Comportement de structures en portiques après la rupture d'un poteau de base.

(1)

Président : Rapporteur : Examinateur : Examinateur : H. CHABIL M L. SAMAI A. TEKKOUK K. DEMAGH Professeur Professeur M.C M.C

Université Mentouri, Constantine Université Mentouri, Constantine Université Mentouri, Constantine Université Hadj Lakhder, Batna

Mai 2009

Ministère de L'Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Université Mentouri, Constantine

Faculté des Sciences de L'Ingénieur Département de Génie Civil

№ d’ordre : …….. № de série : …….

Thèse

Présentée pour l’Obtention du Diplôme de Magister en Génie Civil

Option : "Le Béton Structurel Armé et Précontraint" Par

Bader RACHED

Thème

COMPORTEMENT DE STRUCTURES EN PORTIQUES

APRÈS LA RUPTURE D’UN POTEAU DE BASE

(2)

i

REMERCIEMENTS

Je remercie ALLAH le tout puissant qui m’a guidé et qui m’a donné la force et la volonté de réaliser ce travail.

Je remercie tout d’abord le Professeur SAMAI M.L de m’avoir proposé ce sujet de thèse, de l’attention qu’il a portée à mon travail et des moments précieux de discussion qu’il m’a réservés. Je le remercie infiniment pour sa confiance, ses précieux conseils, sa disponibilité et sa courtoisie.

Je voudrais exprimer toute ma reconnaissance à Monsieur CHABIL.H, Professeur au Département de Génie Civil à l’université Mentouri de Constantine, pour l’honneur qu’il me fait en acceptant de présider le jury de cette thèse.

Je tiens également à remercier les membres de jury de soutenance, docteur TEKKOUK.A, Maître de Conférences au Département de Génie Civil à l’université Mentouri de Constantine, et docteur DEMAGH.K, Maître de Conférences au Département de Génie Civil à l’université de Batna, d’avoir accepté d’examiner la présente thèse.

Mes remerciements et ma reconnaissance sont adressés envers mes collègues pour un temps précieux passé ensemble. Mes plus vifs remerciements vont également à tous mes amis avec qui j’ai partagé des moments inoubliables pendant mes études.

Enfin, toute ma gratitude, ma reconnaissance et mes très vifs remerciements à tous ceux qui ont contribué de prés ou de loin et en particulier l'ensemble des enseignants du département de génie civil de Constantine, à ma formation d'études de la graduation et de la post graduation.

(3)

ii

DÉDICACE

Je dédie le présent travail

A mes très chers parents

A la mémoire de ma sœur Soumia

A mes sœurs et frères

A l’ensemble de ma famille

(4)

iii

RÉSUMÉ

Le thème de recherche a trait à l’obtention de l’image instantanée d’une structure multi-étagée multi-travée après la rupture accidentelle d’un poteau de base. Cette image instantanée est, en fait, représentée par le diagramme des moments fléchissants juste après la rupture accidentelle. L’obtention de ce diagramme des moments fléchissants n’est pas une chose aisée, elle nécessite l’utilisation incontournable des concepts de l’analyse plastique des structures et une série de rétro-analyses. En effet le diagramme des moments fléchissants de n’importe quelle structure dépend de la nature du chargement et des conditions d’appuis avec la supposition que la réponse est élastique partout à travers la structure. En réalité, après l’endommagement d’un poteau, ce diagramme des moments fléchissants va faire ressortir inéluctablement des sections ou zones entières où les moments sont supérieurs aux moments plastiques respectifs. Ceci étant juste d’un point de vue mathématique mais impossible d’un point de vue physique.

Un portique de base à trois niveaux et trois travées a été retenu afin d’étudier le cas de la rupture d’un poteau central et d’un poteau de rive. Les résultats obtenus après la série de rétro-analyses ont été encourageants. Par ailleurs, deux autres portiques l’un avec un niveau en plus et l’autre avec une travée supplémentaire ont été analysés. L’étude dans un premier lieu a concerné la détermination des vrais mécanismes de ruine pour les trois portiques retenus en utilisant la méthode « pushover ». Ces mêmes portiques ont été réanalysés après la rupture d’un poteau central et un poteau de rive en utilisant la même méthode et avec une série de rétro-analyses jusqu'à l’obtention de l’image instantanée après la rupture. L’étude a été aussi concerne l’étude des effets de quelques paramètres influents tels que la variation du rapport α = V/H, la variation du rapport géométrico-mécanique l/Mpb, la forme en élévation du portique, la position du poteau endommagé.

Les résultats obtenus ont été présentés sous forme graphique par la construction de diagrammes d’interaction alors que ces derniers ne sont préconisés dans la littérature que pour des portiques simples « single bay – single storey ».

Les images instantanées des portiques endommagés ont révélé que, en aucun cas, il pouvait y avoir une rupture totale, cependant des ruptures partielles (mécanismes élémentaires) ont été observées avec quelques désordres localisés.

Mots clés : comportement, structure, image instantanée, poteau de base, rétro-analyse, moment

(5)

iv

ABSTRACT

The research theme has reference to obtaining of the instantaneous image of a multi-bays multi-storeys structure after the accidental damage of a lower column. This instantaneous image, in fact, is represented by the bending moments diagram just after the accidental collapse. Obtaining of this bending moments diagram is not an easy matter to achieve; it requires the use of the concepts of the plastic analysis of the structures that cannot be ignored and a series of retro-analyses. Indeed the bending moment diagram of any structure depends to the nature of the loading and the conditions of supports with the assumption that the behaviour is elastic everywhere through the structure. Actually, after the damage of a column, this diagram of the bending moments will emphasize ineluctably sections or whole zones where the moments are higher than the respective plastic moments. This is being right for a mathematical point of view but impossible for a physical point of view.

Three storeys-three bays basic frame was selected in order to study the case of the damage of a central column and an edge column. The results obtained after the series of retro-analyses were encouraging. In addition, two other frames one with a storey in more and the other with an additional bay were analyzed. The study in a first time related to the determination of truths collapse mechanisms for the three frames retained by using the method “pushover”. These same frames were reanalyzes after the damage of a central column and an edge column by using the same method and with a series of retro-analyses until obtaining the instantaneous image after the damage. The study was also relates to the study of the effects of some influential parameters such as the variation of the ratio α = V/H, the variation of the ratio Geometrical-mechanic l/Mpb, the form of rise in the frame, the position of the damaged column.

The results obtained were presented in graphic form by the construction of interaction diagrams, whereas these diagrams are recommended in the literature only for simple frames "single bay – single storey".

The instantaneous images of the damaged frames revealed that, to in no case, it could be have a total collapse, however partial collapses (elementary mechanisms) were observed with some localised disorders.

Key words: structure, instantaneous image, lower column, retro-analysis, bending moment,

(6)

v

ﺺــﺨـﻠـﻣ

ﺓﺩﺪﻌﺘﻣ ﻭ ﺕﺎﻳﻮﺘﺴﳌﺍ ﺓﺩﺪﻌﺘﻣ ﺓﺄﺸﻨﳌ ﺔﻴﻧﻵﺍ ﺓﺭﻮﺼﻟ ﺍ ﻰﻠﻋ ﻝﻮ

ﺪﻌﺑ ﻚﻟﺫ ﻭ ،ﺮﻃﺎﻨﻘﻟﺍ

ﺼﳊﺎﺑ ﻖﻠﻌﺘﻳ ﺚﺤﺒﻟﺍ ﻉﻮﺿﻮﻣ

.ﻲﺋﺎﺠﻔﻟﺍ ﺭﺮﻀﻟﺍ ﺪﻌﺑ ﺀﺎﻨﳓﻻﺍ ﻡﻭﺰﻋ ﻥﺎﻴﺑ ﺔﻄﺳﺍﻮﺑ ﻞﺜﲤ ﺔﻴﻧﻵﺍ ﺓﺭﻮﺼﻟ ﺍ ﻩﺬﻫ ﺔﻘﻴﻘﳊﺍ ﰲ .ﻲﻠﻔﺳ ﺩﻮﻤﻌﻟ ﻲﺋﺎﺠﻓ ﺭﺮﺿ

ﺔﻴﻜﺘﺳﻼﺒﻟﺍ ﺕﻼﻴﻠﺤﺘﻟﺍ ﺉﺩﺎﺒﳌ ﻱﺮﺼﳊﺍ ﻝﺎﻤﻌﺘﺳﻻﺍ ﺐﻠﻄﺘﻳ ﺎﻣ ﺍﺬﻫ ﻭ ،ﲔﳍﺍ ﺮﻣﻷﺎﺑ ﺲﻴﻟ ﻥﺎﻴﺒﻟﺍ ﺍﺬﻫ ﻰﻠﻋ ﻝﻮﺼﳊﺍ

