I Préliminaires, définition de la transformation L

SESSION 2012

Concours commun Centrale

MATHÉMATIQUES 1. FILIERE PSI

I Préliminaires, définition de la transformation L

I.A -Soit x ∈R. On sait que si la fonction t 7→ f(t)e^−λ(t)x est intégrable surR⁺ alors l’intégrale Z+∞

0

f(t)e^−λ(t)x dt converge. Donc

E⊂E^′.

I.B - On suppose que E n’est pas vide. Soit a = Inf(E). a est un élément de [−∞,+∞[ et de plus E ⊂ [a,+∞[. Soit b∈]a,+∞[. Vérifions queb∈E.

La fonctiont7→f(t)e^−bλ(t)est continue sur[0,+∞[.

Ensuite, par définition d’une borne inférieure, il existe c ∈ E tel que a 6 c < b. Par définition de E, la fonction t7→f(t)e^−cλ(t) est intégrable surR⁺. De plus, puisque la fonctionλest positive,

pour tout réelt∈[0,+∞[,

f(t)e^−bλ(t) 6

f(t)e^−cλ(t) . On en déduit que la fonctiont7→f(t)e^−bλ(t) est intégrable sur[0,+∞[ et donc queb∈E.

On a démontré que]a,+∞[⊂E⊂[a,+∞[et donc queEest un intervalle non majoré deR. I.C -On reprend les notations de la question précédente. Soitb∈[a,+∞[∩E.

•Pour tout réelxde[b,+∞[, la fonctiont7→f(t)e^−λ(t)x est continue par morceaux sur[0,+∞[.

•Pour tout réeltde[0,+∞[, la fonctionx7→f(t)e^−λ(t)x est continue sur[b,+∞[.

•Pour tout (x, t)∈[b,+∞[×[0,+∞[,

f(t)e^−λ(t)x 6

f(t)e^−λ(t)b

=ϕ(t)oùϕ est une fonction continue par morceaux et intégrable sur[0,+∞[.

D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonctionLfest continue sur [b,+∞[ et ceci pour tout b∈[a,+∞[∩E. Par suite, la fonction Lfest continue surE.

II - Exemples dans le cas de f positive

II.A -Supposons de plusfpositive. Alors pour toutx∈R, la fonctiont7→f(t)e^−λ(t)xest positive sur50,+∞[et on sait que la fonctiont7→f(t)e^−λ(t)xest intégrable surR⁺ si et seulement si l’intégrale

Z+∞ 0

f(t)e^−λ(t)xdt converge. Donc

E=E^′.

II.B -La fonctionλest croissante et non majorée sur R⁺et donc lim

t→+∞

λ(t) = +∞.

II.B.1) La fonction λ est de classe C¹ et croissante sur [0,+∞[. Donc la fonctionf = λ^′ est continue et positive sur [0,+∞[. Soitx∈R.

• Si x= 0, pour toutA ∈[0,+∞[, ZA

0

λ^′(t)e^−λ(t)x dt = ZA

0

λ^′(t) dt = λ(A) −λ(0). Puisque lim

A→+∞

λ(A) = +∞, on a

A→lim+∞

ZA 0

λ^′(t)dt= +∞et donc Z+∞

0

λ^′(t)dtdiverge. Par suite,x /∈E^′ =E.

•Si x6=0, pour toutA∈[0,+∞[, ZA

0

λ^′(t)e^−λ(t)xdt=

−1 xe^−λ(t)x

A

0

= 1 x

λ(0)e^−xλ(0)−λ(A)e^−xλ(A) .

Si x < 0, l’expression précédente tend vers+∞quand Atend vers +∞et doncx /∈E. Six > 0, l’expression précédente tend vers le réel λ(0)e^−xλ(0)

x quand Atend vers+∞et doncx∈E.

On a montré queE=]0,+∞[et que pour toutx > 0,Lf(x) = λ(0)e^−xλ(0)

x .

II.B.2)Soitx∈R. La fonctiont7→f(t)e^−λ(t)x=e^(t−x)λ(t) est continue et positive sur[0,+∞[.

Puisque lim

t→+∞

λ(t) = +∞, il existeA>Max{1, x+1}tel queλ(A)> 0. Pourt>A, on ae^(t−x)λ(t)>e^(A−x)λ(t)>e^λ(A)>

0. La fonction constant t 7→ e^λ(A) n’est pas intégrable sur un voisinage de +∞ et donc la fonction t 7→ f(t)e^−λ(t)x = e^(t−x)λ(t) n’est pas intégrable sur[0,+∞[.

On a montré queE=∅.

II.B.3)Soitx∈R. La fonctiont7→f(t)e^−λ(t)x= e^{(−t−x)λ(t)}

1+t² est continue et positive sur[0,+∞[.

Pourt>|x|,(−t−x)λ(t)60 puis e^{(−t−x)λ(t)} 1+t² 6 1

1+t². La fonctiont7→ 1

1+t² est intégrable sur un voisinage de +∞ et il en est de même de la fonctiont7→f(t)e^−λ(t)x.

On a montré queE=R. II.C -

II.C.1) Soit x ∈ R. La fonction t 7→ f(t)e^−λ(t)x = e^−xt2

1+t² est continue et positive sur [0,+∞[. Si x < 0, la fonction t7→ e^−xt2

1+t² est prépondérante devant la fonction contantet7→1 en+∞ et six>0, la fonctiont7→ e^−xt2

1+t² est dominée par la fonctiont7→ 1

t² en+∞. Donc la fonction t7→f(t)e^−λ(t)x est intégrable sur[0,+∞[si et seulement six>0.

On a montré queE= [0,+∞[. Enfin, Lf(0) = Z+∞

0

1

1+t² dt= π 2. II.C.2)Soita > 0. Soit Φ : [a,+∞[×[0,+∞[ → R

(x, t) 7→ e^−t2x 1+t²

de sorte que pour toutx>a,Lf(x) = Z+∞

0

Φ(x, t)dt.

•Pour chaquex∈[a,+∞[, la fonctiont7→Φ(x, t)est continue par morceaux et intégrable sur[0,+∞[d’après la question II.C.1.

