Sur la racine carrée de la codifférente

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

S

TÉPHANE

V

INATIER

Sur la racine carrée de la codifférente

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

15, n

o

_{1 (2003),}

p. 393-410

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2003__15_1_393_0>

© Université Bordeaux 1, 2003, tous droits réservés.

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Sur la racine carrée de la codifférente

par

STÉPHANE

VINATIER

RÉSUMÉ. On

_présente

deux résultats nouveaux concernant la

ra-cine carrée de la codifférente d’une extension faiblement ramifiée de

_Q.

Le

_premier,

relatif à sa structure

_galoisienne,

s’inscrit dans la

stratégie

classique développée

notamment _par Frôhlich et

Tay-lor. Le

_{second, qui}

concerne le réseau entier unimodulaire

_associé,

est

_prouvé

à l’aide de calculs

numériques

portant sur des

exemples

intéressants.

ABSTRACT. We present two new results about the _{square root} of

the inverse different of a

weakly

ramified extension of

Q.

The first one deals with its Galois structure and fits in the classical _strategy

developed by

Fröhlich and

Taylor

in

_particular.

The second one

deals with the associated

_integral

unimodular lattice and is

_proved

through

numerical calculation on

_interesting

_examples.

1. Introduction

Soit N une extension

_galoisienne

finie de

Q.

On note C~ l’anneau d’entiers de

_N,

D la différente de l’extension et G son _{groupe de} Galois. On _supposera tout au

long

de cet article _que G est d’ordre

impair.

Sous cette

_condition,

on _{sait par} la formule de Hilbert _pour la valuation de D en un idéal

premier

de 0

_qu’il

existe un

_unique

idéal fractionnaire .~4. vérifiant la relation :

.A.2 - D- ~ .

On

_appelle

A la racine carrée de la

_{codifférente.}

De _par sa

définition,

l’idéal ,A a deux

_propriétés

_qui

vont retenir notre attention. D’une

_part,

il est stable pour l’action du groupe de

Galois,

ce

_qui

en fait

un Z[G]-module.

D’autre part, il est auto-dual _pour la forme trace de

_{l’extension,}

ce

_qui

en fait un

G-réseau entier unimodulaire. C’est cette deuxième

_propriété

_qui

a d’abord

motivé l’étude de ,A par Erez

[11].

Deux

_questions

se

_posent

donc naturellement à _propos de la racine carrée

de la codifférente :

a _admet-elle une base

normale,

c’est-à-dire l’idéal ,~. est-il libre en tant que

Z[G]-module?

e le réseau associé à est-il

G-isométrique

au G-réseau entier

unimodu-laire

_{standard Z[G],}

obtenu en

_{munissant Z[G]}

de la forme bilinéaire

symétrique

qG

qui

rend orthonormale la base formée des

élé-ments de G ?

Précisons que deux G-réseaux sont dits

G-isométriques

s’ils sont

isomé-triques

via une isométrie

_qui

commute à l’action de G. On voit donc _que la

deuxième

_question

contient la

_{première, puisqu’une}

telle G-isométrie serait à fortiori un

isomorphisme

de

Z[G]-modules,

entrainant la liberté de

"~.

en tant _que

_Z[G]-module.

Dans cet

_article,

on donne à ces deux

_questions

des

_réponses

de natures

différentes :

_{réponses théoriques}

_pour la

_question

de structure

_galoisienne,

réponses numériques

pour celle du réseau associé.

On commence _par traiter le

_problème

le

_{plus classique}

(et

le moins

fort),

celui de la structure

_galoisienne

de ,A. On

dispose

alors des

_techniques

mises au

_point

_{notamment par} Frôhlich

[16]

et

_Taylor

_[23]

_pour l’étude de

la structure

_galoisienne

de l’anneau

_d’entiers,

ainsi _que d’un critère local

(l’analogue

du théorème de

_Noether),

dû à Erez. Avant de

_{l’énoncer,}

on a

besoin de la définition suivante.

Définition 1.1.

_N/Q

est dite

_{faiblement ramifiée}

_si,

_{pour tout} idéal

pre-mier p

de

_C,

le deuxième _groupe de

_ramzfication

_G2(p)

est trivial.

Il est

_implicite

dans cette définition _que l’extension considérée est

galoi-sienne. Le critère local d’Erez

_[13,

théorème

_1]

_stipule

_que ,,4 est localement

libre en tant

que Z[G]-module

si et seulement si l’extension

N/Q

est

faible-ment ramifiée. La ramification faible est donc une condition nécessaire _pour

l’existence d’une base normale _pour la racine carrée de la codifférente

_(à

fortiori _{pour que} le réseau associé soit

_{G-isométrique}

au réseau

standard).

Nous nous

_plaçons

désormais dans le cas où est faiblement ramifiée.

Rappelons

que l’extension est modérément ramifiée

quand,

pour tout idéal

_{premier p}

de

_0,

le

_premier

_{groupe de ramification} est trivial. Dans le cas de la ramification

_faible,

on

_accepte

un _peu de ramification

sauvage, que l’on contrôle en

_exigeant

la nullité des groupes

G2(p).

Cette

ramification _sauvage n’en _{pose pas} moins des

_problèmes

nouveaux _par

rap-port

à ceux traités _par

_Taylor

dans

_[23],

_qui

_empêchent

encore de résoudre

complètement

le

_problème

de la structure

_galoisienne

de dans le cas de la ramification faible. Dans la

_partie

_2,

on

_rappelle

les

_principaux

résultats connus sur cette

_question

et on montre :

Théorème 1. Soient p un nombre

_premier

_impair

et

_N/Q

une

_p-extension

finies, faiblement ramifiée,

de _groupe de Galois G. On note

_(,4)

la classe de la racine carrée de la

_{codifférente}

de l’extension dans le _groupe des classes de

_Z[G]-modules

localement libres et e l’indice de

_ramification

en _p dans

Dans notre

_cadre,

la liberté de ,~4 en tant

_{que Z [G]-module}

_équivaut

à la trivialité de la classe

_{(A) .}

La

_majoration

de l’ordre de

_(,A)

donnée _par le résultat

_précédent

n’est certainement _pas

_optimale.

