Table des matières Équations fluides - 2 espèces ................................................................................................... 3

Table des matières

Équations fluides - 2 espèces ... 3

L’équation de conservation de particules ... 6

L’équation de la conservation de la quantité de mouvement ... 6

La pression... 8

L’équation de conservation de l'énergie ... 12

Conservation de la quantité de mouvement... 16

Conservation de l’énergie... 16

Calcul de t coll f ∂ ∂ ... 16

Collisions où la particule A sort de dv_A... 17

Collisions où la particule entre dans dv_A... 17

Le terme de collision pour l'équation fluide... 19

__________________________________________________________________________________________________________________

Liste des figures

Figure 1 Éléments de volumes pour le calcul de la pression cinétique... 9 Figure 2 Forces de pression dans le plan X... 10 Figure 3 b est le paramètre d’impact et g la vitesse relative avant la collision (voir chapitre

1)... 17 Figure 4 Collision binaire... 20

PHYSIQUE DES PLASMAS

Le plasma comme un fluide

Quand on regarde l'équation cinétique, on voit qu'il faut savoir une fonction de distribution qui dépend de la vitesse - quelque chose qui est assez souvent difficile à savoir, et d'autre fois ce n'est pas nécessaire de savoir la forme de cette fonction. Tout ce qui nous intéresse est la densité du plasma, la vitesse moyenne, etc. Dans ce cas on essaie d'utiliser une théorie fluide - basée sur l'idée d'un plasma comme un fluide qui est un conducteur d'électricité.

Équations fluides - 2 espèces

On commence avec la fonction de distribution pour chaque espèce: fα

(

rr ,vr, t

)

Où

( )

r, t = dvf

(

r ,v, t

)

nα r

∫

r α r r 4. 1 Pour une fonction de vitesse g_α

(

r^r ,v^r, t

)

, nous avons vu que la moyenne est donnée par:

( ) ( ) ( )

( )

r, t n

t , v , f r t , v , r g v t d

, v , r g

α α α

α r

r r r

r r r

r ₌

∫

4. 2

Définitions: pour chaque espèce on écrit:

la densité:

( )

r , t dvf

(

r,v,t

)

n ⁼

∫

r r r 4. 3 la vitesse de dérive:

) t , v , r ( f v v n d

=1 v

ur r r r r r

∫

≡ 4. 4

la vitesse thermique:

u v

wr ≡r −r 4. 5

__________________________________________________________________________________________________________________

le tenseur de pression:

(

r ,v, t

)

f w w v d m

Pt r r r r r

⊗

=

∫

4. 6 où

( ) ( )

(

v u

) (

v u

)

mn

v u fd v u m v

v fd w P m

j j i i

j j i i ij ij

−

−

=

−

−

=

=

∫

∫

r

r

4. 7

l'énergie interne par unité de volume:

(

r,v,t w f

v d 2m

1 ₂

ε

⁼

_∫

^{r r r}

)

4. 8

le flux de chaleur:

(

r,v,t f w w v d 2m

qr ⁼1

∫

r ² r r r

⁾

4. 9

On développera les équations de conservation par l'intégration de l'équation de Boltzmann:

t coll

= f v f m + F r v f t + f

∂

∂

∂

•∂

∂

•∂

∂

∂ r

r

r r 4. 10

Pour ce faire, multiplions (4.10) par une fonction ψ

( )

vr et intégrons sur la vitesse:

Terme #1:

( ) [ ]

[ ]

^{n ψ}

t

v d f t ψ v t d v f ψ

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

∂

∫

∫

^{r r r}

4. 11

Terme #2:

( ) ( )

[

n ψv

]

r

v d v f v r ψ

v r d v f v ψ

r r

r r r r

r r r r

∂

= ∂

∂ •

= ∂

∂

•∂

∫

∫

4. 12

Terme #3:

Ce terme prend la forme:

( )

v F f v ψ v m d

1 r r r r

∂

•∂

∫

4. 13

Pour le calculer, on utilise l'expansion:

[ ( ) ]

v F ψ f v F f v ψ F f ψ f F v

v ψ r r r

r r r

v r

r ∂

•∂ +

∂ • + ∂

∂

•∂

=

∂ •

∂ 4. 14

on suppose que F 0 v• =

∂

∂ r

r ce qui est le cas pour Fr qEr

= et Fr qvr Br

×

= aussi

_∫

_∂^{∂ •}

[ ]

^{ψFf dv=ψ}

^{( )}

^{v Ff} ₋^∞_∞

v

r r r r

r mais il faut noter que f → 0 quand v → ± ∞ plus rapidement

que v, v².... Donc nous pouvons écrire:

[ ]

^{ψFf dv 0}

v• =

∂

∫

∂^{r r r} 4. 15 Donc on écrit finalement le résultat:

v F ψ m

n

v F ψ f v m d

1 v F f ψ v m d

1

r r r r r r

r r

∂

•∂

−

=

∂

•∂

−

∂ =

•∂

∫

∫

4. 16

Terme #4:

( )

t coll

v f ψ v

d ∂

∫

^{r r} ∂ 4. 17

__________________________________________________________________________________________________________________

pour obtenir finalement :

[ ] [ ] ( )

t coll

v f ψ v v d

F ψ m v n ψ r n ψ

t n ∂

= ∂

∂

•∂

∂ − + ∂

∂

∂ ^{r r r r}

∫

^{r r} 4. 18

L’équation de conservation de particules

Dans un premier temps, considérons ψ

( )

vr =1 c'est-à-dire ψ =1 mais aussi ψvr = vr ≡ur

et =0

v ψr

∂

∂ qui implique que le terme #3 disparaît et l'équation 4.18 donne

( )

⁼

∫

^∂_∂

∂ • + ∂

∂

∂

t coll

v f d u r n t

n r r

r 4. 19

Si on néglige la recombinaison et l'ionisation on ne change pas le nombre de particules par les collisions élastiques et on a: .

( )

=⁰

∂ • + ∂

∂

∂ nu

r t

n r

r 4. 20

NOTE: ^{∇r •}

( )

^{f Ar = f ∇r•Ar+ Ar•∇rf} et donc on peut réécrire l'équation (4.20) sous la forme:

0 n u + u n t +

n ∇• •∇ =

∂

∂ r r r r

4. 21

L’équation de la conservation de la quantité de mouvement Utilisons maintenant ψ=mvr de telle sorte que ψ =m vr ≡mur . De plus:

( )( )

[

^{ww wu uw uu}

]

m

u w u w m

v v m v ψ

rv r r r r r r

r r r r

r r r

+ +

+

=

+ +

=

=

4. 22

Mais wr ur = ur wr =0 et urur =ut est un tenseur avec nm wr wr ≡Pt . On obtient donc:

n u P m

= v ψ

t t

r + 4. 23

et l'équation 4.18 donne maintenant:

( )

t coll

v f m v d F m m u n

n m n P u r

t mn ⁺ _∂^{∂ •⎨}_⎪⎩^{⎪⎧ ⎢}_⎣^{⎡ +} _⎦^{⎥⎤⎫⎬⎪}_⎪⎭^{− =}

∫

^∂_∂

∂

∂ t t r r r

r r 4. 24

si on a la force de Lorentz ^{Fv =q}

(

^{Er +vr×Br}

)

^{on a:}

(

E v B

) (

q E u B0

)

q

Fr = r + r×r = r + r×r 4. 25

de telle sorte que 4.24 devient

( ) [ ] [ ]

coll

0 t

v f m v d B u E nq u mn r P

u

t mn ⁺ _∂^{∂ • + − + × =}

∫

^∂_∂

∂

∂ t t r r r r r

r r 4. 26

mais on peut écrire:

( ) ( ) ( ) [ ^{( )} ]

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧ + •∇ + ∇•

∂ + ∂

∂

= ∂

∂ •

∂

∂

∂ nu u nu u

t u n t n u m u r n m + u t n

m t r r r r r r r r

r v 4. 27

mais avec l'équation de conservation de particule

( )

nu 0 t

n +∇• =

∂

∂ r r

l'équation (4.27) devient:

( )