•Φ admet sur[a,+∞[×[0,+∞[une dérivée partielle par rapport à sa première variablexdéfinie par :

∀(x, t)∈[a,+∞[×[0,+∞[, ∂Φ

∂x(x, t) = −t²e^−t2x 1+t² . De plus,

- pour toutx∈[a,+∞[, la fonction t7→ ∂Φ

∂x(x, t)est continue par morceaux sur[0,+∞[, - pour toutt∈[0,+∞[, la fonctionx7→ ∂Φ

∂x(x, t)est continue sur[a,+∞[, - pour tout(x, t)∈[a,+∞[×[0,+∞[,

∂Φ

∂x(x, t)

= t²e^−t2x

1+t² 6 t²e^−t2a

1+t² =ϕ1(t). La fonctionϕ1est continue par morceaux sur[0,+∞[ et négligeable devant 1

t² en+∞d’après un théorème de croissances comparées.

On en déduit que la fonction ϕ1est intégrable sur[0,+∞[.

D’après le théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème deLeibniz), Lfest de classeC¹ sur[a,+∞[et sa dérivée s’obtient par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour touta > 0,

Lfest de classeC¹sur]0,+∞[et pour toutx > 0,(Lf)^′(x) = − Z+∞

0

t²e^−t2x 1+t² , dt.

II.C.3)Soitx > 0. En posantu=t√

x, on obtient

Lf(x) − (Lf)^′(x) = Z+∞

0

e^−t2x 1+t² dt+

Z+∞ 0

t²e^−t2x 1+t² dt=

Z+∞ 0

e^−t

2xdt= 1

√x Z+∞

0

e^−u

2

du.

PosonsA= Z+∞

0

e^−t2 dt.Aest l’intégrale d’une fonction continue et intégrable, positive et non nulle sur[0,+∞[. Donc A > 0puis pour tout x > 0

Lf(x) − (Lf)^′(x) = A

√x.

II.C.4)D’après les questions I.C et II.C.2,Lfest continue sur [0,+∞[et dérivable sur]0,+∞[. De plus, pourx > 0, g^′(x) =e^−x((Lf)^′(x) −Lf(x)) = −Ae^−x

√x. (∗)

Soitx > 0. La fonctiont7→ e^−t

√t est continue sur]0, x], positive et équivalente en0à 1

√t qui est intégrable sur un voisinage de0. On en déduit que

Zx 0

e^−t

√t dt. De plus, la fonction x7→

Zx 0

e^−t

√t dt= Z1

0

e^−t

√t dt+ Zx

1

e^−t

√t dt est dérivable sur]0,+∞[ de dérivée la fonctionx7→ e^−x

√x. Par suite,

(∗)⇔∃C∈R/∀x > 0, g(x) =C−A Zx

0

e^−t

√t dt.

Cette dernière égalité reste vraie pourx=0 par continuité deg en0avec la convention Z0

0

e^−t

√t dt= lim

x→0

Zx 0

e^−t

√t dt=0.

Pourx=0, on obtientC=g(0) =Lf(0) = π

2 d’après la question II.C.1.

∀x>0, e^−xLf(x) = π 2 −A

Zx 0

e^−t

√t dt oùA= Z+∞

0

e^−u2du.

II.C.5)Soitx > 0. La fonctiont7→√

t=uest unC¹-difféomorphisme de]0, x] sur]0,√

x]. On peut donc poseru=√ t et on obtient

Zx 0

e^−t

√t dt= Z^√x

0

e^−u2

u 2udu=2 Z^√x

0

e^−u2 du.

Par suite,

∀x>0, e^−xLf(x) =g(x) = π 2 −2A

Z^√x 0

e^−u2 duoùA= Z+∞

0

e^−u2du.

Le second membre a une limite réelle quandxtend vers+∞et il en est de même deg. Quandxtend vers+∞, on obtient

x→lim+∞

g(x) = π

2 −2A²ou encore, puisqueA > 0,A= rπ

4 − lim

x→+∞g(x).

Pour toutx>1,06g(x) =e^−x Z+∞

0

e^−t2x

1+t² dt6e^−x Z+∞

0

e^−t2

1+t² dt. Comme lim

x→+∞e^−x Z+∞

0

e^−t2

1+t² dt=0, le théorème des gendarmes permet d’affirmer que lim

x→+∞

g(x) =0 et donc Z+∞

0

e^−u2 du=

√π 2 .

III - Étude d’un premier exemple

III.A -Quandttend vers0,

t

e^t−1 = t

t+o(t) = 1

1+o(1) =1+o(1),

puis f(t) = 1−1+o(1) = o(1). Par suite, f a une limite réelle en 0 à droite, à savoir 0, ou encore f se prolonge par continuité en0 en posantf(0) =0.

III.B -Soitx∈R. La fonctiont7→f(t)e^−tx est continue sur [0,+∞[, équivalente à te^−tx

2 . La fonctiont7→ te^−tx 2 est positive et intégrable sur[0,+∞[si et seulement six > 0. Donc la fonction t7→f(t)e^−tx est intégrable sur[0,+∞[si et seulement six > 0.

E=]0,+∞[.

III.C -Soitx > 0.

Soitt∈]0,+∞[. Alors0 < e^−t< 1puis

t

e^t−1 =te^−t× 1

1−e^−t =te^−t

+∞

X

k=0

e^−kt=

+∞

X

k=0

te^−(k+1)t=

+∞

X

n=1

te^−nt,

puis

f(t)e^−tx= te^−tx

2 −e^−tx+

+∞

X

n=1

te^−(n+x)t.

Pour n∈ N et t∈]0,+∞[, posonsfn(t) =te^−(n+x)t. Chaque fonctionfn, n∈ N, est continue sur[0,+∞[ et positive.

Donc, pour n ∈ N, fn est intégrable sur [0,+∞[ si et seulement si l’intégrale In = Z+∞

0

fn(t) dt = Z+∞

0

te^−(n+x)t dt converge.

Soientn∈NetA > 0. Les deux fonctionst7→tett7→−e^−(n+x)t

n+x sont de classeC¹ sur le segment[0, A]. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

ZA 0

f_n(t)dt= ZA

0

te^−(n+x)tdt=

−te^−(n+x)t n+x

^A

0

+ 1

n+x ZA

0

e^−(n+x)tdt

= −Ae^−(n+x)A

n+x + 1

(n+x)²

1−e^−(n+x)A .