.ﺔﻴﻌﺟﺍﺮﺘﻟﺍ ﺕﻼﻴﻠﺤﺘﻟﺍ ﻦﻣ ﺔﻠﺴﻠﺳ ﺔﻄﺳﺍﻮﺑ ﺕﺂﺸﻨﻤﻠﻟ

ﺔﻴﺿﺮﻓ ﻊﻣ ، ﺩﺎﻨﺳﻹﺍ ﻁﻭﺮﺸﺑ ﻭ ﺕﻻﻮﻤﳊﺍ ﺔﻌﻴﺒﻄﺑ ﺎﺳﺎﺳﺃ ﻖﻠﻌﺘﻳ ﺓﺄﺸﻨﻣ ﻱﻷ ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ ﺀﺎﻨﳓﻻﺍ ﻡﻭﺰﻋ ﻥﺎﻴﺑ ﻊﻗﺍﻮﻟﺍ ﰲ

ﻞﺼﶈﺍ ﺀﺎﻨﳓﻻﺍ ﻡﻭﺰﻋ ﻥﺎﻴﺑ،ﺩﻮﻤﻌﻠﻟ ﻲﺋﺎﺠﻔﻟﺍ ﺭﺮﻀﻟﺍ ﺪﻌﺑ ،ﺔﻘﻴﻘﳊﺍ ﰲ . ﺓﺄﺸﻨﳌﺍ ﻊﻃﺎﻘﻣ ﻞﻛ ﰲ ﺎﻧﺮﻣ ﻰﻘﺒﻳ ﻙﻮﻠﺴﻟﺍ ﻥﺃ

ﻦﻣ ﺢﻴﺤﺻ ﺮﻣﻷﺍ ﺍﺬﻫ .ﺔﻘﻓﺮﳌﺍ ﺔﻴﻜﺘﺳﻼﺒﻟﺍ ﻡﻭﺰﻌﻟﺍ ﻦﻣ ﱪﻛﺃ ﻡﻭﺰﻋ ﺎﳍ ﺔﻠﻣﺎﻛ ﻖﻃﺎﻨﻣ ﻭﺃ ﻊﻃﺎﻘﻣ ﺎﻤﺘﺣ ﺮﻬﻈﻴﺳ ﻪﻴﻠﻋ

.ﺔﻴﺋﺎﻳﺰﻴﻔﻟﺍ ﺔﻴﺣﺎﻨﻟﺍ ﻦﻣ ﻞﻴﺤﺘﺴﻣ ﻪﻨﻜﻟ ﺔﻴﺿﺎﻳﺮﻟﺍ ﺔﻴﺣﺎﻨﻟﺍ

ﺩﻮﻤﻋ ﺭﺮﺿ ﺔﻟﺎﺣ ﰲ ﺓﺄﺸﻨﳌﺍ ﺔﺳﺍﺭﺩ ﻦﻣ ﻦﻜﻣ ﺮﻃﺎﻨﻗ ﺔﺛﻼﺛﻭ ﺕﺎﻳﻮﺘﺴﻣ ﺙﻼﺛ ﻦﻣ ﻥﻮﻜﺘﻳ ﻲﺳﺎﺳﺃ ﻞﻜﻴﻫ ﺭﺎﻴﺘﺧﺍ

ﺖﻧﺎﻛ ﺔﻴﻌﺟﺍﺮﺘﻟﺍ ﺕﻼﻴﻠﺤﺘﻟﺍ ﻦﻣ ﺔﻠﺴﻠﺳ ﺪﻌﺑ ﺎﻬﻴﻠﻋ ﻞﺼﶈﺍ ﺞﺋﺎﺘﻨﻟﺍ . ﱯﻧﺎﺟ ﻲﻠﻔﺳ ﺩﻮﻤﻋ ﻭﺃ ﻱﺰﻛﺮﻣ ﻲﻠﻔﺳ

.ﺔﺳﺍﺭﺪﻠﻟ ﻂﻘﻓ ﺓﺮﻄﻨﻗ ﺓﺩﺎﻳﺰﺑ ﺮﺧﻵﺍﻭ ﻖﺑﺎﻃ ﺓﺩﺎﻳﺰﺑ ﻝﻭﻷﺍ ﻦﻳﺮﺧﺁ ﲔﻠﻜﻴﻫ ﺭﺎﻴﺘﺧﺍ ﰎ ﻚﻟﺫ ﱃﺇ ﺔﻓﺎﺿﺇ . ﺔﻌﺠﺸﻣ

ﻚﻟﺫ ﻭ ﺓﺭﺎﺘﺨﳌﺍ ﺔﺛﻼﺜﻟﺍ ﻞﻛﺎﻴﳍﺍ ﻦﻣ ﻞﻜﻴﻫ ﻞﻜﻟ ﺔﻴﻘﻴﻘﳊﺍ ﺭﺎﻴﻻﺍ ﺕﺎﻣﺰﻧﺎﻜﻴﻣ ﺪﻳﺪﺤﺘﺑ ﻖﻠﻌﺘﺗ ﺔﺳﺍﺭﺪﻟﺍ ﺮﻣﻷﺍ ﻝﻭﺃ ﰲ

» ﻰﻤﺴﺗ ﺔﻘﻳﺮﻃ ﺔﻄﺳﺍﻮﺑ

pushover

ﺎﻬﺴﻔﻧ ﻞﻛﺎﻴﳍﺍ ﻪﺗﺎﻫ ﻥﺃ ﺚﻴﺣ .ﺔﻴﻘﻴﻘﳊﺍ ﺭﺎﻴﻻﺍ ﺕﺎﻣﺰﻧﺎﻜﻴﻣ ﺪﻳﺪﺤﺘﺑ ﲎﻌﺗ «

ﻦﻣ ﺔﻠﺴﻠﺳ ﻊﻣ ﺔﻘﻳﺮﻄﻟﺍ ﺲﻔﻧ ﻝﺎﻤﻌﺘﺳﺎﺑ ﻚﻟﺫ ﻭ ﺎﻴﺒﻧﺎﺟ ﻭﺃ ﺎﻳﺰﻛﺮﻣ ﻥﺎﻛ ﺫﺇ ﺔﻴﻠﻔﺴﻟﺍ ﺎﺪﻤﻋﺃ ﺪﺣﺃ ﺭﺮﻀﺗ ﺪﻌﺑ ﺖﺳﺭﺩ

ﺓﺮﺛﺆﳌﺍ ﻞﻣﺍﻮﻌﻟﺍ ﺾﻌﺑ ﺭﺎﺛﺁ ﺔﺳﺍﺭﺪﺑ ﺎﻀﻳﺃ ﺔﺳﺍﺭﺪﻟﺍ ﺖﻘﻠﻌﺗ .ﺔﻴﻧﻵﺍ ﺓﺭﻮﺼﻟﺍ ﻰﻠﻋ ﻝﻮﺼﳊﺍ ﱴﺣ ﺔﻴﻌﺟﺍﺮﺘﻟﺍ ﺕﻼﻴﻠﺤﺘﻟﺍ

ﺔﺒﺴﻨﻟﺍ ﲑﻐﺗ ﻞﺜﻣ

H /V =α

ﺔﻴﺳﺪﻨﻫﻮﻜﻴﻧﺎﻜﻴﳌﺍ ﺔﺒﺴﻨﻟﺍ ﲑﻐﺗ ،

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M

ﺩﻮﻤﻌﻟﺍ ﻊﺿﻮﻣ ،ﻞﻜﻴﻬﻠﻟ ﻲﺳﺪﻨﳍﺍ ﻞﻜﺸﻟﺍ،

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ﺔﺒﺴﻨﻟﺎﺑ ﻂﻘﻓ ﺎﻳﺮﻈﻧ ﺓﺪﻤﺘﻌﻣ ﺓﲑﺧﻷﺍ ﻩﺬﻫ ﻥﺃ ﻦﻣ ﻢﻏﺮﻟﺎﺑ ﺔﻴﻧﺎﻴﺑ ﺕﺎﻣﻮﺳﺭ ﺀﺎﺸﻧﺈﺑ ﺖﻠﺜﻣ ﺎﻬﻴﻠﻋ ﻞﺼﶈﺍ ﺞﺋﺎﺘﻨﻟﺍ

