Devoir no2 - Applications du Second degr´e - Vecteurs - 1S 11 octobre 2013 - 2h
Exercice 1 (5,5 pts) : R´esoudre dansR
1) x−5√x−14 = 0 2) √
x+ 5 = 1−x 3) √
x2−x−6 =√ x−1
Exercice 2 (2,5 pts) :
La somme du carr´e d’un nombre et du carr´e de son inverse est ´egale `a 97 36. Quel(s) est(sont) ce(s) nombre(s) ?
Exercice 3 (4 pts) :
On consid`ere la fonction f d´efinie sur Rpar :f(x) = 4x3+ 9x2−16x−36 1. Montrer que −2 est racine de f; en d´eduire la factorisation def(x).
2. R´esoudre l’´equation f(x) = 0.
3. R´esoudre l’in´equation f(x)≥0.
Exercice 4 (6 pts) :
ABC est un triangle, I est le milieu de [AB],J et Lsont les points tels que :
−→BJ = 3 5
−−→BC, et −→AL= 3−→AC
1. Construire une figure.
2. M´ethode vectorielle :
a) Exprimer −IL→ en fonction des vecteurs −−→AB et−→AC.
b) Exprimer −IJ→ en fonction des vecteurs−−→AB et−→AC. c) Les points I,J etL sont-ils align´es ?
3. M´ethode analytique : On consid`ere le rep`ere (A;−−→AB,−→AC).
a) Donner les coordonn´ees des points A,B,C,I etL.
b) Exprimer le vecteur −→AJ en fonction des vecteurs −−→AB et−→AC; en d´eduire les coordonn´ees du point J.
c) Les points I,J etL sont-ils align´es ?
Exercice 5 (2 pts) :
Soit P la parabole d’´equation :y=x2−3x−4
Pour tout r´eel m, on appelle Dm la droite d’´equation :y=−mx−5 D´eterminer les valeurs de mpour lesquelles :
1. Dm coupeP en seul point.
2. Dm coupeP en deux points distincts.
3. Dm ne coupe pasP.
Aide : Pour cela, on montrera que le probl`eme revient `a r´esoudre l’´equation : (E) :x2+ (m−3)x+ 1 = 0, et on calculera ∆m.