QuandAtend vers+∞,Ae^−(n+x)Atend vers0carn+x > 0et d’après un théorème de croissances comparées. De même, e^−(n+x)Atend vers0. QuandAtend vers+∞, on obtient la convergence et la valeur deI_n :

Z+∞ 0

f_n(t)dt= 1 (n+x)². On note queIn est le terme général d’une série numérique convergente. Ainsi,

• Chaque fonctionf_n,n∈N^∗, est continue par morceaux sur]0,+∞[,

• la série de fonctions de terme généralfn,n∈N^∗, converge simplement sur ]0,+∞[vers la fonctiont7→ t e^t−1 qui est continue par morceaux sur ]0,+∞[,

•

+∞

X

n=1

Z+∞ 0

|f_n(t)|dt=

+∞

X

n=1

Z+∞ 0

fn(t)dt=

+∞

X

n=1

1

(n+x)² <+∞. D’après un théorème d’intégration terme à terme, la fonctiont7→ t

e^t−1 est intégrable sur ]0,+∞[ et Z+∞

0

t

e^t−1 dt=

+∞

X

n=1

Z+∞ 0

f_n(t)dt=

+∞

X

n=1

1

(n+x)² puis, toutes les fonctions considérées étant intégrables sur]0,+∞[,

Lf(x) = 1 2

Z+∞ 0

te^−tx dt− Z+∞

0

e^−tx+ Z+∞

0

t

e^t−1 dt= 1 2x²− 1

x+

+∞

X

n=1

1 (n+x)².

∀x > 0,Lf(x) = 1 2x²− 1

x+

+∞

X

n=1

1 (n+x)².

III.D -Pour toutx > 0,

Lf(x) − 1 2x²+ 1

x =

+∞

X

n=1

1 (n+x)².

Pourx > 0etn∈N^∗, posonsgn(x) = 1 (n+x)².

•Chaque fonctiongn,n∈N^∗, admet une limite en0 à droite à savoir lim

x→0⁺gn(x) = 1 n².

• Pour tout n∈ N∗ et tout x > 0, |g_n(x)|= 1

(n+x)² 6 1

n² et de plus 1

n² est le terme général d’une série numérique convergente. Par suite, la série de fonctions de terme généralgn,n∈N^∗, converge normalement sur]0,+∞[.

D’après le théorème d’interversion des limites, la fonctionx7→Lf(x) − 1 2x²+1

x a une limite réelle en0à droite et de plus

xlim→0⁺

Lf(x) − 1 2x²+ 1

x

=

+∞

X

n=1

xlim→0⁺gn(x) =

+∞

X

n=1

1 n².

IV - Généralités dans le cas typique

IV.A -Soita > α. Soit Φ : [a,+∞[×[0,+∞[ → R (x, t) 7→ f(t)e^−tx

de sorte que pour toutx>a,Lf(x) = Z+∞

0

Φ(x, t)dt.

• Pour chaquex∈[a,+∞[, la fonction t7→Φ(x, t)est continue par morceaux et intégrable sur[0,+∞[ puisque d’après la question I.B,a∈E.

•Φ admet sur[a,+∞[×[0,+∞[des dérivées partielles de tous ordres par rapport à sa première variablexdéfinie par :

∀n∈N∗,∀(x, t)∈[a,+∞[×[0,+∞[, ∂ⁿΦ

∂xⁿ (x, t) = (−t)ⁿf(t)e^−tx. De plus, pour toutn∈N^∗,

- pour toutx∈[a,+∞[, la fonction t7→ ∂ⁿΦ

∂xⁿ(x, t)est continue par morceaux sur[0,+∞[, - pour toutt∈[0,+∞[, la fonctionx7→ ∂ⁿΦ

∂xⁿ(x, t)est continue sur [a,+∞[, - pour tout(x, t)∈[a,+∞[×[0,+∞[,

∂ⁿΦ

∂xⁿ(x, t)

=tⁿ|f(t)|e^−tx 6tⁿ|f(t)|e^−ta=ϕn(t).

La fonctionϕn est continue par morceaux sur[0,+∞[. Soitbun réel élément de]α, a[. D’après la question I.B,b∈E et donc la fonction t7→f(t)e^−tb est intégrable sur[0,+∞[. Mais alors, quandttend vers+∞,

ϕ_n(t) =tⁿ|f(t)|e^−ta=|f(t)|e^−tb×tⁿe^−t(a−b)=o |f(t)|e^−tb ,

carb−a > 0et d’après un théorème de croissances comparées. On en déduit que la fonctionϕn est intégrable sur[0,+∞[.

D’après une généralisation du théorème de dérivation des intégrales à paramètres (théorème deLeibniz),Lfest de classe C^∞ sur [a,+∞[ et ses dérivées successives s’obtiennent par dérivation sous le signe somme. Ceci étant vrai pour tout a > α,

Lfest de classeC^∞sur]α,+∞[et pour toutn∈N^∗ et toutx > α,(Lf)(n)(x) = (−1)ⁿ Z+∞

0

f(t)tⁿe^−tx, dt.

IV.B -Soienta∈R,n∈Npuis pour toutt>0,f(t) =e^−attⁿ. Puisque fest positive, on sait queE=E^′. Pour tout réelx,Lf(x) =

Z+∞ 0

tⁿe^−(a+x)tdt. Six6−a, la fonctiont7→tⁿe^−(a+x)t domine la fonctiont7→tⁿ en+∞ et donc la fonctiont7→tⁿe^−(a+x)t n’est pas intégrable sur[0,+∞[. Six >−a, la fonction t7→tⁿe^−(a+x)t est continue sur [0,+∞[ et négligeable en +∞ devant 1

t² d’après un théorème de croissances comparées. Dans ce cas, la fonction t7→tⁿe^−(a+x)test intégrable sur[0,+∞[. Finalement

E=E^′ =] −a,+∞[.

Soitx >−a. Posonsu= (a+x)t. Pour toutn∈N, on obtientLf(x) = 1 (a+x)ⁿ⁺¹

Z+∞ 0

uⁿe^−udu. Pourn∈N, posons In=

Z+∞ 0

uⁿe^−u du.

Soientn∈NetA > 0. Les deux fonctionsu7→uⁿ⁺¹etu7→−e^−u sont de classeC¹ sur le segment[0, A]. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

ZA 0

uⁿ⁺¹e^−udu=

−uⁿ⁺¹e^−uA

0 + (n+1) ZA

0

uⁿe^−udu= −Aⁿ⁺¹e^−A+ (n+1) ZA

0

uⁿe^−u du.

QuandAtend vers+∞, on obtient In+1= (n+1)In. En tenant compte deI0= Z+∞

0

e^−u du=1, on a pour toutn∈N, I_n=n!. Finalement

∀x∈] −a,+∞[,Lf(x) = n!

