Professeur Jean Lemay

(1)

Professeur Jean Lemay - Local 1504C 1

Professeur Jean Lemay

1 1- - Introduction Introduction 2

2- - Régimes laminaire et turbulent Régimes laminaire et turbulent

3 3- - Région de développement / région pleinement développée Région de développement / région pleinement développée 4 4- - Distribution longitudinale de la pression Distribution longitudinale de la pression

5 5- - Coefficient de friction Coefficient de friction 6 6- - Cas laminaire et turbulent Cas laminaire et turbulent

7 7- - Formules empiriques et diagramme de Formules empiriques et diagramme de Moody Moody 8

8- - Profil de vitesse en écoulement turbulent Profil de vitesse en écoulement turbulent 9 9- - Pertes dans les garnitures Pertes dans les garnitures

Pertes de charge en conduite Pertes de charge en conduite

Plan de la présentation Plan de la présentation

Lab de GMC

1- 1 - Introduction Introduction Pourquoi a

Pourquoi a- -t t- -on choisi on choisi ce sujet comme laboratoire ce sujet comme laboratoire en mécanique des fluides ? en mécanique des fluides ?

Problème pratique

Problème pratique d d ’une grande importance ’une grande importance pour un ingénieur en mécanique (ou chimique) pour un ingénieur en mécanique (ou chimique) Une majorité des ingénieurs en mécanique Une majorité des ingénieurs en mécanique aura un jour à

aura un jour à mesurer mesurer ou à estimer ou à estimer des des pertes de charge

pertes de charge

(2)

➘ Calcul des caractéristiques d Calcul des caractéristiques d ’une pompe pour: ’une pompe pour:

un circuit de distribution d un circuit de distribution d ’eau ’eau

⑦

⑦ un circuit hydraulique (huile…) un circuit hydraulique (huile…)

l’industrie du pétrole l’industrie du pétrole

¾ ¾ Domaine des pâtes et papier Domaine des pâtes et papier

➘ ➘ Calcul des caractéristiques des conduites de ventilation Calcul des caractéristiques des conduites de ventilation

➘ ➘ Centrales thermiques, nucléaires Centrales thermiques, nucléaires

➘

➘ Industrie aéronautique Industrie aéronautique

➘ ➘ Industrie alimentaire Industrie alimentaire

➘ ➘ … bref, partout où des fluides s … bref, partout où des fluides s ’écoulent dans des conduites ’écoulent dans des conduites

Exemples Exemples : :

2- 2 - Régimes laminaire et turbulent Régimes laminaire et turbulent

➘ ➘ Nombre de Nombre de Reynolds Reynolds : : ^Re ^Re ^{= ρ} ⁼ ^ρUD ^UD/ ^/µ ^µ

avec

avec ρ ρ = densité = densité

µ µ = viscosité dynamique = viscosité dynamique

➘

➘ Re Re = ratio = ratio

➘

➘ Stabilité Stabilité

visqueuse Force

inertie d

Force '

(3)

Laminaire

Laminaire - - transition - transition - turbulent... turbulent...

Exemple: jet dans un environnement au repos Exemple: jet dans un environnement au repos

Non-linéarité des équation de Navier-Stokes => turbulenceturbulence Écoulement

laminaire laminaire

Croissance spatio-temporelle de l’instabilité => transitiontransition

Expérience de

Expérience de Reynolds Reynolds

Écoulement dans un tuyau de section circulaire Écoulement dans un tuyau de section circulaire

Osborne Reynolds Osborne Reynolds

Université de

Manchester (1883)

(4)

Expérience de

Expérience de Reynolds Reynolds (suite) (suite)

Écoulement dans un tuyau de section circulaire Écoulement dans un tuyau de section circulaire

Re

Re < 2100 < 2100

Écoulement

Écoulement LAMINAIRE LAMINAIRE

(

(ReRe< 2000 ou 2300 chez d< 2000 ou 2300 chez d’autres auteurs)’autres auteurs)