. ﻂﻘﻓ ﺓﺪﺣﺍﻭ ﺓﺮﻄﻨﻗﻭ ﺪﺣﺍﻭ ﻯﻮﺘﺴﻣ ﺕﺍﺫ ﺔﻄﻴﺴﺒﻟﺍ ﻞﻛﺎﻴﻬﻠﻟ

ﺕﺍﺭﺎﻴﺍ ﻚﻟﺎﻨﻫ ﻞﺑ ﻞﻜﻴﻬﻠﻟ ﻲﻠﻛ ﺭﺎﻴﺍ ﺪﺟﻮﻳ ﻻ ﻪﻧﺃ ﺕﻻﺎﳊﺍ ﻞﻛ ﰲ ﺕﺮﻬﻇﺃ ﺓﺭﺮﻀﺘﳌﺍ ﻞﻛﺎﻴﻬﻠﻟ ﺔﻴﻧﻵﺍ ﺭﻮﺼﻟﺍ

.ﺔﻴﻌﺿﻮﳌﺍ ﺭﺎﻄﺧﻷﺍ ﺾﻌﺑ ﻊﻣ ﺖﻈﺣﻮﻟ (ﺔﻴﺋﺰﺟ ﺕﺎﻣﺰﻧﺎﻜﻴﻣ ) ﻂﻘﻓ ﺔﻴﺋﺰﺟ

ﻡﺰﻋ ،ﺀﺎﻨﳓﻻﺍ ﻡﺰﻋ ،ﺔﻴﻌﺟﺍﺮﺘﻟﺍ ﺕﻼﻴﻠﺤﺘﻟﺍ ،ﻲﻠﻔﺳ ﺩﻮﻤﻋ ،ﺔﻴﻧﺁ ﺓﺭﻮﺻ ،ﺓﺄﺸﻨﻣ ،ﻙﻮﻠﺳ : ﺔﻴﺣﺎﺘﻔﳌﺍ ﺕﺎﻤﻠﻜﻟﺍ

.ﻡﺰﻧﺎﻜﻴﻣ ، ﻲﻜﺘﺳﻼﺑ

(7)

vi

TABLE DES MATIÈRES

REMERCIEMENTS... i

DÉDICACE ...ii

RÉSUMÉ ...iii

ABSTRACT... iv

ﺺــﺨـﻠـﻣ ... v

TABLE DES MATIÈRES... vi

LISTE DES NOTATIONS ET ABREVIATIONS... xi

LISTE DES FIGURES... xiv

1 INTRODUCTION... 1

1-1 Intérêt du calcul plastique ... 1

1-2 Problématique ... 1

1-3 Objectifs de la recherche... 2

1-4 Structuration de la thèse... 3

2- CHARGES DE RUINE ET MÉCANISMES DE RUINE POUR DES ÉLÉMENTS DE STRUCTURES ET DES PORTIQUES SIMPLES...4

2-1 Introduction... 4

2-2 Méthodes utilisées pour le calcul des charges de ruine pour des éléments structuraux ou structures simples... 4

2-2-1- introduction ... 4

2-2-2 Calcul de la charge de ruine en utilisant le théorème des moments libre et de réactions ... 5

2-2-3 Calcul de la charge de ruine en utilisant le principe des travaux virtuels... 6

2-3 Exemples d’application... 6

2-3-1 Poutre simplement appuyée... 6

i)- Théorème des moments libre et de réactions... 6

ii)- Principe des travaux virtuels ... 7

2-3-2 Poutre encastrée à une extrémité et appuyée à l’autre ou console retenue ... 7

(8)

vii

2-3-4 Poutre continue soumise à un chargement concentré ... 11

2-4 Théorèmes fondamentaux de l’analyse plastique des structures ... 15

2-4-1 Introduction ... 15

2-4-2 Théorème de la limite inférieure... 15

2-4-3 Théorème de la limite supérieure ... 15

2-4-4 Théorème de l’unicité ... 16

2-5 Détermination des charges de ruine et mécanismes de ruine d’un portique simple ... 16

2-5-1 Méthode « pas à pas » ... 16

2- 5-1-1 Introduction ... 16 2-5-1-2 Caractéristiques du portique... 16 2-5-1-3 Traitement du portique ... 17 2-5-2 Méthode cinématique ... 20 2-5-2-1 Introduction ... 20 2-5-2-2 Beam mechanism ... 21 2-5-2-3 Sway mechanism... 22 2-5-2-4 Combined mechanism ... 23 2-5-2-5 Effets du rapport λV/λH ... 25

2-5-2-6 Construction des diagrammes d’interaction ... 27

2-6 Détermination des charges de ruine et mécanismes de ruine d’une structure étagée multi-travée... 28

2-6-2 Analyse limite... 28

2-6-3 Méthode « pas à pas »... 29

2-6-4 Méthode non linéaire « pushover » ... 30

2-6-4-1 Introduction ... 30

2-6-4-2 Définition de l’analyse « pushover »... 30

(9)

viii

2-7-2 présentation du portique ... 31

2-7-3 Mécanismes De Ruine Pour La Première Combinaison... 32

2-7-4 Représentation graphique ... 34

2-7-5 Synthèse... 34

3 MÉCANISME DE RUINE POUR DES STRUCTURES EN PORTIQUES... 36

3-2 Raisons du choix de la méthode retenue pour l’étude ... 36

3-3 choix du portique témoin de base P 3N 3T... 37

3-4 Caractéristiques mécaniques et géométriques des trois Portiques retenus ... 37

3-4-1 Caractéristiques Du P 3N 3T (portique de base) ... 37

3-4-2 Caractéristiques Du P 3N 4T ... 39

3-4-3 Caractéristiques Du P 4N 3T ... 41

3-5 Mécanismes de ruine pour les trois portiques témoins ... 43

3-5-2 Mécanismes De Ruine des trois Portiques Témoins... 43

3-5-2-1 Portique P 3N 3T (portique de base) ... 43

i) Présentation Des Mécanismes ...43

ii) Principales Constatations ...46

iii) Synthèse ...47

3-5-2-2 portique P 3N 4T ... 48

3-5-2-3 Portique P 4N 3T... 53

3-6 Construction des diagrammes d’interaction... 60

3-6-2 Principes Généraux De Construction... 61

(10)

ix

3-6-3-1 Introduction ... 61

3-6-3-2 Développement graphique... 62

3-6-3-3 Discussion des résultats... 62

3-6-4 Synthèse... 66

4 ANALYSE DE STRUCTURES EN PORTIQUES ENDOMMAGÉES... 68

4-1 Rétro-analyse pour des structures simples endommagées ... 68

4-1-2 Processus d’obtention de l’image réelle après l’endommagement ... 68

4-1-3 Exemples d’application ... 68

4-1-3-1 Poutre doublement encastrée endommagée ... 68

4-2 Analyse des trois portiques témoins endommagés en utilisant la méthode non linéaire « pushover »... 74

4-2-2 Endommagement d’un poteau central du P 3N 3T (portique de base) ... 75

4-2-2-1 Image instantanée après l’endommagement... 75

4-2-2-2 Principales constatations ... 78

4-2-2-3 Synthèse ... 78

4-2-3 Endommagement d’un poteau de rive du P 3N 3T (portique de base)... 79

4-2-3-3 Synthèse ... 82

4-2-4 Endommagement d’un poteau central du P 3N 4T... 83

4-2-4-3 Synthèse ... 86

4-2-5 Endommagement d’un poteau de rive du P 3N 4T... 87

4-2-5-3 Synthèse ... 90

4-2-6 Endommagement d’un poteau central du P 4N 3T... 91

(11)

x

4-2-6-3 Synthèse ... 94

4-2-7 Endommagement d’un poteau de rive du P 4N 3T... 95

4-2-7-3 Synthèse ... 98

5 CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES... 103

5-2 Mécanismes de ruine des portiques non endommagés ... 103

5-3 Analyse de portiques endommagés... 104

5-4 Perspectives ... 106

A CALCUL DU MOMENT PLASTIQUE... 107

A.1 Section en charpente métallique... 107

A.1.1 Introduction ... 107

A.1.2 Exemples ... 110

a) Section rectangulaire... 110

b) Section en I type IPE ... 112

A.2 Section non usuelle en béton armé ... 115

A.2.1 Introduction ... 115

A.2.2 analyse de section non usuelle en utilisant l’Eurocode 2 ... 116

(12)

xi

LISTE DES NOTATIONS ET ABREVIATIONS

Ac(x) L'aire de la partie supérieure du béton comprimé, en fonction de x

As Section des armatures tendues

A's Section des armatures comprimées

a Petite portée de la poutre

a1 Epaisseur de l'âme du profilé IPE

b Grande portée de la poutre

b1 Largeur du profilé en charpente métallique

d La hauteur utile de la section en béton armé

d' L’enrobage des armatures comprimées

E Module de déformation longitudinale des armatures (Module d’Young)