(a+x)ⁿ⁺¹. IV.C - Comportement en l’infini

IV.C.1)Soitβ > 0. Soitx > 0. Pourt>0, posonsg(t) =f(t) − Xn k=0

a_k

k!t^k. Puisquef(t) =

t→0

Xn k=0

a_k

k!t^k+O(tⁿ⁺¹), il existe b∈]0, β[etM > 0tels que pour toutt∈[0, b],|g(t)|6Mtⁿ⁺¹. On en déduit que

Zβ 0

f(t) − Xn k=0

a_k k!t^k

!

e^−txdt

6 Zb

0

|g(t)|e^−txdt+

Zβ b

|g(t)|e^−txdt6M

Zb 0

tⁿ⁺¹e^−tx dt+ Zβ

b

|g(t)|e^−bx dt

6M

Z+∞ 0

tⁿ⁺¹e^−txdt+e^−bx Zβ

b

|g(t)|dt=M(n+1)!

xⁿ⁺² +e^−bx Zβ

b

|g(t)|dt

(d’après IV.B appliqué aveca=0).

On en déduit que

xⁿ⁺²

Zβ 0

f(t) − Xn k=0

a_k k!t^k

!

e^−txdt

6M(n+1)! +xⁿ⁺²e^−bx Zβ

b

|g(t)|dt.

D’après un théorème de croissances comparées,xⁿ⁺²e^−bx Zβ

b

|g(t)|dt =

x→+∞

o(1)et en particulier,xⁿ⁺²e^−bx Zβ

b

|g(t)|dt =

x→+∞

O(1). Donc, il existe A > 0 et M^′ > 0 tels que pour tout x > A, xⁿ⁺²e^−bx Zβ

b

|g(t)| dt 6 M^′. Pour x > A, on a

xⁿ⁺²

Zβ 0

f(t) − Xn k=0

a_k k!t^k

!

e^−tx dt

6M(n+1)! +M^′. On a montré quexⁿ⁺²

Zβ 0

f(t) − Xn k=0

a_k k!t^k

!

e^−tx dt

x→=+∞

O(1)ou encore que Zβ

0

f(t) − Xn k=0

a_k k!t^k

!

e^−txdt =

x→+∞

O 1

xⁿ⁺²

.

IV.C.2)Pour x > 0, chacune des fonctions t7→t^ke^−tx est intégrable sur[β,+∞[. D’autre part,En’est pas vide et donc il existe a > 0 tel que la fonction t7→ f(t)e^−ta soient intégrable sur[0,+∞[ et en particulier sur [β,+∞[. Il en est de même de la fonctiont7→g(t)e^−ta.

Soitx>a+1.

Z+∞ β

f(t) − Xn k=0

ak

k!t^k

!

e^−tx dt

6 Z+∞

β

|g(t)|e^−txdt=

Z+∞ β

|g(t)|e^−tae^−t(x−a)dt6e^−β(x−a)

Z+∞ β

|g(t)|e^−tadt.

Puisque β > 0, on en déduit que Z+∞

β

f(t) − Xn k=0

a_k k!t^k

!

e^−tx dt =

x→+∞ O 1

xⁿ⁺²

. Mais alors, d’(après la question précédente,

Z+∞ 0

f(t) − Xn k=0

a_k k!t^k

!

e^−tx dt = Zβ

0

f(t) − Xn k=0

a_k k!t^k

!

e^−tx dt+ Z+∞

β

f(t) − Xn k=0

a_k k!t^k

!

e^−tx dt =

x→+∞

O 1

xⁿ⁺²

puis

Lf(x) = Xn k=0

ak

k!

Z+∞ 0

t^ke^−tx dt+ Z+∞

0

f(t) − Xn k=0

ak

k!t^k

!

e^−tx dt

x→=+∞

Xn k=0

a_k x^k+1 +O

1 xⁿ⁺²

(d’après IV.B).

IV.D - Comportement en 0

IV.D.1)Soitx > 0. Puisquefa une limite réelle en+∞, en particulierfest bornée sur un voisinage de+∞. Mais alors, la fonctiont7→f(t)e^−tx est continue sur[0,+∞[et est dominée par la fonctiont7→e^−tx en+∞. Puisquex > 0, la fonction t7→e^−tx est intégrable sur un voisinage de+∞et donc la fonctiont7→f(t)e^−tx est intégrable sur[0,+∞[. Ainsi, tout réel strictement positif est dansEet doncEcontient]0,+∞[.

IV.D.2)Soitε > 0. Il existeA > 0 et tel que pour toutt>A,|f(t) −l|< ε

2. Soitx > 0.

xLf(x) =x Z+∞

0

(f(t) −l)e^−txdt+x Z+∞

0

le^−tx dt=l+x Z+∞

0

(f(t) −l)e^−txdt, puis

|xLf(x) −l|=x

Z+∞ 0

(f(t) −l)e^−txdt

6x ZA

0

|f(t) −l|e^−tx dt+x

Z+∞ A

|f(t) −l|e^−tx dt

6x ZA

0

|f(t) −l|e^−txdt+ ε

2x Z+∞

A

e^−txdt6x ZA

0

|f(t) −l|dt+ε

2x Z+∞

0

e^−txdt

= ε 2 +x

ZA 0

|f(t) −l|dt.

En résumé, pour toutx > 0,|xLf(x) −l|6 ε 2+x

ZA 0

|f(t) −l|dt. Comme lim

x→0x ZA

0

|f(t) −l|dt=0, il existeα > 0tel que

pour toutx∈]0, α[,x ZA

0

|f(t) −l|dt <ε

2. Pour x∈]0, α[, on a|xLf(x) −l|< ε.

On a montré que∀ε > 0,∃α > 0/∀x∈]0, α[,|xLf(x) −l|< εet donc que lim

x→0xLf(x) =l.

V - Étude d’un deuxième exemple

V.A - La fonctiont 7→ sint

t est continue sur ]0,+∞[ et prolongeable par continuité en 0 en posantf(0). La fonction f ainsi définie est intégrable sur tout segment[0, A],A > 0. Ensuite,

Z+∞ 0

sint t

dt>

+∞

X

n=0

Z^3π4 +2nπ

π 4+2nπ

sint t

dt>

+∞

X

n=0

π 2 × 1

√2 × 1

3π 4 +2nπ

= +∞.

Donc la fonctionfn’est pas intégrable sur[0,+∞[ ou encore0 /∈E.

V.B -On en déduit que E⊂]0,+∞[. Soit x > 0. La fonction t 7→f(t)e^−tx est continue sur [0,+∞[ et est dominée en +∞par la fonction t7→e^−tx qui est intégrable sur[0,+∞[. Donc la fonctiont7→f(t)e^−tx est intégrable sur [0,+∞[ou encorex∈E. On a montré que E= [0,+∞[.