Re Re > 4000 > 4000

Écoulement

Écoulement TURBULENT TURBULENT

3- 3 - Région de développement / Région de développement / région pleinement développée région pleinement développée

Longueur d’entrée : l_e Région pleinement développée (c’est ce qu’on considère dans le LAB)

Tuyau horizontal avec écoulement permanent Cône

potentiel Zone visqueuse

Re l_e/D

10 0.6

2000 120 10⁴à 10⁵ 20 à 30

Laminaire:

l

_e

/D = 0.06 Re Turbulent:

l

_e

/D = 4.4 Re

^1/6

(5)

4- 4 - Distribution longitudinale de la Distribution longitudinale de la pression

pression

La pression chute La pression chute

= = Perte de charge Perte de charge

Volume de contrôle dans un tuyau

1 2

p

₂

A p

₁

A

τ τ

Les effets visqueux fournissent une force qui s ’oppose au mouvement.

Pour que le fluide s ’écoule à vitesse cte (accélération = 0 Õ Õ ΣF = 0), il faut qu ’il y ait une résultante de pression dans le sens du mouvement.

p p

₁₁

> p > p

₂₂

Õ Õ perte de charge (dp perte de charge ( dp/ /dx dx < 0) < 0) Pourquoi y a

Pourquoi y a- -t t- -il une il une diminution de pression diminution de pression

le long du tuyau ? le long du tuyau ?

5- 5 - Coefficient de friction Coefficient de friction

Analyse dimensionnelle Õ Õ ∆ ∆ p = F(U, p = F(U, µ µ , ρ , ρ , D, l, ε , D, l, ε ) )

Les équations du mouvement (Navier-Stokes) et l ’expérience démontrent que cette liste est complète

∆p Õ Õ [Pa] = [N/m

²

] Õ Õ F L F L

^-2^-²

U Õ Õ [m/s] Õ Õ L T L T

^-^-1¹

µ Õ Õ [Pa s] = [N s/m

²

] Õ Õ F L F L

^-2^-²

T T ρ Õ Õ [kg/m

³

] = [N s

²

/m

⁴

] Õ Õ F L F L

^-4^-⁴

T T

²²

l Õ Õ [m] Õ Õ L L

D Õ Õ [m] Õ Õ L L

ε Õ Õ [m] Õ Õ L L

7 paramètres, 3 dimensions

Théorème de Buckingham:

4 groupes

π

adimensionnels

Dimensions de base dans le système F, L, T F, L, T

(6)

Coefficient de friction (suite) Coefficient de friction (suite)

π π ₁ ₁ = Φ = Φ (π ( π ₂ ₂ , π , π ₃ ₃ , π , π ₄ ₄ ) )

Avec U, ρ et D comme variables répétées

∆p est la variable dépendante et ne peut donc être choisie comme variable répétée l et ε ont les mêmes dimensions que D; on aurait pu les choisir à la place de D...

π ₁ = ∆pU â ρ ^b D ^c π ₂ = µ U â ρ ^b D ^c π ₃ = l U â ρ ^b D ^c π ₄ = ε U â ρ ^b D ^c

∆ ∆ p p = F(U, µ = F(U, µ , ρ , ρ , D, l, ε , D, l, ε ) )

4 termes π

Analyse dimensionnelle

Coefficient de friction (suite) Coefficient de friction (suite)

π ₁ = ∆p U ^a ρ ^b D ^c

[F

⁰

L

⁰

T

⁰

] = ^[FL

^-2

^{] [L}

^a

^T

^-a

^{] [F}

^b

^L

^-4b

^T

^2b

^{] [L}

^c

^] Pour chaque terme π, on cherche les valeurs de a, b et c rendant l ’expression sans dimensions

Exemple pour π ₁ :

π ₁ = ∆pU â ρ ^b D ^c π ₂ = µ U â ρ ^b D ^c π ₃ = l U â ρ ^b D ^c π ₄ = ε U â ρ ^b D ^c

a = -2 b = -1 c = 0 F: 1 + b = 0

L: -2 + a - 4b + c = 0

T: -a + 2b = 0

(7)