Ec Module d'élasticité du béton

e Epaisseur de la semelle du profilé IPE

Fcc Force résultante de compression du béton

Fsc Force résultante de compression dans les armatures comprimées

Fst Force résultante de traction dans les armatures tendues

fck Résistance caractéristique à la compression du béton

fs Contrainte dans les armatures tendues

f's Contrainte dans les armatures comprimées

H Charge concentrée horizontale

Hc Charge horizontale de ruine

h Hauteur d’étage

h1 Hauteur totale de la section d'un profilé en charpente métallique

I Moment d'inertie de la section totale

j Nombre de rotules mécaniques

k Facteur de forme

l Travée de la poutre

M Moment fléchissant

Me Moment fléchissant élastique

(Mmax )i Moment fléchissant maximum de l’étape i

(Mmax )ij Le jieme plus grand moment fléchissant de l’étape i (Mmax r )ij Le jieme plus grand moment résultant de l’étape i

(13)

xii

Mpb Moment plastique de la poutre

Mpc Moment plastique du poteau

m Nombre de mécanismes élémentaires de ruine

N Effort normal

n Nombre de rotules plastiques

P Charge concentrée

Pc Charge de ruine

p Nombre de sections critiques

r Nombre de redondance ou degré d’hyperstaticité

S Moment statique de la moitié de la section

T(x) Effort tranchant dans la section à une distance x

V Charge concentrée verticale

Vc Charge verticale de ruine

v Demi-hauteur du profilé en charpente métallique

ve Demi-hauteur de la section élastique du profilé en charpente métallique

wpl Module plastique d’un profilé en charpente métallique

α Rapport entre la charge concentrée verticale et la charge concentrée horizontale

δ Déplacement virtuel

ε Déformation relative

εcc Déformation relative dans le béton

εcu Déformation relative maximale dans le béton

εsc Déformation relative dans les armatures comprimées

εst Déformation relative dans les armatures tendues

θ Rotation plastique

λ Facteur de charge

λ c Facteur de charge de ruine

λ i Facteur de charge de l’étape i

λ l Limite inférieure du facteur de charge

λ r Facteur redresseur du moment fléchissant

λ u Limite supérieure du facteur de charge

σy Contrainte limite d’écoulement d’un profilé en charpente métallique

φ Rotation plastique

χ Courbure de la déformée

(14)

xiii

∆ Déplacement virtuel

B.A Béton armé

C.M Charpente métallique

DMF Diagramme des moments fléchissants

DMFF Diagramme des moments fléchissants finaux

DMFR Diagramme des moments redressés

E.L.S Etat limite de service

E.L.U Etat limite ultime

(15)

xiv

LISTE DES FIGURES

Figure.2-2 : Poutre encastrée d’un coté, et simplement appuyée de l’autre... 8

Figure.2-3 : Poutre encastrée à ses deux extrémités... 10

Figure.2-4 : Poutre continue sous charges ponctuelles ... 12

Figure.2-5 : Mécanisme de ruine des travées extrêmes ... 12

Figure.2-6 : Mécanisme de ruine pour la travée du milieu ... 13

Figure 2-7 : Conditions du vrai mécanisme de ruine en fonction de λ... 15

Figure.2-8 : Portique simple à une travée et un niveau ... 16

Figure.2-9 : Détermination du mécanisme de ruine d’un portique simple : méthode « pas à pas »... 18

Figure.2-10 : Courbe facteur de charge en fonction du déplacement horizontal du portique simple.... 20

Figure.2-11 : Portique simple à une travée et un niveau ... 20

Figure.2-12 : « Beam mechanism » ... 21

Figure.2-13 : « Sway mechanism »... 22

Figure.2-14: « Combined mechanism » ... 23

Figure.2-15 : Diagramme des moments fléchissants du portique simple au moment de la ruine ... 24

Figure.2-16 : diagramme des moments fléchissants poutre B-D ... 24

Figure.2-17 : Diagramme des moments fléchissants total du portique simple... 25

Figure.2-18 : Relation entre la charge de ruine horizontale et le rapport α... 26

Figure.2-19 : Diagramme d’interaction du portique simple... 27

Figure.2-21 : Les différents types de mécanisme de ruine en fonction de α ... 33

Figure.2-22 : Diagramme d’interaction pour le système de coordonnées λV- λH ... 34

Figure.3-1 : Présentation du P 3N 3T (portique de base)...38

Figure.3-2 : Présentation du P 3N 4T...40

Figure.3-3 : Présentation du P 4N 3T...42

Figure.3-4 : Différents types de mécanismes de ruine développés pour le P 3N 3T...45

Figure.3-7 : Diagramme d’interaction: cas du P 3N 3T (portique de base) ...62

Figure.3-8 : Diagramme d’interaction : cas du P 3N 4T ...63

Figure.3-9 : Diagramme d’interaction : cas du P 4N 3T ...63

Figure.4-1 : Poutre doublement encastrée avant l’endommagement. ...69

Figure.4-3 : Portique simple à une travée et un niveau avant l’endommagement...71

Figure.4-4 : Rétro-analyse pour le portique endommagé...73

Figure.4-5 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T : cas de Mpb= 150 kN.m ...75

(16)

xv

Figure.4-6 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T : cas de Mpb= 175 kN.m ...76 Figure.4-7 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 3T :

cas de Mpb= 200 kN.m ...77 Figure.4-8 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T :

cas de Mpb= 150 kN.m ...79 Figure.4-9 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T:

cas de Mpb= 175 kN.m ...80 Figure.4-10 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 3T : cas de Mpb= 200 kN.m ...81 Figure.4-11 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 4T:

cas de Mpb= 150 kN.m ...83 Figure.4-12 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 4T:

cas de Mpb= 175 kN.m ...84 Figure.4-13 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 3N 4T:

cas de Mpb= 200 kN.m ...85 Figure.4-14 : Image instantanée après l’endommagement du poteau de rive du P 3N 4T:

cas de Mpb= 200 kN.m ...89 Figure.4-17 : Image instantanée après l’endommagement du poteau central du P 4N 3T :

cas de Mpb= 200 kN.m ...97 Figure.A.1 : Poutre en charpente métallique sollicitée en flexion pure ...107 Figure.A.2 :Distribution des déformations relatives et des contraintes pour une section en CM ...108

(17)

xvi

Figure.A.4 :Diagramme moment-courbure pour les deux types de sections ...112

Figure.A.5 :Phasage de distribution des contraintes pour une section en I ...112

Figure.A.6 :Module plastique d’une section en I ...114

(18)

Chapitre 1

(19)

1

1 INTRODUCTION

1-1 Intérêt du calcul plastique

Une structure multi-étagée multi-travée correctement calculée et conçue à l’état limite ultime et vérifiée à l’état limite de service présente toute les garanties d’être en élasticité même après un séisme et ceci est dû à plusieurs paramètres qui ont trait à la marge de sécurité. Cette dernière pourrait être quantifiée comme étant la différence entre la vraie charge de ruine et la combinaison de charges à l’E.L.U. les charges à l’E.L.U sont affectées de coefficients de pondération supérieurs à un, les résistances de calcul sont les résistances caractéristiques (résistances admettant un minimum de risque) divisées par des coefficients de sécurité supérieurs à un. Les structures sont étudiées en plan alors qu’en réalité elles sont dans l’espace (confinement par des plans parallèles et perpendiculaires). Si la structure devait perdre accidentellement un poteau de base une redistribution des moments fléchissants démarrera, à cet effet l’image instantanée (diagramme des moments fléchissants immédiatement après la rupture) ne peut être obtenue qu’en utilisant les concepts de l’analyse plastique des structures dont un des fondements est la prise en compte des valeurs réelles des différents moments plastiques (les moments fléchissants ne pouvant en aucun cas être supérieurs aux différents moments plastiques correspondants). Le deuxième fondement étant, de ce fait, la prise en charge du phénomène de redistribution des moments fléchissants.

1-2 Problématique

Pour une structure correctement conçue à l’E.L.U, le diagramme des moments fléchissants pour les combinaisons de charges les plus défavorables à l’E.L.U ne présentera aucun moment supérieur au moment plastique correspondant. Le moment fléchissant dépendant des charges extérieures (intensité, nature…) et des conditions d’appuis alors que le moment plastique ne dépend que des caractéristiques géométriques et mécaniques des différentes sections. Si une telle structure devait perdre un poteau de base accidentellement alors fatalement il va y avoir des sections

ou un ensemble de zones qui aurait dépassé le moment plastique. L’analyse de la structure sans un poteau de base va donner un diagramme des moments fléchissants où une des sections ou un ensemble de sections critiques auront des moments fléchissants supérieurs aux moments plastiques correspondants. Ceci est valable

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2

mathématiquement mais impossible physiquement. En aucun cas le moment fléchissant ne peut être supérieur au moment plastique.