V.C -Soient εetAdeux réels tels que0 < a < A. Les fonctionst7→1−costett7→ 1

t sont de classeC¹sur le segment [a, A]. On peut donc effectuer une intégration par parties et on obtient

ZA a

sint t dt=

1−cost t

A

a

+ ZA

a

1−cost

t² dt= 1−cosA

A −1−cosa

a +

ZA a

1−cost t² dt.

Quand atend vers 0, 1−cosa

a ∼ a

2 et en particulier 1−cosa

a tend vers 0. D’autre part, la fonction t7→ 1−cost t² est prolongeable par continuité en0 (1−cost

t² tend vers 1

2 quand ttend vers0). On en déduit que la fonctiont7→ 1−cost t²

est intégrable sur un voisinage de0et en particulier que la fonctiona7→

ZA a

1−cost

t² dta une limite réelle quandatend vers0. Mais alors la fonctiona7→

ZA a

sint

t dta une limite réelle quand atend vers0et de plus, pour toutA > 0, quand atend vers0on obtient

ZA 0

sint

t dt= 1−cosA

A +

ZA 0

1−cost t² dt.

QuandAtend vers+∞, 1−cosA

A =O

1 a

et en particulier 1−cosA

A tend vers0quandAtend vers+∞. D’autre part, la fonction t7→ 1−cost

t² est dominée en +∞ par 1

t² et est donc intégrable sur un voisinage de +∞. En particulier, la fonctionA7→

ZA 0

1−cost

t² dta une limite réelle quandAtend vers+∞. Il en est de même de la fonctionA7→

ZA 0

sint t dt ou encore

Z+∞ 0

sint

t dt est une intégrale convergente. On a montré que0∈E^′.

V.D -D’après la question IV.A, la fonction Lfest de classeC¹sur]0,+∞[ et pourx > 0,

(Lf)^′(x) = − Z+∞

0

f(t)×te^−tx dt= − Z+∞

0

sinte^−tx dt

= −Im Z+∞

0

e^ite^−tx dt

= −Im Z+∞

0

e^t(−x+i)dt

= −Im

e^t(−x+i)

−x+i ^+∞

0

=Im 1

−x+i− lim

t→+∞

e^t(−x+i)

−x+i

=Im 1

−x+i

(car

e^t(−x+i)

−x+i

= e^−tx

√x²+1 →

t→+∞

0)

=Im

−x−i x²+1

= − 1 x²+1.

V.E -On en déduit qu’il existeC∈Rtel que pour toutx > 0,Lf(x) =C−Arctanx. De plus,C= π

2 + lim

x→+∞Lf(x).

La fonctionfest continue sur[0,+∞[et a une limite réelle en+∞à savoir0. Donc, la fonctionfest bornée sur[0,+∞[.

SoitMun majorant de|f|sur[0,+∞[.

Pour tout x > 0, |Lf(x)| =

Z+∞ 0

sint

t e^−txdt

6 Z+∞

0

sint t

e^−tx dt 6 M Z+∞

0

e^−tx dt = M

x . On en déduit que

x→lim+∞

Lf(x) =0 puis queC= π

2. On a montré que

∀x∈]0,+∞[, Lf(x) = π

2 −Arctanx=Arctan 1

x

.

V.F -Soient n∈Netx∈[0,+∞[. Puisque Z+∞

0

sint

t e^−txdt est une intégrale convergente, la série numérique de terme généralfn(x), n ∈ N, converge et a pour somme

Z+∞ 0

sint

t e^−tx dt = Lf(x). En particulier, la suite f(_n(x) tend vers 0 quandntend vers+∞.

En posantt=u+nπ, on obtient fn(x) =

Zπ 0

sin(u+nπ)

u+nπ e^−x(u+nπ)du= (−1)ⁿe^−nπx Zπ

0

sinu

u+nπe^−xudu.

Pourn∈N, posonsIn= Zπ

0

sinu

u+nπe^−xudu. La suite(I_n)_n∈Nest positive et décroissante. De même, la suite(e_−nπx)_n∈N

est positive et décroissante. On en déduit que la suite((−1)ⁿf_n(x)) = (e^−nxI_n)est positive et décroissante.

En résumé, la suite(f_n(x))_n∈Nest de signe alterné et sa valeur absolue tend vers0en décroissant.

Soitn∈N. Pourx∈[0,+∞[, posons Rn(x) =

+∞

X

k=n+1

fk(x). D’après une majoration classique du reste à l’ordrend’une série alternée, pour toutx>0,

|R_n(x)|6|f_n+1(x)|=e^−(n+1)πx Zπ

0

sinu

u+ (n+1)πe^−xudu6 Zπ

0

sinu

u+ (n+1)π du=|f_n+1(0)|,

et donckR_nk^∞6|fn+1(0)|. Puisquefn+1(0)tend vers0 quandntend vers+∞, on a montré que la série de fonctions de terme généralf_n,n∈N, converge uniformément versLfsur[0,+∞[.

V.G -Vérifions que chaque fonctionfn,n∈N, est continue en0. La fonctionu7→1−e^−u est concave sur[0,+∞[car sa dérivée seconde est négative sur[0,+∞[. Son graphe est au-dessous de sa tangente en 0 sur [0,+∞[ ou encore, pour toutu>0,061−e^−u6u.

Pourn∈Netx>0,

|f_n(x) −f_n(0)|=

Z(n+1)π nπ

sint

t (1−e^−xt)dt

=

Z(n+1)π nπ

|sint|

t (1−e^−xt)dt(car la fonction sinus est de signe constant sur[nπ,(n+1)π]) 6

Z(n+1)π nπ

|sint|

t ×xt dt=x

Z(n+1)π nπ

|sint|dt=2x.

On en déduit que lim

x→0|fn(x) −fn(0)|=0et donc quefn est continue en0.

Puisque la série de fonctions de terme général fn, n ∈ N, converge uniformément sur [0,+∞[ vers la fonction Lf, le théorème d’interversion des limites permet d’affirmer que

Lf(0) =

+∞

X

n=0

f_n(0) =

+∞

X

n=0

xlim→0⁺f_n(x) (continuité de chaque fonctionf_n)

= lim

x→0⁺ +∞

X

n=0

fn(x)

!

(théorème d’interversion des limites)

= lim

x→0⁺Lf(x) = lim

x→0⁺

π

2 −Arctanx

= π 2.

Lf(0) = Z+∞

0

sint

t dt= π 2.

VI - Injectivité dans le cas typique

VI.A -

VI.A.1)SoitP∈R[X]. PosonsP= Xn k=0

a_kX^k. Par linéarité de l’intégrale, on obtient Z1

0

P(t)g(t)dt= Xn k=0

a_k Z1

0

t^kP(t)dt=0.