Coefficient de friction (suite) Coefficient de friction (suite)

π

₁

= ∆pU

^-2

ρ

^-1

π

₂

= µ U

^-1

ρ

^-1

D

^-1

π

₃

= l D

^-1

π

₄

= ε D

^-1

a=-2, b=-1, c=0 a=-1, b=-1, c=-1 a=0, b=0, c=-1 a=0, b=0, c=-1

π

₁

= ∆pU

^a

ρ

^b

D

^c

π

₂

= µ U

^a

ρ

^b

D

^c

π

₃

= l U

^a

ρ

^b

D

^c

π

₄

= ε U

^a

ρ

^b

D

^c

 

 

 Φ 

∆ =

D D

l D U U

p ε

µ ρ

ρ ² ^, ^,

1 2

π

₁

= Φ ( π

₂

, π

₃

, π

₄

)

Pour π

₁

= Φ(π

₂

, π

₃

, π

₄

), on obtient finalement:

Coefficient de friction (suite) Coefficient de friction (suite)

 

 

 Φ 

∆ =

D D U D

l U

p ε

µ ρ

ρ

²

^,

12

L ’analyse dimensionnelle

nous conduit donc à ceci:  

 

 Φ 

∆ =

D D

l D U U

p ε

µ ρ

ρ

²

^, ^,

12

Les équations du mvt (Navier-Stokes) et les données expérimentales montrent que ∆p ~ l

L ’expérience et la physique

nous en disent un peu plus...

(8)

Coefficient de friction (suite) Coefficient de friction (suite)

La fonction Φ est adimensionnelle

On l ’appelle f , le coefficient de friction

l D U p D

D

f U ₂

1 2

, ρ

ε µ

ρ   = ∆

 

 Φ 

≡

 

 

 Φ 

∆ =

D D U D

l U

p ε

µ ρ

ρ

²

^,

12

Rugosité relative Nombre de

Reynolds

6- 6 - Cas laminaire et turbulent Cas laminaire et turbulent

( p − ∆ p ) π r

²

Cas laminaire

Diagramme des corps libres

Diagramme des corps libres Écoulement permanent ( a

_x

= 0)

r l

p = 2 τ

∆

l π r τ 2

l r

2

p π r

 

 

 Φ 

≡ D

D

f U ε

µ

ρ , Peut-on expliciter f ?

Sur un élément de fluide cylindrique x

x m a

F =

∑

(9)

Cas laminaire (suite) Cas laminaire (suite)

[ ]

 





 



 



 



− 

= ∆

∆ −

=

2 2 2

2

1

4 4 R

r l

R r p

l R u p

µ µ

dr µ du τ = −

Cisaillement pour le cas laminaire On a trouvé avec

le diagramme

des corps libres l r

p 2 τ

∆ =

Avec u = 0 à r = R , on a:

dr l r

du p ∫

∫ ⁼ ⁻ ₂ ^∆ _µ

Cas laminaire (suite) Cas laminaire (suite)

Calcul de la vitesse moyenne à partir du débit Q

Avec

On obtient

finalement:

2

32 D

U p ₌ µ l

∆

dr R r

r l

R p U R

R

π

µ

π 4 ¹ ²

1

0 2 2

2

∫ _ ^





 



 



 



− 

= ∆

l D U p

µ 32

∆

2

=

Avec

Re U

f D 64 64

=

= ρ µ

On définit

l D U

f p

₂

12

ρ

= ∆

R

2

U Q

= π ^Q ⁼ ∫

^R

^u ^r ^dr

0

2 π

(10)

= 0

∑ ^F

^x

Cas turbulent Cas turbulent

Pour le cas laminaire, on a obtenu:

(notons que f est fonction de Re

seulement; ε/D n’influence pas ) f = Re 64

Cas

Cas turbulent: turbulent:

On ne peut utiliser la simplification d’écoulement permanent permettant d’écrire a_x= 0 dans la somme des forces.

dr µ du τ = −

On ne peut développer de relation servant à expliciterf ; on a recours à l’expérimentation.