Des calculs

_numériques

menés sur un

_grand

nombre

d’exemples,

ainsi _que le théorème 2.1

ci-dessous,

nous font croire à la

conjecture

suivante.

Conjecture.

Soit une extensions

faiblement ramifiée

de

degré impair,

de groupe de Galois G. Alors A est un

Z[G]-module

libre.

On en vient ensuite au

_problème

de la structure du G-réseau entier unimodulaire associé à ,A. On fait le

_point

sur les résultats

_théoriques

connus. Là _encore, la ramification faible et _{sauvage pose} des

_problèmes

non

entièrement résolus

_(à

_part

dans le cas des extensions abéliennes de

Q).

Des calculs menés à l’aide du

_logiciel

PARI

_[4]

sur des

exemples

d’exten-sions faiblement ramifiées non abéliennes

_permettent

de montrer le résultat suivant :

Théorème 2. Il existe des extensions

_faiblement

_ramifiées

de

_degré

impair,

pour

lesquelles

le réseau associé à A n’est pas

isométrique

au réseau

standard

_Z[G],

avec G = Parmi

celles-ci,

il

y a des extensions

modérées,

ainsi _que des extensions

sauvagement

ramifiées

pour

lesquelles

.~4 est

_isomorphe

_{à Z[G]}

en tant _que

On donne le détail de ces calculs dans la

_{partie 3,}

ainsi _que des

_exemples

d’extensions

_adéquats.

Ces deux théorèmes

_complètent

les résultats

présen-tés dans

_[25]

et

_[26].

Remerciements. L’auteur remercie le

_rapporteur

de l’article _pour sa

lec-ture attentive et _pour ses commentaires.

2. Structure

_galoisienne

En

_plus

du critère local

_{évoqué plus haut,}

Erez a obtenu des résultats

globaux

sur la structure

_galoisienne

de ,A : il a notamment montré _que

,,4

est

_{un Z[G]-module}

libre

_quand

l’extension est

_abélienne,

absolue et fai-blement ramifiée

_~11~,

ainsi _que dans le cas où l’extension est modérément ramifiée

_[13,

théorème

_3]

_(ce

résultat est valable _pour une extension

rela-tive

_galoisienne

de _corps de nombres en considérant

toujours

comme

Z[G]-module).

Lorsque

l’extension n’est _pas abélienne et _que la ramification sauvage rentre en

_jeu,

les outils dont on

_dispose

sont moins

_performants.

On montre

cependant

dans

_{[25] :}

Théorème 2.1. Soit

_N/Q

une extension

_{faiblement ramifiée}

de groupe G

d’ordre

_impair.

On _{suppose que} les _groupes de

_{décomposition}

aux

places

L’hypothèse technique

sur les groupes de

décomposition

aux

places

sau-vages

peut

rappeller

celle

_apparaissant

dans un article récent de

Cassou-Noguès

et

_Taylor

_[7]

sur la structure

_galoisienne

de l’anneau d’entiers d’une extension

_sauvagement

ramifiée de

_Q.

On la verra

_ressurgir

comme une

condition naturelle

_{lorsqu’on présentera}

des résultats

_numériques

sur le

réseau associé à .~,.

2.1.

_Stratégie

de la preuve du théorème 2.1. Sans entrer dans le

détail de la démonstration de ce

_théorème,

donnée dans

[25],

on souhaite en

_{présenter quelques étapes}

en

rappelant

notamment les notations et les résultats _que nous utilisons _pour démontrer le théorème 1 dans le

para-graphe

suivant. La

_{stratégie d’attaque}

du

_problème

est la même que celle utilisée par

Taylor

pour démontrer la

conjecture

de Frôhlich dans

_[23]

et par bien d’autres auteurs

_depuis.

Par

_contre,

le traitement des

_places

sau-vages

requiert

de nouvelles méthodes et utilise

l’hypothèse

du théorème 2.1

sur les groupes de

décomposition

en ces

places.

Hormis ce dernier

point,

ce

travail

_s’applique

à la situation considérée dans le théorème 1.

Puisque

est

_supposée

faiblement

_ramifiée,

on sait

_grâce

au critère

local d’Erez

_rappelé

dans l’introduction _que ,~ est localement libre en tant

que Z[G]-module.

On

peut

donc considérer sa classe

(.,4)

dans le _groupe

des classes

_{de Z[G]-modules}

localement libres Le fait que G soit d’ordre

_impair

_apporte

un

_avantage

_par

_rapport

à la situation étudiée _par

Taylor,

à savoir _que A est libre en tant

_{que Z [G]-module}

si et seulement si

(,A.)

est triviale

_(il

_y a

simplification).

L’étude de

_(,~4)

se fait

_grâce

à la

_{Hom-description}

de Frôhlich de

C1(Z[G]),

qui

est

_{l’isomorphisme}

_{de groupes suivant}

_{[16] :}

où,

ayant

fixé une clôture

algébrique Q

de

Q,

RG

est le _groupe addi-tif des caractères virtuels de G dans

_Q,

E

_{c if}

un _corps de nombres

"suffisamment

_gros"

_pour contenir les valeurs des fonctions de caractères

considérées,

J(E)

désigne

le groupe des idèles de

E,

QQ

= _et

Pour

_plus

de

_précisions,

voir

_{[16, 1.2]}

ou

[12,

2].