Donc, pour tout polynômeP∈R[X], Z1

0

P(t)g(t)dt=0.

VI.A.2)Soitε > 0. D’après le théorème de Weierstrass, il existe un polynômePεtel quekg−P_εk^∞=sup{|g(t)−Pε(t)|, t∈ [0, 1]}6ε. On en déduit que

Z1 0

g²(t)dt= Z1

0

(g(t) −Pε(t) +Pε(t))g(t)dt= Z1

0

(g(t) −Pε(t))g(t)dt+ Z1

0

Pε(t)g(t)dt= Z1

0

(g(t) −Pε(t))g(t)dt.

On en déduit que 06

Z1 0

g²(t)dt= Z1

0

(g(t) −Pε(t))g(t)dt=

Z1 0

(g(t) −Pε(t))g(t)dt

6 Z1

0

|g(t) −Pε(t)| |g(t)|dt6ε

Z1 0

|g(t)|dt.

Ainsi, pour tout ε > 0, 0 6 Z1

0

g²(t) dt 6 ε Z1

0

|g(t)| dt. Quand ε tend vers 0, on obtient

Z1 0

g²(t) dt = 0. Mais alors, g²=0 (fonction continue positive d’intégrale nulle) puisg=0.

VI.B -

VI.B.1)Soientx∈Eeta > 0. Alors,x+a∈EetLf(x+a) = Z+∞

0

e^−atf(t)e^−txdt. SoitA > 0. La fonctionu7→e^−xuf(u) est continue sur[0,+∞[ et donchest de classeC¹ sur[0,+∞[.

Ainsi, les deux fonctions t 7→ e^−at et t 7→ h(t) sont de classe C¹ sur le segment [0, A] et on peut donc effectuer une intégration par parties. On obtient

ZA 0

e^−atf(t)e^−txdt=

e^−ath(t)A 0 +a

ZA 0

e^−ath(t)dt=e^−aAh(A) +a ZA

0

e^−ath(t)dt.

QuandAtend vers+∞,h(A) = ZA

0

e^−xuf(u)dutend vers réelLf(A)(puisquex∈E) et donc, puisquea > 0,e^−aAh(A) tend vers0×Lf(A) =0. QuandAtend vers+∞, on obtient

Lf(x+a) = Z+∞

0

e^−atf(t)e^−xt dt=a Z+∞

0

e^−ath(t)dt.

VI.B.2)Soitε > 0. En posantu=e^−at et donct= −lnu

a puisdu= −ae^−atdt, on obtient Z1

ε

uⁿh

−lnu a

du=

Z0

−^lna^ε

e^−nath(t)×(−ae^−at)dt=a Z−^lna^ε

0

e^−(n+1)ath(t)dt.

Quandεtend vers0,−lnε

a tend vers+∞puisa Z−^lna^ε

0

e^−(n+1)ath(t)dttend versa Z+∞

0

e^−(n+1)ath(t)dt= 1

n+1Lf(x+ (n+1)a)(d’après la question précédente car(n+1)a > 0).

On en déduit que Z1

0

uⁿh

−lnu a

duest une intégrale convergente et que Z1

0

uⁿh

−lnu a

du= 1

n+1Lf(x+ (n+1)a) =0.

VI.B.3)La fonction g : u 7→h

−lnu a

est continue sur ]0, 1] et se prolonge par continuité en 0 en posant g(0) = Z+∞

0

e^−xvh(v)dv=Lf(x). On note encoreg le prolongement obtenu.

D’après la question précédente, pour toutn∈N, Z1

0

uⁿg(u)du=0. D’après la question VI.A.2,gest nulle. On en déduit que pour toutt>0,h(t) =0.

VI.C -L’application Ψ : C⁰([0,+∞[,R) → R^[0,+∞[

f 7→ Lf

est linéaire. Soitf∈KerΨ. Alors,Lf=0et en particulier pour toutx > 0et toutn∈N,Lf(x+na) =0. D’après la question précédente, pour toutx > 0, la fonctiont7→

Zt 0

e^−xuf(u)du.

En dérivant, on obtient pour toutt>0 et toutx > 0

e^−xtf(t) =h^′(t) =0.

Mais alors, pour toutt>0,f(t) =0. Ceci montre que KerΨ={0}puis queΨest injective.

VII - Étude de la borne inférieure de E

VII.A - Cas positif

VII.A.1)Par hypothèse,α∈Ret fest positive. De plus, ou bienE=E^′ =]α,+∞[ou bien E=E^′ = [α,+∞[. Soientx et ydeux éléments de]α,+∞[tels que x6y. Alors, pour toutt∈[0,+∞[,f(t)e^−xt >f(t)e^−yt puisLf(x)>Lf(y). La fonctionLfest donc décroissante sur]α,+∞[. On en déduit queLfa une limite enαà droite élément de[0,+∞].

Montrons queα∈Eou encore que la fonctiont7→f(t)e^−αt est intégrable sur [0,+∞[ ou encore, puisque fest positive, que

Z+∞ 0

f(t)e^−αtdt <+∞ou encore que la fonctionX7→

ZX 0

f(t)e^−αtdtest majorée sur [0,+∞[.

Par hypothèse, la fonctionLfest majorée sur]α,+∞[. Donc il existeM > 0tel que pour toutx > α,Lf(x)6M. Montrons que pour toutX>0,

ZX 0

f(t)e^−αtdt6M.

SoitX > 0. Soit Ψ : [α,+∞[×[0, X] → R (x, t) 7→ f(t)e^−tx

.

•Pour tout réelxde[α,+∞[, la fonctiont7→Ψ(x, t)est continue par morceaux sur le segment[0, X].

•Pour tout réelt de[0, X], la fonctionx7→Ψ(x, t)est continue sur le segment[0, X].

•Pour tout(x, t)∈[α,+∞[×[0, X],|f(t)e^−tx|6f(t)e^−tα=ϕ(t)oùϕest intégrable sur le segment[0, X]car continue sur ce segment.

D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonctionx7→

ZX 0

f(t)e^−txdtest continue sur[α,+∞[.

On sait que pour toutx > α, ZX

0

f(t)e^−xt dt6 Z+∞

0

f(t)e^−xt dt 6M. Quand x tend versα, ZX

0

f(t)e^−xt dt tend vers ZX

0

f(t)e^−αtdt et on obtient ZX

0

f(t)e^−αtdt6M.

On a montré que pour toutX>0, ZX

0

f(t)e^−αtdt6Met doncα∈E.