^{+u u}

mn t u u t mn

mn ur r r r r r r

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •∇

∂

= ∂

∇

•

∂ +

∂ 4. 28

L'opérateur + •∇

∂

∂ ur r

t est connu sous le nom de dérivée convective

__________________________________________________________________________________________________________________

Et l'équation pour la conservation de la quantité de mouvement devient:

[ ]

coll

0 t

v f m v d B u E nq P u

t u

mn_⎢⎣^⎡_∂^{∂ + r•∇r}_⎥⎦^{⎤r+∇r •t− r +r×r =}

∫

^{r r∂}_∂ 4. 29 On note que les équations développées donnent une description "multi-fluide" (normalement 2 fluides) parce qu'une équation existe pour chaque espèce dans le plasma, électrons et ions. Cette description est utile quand les fluides sont "découplés" - par exemple, les collisions ne sont pas assez fréquentes pour assurer un bon couplage entre les électrons et les ions. On note que chaque fluide a sa propre vitesse de dérive, et que la pression est calculée dans un système de coordonnées propre à cette vitesse. Si le tenseur de pression peut être réduit à un scalaire on peut calculer la température cinétique:

n k

= p T

α

α α ou k est la constante de Boltzmann.

La pression

On définit le tenseur de pression:

(

r,v,t

)

f w w v d m

Pt ≡

∫

r r ⊗ r r r 4. 30

où les composants de sont données par: Pt

(

^r,v,t

)

w f vw d

Pij⁼m

∫

r i j r r 4. 31

Et la divergence de ce tenseur est un vecteur dont les composantes sont données par:

( )

^{∇• =}

_∑

_∂^∂

j j

ij

i x

Pt P

r 4. 32

Est-ce que cette définition colle avec nos idées d'une pression? Considérons la situation illustrée par la Figure 1 plus bas.

Le nombre de particules qui traversent la surface ∆Y∆Z par seconde avec une vitesse dans l'intervalle vx→vx+dvxest:

(

∆Y∆Z

)

v dv dv v f d

dN⁼ _x

∫∫

_{y z x} 4. 33

La quantité de mouvement transportée par la particule est mvx, donc le taux de transport de la quantité de mouvement est:

(

mv

) (

∆Y∆Z

)

mv dv fdv dv dN

dΓ_p ⁼ _x ^{= 2}_{x x}

∫∫

_{y z} 4. 34

x

y

z x

₀

+ dx

x

₀

x

₀

-dx x ∆Y∆Z

y

z x

₀

+ dx

x

₀

x

₀

-dx

∆Y∆Z

Figure 1 Éléments de volumes pour le calcul de la pression cinétique Pour toutes les vitesses possibles nous avons donc, en intégrant sur vx:

(

∆Y∆Z

)

mv fdv dv dv

Γ_p ⁼

∫∫∫

²_{x x y z} 4. 35 NOTE: S'il y a une vraie surface, la moitié des particules frappent, mais elles transfèrent une quantité 2mvx. Donc, la pression est le transfert de la quantité de mouvement par seconde par unité de surface:

dv dv dv v f m

P⁼

∫∫∫

²_{x x y z} 4. 36 Si f est isotrope ( eg Maxwellienne) on a:

__________________________________________________________________________________________________________________

v nkT m n P 2kT

v 1 2m

1 ₂

2 x

x = ⇒ = = 4. 37 On peut montrer que si f est isotrope, le tenseur de pression est diagonal. S'il n'y a pas de champ magnétique et si f est isotrope, on a mv²_x = mv²_y = m_v²_z qui implique que la pression P est un scalaire. Mais si f n'est pas isotrope, on peut avoir Pt

qui n'est pas scalaire et possiblement pas diagonal. Par exemple, dans un champ magnétique on a une direction (dans la direction du champ magnétique) qui est différente des autres. Dans ce cas on écrit souvent:

P 0 0 0 P 0 0 0 P

= P

//⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⊥

⊥

4. 38

où B est dans la direction z.