La

stratégie

consiste alors à trouver un

_{représentant f}

de la classe

_(A)

dans

J(E))

et à montrer

_{qu’il appartient}

en fait au dénominateur de

(1).

On obtient le

_{représentant}

de

_(,A)

à l’aide de deux sortes

_{d’ingrédients,}

les résolvantes

_(de

nature

_algébrique)

et les sommes de Gauss

_(de

nature

analytique,

car issues de

_{l’équation}

fonctionnelle des fonctions L

d’Artin).

Soit L un

premier

de

Q. Puisque 4

est localement libre en tant que

d’une

_{représentation}

T de

_G,

on définit la résolvante _{par :}

(on

sait _que cela ne

_dépend

_que de

X)

et on

désigne

par

Rl (x)

l’idèle de E dont la

_p-composante

est _{donnée par :}

On note Tl la somme de Gauss locale en l

[19,

114].

A l’instar

_d’Erez,

on la

"tord" à l’aide de la seconde

_opération

d’Adams

_1/1.

Il

_s’agit

de

l’endomor-phisme

de

_RG

défini pour x E

RG

par

X(g2)

pour

tout 9

e G. On définit alors E E* _{par :}

Soit S l’ensemble des diviseurs

_premiers

de G et soit

_Sw

l’ensemble des

premiers

de Q

qui

sont

_sauvagement

ramifiés dans

_{N/Q (bien}

_{sûr, Sw}

C

_S).

Si 1 g

SW,

on définit de même à

_partir

de la somme de Gauss modifiée

[23,

3].

On obtient alors comme dans

[25] :

Proposition

2.2. Soit

_f(l)

_(resp.

_f~c~)

_{l’application}

Rliz-l

_(resp.

pour 1

E

_Sw

_{(resp. 1 e}

_Sw).

Alors

où le

_produit

court sur toutes les

_places

1 de

_Q,

est un

représentant

de

(A)

dans

_{Homn, (RU,}

_J(E)).

Il faut maintenant étudier le

_{représentant f .}

Pour

_cela,

on

_considère,

pour

chaque

p

premier,

la

composante

fp

de

_f

dans

_Hom(Rg,

_JP(E)),

où Le théorème 2 de

_[13]

_{entraîne que, pour} tout

_premier

p,

_fp

E où

_Up(E)

est le _groupe des unités de

_{Jp (E).}

Or

on sait _par la

_proposition

2.2 de

[16, 1]

_que, si Nl est un ordre maximal de

~~G~,

alors

où

_.Mp

= NI 0z

Zp.

Enfin, lorsque

p est

premier

à

~G~,

Zp[G]

est un ordre

maximal de

_{Qp [G]}

_(donc

_À4p

_pour un bon choix d’un ordre

maxi-mal Nt de

_Q[G]).

On en déduit :

Proposition

2.3. Soit _p un nombre

_premier

avec

p tt

S,

alors

fp

E

Soit maintenant _p un

_premier

divisant l’ordre de G.

L’isomorphisme

(3)

ci-dessous montre

_qu’on

_peut

travailler entièrement

_localement,

bien _que

_fp

soit à valeurs semi-locales

_{(Jp (E) rr}

_{Ep ) .}

On fixe _pour tout

_premier

_p

une clôture

algébrique

~

de

Qp

ainsi

qu’un

plongement :

Pour tout _corps de nombres

_F,

on note

_Fp

la fermeture de

_jp(F)

dans

_~

et on note encore

_jp

_{l’homomorphisme}

d’algèbres

induit : F

Fp.

Soit

_Rc,p

l’anneau des caractères virtuels de G dans

_0152,

alors

_{l’application}

x -

x~p

est un

isomorphisme

d’anneaux de

.RG

sur On obtient ainsi

un

homomorphisme

de groupes :

qui

induit

_{l’isomorphisme}

_{de groupes}

_[16,

_II,

lemma

_{2.1] :}

où

_nQp

= On

peut

se

_reporter

à

[7]

_pour des détails. De

plus,

si on note

_G(p)

_{le groupe de}

_{décomposition}

en _p dans

N/Q,

on montre que, pour un bon choix de _ap, il existe une base ap de

4NI%

comme

Zp[G(p)]-module

telle _{que :}

modulo un élément de

Det(Zp[G]*)

(que

l’on omettra

_{dorénavant).}

Pour X E

_Rg

et 1 un nombre

premier, notons XI

la restriction

de X

à

G(l).

Soit 0 c

_RG,p,

alors

On en déduit _que E il en va de même

pour

Il suffit _{maintenant pour montrer} le théorème 2.1 de démontrer que pour tout nombre

premier

p E S’. On constate que est un

produit

d’ au

plus

trois

_types

de facteurs choisis

parmi

les suivants :

~M~

Sw

p décrit l’ensemble des nombres

premiers de Q correspondant

à une

place

ramifiée dans

_N/Q

_(en

_effect,

= 1 si l

correspond

à _une

place

non

_ramifiée).

On note _que le

_premier

facteur n’intervient _{que si p} E

Sw,

le deuxième seulement si

_{p rt}

_Sw.

Le

_comportement

des facteurs "modérés"

~p(/~)p),

pour

lequel? %

Sw,

et

jp (,f ~1),p),

pour

lequell =1

p,

l ~

Sw

(mais

par

adaptation

de résultats existants.

Ainsi,

le traitement de

_{~(/~B )}

se

fait à l’aide du théorème 3 de

_[23],

avec des

_{aménagements}

rendus

_possibles

par les inclusions

(2-7)

de

[6].