L’obtention de l’image instantanée immédiatement après la rupture accidentelle d’un poteau de base ne peut se faire que par une série de rétro-analyses utilisant le principe de redistribution des moments fléchissants et une connaissance adéquate des concepts de l’analyse plastique des structures. Le procédé consiste à avoir la distribution des moments fléchissants pour la structure endommagée. Sur le diagramme obtenu, identifier la section où le moment est maximum (fatalement supérieur au moment plastique correspondant) et le ramener au niveau du moment plastique correspondant. L’ensemble des sections où les moments égalant les moments plastiques correspondant deviennent des rotules (les rotules physiques sont remplacées par des rotules mécaniques). La structure est réanalysée avec les rotules mécaniques et le processus devra être poursuivi jusqu’à l’obtention de l’image instantanée immédiatement après la rupture accidentelle. Cette dernière donnera le positionnement des différentes rotules plastiques et à nul endroit le moment fléchissant ne sera supérieur au moment plastique correspondant.

L’analyse de cette image devra révéler si la structure a subit une ruine totale ou une ruine partielle.

1-3 Objectifs de la recherche

Les objectifs assignés à la présente thèse peuvent être classés comme suit : - Prendre une structure en portique témoin à trois niveaux et trois travées soumise à des

combinaisons de charges verticales et horizontales (les charges verticales sont appliquées au milieu de travées et les charges horizontales au niveau des jonctions poutres-poteaux pour les niveaux).

- Faire une analyse complète des mécanismes de ruine et charges de ruine pour une seule combinaison des paramètres géométrico-mécaniques (l / Mpb et h / Mpc).

- Etudier les effets du rajout d’une travée et ceux du rajout d’un niveau respectivement au portique témoin et en conduisant la même analyse pour la détermination des charges de ruine et mécanismes de ruine.

- Tenter de construire des diagrammes d’interaction pour l’ensemble de ces portiques et obtenir l’étendue de chaque intervalle des valeurs de α en essayant de déterminer

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3

avec précision les différentes valeurs tampons (limites ou frontières), valeurs pour lesquelles il y aura une sur ruine de plusieurs mécanismes élémentaires ou combinés.

- Prendre les trois portiques et essayer d’obtenir l’image instantanée après la rupture accidentelle d’un poteau de base central et d’un poteau de base de rive.

- Identifier les paramètres les plus influents pour l’analyse des structures endommagées.

- Sortir avec des conclusions concrètes et pratiques ainsi que des perspectives de développement du présent thème.

1-4 Structuration de la thèse

- Le chapitre 1 est réservé à l’introduction générale avec une problématique détaillée et les objectifs à atteindre.

- Le chapitre 2 constitue la base théorique, il présente le calcul des charges de ruine pour des éléments de structure et structures allant de la poutre simplement appuyée au portique « single bay tow storeys » en passant par le portique simple « single bay single storey ». les différents méthodes de détermination des mécanismes de ruine et charges de ruine y ont présentées.

- Le chapitre 3 est consacré pour la détermination des mécanismes de ruine pour les trois portiques retenus ainsi que la construction de leurs diagrammes d’interaction.

- L’analyse de structures endommagées en utilisant la méthode non linéaire « pushover » avec le développement de séries de rétro-analyses font l’objet du

chapitre 4.

- La conclusion générale et les perspectives sont présentées dans le chapitre 5.

- Le calcul du moment plastique pour des sections en charpente métallique et pour des sections non usuelle en béton armé est donné dans l’annexe A.

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Chapitre 2

CHARGES DE RUINE ET MÉCANISMES

DE RUINE POUR DES ÉLÉMENTS DE

STRUCTURES ET DES PORTIQUES

SIMPLES

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4

2- CHARGES DE RUINE ET MÉCANISMES DE RUINE POUR DES ÉLÉMENTS DE STRUCTURES ET DES PORTIQUES SIMPLES

2-1 Introduction

Les éléments de structures ou structures en génie civil peuvent être isostatiques ou hyperstatiques. Le traitement des structures hyperstatiques est laborieux et fait appel à des méthodes complexes et difficiles à utiliser manuellement. L’apport ces dernières années de l’outil informatique a facilité grandement cette opération. Les éléments de structures ou structures sont en général calculés à l’E.L.U et vérifiés à l’E.L.S. Mais aucun code ne spécifie les charges de ruine ou les mécanismes de ruine (manière de déformation d’une structure sous une combinaison de charges extérieures). Ceci ne peut avoir lieu qu’en laboratoire ou après un séisme sévère (structures ou éléments de structures poussés à l’extrême). La charge de ruine est de facto différente de la charge à l’E.L.U.

L’objectif primordial de l’étude plastique des structures est de répondre à cette attente. C'est-à-dire la détermination de vraies charges de ruine et des vrais mécanismes de ruine, leur connaissance donne une idée précise sur la vraie marge de sécurité d’un élément de l’ouvrage ou de l’ouvrage lui même.

L'analyse plastique des structures hyperstatiques consiste à considérer qu’au fur et à mesure que la charge augmente il y’a apparition de rotules plastiques à chaque fois que le moment dans une section donnée atteint la valeur du moment plastique. Ce dernier est indépendant du chargement ou de sa nature. Il est une caractéristique de la section elle même et ne dépend que des caractéristiques géométriques et mécaniques de celle-ci (cf. annexe A). Évidement si r rotules plastiques se forment au total, la structure devient un système isostatique (r étant le degré d’hyperstaticité) elle se transforme en un mécanisme immédiatement avec la naissance ou création ou développement de la (r+1)nième rotule plastique.

2-2 Méthodes utilisées pour le calcul des charges de ruine pour des éléments structuraux ou structures simples

2-2-1- introduction

Il a été annoncé précédemment que la ruine d’une structure se produit par la formation d’un nombre suffisant de rotules plastiques aux endroits des sections critiques (plastifiées), ceci engendre une diminution de la rigidité accompagnée à chaque fois d’une redistribution des moments, jusqu’à ce que la structure devienne hypostatique. A ce stade le mécanisme de

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5

ruine est atteint et la charge devient la charge de ruine. Cette charge est évidement différente de la charge à l’E.L.U et la différence représente la vraie marge de sécurité pour la structure.

Les outils théoriques nécessaires pour cette détermination sont le théorème du moment libre et des moments de réaction et la méthode basée sur les travaux virtuels.

2-2-2 Calcul de la charge de ruine en utilisant le théorème des moments libre et de réactions

Il est possible de déterminer le mécanisme de ruine des éléments structuraux où structures simples et de tracer leurs diagramme des moments fléchissants à la ruine en utilisant et en exploitant le théorème du moment libre et de réaction et ce sans passer par aucune analyse. Une fois le diagramme des moments est déterminé, on peut vérifier la satisfaction des trois conditions du vrai mécanisme de ruine et calculer facilement la charge de ruine.

Cette méthode est basé sur le principe de :

Mp1 + Mp2 = Mp3 (2-1)

La charge de ruine peut être déterminée facilement à partir de cette relation, étant donné que le moment fléchissant libre au point d’application de la charge, Mp3, est en fonction de cette dernière, l’équation 2-1 peut être réduite à une équation à une inconnue.

Ce théorème permet de déterminer les moments fléchissants inconnus c'est-à-dire les moments qui ne sont pas égaux aux moments plastiques. Donc il est impératif de décider d’un mécanisme de ruine donc des positions éventuelles des rotules plastiques et d’essayer grâce à ce théorème et à la condition d’équilibre au niveau des nœuds ou joints de déterminer les éventuels moments inconnus.

Moment fléchissant de réaction au point d’application de la charge

Moment fléchissant libre au point d’application de la charge (moment de la

poutre simplement appuyée) Moment fléchissant réel au

point d’application de la charge

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6

2-2-3 Calcul de la charge de ruine en utilisant le principe des travaux virtuels

La charge de ruine peut être déterminée par une deuxième méthode, cette dernière basée sur le principe des déplacements virtuels,

Le travail produit par l’effort extérieur, P, doit être égal au travail produit par l’effort intérieur, c'est-à-dire au travail accompli au niveau des rotules plastiques.