Posons-nous maintenant la question: Quelle est la force sur la petite boite située à xo (dans la direction x)? D'en bas ( de la boite en x0 - ∆x) on a un transfert d'une quantité de mouvement (dans la direction de x):

(

∆Z∆Y dv

dv dv f mv 2

F_x0−∆x ⁼ 1

∫∫∫

²_{x x0−∆x x y z}

⁾

4. 39

x

₀

+ dx

x

₀

x

₀

- dx F

_{x0 - dx}

F

_x0

F

_{x0 + dx}

x

₀

+ dx

x

₀

x

₀

- dx F

_{x0 - dx}

F

_x0

F

_{x0 + dx}

Figure 2 Forces de pression dans le plan X

En bas on a une "perte" de:

(

∆Z∆Y dv

dv dv f mv 2

F_x 1 ²_{x xo x y z}

0 ⁼

∫∫∫ ⁾

4. 40 Par la suite, en haut on gagne (dans la direction -x):

(

^∆Y∆Z

dv dv dv f mv 2

F_{x ∆x} 1 ²_{x x0 ∆x x y z}

0+ ⁼

∫∫∫

+

⁾

4. 41 et on perd de nouveau . Donc, le changement net dans la direction X dans le volume

dXdYdZ est:

x0

F

( ) ( ) ( )

[

f f

] ⁽

^∆Z∆Y

dv dv dv mv 2 1

F F

F F F F

∆x x

∆x x z y 2 x

x

∆x x

∆x x

∆x x x x

∆x x

0 0

0 0

0 0 0

0

+

− +

− +

−

−

=

−

=

− +

−

∫∫∫ ⁾

4. 42

En utilisant ∆X

x f f

fx0 ∆x x0

∂ + ∂

+ = et ∆X

x f f

fx0 ∆x x0

∂

−∂

− = on obtient ∆X

x 2 f fx₀ ∆x fx₀ ∆x

∂

− ∂

− ₋ =

+

Et ainsi ∆X

(

∆Y∆Z

)

X 2 f dv

dv dv mv 2

=1

∆t

∆P

z y 2 x

x ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

∫∫∫

Qui donne finalement:

( )( )

dv dv dv

(

∆X∆Y∆Z

)

x v f m

∆Z

∆Y v ∆X

t mn ^{x y z}

2x

x ∂

− ∂

∂ =

∂

∫∫∫

c'est-à-dire:

( )

dv dv dv

x v f m

t mnv ^{x y z}

2x

x ∂

− ∂

∂ =

∂

∫∫∫

4. 43 Puisque v et x sont des paramètres indépendants on peut écrire:

__________________________________________________________________________________________________________________

[ ]

[ ]

x

nkT P X

nm v v X

v d v d d v f x m

2x z

y 2 x

x

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

= ∂

∂

∂

∫∫∫

4. 44

n a considéré seulement le transfert de la quantité de mouvement mvx, mais on peut aussi calculer

L’équation de conservation de l'énergie erme #1

O

le transfert de mvy ou mvz à l'interface des "boites". Ceci donne le "shear stress" dans un fluide qui est anisotrope, et le résultat est un tenseur de pression qui a des éléments non-diagonal.

T

aintenant

Utilisons m m_v

2

= 1

ψ ².

[ ] [

v^{f dv}

]

m t 2 v 1

2 nm ψ t

t n

2

2 _⎥⎦^⎤= _∂^∂

∫

r

⎢⎣⎡

∂

= ∂

∂

∂ 4. 45

2=vr•rvet on a vr=wr +ur de telle sorte que v²=

(

wr +ur

) (

• wr +ur

)

=wr •wr +2wr •ur +ur•ur v

ε

v d f w w 2m

1

∫

^r • ^{r r}= (l'énergie interne) r

r r

r r r r r

t on obtient pour 4.46:

∫

^{w•uf dv=0}

∫

^{u•uf dv =u•un=nu2}

e

[ ]

_⎢⎣^{⎡ +} _⎥⎦^⎤

∂

= ∂

∂

∂ mnu

2 1 ψ t

t n

ε

2 4. 46

OTE: si f est isotrope, P est scalaire, et donc:

ij j

i

ij=

∫

= c'est-à-dire

N

r ^pδ p⁼m

∫

w_iw_ifdvr v

d w f m w P

__________________________________________________________________________________________________________________

Rappel :