On obtient

[25,

lemme

4.4] :

Lemme 2.4. Pour tout

_{premier 1}

_{avec 1 e}

_Syp

_{et 1 * p, il}

existe une

extension

_galoisienne

non

_ramifiée

Fl/Qp

telle _que

Ce résultat sera utile dans la suite. Précisons

qu’il

ne nécessite _pas

d’hy-pothèse

sur les groupes de

_{décomposition}

aux

_places

_sauvages,

_puisque

l’on travaille au-dessus d’une

_place

modérée. Le traitement des facteurs de la

forme j~ ( f ~~),p)

avec

p ~

Sw

est basé sur la preuve du théorème 31 de

[16],

en utilisant le théorème 5.2 et

_{l’égalité}

_(6.3)

de

_[13]

_(on

_reprend

celle-ci

_plus

bas dans le lemme

_2.8).

Le

_comportement

des facteurs

_"sauvages"

_j;

_(f(p),p)

_(pour

_lequel

p E

_Sw)

et

_j;

_{( f (l),p),}

_pour

_{lequel l #}

_p, l E

Sw

_(mais

p

peut

indifféremment

apparte-nir ou non à

_{Sw )}

nécessite

_{l’hypothèse}

faite dans le théorème sur les _groupes

de

_{décomposition}

aux

_places

_sauvages.

Notamment,

le traitement du

pre-mier d’entre eux utilise la

description

exhaustive des extensions abéliennes

faiblement et

_sauvagement

ramifiées de

_{~p [25,}

théorème

_{1. 1],}

_qui

est

ob-tenue

_grâce

à la version locale de la théorie de Kronecker-Weber.

2.2. Preuve du théorème 1. On en vient maintenant à la _preuve du

théorème 1. Soit une

_p-extension

finie

_galoisienne

de groupe

_G,

fai-blement ramifiée. Si p n’est pas ramifié dans

N/Q,

le résultat est une

conséquence

de

_[13,

théorème

_3].

On _suppose donc _{que p} est

_ramifié,

on a alors ,S =

{p}

et l’on sait

que le groupe d’inertie

ro

de est abélien

_{p-élémentaire}

_(par

_exemple

à l’aide des corollaires 1 et 3 de

_[20,

IV]),

d’ordre e. Par la

_proposition

_2.3,

on ne doit se

_préoccuper

_que de :

où 1 décrit l’ensemble des diviseurs

_premiers

du discriminant de l’extension

qui

sont distincts de p. Le lemme 2.4 traite les facteurs en

l,

ce

_qui

nous

ramène à étudier

_j;

_{(f(p),p) .}

C’est le

produit

d’une résolvante _par une somme

de Gauss et on a le résultat suivant pour la

puissance

p-ième

de la somme

de Gauss.

Proposition

2.5. Sous les

_hypothèses

du théorème

_1,

soit la

_fonction

_mp E

Hom{RG, .E*)

définie

par

mp(X) =

pour tout X E

_Rg.

Alors

rrzpp

e

_HomoQ(RG,

_O%)

et,

pour tout nombre

premier

l distinct de p, on a

Preuve.

_Puisque

G est un _p-groupe, la deuxième assertion découle de la

définition des sommes de Gauss

locales,

on note _{que mp =}

Indr np,

où r est _{le groupe de} Galois de l’extension

_N.1%

_(identifié

au _{groupe de}

décomposition

en

p)

_et,

_pour

_{tout X}

E

_Rr,

Il suffit de calculer _n~ sur les caractères irréductibles de F.

Or,

bien que

la suite exacte 1 -

_ro

- r -

_r/ra

--t 1 ne soit _pas nécessairement

scindée,

on

_dispose

d’un

_analogue

du "lemme des

_petits

groupes"

[21,

pro-position

25].

Soient _cp un caractère irréductible de

_ro

_{et q}

E

_r,

on définit

le caractère _{par :}

pour x e

_ro,

et on note ~ _

_W-f

=

p)

le stabilisateur de

p. On

.

déduit alors de

_{[9, 11.47]}

_{que cp} s’étend en un caractère abélien de E. Le

caractère de r induit par cp est irréductible et la

_proposition

5.1 de

_[15]

montre _que tout caractère

_{irréductible X}

de r est de cette forme :

Comme

_{[F : E]}

est

_premier

à

_2,

la seconde

_opération

_{d’Adams 1f;}

commute à l’induction de :E à r. Or = _un caractère de

_degré

0. Par

la

_propriété

d’induction en

_degré

0 de la somme de

Gauss,

on en déduit :

On détermine maintenant le conducteur de _cp. Comme _{cp est}

_abélien,

il est trivial sur _{le sous-groupe dérivé}

E’

de S. Notons N’

(resp. NE)

la

sous-extension de

_Np

fixée par

E’

(resp. E).

Alors

~/~’

et on

peut

voir cp

comme un caractère de via la théorie du _corps de classes. Enfin

_ra

C

E,

donc p est une uniformisante de

Né-Lemme 2.6. Le conducteur de _cp et celui de

_cp2

sont

_égaux

et valent :

Preuve. On a

p( 1

+p2(?NE)

=

cp((1 + p2 ONr, N’ INE»,

où est

l’application d’Artin,

et on sait _par le théorème 2 de

[20,

XV]

et le théorème

de Herbrand

_[20,

_{IV, proposition}

_14]

_que

Or

E2

C

_{E2 = F2}

_{-- ~ 1 ~,}

donc _p est trivial sur 1 -#- Si de

plus

p(1

=

1,

alors p

est trivial _sur

(~/~’)1

=

(E/E’)i = (E/E’)o,

donc _{cp est} non ramifié et son conducteur est 0 0

(ici

¡5

=

W-’).

Vu le lemme

précédent

et à l’aide du corollaire 1 de

[22,

p.