La charge de ruine produit un déplacement virtuel δ et un travail extérieur défini par le produit P. δ, le moment plastique Mp produit une rotation virtuelle θ, Le travail virtuel intérieur est Mp.θ au niveau d’une rotule, la charge de ruine des éléments structuraux ou structures simples peut s’obtenir à partir de l’égalité suivante :

∑ Pi. δi= ∑ Mpi.θi (2-2)

2-3 Exemples d’application 2-3-1 Poutre simplement appuyée

i)- Théorème des moments libre et de réactions

La charge de ruine d’une poutre simplement appuyée soumise à une charge concentrée au milieu de sa portée (figure 2-1-a) peut être déterminée par cette méthode, le degré d’hyperstaticité de cette dernière est r = 0. Le nombre de rotules nécessaires pour qu’elle devienne un mécanisme est : n = r + 1= 1.

Figure.2-1: Poutre simplement appuyée.

a) Schéma de la poutre b) Diagramme du moment fléchissant c) Mécanisme de ruine P l/2 l/2 l B A 4 . P l M = δ Pc θ θ θ θ

(26)

7

La ruine de cette poutre aura lieu lorsqu’une rotule plastique se produit au niveau du point d’application de charge (section critique) où le moment fléchissant est égale au moment plastique.

On connaît l’allure des moments fléchissants réels au point d’application de la charge lors de la ruine, Mp. Le moment fléchissant libre au point d’application de la charge prend la

valeur de 4

l P⋅

(figure 2-1-b), dans ce cas (poutre isostatique), le moment fléchissant de

réaction au point d’application de la charge est nul d’où la relation (2-1) Devient : 4 . P l M c p = (2-3) l M Pc p 4. = (2-4)

ii)- Principe des travaux virtuels

La charge de ruine de cette poutre isostatique peut être déterminée par le principe des travaux virtuels, Le travail produit par l’effort extérieur, Pc doit être égal au travail produit par l’effort intérieur, Mp.

La géométrie de la structure (figure 2-1-c),nous permet d’écrire l’équation :

2 .θ

δ =l

L’égalité des travaux virtuels, lors de la ruine nous permet d’écrire

Pc.δ = Mp.2θ (2-5) θ 2 . 2 p c l. M θ . P = D’où l M P_c =4 p

(2-6)

2-3-2 Poutre encastrée à une extrémité et appuyée à l’autre ou console retenue i)- Théorème des moments libre et de réactions

Soit la poutre de section constante, encastrée à une extrémité et appuyée librement à l’autre et à laquelle est appliquée une charge concentrée P (figure 2-2-a). Il s’agit donc d’une poutre qui présente un (01) degré d’hyperstaticité, elle nécessite alors la formation de deux rotules plastiques pour qu’elle devienne un mécanisme.

(27)

8

Comme le cas précédent, la charge de ruine peut être déterminée à partir du moment libre et du moment de réaction d’où :

Mp + x = l b P a_c. .

Figure.2-2 : Poutre encastrée d’un coté, et simplement appuyée de l’autre

Utilisant la règle des triangles semblables on déduit la valeur (figure 2-2-c), où

l b.M x= p l b P a l b.M M p c p . . + = D’où b a b M P_c p . ) (1+ = (2-7)

Le même principe des travaux virtuels a été utilisé pour déterminer la charge de ruine de la poutre encastrée et appuyée (figure 2-2).

∑

Pi.

δ

i = Mpi.

θ

i

Moment fléchissant réel au point d’application de la

charge

Moment de la poutre comme si elle étant simplement

appuyée

a) Schéma de la poutre

c) Distribution des moments fléchissants au moment de la ruine b) Mécanisme de ruine P a b l B A Mp Mp x δ φ θ Pc θ φ

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9

La géométrie de la structure (figure2-2-b), nous permet d’écrire l’équation :

δ =a.θ =b.ϕ D’où ϕ .θ b a = P_c.δ =M_p.θ +M_p.(θ +ϕ) (2-8) ⋅ θ = ⋅ +θ ⋅ +(θ ⋅ϕ) b a P a_c M_p M_p c Mp b a b l P ⋅ ⋅ + = ( ) (2-9)

2-2-3 Poutre doublement encastrée

i)- Théorème des moments libre et de réactions

On étudie une poutre de section constante, parfaitement encastrée à ses extrémités et soumise à une charge concentrée, P, (figure 2-3-a). Il s’agit donc d’une poutre qui est deux fois hyperstatique, elle nécessite alors la formation de trois rotules plastiques pour qu’elle devienne un mécanisme.

D’après le diagramme des moments fléchissants, les rotules plastiques ne pouvant se former qu’au droit des sections critiques, c’est au niveau de l’application de la charge et au niveau des deux encastrements.

Mp + Mp =

l a P_c⋅

Donc la charge de ruine est donnée par :

b a l M Pc p ⋅ ⋅ = 2 (2-10)

Moment fléchissant réel au point d’application de la

charge

(29)

10

Figure.2-3 : Poutre encastrée à ses deux extrémités.

La charge de ruine de cette poutre (figure 2-3-a), peut être déterminée par la deuxième méthode, cette dernière basée sur le principe des déplacements virtuels, la charge de ruine Pc produit un déplacement virtuel δ, le moment plastique Mp produit une rotation virtuel 2θ à mi travée de la poutre et une rotation virtuelle θ au niveau de l’encastrement gauche et φ au niveau de l’encastrement droit de la poutre.

a) Schéma de la poutre

b) Diagramme des moments fléchissants en élasticité

c) Diagramme du moment libre

d) Diagramme des moments de réaction f) Mécanisme de ruine e) Diagramme des moments fléchissants au moment de la ruine Mp l b P.a. 2 2 . . l b Pa l b P.a. 2 2_. . l b Pa Mp Mp _M_p Mp φ φ θ θ _δ Pc P a b l B A

(30)

11

La géométrie de la structure au moment de la ruine (figure 2-3-f) a permet d’écrire l’équation :

δ =a.θ =b.ϕ D’où ϕ .θ b a =

La charge de ruine, Pc provoque la formation des trois rotules plastiques, ainsi que le déplacement virtuel δ, le travail extérieur est égal au produit λV.δ, le travail externe est égal à la somme des produits du moment plastique fois les rotations virtuelles.

P_c⋅ =δ M_p⋅ +θ Mp⋅ +ϕ M_p ⋅(θ +ϕ) (2-11) ⋅ θ = ⋅ +θ ⋅ ⋅ +θ ⋅ +(θ ⋅ϕ) b a M b a P ac Mp Mp p _c M_p b a l P ⋅ ⋅ ⋅ = 2 (2-12) NB : les mêmes résultats théoriques sont obtenus par les deux méthodes.

2-3-4 Poutre continue soumise à un chargement concentré i)- Théorème des moments libre et de réactions

Soit une poutre continue à trois travées, dont le schéma statique et les différentes caractéristiques sont donnés dans la figure (2-4-a).

L’analyse de ce type de poutres se fait d’une manière similaire que les cas précédemment étudiés, chaque travée devant être étudiée séparément. Il y a lieu à prendre en considération les hypothèses suivantes :

- Au niveau des appuis entre les travées de la poutre, le moment fléchissant est identique à droite et à gauche de l’appui. La rotule plastique se forme dans les membres les plus faibles (c’est-à-dire que le moment plastique à prendre en considération sera le moment le plus faible des deux travées de la poutre considérée à ce niveau).

- Il est improbable que les travées de la poutre se rompent simultanément, donc chaque travée est à vérifier individuellement. La charge de ruine de la poutre continue est la plus petite des charges de ruine des travées prises séparément. Il s’agit donc d’une ruine partielle de la poutre.

(31)

12

La poutre peut être représentée comme une série de travées indépendantes (figure 2-4-c).

Figure.2-4 : Poutre continue sous charges ponctuelles

Travées AB, CD :

Isolant les travées (AB) et (CD), (symétrie du chargement et même portée) le schéma de calcul était celui d’une poutre encastrée à une extrémité et simplement appuyée à l’autre (figure 2-4-c), si elles se rompent en premier, le diagramme des moments fléchissants aura la forme donnée sur la figure(2-5-a) avec un mécanisme de ruine représenté sur la figure (2-5-b).