On ne peut utiliser la relation de cisaillement simple qui est valable en laminaire seulement.

7- 7 - Formules empiriques et Formules empiriques et diagramme de

diagramme de Moody Moody

Haaland Haaland

toutes ε turbulent explicite

Prandtl Prandtl

lisse ε = 0 turbulent

Von Karman Von Karman

très rugueux ε ++

turbulent Re ++

Colebrooke Colebrooke

toutes ε turbulent

 





 



 



 

 + 

−

=

11 . 1

7 . 3 9 . log 6 8 .

1 1 D

f Re

ε

( ) ⁰ ^. ⁸

log 0 .

1 = 2 Re f −

f

 

 



− 

= 2 . 0 log 3 . 7

1 D

f

ε

 





 



 +

−

= Re f

D f

51 . 2 7 . log 3 0 .

1 2 ε ^Moody

(11)

Diagramme de

Diagramme de Moody Moody

On peut le tracer à partir de la formule de Colebrooke

8- 8 - Profil de vitesse en écoulement Profil de vitesse en écoulement turbulent

turbulent

En régime turbulent, on a recours aux données expérimentales et à l’analyse dimensionnelle

 





 



 



 



− 

= ∆

2 2

4 1 R

r l R u p

µ

En régime laminaire, on a vu la forme exacte (parabole)

(12)

Profil de vitesse en écoulement Profil de vitesse en écoulement turbulent (suite)

turbulent (suite)

3 Régions:

Région externe - loi en puissance (valable presque partout sauf à la paroi et sur l’axe)

τ ρ

τ

= u

0 . ) 5 ln (

44 .

2  +



 



 −

=

^τ

ν

τ

r R u u

u

Sous-couche visqueuse avec (très près de la paroi)

0 , 0 à et ,

à = →∞ = ≠

dr u r d dr

u R d r

Région en log (assez loin de la paroi et assez loin du centre)

τ

ν

τ

) ( R r u

u

u = −

avec n = f(Re)

n

R r R u

u

¹^/

max

 

 



=  −

Profil de vitesse en écoulement Profil de vitesse en écoulement turbulent (suite)

turbulent (suite)

10

⁰

10

¹

10

²

10

³

5 10 15 20 25

u _τ (R-r)/ν u/u _τ

Sous-couche visqueuse

Région log

Région externe

n

R r R u

u ¹^/

max



 



= −

ν

τ τ

) ( R r u u

u = −

0 . ) 5 ln (

44 .

2 +



 



 −

= ^τ

ν

τ

r R u u

u

Exemple: Re = 450 000 (eau, U = 1 m/s, D = 0.5 m , tuyau lisse)

(13)

Profil de vitesse en écoulement Profil de vitesse en écoulement turbulent (suite)

turbulent (suite)

0 0.5 1 1.5 2

-1 -0.5 0 0.5 1

u (m/s) r/R

Région externe Loi en puissance

Profil laminaire équivalent Sous-

couche

visqueuse Région log

Exemple: Re = 450 000

(eau, U = 1 m/s, D = 0.5 m , tuyau lisse)

9- 9 - Pertes dans les garnitures Pertes dans les garnitures

Pertes dans les garnitures = Pertes de charge singulières

On définit K

_L

un coefficient de

perte de charge singulière par: ²

1 2 U

K _L p

ρ

= ∆

(14)

Pertes dans les garnitures (suite) Pertes dans les garnitures (suite)

Pour le cas des garnitures, on considère plutôt:

( , géométrie )

2

12

K Re

U p

L

= Φ

∆ = ρ

Pour le cas du tuyau, l’analyse dimensionnelle a donné:





 

 Φ 

∆ =

D D Re l U

p ε

ρ

²

^, ^,

12

Dans la plupart des applications où l’on doit considérer des garnitures, les forces d’inertie prédominent (Re élevé). De plus, il y a souvent accélération due à une restriction. Dans ce cas, la dépendance au Re devient faible. On a alors:

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