96J,

on en déduit _que

Tp(p -

~p2 )

est une racine de l’unité. Il s’ensuit _que

np et mp sont à valeurs dans

Etudions maintenant l’action

_galoisienne

sur _{np. Soit} w E on déduit de

₍₄₎

et du théorème 5.1 de

_[19,

_{II] :}

où

_up(w)

est

_l’unique

élément de tel =

77 up(w)

pour

tout 11

racine

_pn-ième

de l’unité de

_~

_(n

entier

_quelconque).

_Puisque

_up(w)

est

une

unité,

son

_image

dans

Gal(Np/NE)

_par

_{l’application}

d’Artin est un

élément du _groupe d’inertie

_ro,

donc son ordre est 1 ou _p. Comme _{cp est}

un caractère

abélien,

on en tire _que =

1,

c’est-à-dire _que

npP

et

donc

_mpP

commutent à l’action de D

On en déduit _que est

_représenté

dans

_J(E))

_{par la}

fonc-tion _{g -} ce

_qui

ramène à étudier

où

_{h p}

est l’élément de défini _{par :}

ap étant une base normale de la racine carrée de la codifférente locale On note

_No

la sous-extension de

_Np

fixée par

ra

et q =

pf

le

cardinal du _corps résiduel de

_No.

On a :

Proposition

2.7.

Preuve. On commence _par se ramener au _{groupe d’inertie}

ro

de l’extension.

L’égalité

(6.3)

de

_[13],

_que l’on retranscrit dans le lemme

suivant,

donne le

comportement

de la résolvante _par

_rapport

à la restriction Res =

_{Res ra}

des caractères au _{groupe d’inertie.} On note

_~3p

une base de comme

N0

Lemme 2.8. Il existe À E tel _{que, pour}

_{tout x}

E

Rr :

Soit

_kp

l’élément de

_{Ep )}

défini _par

_{kp(0) = (~3~ j}

₁₀₎

pour tout 0 E

_Rro,p’

On déduit du lemme

_précédent

_{que, pour} un À E 1

Voici un

_premier

résultat concernant la fonction

_{kp :}

Lemme 2.9.

_(kp)P

E

_Homn,

Preuve. Soit 0 un caractère de

For.

La

_proposition

4.4 de

[16, 1]

donne

Comme

Deto

est un caractère de

ro qui

est

d’exposant

_p, on en déduit _que

(kp)P

est

_{ONo-équivariant,}

c’est-à-dire

_(ICp)g

E

_HomnNo

_(Rro,Pl

_E;).

Il faut maintenant _{montrer que}

_(!3p

₈₎

E On _{suit pour} cela le chemi-p

nement de la _preuve de

_[13,

_proposition

_7.6].

Si

_(p

est une racine

primitive

p-ième

de

_l’unité,

les extensions

_No

et sont linéairement

_disjointes

sur

~,

donc H =

Gal(No((p)/No)

est

isomorphe

à On

tire de la formule ci-dessus :

Or est une racine

p-ième

de l’unité et la valuation de

_{(,~P ~}

_{( 0)°’}

ne

_dépend

_pas de c~ E H. On est donc ramené à _prouver que

( 0")

=

(/3~ ~

1

EH

Bw)

appartient

à

_OÊp.

Tous les 0°’

_ayant

le même noyau

ker (0),

on

note

_No

la sous-extension de

_Np

fixée _par

_ker(0)

et

_ro

=

alors,

par

[13,

lemme

7.9] :

1

où

_Inf

est l’inflation des caractères de

_ro

à

_ro,

_regp

et

_lr,,

_désignent

ro

respectivement

le caractère de la

_{représentation}

_régulière

et le caractère

trivial de

Te.

Posons

₆₀

=

(,C~p),

_{on a : 1}

Soit P

_(resp.

_po,

_po)

l’idéal

_premier

de l’anneau d’entiers de

_{Np (resp.}

_No,

No ) ,

alors

_{ANp/Qp =}

pl-e

par la formule de Hilbert pour la valuation de la différente

_et,

_par

_[20,

_{III, proposition}

_{7] :}

On en déduit

_puis

Si 0 n’est pas le caractère trivial de

To,

alors

_Iker(O)1

=

e/P

_{et on} obtient

de manière

_{analogue :}

En

_particulier,

E

P01-p B

P02-p,

d’où

Sinon,

ker(O) =

For,

No =

No,

donc

₆₀

e

_ONe

et on a encore =

Dans les deux _cas,

_{(Je engendre}

une base "normale" de

la formule d’induction _pour la résolvante

_{~13, p.252~,}

en _{notant que}

_{regr~ =}

et on obtient

_{l’égalité}

suivante entre idéaux de

Il}

où

_NN6/No

_désigne

la norme de

No

à

No

et

dN6/No

le discriminant de cette

extension. Mais la norme vaut

justement

donc

_{(,~3e j}

_{1 regr6)}

est lui aussi une unité. 0 Soit

Mo

l’ordre maximal de On déduit du lemme

_précédent

et de

l’analogue

de

₍₂₎

avec

_No

comme _{corps de} base

qu’il

existe u E tel que

(kp)P =

Det(u).

De

plus,

en notant =

(m &#x3E;

1

d’après

_nos

hypothèses)

on a la

décomposition :

donc u s’écrit

pour 1 i r, où 7T est une uniformisante

Lemme 2.10.