Figure.2-5 : Mécanisme de ruine des travées extrêmes

a) Diagramme du moment plastique (ruine) b) Mécanisme de ruine Mp1 x θ θ θ θ Pc1 Mp1 δ a) Schéma de la poutre Continue

b) Diagramme des moments fléchissants au moment de la ruine avec la supposition

que Mp1 < Mp2

c) Schéma de calcul des travées A Mp1 B Mp2 Mp1 D C l2 l1 l2 l1/2 l2/2 /2 l1/2 l1 l1/2 /2 l1 P1 P2 P1 Mp1 Mp2 Mp1 2 4 .₁ 1 p c M P l ₋ 2 4 .₁ 1 p c M P l ₋

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Utilisant le même principe que pour les exemples précédents pour le calcul de la charge de ruine, on obtient donc :

l l P M_p x c ⋅ ⋅ + = 4 2 1 1 1

(2-13)

Des triangles semblables on déduit la valeur de x, d’où

2 1 p M x= l l M P Mp p c ⋅ ⋅ + = 4 2 2 1 1 1 1

La charge de ruine est égale donc à :

₁ 1 1 6 p c M l P = ⋅ (2-14) Travées BC :

Ce type de problème est similaire à celui da la poutre encastrée à ses deux extrémités, les rotules plastiques ne pouvant se former qu’au droit des sections critiques, c’est au niveau de l’application de la charge et au niveau des deux encastrements, (figure 2-3).

Figure.2-6 : Mécanisme de ruine pour la travée du milieu On aura : 2 2 1 2 ) 4 ( l M M P_c = ⋅ p + p (2-15)

a) Diagramme des moments fléchissants au moment imminent de la ruine b) Mécanisme de ruine Mp1 θ θ θ θ Pc2 Mp1 Mp1 δ

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Conclusion : la charge de ruine est égale au min (Pc1, Pc2) donc elle est fonction des valeurs des moments plastiques et des portées. Avec les valeurs littérales, il n’est pas possible de dire quelle est la travée critique.

La charge de ruine de la poutre continue peut être déterminée par la méthode des travaux virtuels. La ruine de cette dernière peut se produire seulement par un des deux mécanismes représentés dans les figures (2-5-b et 2-6-b), des deux travées AB ou CD et BC, la plus petite valeur des deux charges de ruine Pc1 et Pc2 de ces deux mécanismes est la vraie charge de ruine.

L’équation des travaux virtuels pour chacun des deux mécanismes nous permet d’écrire : - Travées AB, CD : (2 ) 2 1 θ θ θ ₌ _⋅ ₊ ⋅ ⋅ p c M l P (2-16) _c M_p l P₁ = ⋅6 - Travées BC : 2⋅ ⋅θ = 1⋅ +θ 2⋅2θ + 1⋅θ 2 p c Mp Mp M l P 2 2 1 2 ) 4 ( l M M P_c = ⋅ p + p (2-17)

Il est à noter qu’à chaque fois les deux méthodes donnent exactement la même expression pour les charges de ruine.

(34)

15

2-4 Théorèmes fondamentaux de l’analyse plastique des structures

2-4-1 Introduction

L’analyse plastique des structures a pour objet de calculer la charge réelle de ruine d’une partie de structures ou de structures et les mécanismes de ruine correspondants. La détermination du facteur de charge de ruine, λc, ainsi que les mécanismes de ruine des structures dépend essentiellement de la satisfaction des trois conditions du vrai mécanisme de ruine à savoir la condition d’équilibre, la condition d’écoulement et la condition de mécanisme.

La figure (2-7) présente les trois conditions, où les flèches indiquent les conditions qui ont été satisfaites.

Condition d’écoulement λ < λc, limite inférieure λ = λc Condition d’équilibre

Condition de mécanisme λ > λc, limite supérieure

Figure 2-7 : Conditions du vrai mécanisme de ruine en fonction de λ

2-4-2 Théorème de la limite inférieure

Si, dans une structure sujette à un chargement défini par un facteur de charge positif, λ, une distribution des moments fléchissants satisfaisant les conditions d’équilibre et d’écoulement peut être trouvée, ensuite λ inférieur, ou égal au facteur de charge de ruine λc. Dans ce cas la valeur de λ est une limite inférieure pour λc.

2-4-3 Théorème de la limite supérieure

Dans ce cas la distribution des moments fléchissants dans les structures ne vérifie que les conditions d’équilibre et de mécanisme, le facteur de charge correspondant, λ, est supérieur ou égal au facteur de charge de ruine, λc, la valeur de ce facteur est une limite supérieure pour λc.

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2-4-4 Théorème de l’unicité

Si une structure est sujette à un chargement défini par un facteur de charge positif, λ, et une distribution des moments fléchissants qui satisfait les trois conditions peut être trouvée, alors λ=λc. Il est impossible d’obtenir une autre distribution des moments fléchissants pour n’importe quelle autre valeur de λ qui satisfait les trois conditions simultanément.

2-5 Détermination des charges de ruine et mécanismes de ruine d’un portique simple 2-5-1 Méthode « pas à pas »

2- 5-1-1 Introduction

Pour mieux comprendre le comportement des portiques hyperstatiques soumis à des combinaisons de charge horizontale et verticale croissante jusqu'à la ruine, il a été jugé utile de considérer carrément un exemple d’un portique simple et d’étudier son comportement après la formation des rotules plastiques et ce jusqu’à la transformation de la structure en un mécanisme partiel ou total. Ceci permettra de mettre en lumière les quelques théorèmes importants et essentiels cités ci-dessus de l’analyse plastique des structures.

2-5-1-2 Caractéristiques du portique

Les caractéristiques géométriques et mécaniques du portique simple et les points d’application des charges concentrées verticales, λV, et horizontales, λH, et les sections critiques de A à E, sont représentés sur la figure (2-8) :

Figure.2-8 : Portique simple à une travée et un niveau λ.V kN Mp constant A C E B h b λ.H kN a D

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2-5-1-3 Traitement du portique

Le portique représenté sur la figure (2-8) supporte les charges concentrées verticales λV et horizontales λH, où λ est le facteur de charge. Il est supposé initialement que V=H=1 kN, le comportement du portique quand λ est augmenté, est résumé dans la figure (2-9). Au début de ce processus, le comportement du portique est élastique (c’est-à-dire le comportement des sections critiques est élastique), et une analyse élastique donne un diagramme des moments fléchissant représenté dans l’étape №1. Quand λ=38.91 le plus grand moment fléchissant se trouve au niveau de l’encastrement droit (point E), ce dernier devient égal au moment plastique (Mp= 100 kN.m) et une rotule plastique se forme au niveau de cette section critique.

Evidement, la structure entière en dehors de la section, E, est encore élastique et le demeure quand la valeur du facteur de charge, λ, est au dessus de 38.91. Et La section, E, se comporte comme une rotule mécanique et de ce fait elle peut pivoter librement. Le moment fléchissant au point E doit rester égal au moment plastique.

L’étape №2 représente la structure effective qui résiste au chargement quand λ est augmenté. C’est simplement le portique originel avec une rotule sans frottement au point E (la rotule physique est remplacée par une rotule mécanique). Cette structure peut être réanalysé par la même méthode élastique comme à l’étape №1.

Le résultat de l’analyse est le changement en moments fléchissants. Pour obtenir les moments totaux, il est nécessaire d’ajouter le changement (différence) en moments fléchissants aux moments fléchissants quand λ=38.91 (N.B : la rotule sans frottement en E assure que le changement en moments fléchissants en E est nul, de telle sorte que le moment reste égal au moment plastique, dans ce cas le moment maximum est sous la charge concentrée verticale au niveau de la section critique point C.

Mc= 82.7 kN.m étant le deuxième plus grand moment de l’étape №2

Mc=82.7 + 2.47λ’= Mp =100 kN.m d’où λ’= 7

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Figure.2-9 : Détermination du mécanisme de ruine d’un portique simple par la méthode « pas à pas »

Portique sous charges unitaires (kN)

DMF sous charges unitaires (kN.m) DMT (kN.m) Etap e № 1 Etap e № 2 Etap e № 3 Etap e № 4 1 1 C B A D 2.08 0.78 2.12 1.14 2.57 λ= 38.91 30.4 80.9 82.7 44.4 100 : Rotule mécanique 1 1 C B A D : Rotule mécanique 0.14 2.34 2.81 0 λ= 45.91 31.4 97.3 100 64.2 100 1 1 C B A D 4.04 0 3.94 0 2.98 λ= 46.58 33.4 100 100 66.8 100 1 1 C B A D 0 10 0 5 λ= 50 0 50 100 100 100 100

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Comme l’indique l’étape №3, à partir de ce moment il y’a deux pivots (rotules) dans la structure effective qui peut quand même être analysée élastiquement. Très rapidement, cependant, une rotule se forme au niveau de la section critique (point D) quand λ atteint la valeur de 46,58.