VII.A.2) Par contraposition, si α /∈E, Lfn’est pas bornée sur]α,+∞[ et donc lim

x→α⁺Lf(x) = +∞ d’après la question précédente.

VII.B -Pour tout réelxdeE^′,Lf(x) = Z+∞

0

cost e^−xln(1+t)dt= Z+∞

0

cost (1+t)^x dt.

VII.B.1)Soitx∈R. La fonctiont7→ cost

(1+t)^x est continue sur[0,+∞[.

•Six > 1, cost

(1+t)^x est dominée par 1

t^x quandttend vers+∞et donc la fonctiont7→ cost

(1+t)^x est intégrable sur[0,+∞[.

•Si x61,

Z+∞ 0

|cost|

(1+t)^x dt>

Z+∞ 0

|cost|

(1+t) dt>

+∞

X

n=0

Z^π4+2nπ 2nπ

|cost|

(1+t) dt

>

+∞

X

n=0

π 4 × 1

√2 × 1

2nπ+ π 4 +1

= +∞.

Donc la fonctiont7→ cost

(1+t)^x n’est pas intégrable sur[0,+∞[.

On a montré que

E=]1,+∞[.

VII.B.2)• Soientx > 0etA > 0. Une intégration par parties fournit ZA

0

cost (1+t)^x dt=

sint (1+t)^x

A

0

+x ZA

0

sint

(1+t)^x+1 dt= sinA (1+A)^x +x

ZA 0

sint (1+t)^x+1 dt.

Puisquex > 0, lim

A→+∞

sinA

(1+A)^x =0. D’autre part, la fonction t7→ sint

(1+t)^x+1 est intégrable sur[0,+∞[carx+1 > 1et donc l’intégrale

Z+∞ 0

sint

(1+t)^x+1 dtconverge. Il en est de même de l’intégrale Z+∞

0

cost

(1+t)^x dt. De plus, Z+∞

0

cost (1+t)^x dt= Z+∞

0

sint (1+t)^x+1 dt.

•Soitx60. PosonsF(X) = ZX

0

cost (1+t)^x dt.

F

2nπ+π 4

−F(2nπ) =

Z2nπ+^π4

2nπ

cost

(1+t)^x dt> π 4 × 1

√2(1+2nπ)^−x> π 4√

2. DoncF

2nπ+π 4

−F(2nπ)ne tend pas vers0quandntend vers+∞et on en déduit que la fonctionFn’a pas de limite quandXtend vers+∞ou encore que l’intégrale

Z+∞ 0

cost

(1+t)^x dtdiverge.

On a montré que

E^′=]0,+∞[.

VII.B.3)D’après la question VII.B.1,α=1. D’après la question précédente, pour toutx > 0,Lf(x) = Z+∞

0

cost (1+t)^x dt= x

Z+∞ 0

sint

(1+t)^x+1 dt. Soit Ψ : [1,+∞[×[0,+∞[ → R (x, t) 7→ sint

(1+t)^x+1 .

•Pour tout réelxde[1,+∞[, la fonctiont7→Ψ(x, t)est continue par morceaux sur [0,+∞[.

•Pour tout réeltde[0,+∞[, la fonctionx7→Ψ(x, t)est continue sur[1,+∞[.

•Pour tout(x, t)∈[1,+∞[×[0,+∞[,|Ψ(x, t)|= |sint|

(1+t)^x+1 6 1

(1+t)² =ϕ(t)oùϕest intégrable sur[0,+∞[car continue sur[0,+∞[et dominée en +∞par 1

t².

D’après le théorème de continuité des intégrales à paramètres, la fonctionx7→x Z+∞

0

sint

(1+t)^x+1;dt= Z+∞

0

cost (1+t)^x;dt= Lf(x)est continue sur[1,+∞[. En particulier,

xlim→1 x>1

Lf(x) =Lf(1) = Z+∞

0

sint (1+t)² dt=

Z+∞ 0

cost 1+t dt.

VIII - Une utilisation de la transformation L

VIII.A -Soit(P, Q)∈ P². La fonctiont7→e^−tP(t)Q(t)est continue sur[0,+∞[et est dominée en+∞par 1

t² d’après un théorème de croissances comparées. On en déduit que la fonction t 7→ e^−tP(t)Q(t)est intégrable sur [0,+∞[ et en particulier que l’intégrale

Z+∞ 0

e^−tP(t)Q(t)dtconverge.

VIII.B -•D’après la question précédente,h., .iest bien une application deP²versP.

•L’applicationh., .iest linéaire par rapport à sa deuxième variable.

• Pour tout(P, Q)∈ P², h, Q, Pi=hP, Qiet donch., .iest à symétrie hermitienne puish., .iest une forme sesquilinéaire hermitienne.

•Pour toutP∈ P,hP, Pi= Z+∞

0

e^−t|P(t)|²dt>0avec égalité si et seulement si pour toutt>0,e^−t|P(t)|²=0 (fonction

continue positive d’intégrale nulle) ou encore pour toutt>0, P(t) =0 ou enfin P=0 (polynôme ayant une infinité de racines). Donch., .iest définie positive.

En résumé,h., .iest est une forme sesquilinéaire hermitienne définie positive et donch., .iest un produit scalaire surP. VIII.C -Pour toutP∈ P et toutt>0

U(P)(t) =e^t(e^−tP^′(t) −te^−tP^′(t) +te^−tP^′′(t)) = (1−t)P^′(t) +tP^′′(t).

Par suite,U(P) = (1−X)P^′+XP^′′ est bien un polynôme. Soient alors(P, Q)∈ P²et(λ, µ)∈C².

U(λP+µQ) = (1−X)(λP+µQ)^′+X(λP+µQ)^′′=λ((1−X)P^′+XP^′′) +µ((1−X)Q^′+XQ^′′) =λU(P) +µU(Q).

DoncUest un endomorphisme deP.

VIII.D -Soit(P, Q)∈ P². SoitA > 0. Une intégration par parties fournit ZA

0

e^−t(e^tD(te^−tP^′(t))Q(t)dt= ZA

0

D

te^−tP^′(t)

Q(t)dt=h

te^−tP^′(t)Q(t)iA 0 −

ZA 0

te^−tP^′(t)Q^′(t)dt

=e^−AAP^′(A)Q(A) − ZA

0

te^−tP^′(t)Q^′(t)dt.

QuandAtend vers+∞,e^−AAP^′(A)Q(A)tend vers0d’après un théorème de croissances comparées. QuandAtend vers +∞, on obtient

hU(P), Qi= Z+∞

0

e^−t(e^tD(te^−tP^′(t))Q(t)dt= − Z+∞

0

te^−tP^′(t)Q^′(t)dt.