Preuve. Le

théorème

de Jacobinski

_{[9, 27.8]}

décrit le conducteur .~ de

Mo

dans Le calcul donne la

_{décomposition :}

et,

en notant

_vp

la valuation

_{p-adique :}

si bien que i

c’est-à-dire

xpm-l -

1 E il’. A

_fortiori,

appartiennent

à Il ne reste

_qu’à

noter _que

pour achever la démonstration du lemme. D

Comme

_kpP

=

Det (u)

_{et e =}

pm,

_on déduit du lemme

précédent

que On termine la preuve de la

proposition

2.7

grâce

On est maintenant en mesure de terminer la preuve du théorème 1. On

déduit de la

_proposition

2.7 _que

On voit alors à l’aide du lemme 2.4 et de la

_proposition

2.5

_qu’il

existe une

extension non ramifiée

_Bp/Qp

telle _que E Le théorème des

_points

fixes

_[23,

théorème

_6]

entraîne :

c’est-à-dire

_{(,~4){q-1?e -}

1. Mais on sait _par

[13,

théorème

2]

_que

(r4)

ap-partient

au _{groupe noyau}

D(Z[G])

_et,

comme G est _{un p-groupe,}

_D(Z[G])

en est un aussi

[9,

50.18].

Il s’ensuit _que =

_1,

_ce

_qui

_est le résultat

annoncé.

2.3. Un commentaire. La _preuve du théorème 1 laisse entrevoir la

pos-sibilité d’une amélioration du résultat. En

_effet,

on montre

_(lemme

_2.9)

_que la fonction de caractères à étudier vérifie :

On aimerait

_pouvoir

en déduire _que

(kp)P

E On obtiendrait

alors _que l’ordre de

_(,.,4.)

est 1 ou _p. Mais comme

Fo

est un _p-groupe, on ne

peut

pas

appliquer

le raisonnement tenu pour montrer la

proposition

2.3

(il

sert aussi _pour montrer le théorème 31 de

_[16]

_{évoqué plus}

_haut).

Dans la preuve du théorème

2.1,

le même

_type

de

_problème

est

_réglé

_grâce

à la

description

exhaustive des extensions abéliennes faiblement et

_sauvagement

ramifiées de

_Qp

_(à

l’aide de la version locale de la théorie de

Kronecker-Weber),

qui

permet

de ramener le calcul de la résolvante à un cas où il est entièrement

_explicite.

On aimerait avoir une aussi bonne

description

des extensions abéliennes

faiblement et

_sauvagement

ramifiées de

No,

afin de rendre

_possible

une

estimation

_précise

de la résolvante

_qui

définit la fonction

_kp.

Une

_façon

de l’obtenir

_pourrait

être via les corps de division associés à des groupes formels de Lubin-Tate. Une

_partie

du travail dans ce sens est faite _par

Byott

dans

_[5],

où il étudie la structure

_galoisienne

de l’anneau d’entiers des extensions d’un _corps

_{p-adique K}

contenues dans le deuxième _corps de division

_{K~2~ ,}

traitant en

_particulier

le cas des extensions abéliennes

totalement et faiblement ramifiées de K.

. 3. Le réseau associé

"

On se

_penche

maintenant sur le deuxième

_{problème évoqué}

dans

l’intro-duction,

celui de la structure du G-réseau entier unimodulaire obtenu en

munissant la racine carrée de la codifférente de la forme trace. On commence par faire le

point

des

principaux

résultats connus ;

puis

on montre comment construire des

_exemples

intéressants d’extensions

_qui

ne vérifient _pas leurs

hypothèses; enfin,

on

présente

le calcul et les

_{exemples qui}

_prouvent

le théorème

_2,

ainsi _que de nouvelles

pistes

ouvertes _par ces calculs.

3.1. Les résultats

_théoriques.

Une

_{présentation}

très

_complète

des résul-tats concernant la racine carrée de la codifférente

_(au

début des années

1990)

peut

être consultée dans

_[12].

Nous en

_extrayons

ceux

_qui

suivent. Dans sa thèse

[11],

Erez traite entièrement

(du

_point

de vue

_adopté

dans

cet

_article)

le cas abélien absolu.

Théorème 3.1

_(Erez).

Soit

_N/Q

une extension

_galoisienne

de _groupe G

d’ordre

_impair.

Sz

_N/Q

est

_abélienne,

les assertions suivantes sont

équiva-lentes : .’

(i)

N/Q

est

_{faiblement ramifiée,}

(ii)

A est

_isomorphe

à

_Z[G],

(iii)

l e réseau associé à A est

_{G-isométrique}

au réseau

standard Z[G].

Pour ce

_qui

est du cas non faiblement

ramifié,

des résultats sur le réseau

associé à ,,4 ont aussi été obtenus

_([3]

est l’aboutissement de travaux de Bachoc

_auxquels

Erez a

_pris

part).

On a

_rappelé

au début de la

_partie

2 _que Erez avait établi l’existence

d’une base normale _pour dans le cas modéré. Le résultat suivant sur la

structure du réseau associé dans le cas modéré est venu _peu

après.

Théorème 3.2

_{(Erez-Taylor).}

Si

_N/Q

est

_modérée,

alors le réseau associé à ,A est stabl ement

_{G-isornétrique au}

réseau

Précisons _que deux réseaux sont dits stablement

_{G-isométriques}

s’ils de-viennent

_{G-isométriques}

_{après ajout}

à chacun d’un même réseau

hyperbo-lique

(on

verra

_plus

loin

_qu’il

_n’y

a _pas

_toujours

simplification).

Le résultat

présenté

dans

_[14]

est valable pour une extension relative

_galoisienne

de

corps de nombres

N/K :

et munis des formes hermitiennes

adéquates

(construites

à

_partir

de la trace de N à K pour par-tir de l’inversion dans G pour définissent la même classe dans le groupe de Grothendieck de

Z[G]-modules

hermitiens.

Ces deux théorèmes laissent

_place

à

_{l’expérimentation}

_puisqu’ils

ne

traitent _pas le cas non

modéré,

non abélien. La

première

étape

est de construire des

_exemples

intéressants

d’extensions,

c’est

_l’objet

du

_prochain

paragraphe.