Nous utilisons ici le « delta de Dirac » :

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

≠

= =

j i si 0

j i si δ_ij 1

ε

2

v d f w w m

v d f w w m v d w f m w

i i i i

i i

=

•

=

=

∫

∫∑

∑ ∫

r r r

r r

De plus:

ais avec f isotrope on a: m w_iw_if dv 3m w_iw_if dv

i

r

r

∫

∑ ∫

⁼

M

C'est-à-dire nkT

2 3p 3

2

ε

^{= ⇒}

ε

⁼

et finalement on obtient pour le premier terme:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂

= ∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂

∂ nmu

2 +1 2nkT 3 u t

2nm +1 2p 3 t

2

2 4. 47

rès souvent on simplifie la forme du tenseur de pression:

T

w nm w Π = δ + p

Pij= ij ij i j

δ w w = nm w

Πij i j 2 ij

3

−1

où qu'on peut aussi écrire:

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

=

2 2

z z

y z

x

y z 2

2 y y

x

x z x

y 2

2 x

3w w 1 w

w w

w

w w 3w

w 1 w

w

w w w

w 3w

w 1 nm Πt

4. 48

ij tient compte du manque de symétrie (viscosité) et s'appelle "viscous stress tensor".

erme#2 Π

T

Nous devons évaluer le terme mv f vdv 2

1 r

2 r r

r^•

∫

∂

∂ Mais de nouveau on a

v

v²=vr•ret on a vr =wr +ur de telle sorte que v²=

(

wr +ur

) (

• wr +ur

)

=wr •wr +2wr •ur +ur•ur

i) mnu u

2

= 1 v d f u u 2m

1

∫

₂r v ₂r

ii) nkTu

2

= 3 u 2p

=3 m u 2 2m

=1 v d f w u 2m

1 2r r r

ε

r r

∫

si f est isotrope.

iii) m u wwf dv=m

(

u_αw_α

)

wf dv

α

r r r

r r

r

∫∑

∫

^•

la composante j de l'équation qui précède s'écrit:

( )

( )

∑

∑

∑

∑ ∫

∫∑

+

=

α

α j α j

αj αj α α α αj α

j α α

α j

α α α

u Π pu

+Π pδ

= u u P

=

v d w f u w

m

= dv w f w

m u r

NOTE: Παj=Πjα

Le vecteurm

∫

ur•wr wr f dvr est donc donné par:

u Π + u p

= u

Pt r r t r

•

• où p = nkT

iv) m w wf dv=q 2

1

∫

₂ r r r par la définition même de la densité de flux de chaleur.

On peut montrer que les autres termes = 0 à savoir:

0

= v d f w u u m

= v d f u w u

m∫r• r r r r∫r• r r 0

= v d f u w 2m

1 ₂∫ r r

On obtient finalement:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •

∂ •

= ∂

∂

∂

∫

q + u Π + u 2p + 5 u u 2mn 1

q + u Π + u p + u 2p +3 u u 2mn 1 v r

d v f 2mv 1 r

2 2 2

r r r t

r

r t r

r r r r

r r r

4. 49

Terme #3

avec ^{Fr =q}

[

^{Er +vr×Br}

]

^{on a} mv ^=mv 2

1 v

2 r

r ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∂ donc le produit scalaire de ces deux vecteurs donne:

v E mq

= v m E q v = 2m 1

F v ² r r r r

r r ⎟ • •

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

• ∂ car

( )

^{vr×Br •vr=0}

On obtient finalement pour ce terme:

u E nq

=

v d f v E q

=

v E mq f v m d v 1

E m mq

n

r r

r r r

r r r

•

−

∫

•

−

•

∫

−

≡

•

−

4. 50

Terme #4

Avec le quatrième terme

∫

^∂_∂

coll 2

t mv f 2 v1 dr

L'équation pour la conservation de l'énergie devient finalement:

∫

^∂_∂

+

•

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •

∂ • + ∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

∂

∂

c 2 2

2

t mv f 2 v1 d u E nq

q + u Π + u 2p +5 mnu u 2 1 u r

2mn 1 t

ε

r r r

r t r

r r r

mais on rencontre cette équation le plus souvent écrite en termes de nkT:

__________________________________________________________________________________________________________________

∫

^∂_∂

+

•

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •

∂ • + ∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

∂

∂

coll 2 2

2

t mv f 2 v1 d u E nq

q + u Π + u 2nkT +5 mnu u 2 1 nkT r

2 u 3 2mn 1 t

r r r

r t r

r r r

4. 51

Finalement, nous avons donc les équations MHD

L’équation de continuité (conservation de particules)

( )

=0

∂ • + ∂

∂

∂ nu

r t

n r

r

Conservation de la quantité de mouvement

[ ]

coll

0 t

v f m v d B u E nq P u

t u

mn_⎢⎣^⎡_∂^{∂ +r•∇r}_⎥⎦^{⎤r +∇r•t− r + r×r =}

∫

^{r r∂}_∂

Conservation de l’énergie

∫

^∂_∂

+

•

⎥⎦=

⎢⎣ ⎤

⎡ •

∂ • + ∂

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

∂

∂

coll 2 2

2

t mv f 2 v1 d u E nq q + u Π + u 2nkT +5 mnu u 2 1 nkT r

2 u 3 2mn 1 t

r r r

r t r

r r r

Calcul de

t coll

f

∂

∂

Considérons les molécules de type A. Dans l'intervalle de vitesse dvA autour de la vitesse vA avant la collision on a un nombre fA(vA)dvA de particules par unité de volume. On suppose que la particule A subit une collision avec une particule B, et qu'après la collision elle a une vitesse vA'.

[Plus exactement elle se trouve dans un élément de volume dvA' autour de vA'.] Entre temps, la particule B est aussi déviée du volume dvB autour de vB à dvB' autour de vB'.

Collisions où la particule A sort de dv_A

Figure 3 b est le paramètre d’impact et g la vitesse relative avant la collision (voir chapitre 1) Le nombre de collisions avec une particule A dans l'intervalle dt est le nombre de particules B dans le volume bdbdΦgdt:

( )

v dv bdbdΦgdt

=f

N_{B B} r_B r_B 4. 52 Le nombre total de collisions entre les particules B et les particules A dans dvA est fA(vA)dvANB

( )

v dv N =f

( ) ( )

v f v dv dv ^bdbdΦgdt

fA rA rA B B rB A rA rA rB 4. 53 Ce qui nous intéresse est le nombre de collisions, indépendamment de la vitesse vB, du paramètre d’impact b et de l’angle Φ.:

dv dΦ db b g f f v dt

d

=

dN _{B B}

A A out

c, r

∫∫∫

r 4. 54

Collisions où la particule entre dans dv_A

Une particule qui était dans dvA' est frappée dans dvA par la collision; la particules B est changée de dvB' à dvB.

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( )

v dv bdbdΦg dt

=f

N′_{B B} r′_B r′_B ′ 4. 55 où g' = g pour les collisions inverses.

On a que le nombre de collisions avec les particules dans dvA' est:

( )

v dv N =f

( ) ( )

v f v dv dv bdbdΦgdt

fA r′A r′A B B r′B A r′A r′A r′B 4. 56 de telle sorte que le nombre de collision devient

dv dΦ db b f g f v dt

d

=

dN B _B

A A in

c, ^r′

∫∫∫

′ ′ ^r′ 4. 57 on a aussi dv′_Adv′_B=dv_Adv_B donc le changement net est donné par:

( )

_{A A}

[

_{A B A B}

]

_B

coll A out

c, in

c, dv dt dv dt f f f f gbdbdΦdv

t dN f

dN ^{− =∂}_∂ ⁼

∫∫∫

^{′ ′ −} r 4. 58

NOTE: normalement on met vA → v et fA → f:

[

B B

]

B

coll

v d dΦ db b g ff f t f

f ⁼

∫∫∫

^{′ ′ −} r

∂

∂ 4. 59

Dans le chapitre sur les collisions nous avons obtenu:

(

χ,Φ

)

dΩ lbdbdΦ dt lσ

dN

dΩ

=

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

où on a . En intégrant sur l’angle Φ de 0 à 2π on obtient pour l'anneau de rayon b et de largeur db:

dΦ db b

= dΩ Φ) , (χ σ

dΦ dχ χ sin σ l

= dΩ Φ) , (χ σ l

=

dΦ db b l dt =

dN

2π 0 Φ

2π

0 anneau Φ

∫

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∫

∫

=

= 4. 60

Si σ est indépendant de l’angle Φ on peut écrire :

( )

χ sin χdχ σ

2π

=

dΦ dχ χ sin Φ) , (χ σ

= dΦ db

b ∫

∫ 4. 61

La discussion ci-haut nous permet donc d'écrire:

[ ] ( )

[

B B

] ( )

_B

B B B coll

v d dχ sinχ χ σ 2π f g f f

f

v d dΩ Φ χ, σ f g f f

t f f

r r

′ −

∫ ′

∫

=

′ −

∫ ′

∫

∂ =

∂

4. 62

Le terme de collision pour l'équation fluide

En utilisant σ indépendant de l’angle Φ le terme de collision devient :

( )

v

[

f f ff

]

g2πσ

( )

χ sinχdχdv dv ψ

= v t d

ψ f _{B B B}

coll

r r r

r ∫∫∫ ′ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∫ ∂ ′ 4. 63

NOTE: on peut toujours interchanger la collision pour la collision inverse:

( )

χ dΩdv dv= ψ f f g 2πσ

( )

χ sinχdχdv dv σ

2π f g f

ψ ′ _{B B} ∫∫∫ ′ _B ′ _B ′

∫

∫

∫ ′ r r r r 4. 64

mais on a: g′=get drv_Bdvr=dvr_Bdrv′ de telle sorte que le membre de droite de 4.64 peut s’écrire . D’ou

( )

χ sinχdχdv dv σ

2π f g f

ψ′ B rB r

∫

∫

∫

[

ψ ψ

]

f f g2πσ

( )

χ sinχdχdv dv

= v t d

ψ f _{B B}

coll

r r r ∫∫∫ ′−

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∫ ∂ 4. 65

Pour ψ

( )

vr =mvron a ψ′−ψ =m

(

vr′−vr

)

Quand on intègre sur dΩ, on trouve qu'en moyenne le changement perpendiculaire à v est nul - ce qui nous laisse avec un changement parallèle à v seulement - une force de friction.

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Figure 4 Collision binaire

(

vr′−rv

)

_// =v′cos

( )

χ −v 4. 66

( ) (

v v

)(

1 cosχ +m

m m m

= v m

∆ ψ

ψ _B

B

B − −

=

′− r

)

4. 67

On définit: νcm=2π nBg

(

1 cosχ

) ( )

σ χ sinχdχ

B ∫ − comme la fréquence de collision !

Avec particule A = les électrons et particule B = les neutres, on a:

(

1 cosχ

) ( )

σχ sinχdχ n g

2π νcm= n

en ∫ − 4. 68 pour la fréquence de collision, dans le centre de la masse. Dans ce cas s est la section efficace pour les collisions e-n. Dans le laboratoire avec 1

+m m

m

n

n ≅ pour e-n. on peut écrire :

(

1 cosχ

) ( )

σ χ sinχdχ n g

2π

= ν

νen n

cm

en ∫ −

≅ 4. 69

( )

f f dv dv n

v ν v

=m v t d

ψ f _{e n n e}

n e en n e c

r r ∫∫ − r

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∫ ∂ 4. 70

Si on suppose que νen est indépendant des vitesses, on peut écrire:

[

v v

]

m n ν v ν

n

me e en n − e ≅− e e en e 4. 71 NOTE: Pour les collisions e-n la section efficace varie ~1/v, sauf pour l'effet Ramsauer a basse

vitesse. Donc ν ~ σv ~ constant est une (relativement) bonne hypothèse.

NOTE: Dans l'équation fluide dv t ψ f

coll

⎟ r

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

∫ ∂ décrit le changement dans la quantité de mouvement d'espèce A dû à des collisions avec d'autres espèces (B,C,...). Les collisions entre les particules A ne causent aucun changement de la quantité de mouvement total, à cause de la conservation de la quantité de mouvement total dans une collision binaire.

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