MD= 97.3 + 4.04λ’’= Mp = 100KN.m d’où λ’’=0.67

D’où la nouvelle valeur de λ=45.91+0.67 = 46,58

Le processus peut continuer à l’étape №4 avec trois rotules sans frottement jusqu’à ce que la valeur de λ atteigne la valeur de 50, le moment max de l’étape №3 se trouve au niveau de la section critique (point A).

D’où MA= 66.8 +10λ’’’= Mp = 100KN.m d’où λ’’’= 3.32

D’où la nouvelle valeur de λ=46,58 + 3.32 = 49.9

A ce moment, une quatrième rotule plastique prend naissance.

Il est intéressant de remarquer deux points au sujet du moment fléchissant total représenté dans la figure (2-9).

- La distribution des moments fléchissants est en équilibre avec les charges appliquées, la condition d’équilibre est l’une des conditions fondamentales requise par la méthode « pas à pas ».

- Les moments fléchissants ne dépassant nulle part, le moment plastique des membres, ceci étant la condition d’écoulement.

Toute tentative de continuer le processus utilisant une structure effective avec quatre rotules sans frottement est impossible, puisque les équations deviennent singulières et ne peuvent pas être résolues. En fait la structure devient un mécanisme.

La distribution des moments fléchissants à ce point satisfait la condition d’équilibre et la condition d’écoulement et en plus :

- Il y’a suffisamment de rotules plastiques (n=r+1=3+1=4) pour la structure pour qu’elle devienne un mécanisme, ceci étant la condition de mécanisme [7].

La courbe représentée dans la figure (2-10), définit la relation entre le facteur de charge pour chaque étape en fonction des déplacements horizontaux du portique simple à une travée et à un étage figure (2-9).

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Figure.2-10 : Courbe facteur de charge λ en fonction du déplacement horizontal du portique simple

2-5-2 Méthode cinématique 2-5-2-1 Introduction

Le présent paragraphe a pour objet la détermination des charges de ruine et les mécanismes de ruine d’un portique simple composé d’une travée et d’un niveau (figure 2-11).

Figure.2-11 : Portique simple à une travée et un niveau

Ce portique est trois fois hyperstatique, il ne devient un mécanisme qu’après la formation de quatre rotules plastiques. A cet effet les charges de ruine et les mécanismes de ruine de ce portique sont déterminés par une série de combinaisons des mécanismes

2.47 Mp constant = 100 kN A C D B 10 m λ.H kN λ.V kN 5 m

(40)

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élémentaires et ce à cause de la complexité de ce dernier Comparativement aux poutres doublement encastrées. Cette méthode est basée sur le principe des déplacements virtuels, elle consiste a combiner les différents mécanismes élémentaires de ruine, m, (m=p- r, où p représente le nombre de sections critiques) jusqu'à l’obtention du plus petit facteur de charge, λc . Le mécanisme et la charge de ruine de chaque combinaison sont obtenus à partir de l’égalité du travail produit par les charges extérieures ∑Pi.δ et le travail produit par les efforts internes ∑ Mp.θ (ce travail est obtenu par rotation des différentes rotules plastique).

Les possibles déformés du portique sont représentées dans les figures (2-12 à 2-14) et dépendent essentiellement de la valeur des deux charges λV et λH. Le portique se transforme en un mécanisme de panneau ou « Sway mechanism » si la charge horizontale est prépondérante, si la charge verticale est prépondérante, il se produit un mécanisme de poutre ou ‘’Beam mechanism’’ où un mécanisme combiné ‘’Combined mechanism’’ avec la participation des deux charges.

La combinaison des charges verticales λV et horizontales λH provoque la formation de deux (m=p- r =5-3=2, où p représente le nombre de sections critiques) mécanismes élémentaires et un troisième avec la combinaison des deux.

2-5-2-2 Beam mechanism

Dans ce cas, la ruine de la structure est causée par la charge concentrée verticale λV, le mécanisme et l’emplacement des rotules sont représentés dans la figure (2-12). Le schéma de calcul était celui d’une poutre encastrée aux deux extrémités (les nœuds des portiques sont assimilés à des encastrements parfaits).

La géométrie de la structure nous permet d’écrire l’équation :

δ =a⋅θ =b⋅ϕ D’où ϕ = ⋅θ b a

Figure.2-12 : « Beam mechanism »

λ.Vc φ E δ h b a θ φ θ

(41)

22

La charge concentrée verticale provoque la formation des trois rotules plastiques, ainsi que le déplacement virtuel δ, le travail extérieur est égal au produit λV. δ, le travail interne est égal à la somme des produits du moment plastique fois les rotations virtuelles ∑Mp.θi.

λV_c⋅ =δ M_p⋅ +θ M_p ⋅ +ϕ M_p(θ +ϕ) (2-18) λ θ θ θ (θ θ) b a M b a Vc ⋅a =Mp ⋅ +Mp⋅ + p + _c M_p b a l V ⋅ ⋅ = 2 λ (2-19) Pour une charge unitaire de V=1 kN , a=5m et b=10m

λ₌₆₀

2-5-2-3 Sway mechanism

L’effort horizontal λH transforme la structure en un mécanisme de panneau ou étage ou ‘’Sway mechanism’’, suite à la naissance de quatre rotules plastiques au droit des sections critiques (figure 2-14).

La géométrie de la structure nous permet d’écrire l’équation : θ ⋅ = ∆ h

Figure.2-13 : « Sway mechanism »

h b λ.Hc a θ θ _θ θ ∆ ∆

(42)

23

Avec le même principe des déplacements virtuels, on peut calculer facilement le facteur de charge de ruine de ce mécanisme :

λH_c⋅ ∆ =4M_p ⋅θ (2-20) λH_c⋅hθ =4M_p⋅θ c Mp h H = 4 λ (2-21)

Pour une charge unitaire de H=1 kN, et h=5m

λ₌₈₀

2-5-2-4 Combined mechanism

Le mécanisme représenté dans la figure (2-14) produit par la combinaison des deux mécanismes élémentaires, ces dernieres provoquent des déformations du portique dans les deux sens avec naissance de quatre rotules plastiques.le facteur de charge peut etre calculé à partir :

Figure.2-14: « Combined mechanism »

λ

V_c⋅

δ

+

λ

H_c⋅ ∆ = ⋅

θ

⋅ ⋅ p M b a l 2 + M_p⋅

θ

h 4 - M_p ⋅

θ

- M_p ⋅

θ

(2-22) « external Work ,beam mechanism » « external Work ,sway mechanism » « internal Work ,beam mechanism » « Internal Work ,sway mechanism » “ internal

Work, at hinge which has disappeared” h b λ.Hc a θ θ _θ θ ∆ ∆ θ θ φ φ λ.Vc δ

(43)

24

θ

λ

Vc⋅a +

λ

Hc⋅h

θ

= ⋅

θ

⋅ ⋅ p M b a l 2 + 4Mp⋅

θ

- 2Mp⋅

θ

Vc⋅a

λ

+ H

λ

c⋅h = Mp b l _⋅       ⋅ ₊ 2 2 (2-23) Pour H= V= 1 kN, a = 5m, b =10m et h = 5m λ =50

Il est constaté que ce mécanisme a la plus petite valeur du facteur de charge, donc λc =50 d’où le diagramme des moments fléchissants au moment de la ruine est le suivant :

Figure.2-15 : Diagramme des moments fléchissants du portique simple au moment de la ruine

Pour calculer la valeur du moment au niveau de la section B, il faut utiliser le théorème du moment libre et de réaction :

Figure.2-16 : diagramme des moments fléchissants poutre B-D

MB 100 100 100 100 MB Mp Mp x B D b a

(44)

25 M X l b V a Mlibre = p + ⋅ ⋅ = (2-24) D’ou X= 66.67 kN.m

D’après le diagramme des moments fléchissants on a :

5 15 B B p M X M M − = −

D’où MB= 50 KN.m, le diagramme des moments est comme suit :

Figure.2-17 : Diagramme des moments fléchissants total du portique simple au moment de la ruine

Les trois conditions du vrai mécanisme, condition d’équilibre, d’écoulement et de mécanisme sont satisfaites.

2-5-2-5 Effets du rapport λV/λH

Le présent paragraphe a pour objet l’étude de l’influence du rapport entre la charge concentrée verticale, λ_V,_{et la charge concentrée horizontale,}_λH,_α₌_λV/λH,_{sur la charge de} ruine du portique simple a une travée et un niveau (figure 2-18).

D’après le paragraphe précédent, on a trois types de mécanismes de ruine avec trois charges de ruine correspondantes du portique en question. En introduisant la relation linéaire entre

50

100

100 100