3.2. Une famille infinie d’extensions faiblement ramifiées. On

vou-drait faire ici l’ébauche de la construction d’une famille infinie d’extensions

de Q

faiblement et

_sauvagement

_ramifiées,

non

abéliennes,

de

degré

im-pair, qui

est décrite en détail dans

[26].

Le

_{premier point}

est de construire des extensions

_{galoisiennes de Q}

de _groupe de Galois donné. Il

_s’agit

d’un

problème

de théorie de Galois inverse

_explicite

et on utilise _pour cela une

méthode élémentaire mise au

_point

_par Eichenlaub

[10].

On choisit

arbi-trairement de réaliser le

_produit

semi-direct

C3

(des

considérations de faisabilité des calculs _par ordinateur interviennent dans ce

choix).

La construction d’Eichenlaub d’une famille infinie d’extensions

galoi-siennes

_{de Q}

_{de groupe de} Galois

_C9

~a

_C3

est décrite _par le

_diagramme

suivant :

où

₍₉

est une racine

_primitive

9-ième de

_{l’unité, j}

=

~9~, ~

est un

pa-ramètre et a =

a(t)

_e

Q(j)[t]

_est choisi de _{sorte que, pour} une infinité

de

_{spécialisations}

de t en des valeurs

_entières,

l’extension soit

galoisienne

de groupe de Galois

_isomorphe

à un

produit

semi-direct

C6

ne contenant

_{qu’un 2-Sylow.}

Celui-ci est alors

_distingué

et la sous-extension

N/Q

qu’il

fixe a les

_propriétés

voulues.

On

_peut

déterminer un

_polynôme

_paramétré

dont N est le _corps de

décomposition

(pour

les bonnes valeurs de

_t).

On _pose w

= t2 - t

+

_1,

il

s’agit

de :

Le calcul de la ramification en 3 dans les extensions lV _pour un

grand

nombre de valeurs de t semble

_indiquer

_que est faiblement ramifiée

quand t

est _{congru à 5 modulo 9. Dans}

_~26~,

on montre que cela est bien le

cas. Le

point

essentiel est de

pouvoir

déterminer la ramification dans

l’ex-tension kummérienne en fonction de t

_{(c’est-à-dire}

sans le

spécialiser

en des valeurs

entières).

Cela est

_{possible grâce}

à des critères de ramification dans les extensions kummériennes dus à Hecke

_(extensions

de

degré

premier,

[181)

et à Greither

_(extensions

de

_degré

une

_puissance

d’un

premier,

[17]).

On obtient de

_plus

des

_{renseignements}

sur la

_{décomposition}

de 3 dans l’extension en fonction de la congruence de t modulo 27

(en

par-ticulier,

on trouve des

_exemples

d’extensions vérifiant les

_hypothèses

du théorème

_2.1).

C’est le calcul du réseau associé à ,~4 sur ces

exemples

(ainsi

_que

d’autres)

qui

permet

de montrer le théorème 2.

3.3. Preuve du théorème 2. La _preuve du théorème 2 est

_numérique

et _{passe par} un calcul sur ordinateur à l’aide du

_logiciel

PARI

[4]

(dont

les sources sont

_publiques).

Voici un

algorithme qui

_permet

de calculer le

minimum et le nombre de vecteurs minimaux du réseau entier unimodulaire associé à la racine carrée de la codifférente d’une extension

_galoisienne

N de

Q,

où N est donné comme _corps de

_rupture

d’un

polynôme

P. Il a été conçu

avec l’aide de Bachoc et mis au format PARI avec l’aide d’Allombert. On

peut

se

_reporter

à

[8]

_pour les notions

sous-jacentes

aux fonctions utilisées. On donne ensuite des

_exemples

de

_polynômes

_pour

_lesquels

ce calcul valide

les assertions du théorème 2.

Le réseau standard

_Z[G]

a

IGI

vecteurs de

_{longueur égale}

à 1

_puisque

la

forme bilinéaire

_symétrique

qG

qui

le définit vérifie

?G’(7?7) =

1 pour tout g E

_G,

si bien _que

_Z[G]

est

_isométrique

à

ZIGI.

Il suffit donc pour prouver le théorème 2 de trouver des

_polynômes

P définissant des extensions de

Q qui

vérifient les

_propriétés

_requises

dans le théorème et _pour

_lesquels

l’algorithme

ci-dessus donne des vecteurs minimaux de

_longueur

_supérieure

ou

_égale

à 2

_(la

_longueur

d’un vecteur x E r4 est donnée par Si cela est

_réalisé,

le réseau associé à ,~4 ne

_peut

_pas être

_isométrique

à

donc à fortiori il ne

_peut

_pas être

G-isométrique

à

Z[G].

1er

_{exemple : prenons t}

= 5 dans le

polynôme

Pt

défini dans le

para-graphe précédent

et

_appliquons

la fonction

_polredabs

de

_PARI,

on trouve le

_{polynôme :}

que l’on note

_p5.

Soit lV son _corps de

décomposition.

La suite

d’instruc-tions :

donne un

polynôme P

de

degré

27 dont N est le _corps de

_rupture.

On vérifie que le groupe de Galois de est

isomorphe

à

C9 x C3

(par

exemple

à l’aide de la fonction

_galoisinit

de

_{PARI) ;}

on sait alors _par le théorème 2

n’est _pas

_décomposée

dans

_{N) .}

On

_applique

donc à P

_{l’algorithme}

ci-dessus.

On obtient _que le réseau associé à est unimodulaire

_(de

dimension

_27),

de minimum 3 et contient 2664 vecteurs minimaux.

On retrouve ce réseau dans la classification de

[2] :

il

_s’agit

de celui à

3317760

_{automorphismes.}

On

_peut

d’ailleurs montrer

_[26,

théorème

_5.2]

que celui-ci est le seul des 3 réseaux entiers unimodulaires de dimension 27 sans racines

_pouvant

se réaliser comme réseau associé à la racine carrée de

la codifférente d’une extension faiblement ramifiée

_{de Q}

_(les

racines d’un réseau entier sont les vecteurs de

_longueur

1 ou

2).

