelaChaleur,ChezFirminDidot,Paris,1822,639 p.,pdfavailablehere:https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k1045508v. texteImage.

[4] J.-P.Kahane,LeretourdeFourier,Académiedessciences,Paris, 2005,pdfavailablehere:https://lewebpedagogique.com/josephfourier/files/2012/04/ Fourier_Kahane.pdf.

[5]S.Lepri(Ed.),ThermalTransportinLowDimensions:FromStatisticalPhysicstoNanoscaleHeatTransfer,LectureNotesinPhysics,vol. 921,Springer InternationalPublishing,Switzerland,2016.

[6]S.Lepri,R.Livi,A.Politi,Thermalconductioninclassicallow-dimensionallattices,Phys.Rep.377(2003)1.

Cédric Bernardin

UniversitédeNiceSophia-Antipolis,France E-mailaddress:Cedric.Bernardin@unice.fr Patrick Flandrin

CNRS,ÉcolenormalesupérieuredeLyon&Académiedessciences,France E-mailaddress:patrick.flandrin@ens-lyon.fr