Mais alors

hP, U(Q)i=hU(Q), Pi= − Z+∞

0

te^−tQ^′(t)P^′(t)dt= − Z+∞

0

te^−tP^′(t)Q^′(t)dt=hU(P), Qi.

VIII.E -• U(1) = 0. Donc0 est valeur propre deU et le polynôme1 est un vecteur propre associé. En particulier, U admet au moins une valeur propre dansC.

Soitλ∈Cune valeur propre deUpuisP6=0 un vecteur propre associé.

hU(P), Pi=hλP, Pi=λhP, Pi, mais aussi

hU(P), Pi=hP, U(P)i=hP, λPi=λhP, Pi. On en déduit que λ−λ

hP, Pi=0 puisλ=λcarhP, Pi 6=0. Par suite,λ∈R. On a montré que toutes valeur propre de Uest réelle.

Soient λet µdeux valeurs propres réelles et distinctes de Uet soient P et Q des vecteurs propres de Urespectivement associés àλetµ.

λhP, Qi=λhP, Qi=hλP, Qi=hU(P), Qi=hP, U(Q)i=hP, µQi=µhP, Qi

et donc(λ−µ)hP, Qi= 0 puishP, Qi=0 car/lambda−µ6=0. On a montré que des vecteurs propres deUassociés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux.

VIII.F -

VIII.F.1)D’après la question VIII.C,

U(P) =λP⇔∀t∈R, (1−t)P^′(t) +tP^′′(t) =λP(t)⇔∀t∈R, tP^′′(t) + (1−t)P^′(t) −λP(t) =0.

VIII.F.2)P n’est pas nul. Soit n∈Nle degré deP. Le polynôme XP^′′+ (1−X)P^′−λP est de de degré au plus n. Le coefficient deXⁿ dansXP^′′+ (1−X)P^′−λPest(−n−λ)dom(P).

Ce coefficient doit être nul et doncl= −n= −deg(P). On a montré au passage que Sp(U)⊂Z⁻. VIII.G - Description des éléments propres de U

VIII.G.1) La fonction t 7→ P(t)e^−tx est intégrable sur [0,+∞[ si et seulement si x > 0. Donc E =]0,+∞[ puis, pour x > 0, on peut poserQ(x) =LP(x). Au vu de l’intégrabilité de toutes les fonctions considérées,

Psolution de(E_n)⇒∀t>0, tP^′′(t) + (1−t)P^′(t) +nP(t) =0

⇒∀t>0, ∀x > 0, tP^′′(t)e^−tx+ (1−t)P^′(t)e^−tx+nP(t)e^−tx=0

⇒∀x > 0, Z+∞

0

tP^′′(t)e^−txdt+ Z+∞

0

(1−t)P^′(t)e^−txdt+n Z+∞

0

P(t)e^−tx dt=0

On a déjà pour toutx > 0, Z+∞

0

P(t)e^−tx dt=Lf(x) =Q(x). Ensuite, une intégration par parties effectuée directement sur[0,+∞[de manière illicite fournit pourx > 0

Z+∞ 0

(1−t)P^′(t)e^−txdt=

P(t)(1−t)e^−tx+∞

0 −

Z+∞ 0

P(t)(−x(1−t) −1)e^−tx dt

= −P(0) + (x+1) Z+∞

0

P(t)e^−tx dt−x Z+∞

0

tP(t)e^−txdt

= −P(0) + (x+1)(Lf)(x) +x(Lf)^′(x) (d’après la question IV.A)

= −P(0) + (x+1)Q(x) +xQ^′(x).

et aussi

Z+∞ 0

tP^′′(t)e^−tx dt=

P^′(t)te^−tx+∞

0 −

Z+∞ 0

P^′(t)(1−xt)e^−txdt

= −

P(t)(1−tx)e^−tx+∞

0 +

Z+∞ 0

P(t)(−x−x(1−tx))e^−txdt

=P(0) −2xQ(x) −x²Q^′(x), et donc

Z+∞ 0

tP^′′(t)e^−txdt+ Z+∞

0

(1−t)P^′(t)e^−tx dt+n Z+∞

0

P(t)e^−tx dt

=P(0) −2xQ(x) −x²Q^′(x) −P(0) + (x+1)Q(x) +xQ^′(x) +nQ(x)

= (−x+n+1)Q(x) −x(x−1)Q^′(x).

Par suite, siPest solution de(En)sur]0,+∞[alors pour toutx > 0,(−x+n+1)Q(x) −x(x−1)Q^′(x) =0et en particulier, Qest solution sur]1,+∞[ de l’équation différentiellex(x−1)y^′+ (x−n−1)y=0 (E_n^′).

VIII.G.2) La fonction x 7→ x−n−1

x(x−1) est continue sur ]1,+∞[. On sait alors que les solutions de (E_n^′) sur ]1,+∞[ constituent unR-espace vectoriel de dimension1. Soitfune fonction dérivable sur ]1,+∞[.

fsolution de(E_n^′)sur]1,+∞[⇔∀x > 1, f^′(x) +x−n−1

x(x−1) f(x) =0

⇔∀x > 1, f^′(x) +

n+1

x − n

x−1

f(x) =0

⇔∀x > 1, f^′(x)e^{(n+1)lnx−nln(x−1)}+

n+1

x − n

x−1

e^{(n+1)lnx−nln(x−1)}f(x) =0

⇔∀x > 1,

xⁿ⁺¹ (x−1)ⁿf

′

(x) =0⇔∃C∈R/∀x > 1, f(x) =C(x−1)ⁿ xⁿ⁺¹ .

Faisons un bilan. Siλ est une valeur propre deU, il existen∈Ntel queλ= −net siPest un vecteur propre associé,P est un polynôme de degréntel que pour toutx > 1,LP(x) =C(x−1)ⁿ

xⁿ⁺¹ =C Xn k=0

(−1)^k n

k 1

x^k+1 oùCest une constante réelle.

SoitP= Xn k=0

(−1)^k k!

n k

X^k et pour toutx > 0,Q(x) = (x−1)ⁿ

xⁿ⁺¹ . D’après la question IV.B, pour toutx > 0,

LP(x) = Xn k=0

(−1)^k k!

n k

k!

x^k+1 = Xn k=0

(−1)^k n

k 1

x^k+1 = (x−1)ⁿ

xⁿ⁺¹ =Q(x).

Vérifions queU(P) = −nP.