2ème

exemple :

comme on l’a fait _remarquer, on sait _que 3 ne se décom-pose pas dans l’extension de

l’exemple précédent,

donc elle ne vérifie _pas

l’hypothèse

du théorème 2.1 et la théorie ne dit _pas si

,~.

est ou non

iso-morphe

à

_Z[G]

en tant

_{que Z[G]-module.}

_L’objet

du deuxième

_exemple

est de fournir une extension vérifiant les

hypothèses

du théorème 2.1 et _pour

laquelle

il

_n’y

a _pas isométrie avec le réseau standard. Il

_provient

d’une

fa-mille

_régulière

d’extensions

_{de Q}

_{à groupe de} Galois

_isomorphe

à

_{C9 x C3,}

qui

a été fournie à l’auteur _par Eichenlaub. On considère le

polynôme :

On vérifie comme ci-dessus _que le _groupe de Galois du _corps de

décomposi-tion N de ce

_polynôme

est

_isomorphe

à

_C’9

x

_C’3,

_que est faiblement

ra-mifiée,

que 3

s’y décompose

(donc

le groupe de

décomposition

en

_3,

d’ordre

3 ou

_9,

est

_abélien)

et _que le réseau associé à ,~4 est de minimum

_2,

à 216 vecteurs minimaux

_(et

3960 vecteurs de norme

_3).

On a ainsi un

exemple

d’extension _pour

laquelle

il _y a

_isomorphisme

de

Z [G]-modules

entre ,~l

_{et Z[G],}

mais pas isométrie entre les réseaux associés. Le théorème 3.1 assure _que ce

phénomène

ne

_peut

_pas se

_produire

dans le

cas où l’extension est abélienne absolue.

3ème

_{exemple :}

on veut maintenant un

exemple

d’extension modérée

pour

laquelle

le réseau associé à la racine carrée de la codifférente ne soit pas

isométrique

au réseau standard. On

_présente

dans

[24]

une méthode

similaire à celle du

_paragraphe

3.2 _pour construire une infinité d’extensions

modérées

_{de Q}

_{de groupe de} Galois

_isomorphe

à

_C7

x

_C3.

On en extrait

l’exemple

suivant. Considérons le

_{polynôme :}

On vérifie _{que le groupe de} Galois du _corps de

_{décomposition}

N de ce

polynôme

est

_isomorphe

à

_C7

~a

C3,

que est modérément ramifié

_(de

discriminant

_{21g 7i41931g )}

et _que le réseau associé à r4. est le seul réseau unimodulaire de rang

21,

de minimum

2,

à 84 vecteurs minimaux.

Dans cette

_situation,

on sait _par le théorème 3.2 que le réseau associé à

,,4 est stablement

_{G-isométrique}

au réseau standard et on voit

_{qu’il n’y}

a

pas

simplification.

Cet

_exemple

clôt la démonstration du théorème 2.

3.4. Nouvelles

_pistes.

Contrairement à ce

_qu’on

_pourrait

_penser à la lec-ture du

_{paragraphe précédent,}

les calculs

_{numériques n’apportent}

_{pas que} des

_{réponses "négatives".}

Ils

_peuvent

aussi conforter des

_{présomptions,}

in-diquer

la

_piste

à suivre et éventuellement ils font

_apparaître

des

_phénomènes

insoupçonnés.

Ainsi,

dans tous les

_exemples

testés pour

lesquels

,.~ n’est pas

isométrique

à Z[G],

on a _pu

_appliquer

un nouvel

algorithme

de calcul

explicite

des

auto-morphismes

du groupe de Galois d’un corps de nombres

(présenté

dans

[1]),

qui

a

_{toujours permis}

de trouver une base normale _pour la racine carrée de

la codifférente. Ces calculs motivent la

_{conjecture présentée}

dans l’intro-duction et incitent à tenter d’améliorer les résultats

_théoriques

existants.

Si on veut

_{généraliser}

le théorème

_3.2,

on

_pourrait

être tenté de rester dans le cas de la ramification modérée et de travailler _pour ôter l’adverbe "stablement" de l’énoncé. Le troisième

_exemple

du

_{paragraphe précédent}

montre _que cet

_espoir

est vain et

_qu’il

faut

_plutôt

essayer

d’élargir

le résultat

_(avec

l’adverbe

_{"stablement" )}

aux extensions faiblement ramifiées

(du

moins celles _pour

_lesquelles

on sait _que ,~l admet une base

_normale).

Enfin,

les calculs sur un

_grand

nombre d’extensions faiblement ramifiées

de Q

de groupe de Galois

_isomorphe

à

_C3,

notamment dans une

nouvelle famille construite avec

Allombert,

font

_apparaître

le lien suivant :

3 non

_{décomposé --+}

(minimum

du réseau associé à

_,~1.)

=

3,

3

_décomposé

_(minimum

du réseau associé à

_,r4)

E

_{1,2}.

Notons _que les réseaux de minimum

_supérieur

ou

égal

à 3 sont sans

racines,

tandis _que ceux de minimum 1 ou 2 sont avec racines. De

_plus,

dans les extensions

_{considérées,}

3 est la seule

_place

_sauvage et elle se

_décompose

si et seulement si le _groupe de

_{décomposition}

en 3 est abélien. Faut-il en

conclure

_qu’il

_y a un lien entre

_{l’hypothèse technique}

du théorème 2.1 et le fait _que le réseau associé à ,~4. ait des racines ?

Bibliographie

[1] B. _ALLOMBERT, An efficient algorithm for the _{computation of} Galois automorphisms, to

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