TaleBT S DOM OT IQU E
Équations différentielles
Jeudi 19 novembre 2009Devoir Surveillé n˚3
✒ Exercice 1
On considère l’équation différentielle (E) :
y
′− 2y = e
2xoù y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur R et y
′sa fonction dérivée.
1. Résoudre sur R l’équation différentielle (E
0) :
y
′− 2y = 0 2. Soit h la fonction définie sur R par
h(x) = xe
2xDémontrer que h est une solution particulière de l’équation différentielle (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution particulière f de l’équation (E) qui vérifie la condition f (0) = − 1
✒ Exercice 2
On considère l’équation différentielle (E) :
y
′′− 3y
′+ 2y = − 1 − 2x
où y désigne une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur R . y
′la fonction dérivée de y et y
′′sa fonction dérivée seconde.
1. Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E
1) : y
′′− 3y
′+ 2y = 0
2. Déterminer les constantes réelles a et b pour que la fonction g définie sur R par : g(x) = ax + b
soit une solution particulière de l’équation (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de l’équation (E) qui vérifie les conditions initiales : f (0) = 0 et f
′(0) = 2
http://mathematiques.daval.free.fr -1-
TaleBT S DOM OT IQU E
Équations différentielles
Jeudi 19 novembre 2009✒ Exercice 1
1. On souhaite résoudre l’équation différentielley′(x)−2y(x) = 0.
La solution générale de (E0) est du typey0(x) =keG(x) oùk est un nombre réel quelconque etGune primitive de la fonctionx7→2 d’où :
y0(x) =ke2xoùk∈R.
2. On calcule la dérivée deh:
h(x) =xe2x donch′(x) =e2x+x×2e2x= (2x+ 1)e2x. On remplace dans l’équation (E) :
h′(x)−2h(x) = (2x+ 1)e2x−2xe2x=e2x, donc : hest une solution particulière de (E).
3. La solution générale de l’équation (E) est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre (E0) et d’une solution particulière de l’équation (E).
D’après les questions précédentes, on a doncy(x) =ke2x+xe2x. y(x) = (x+k)e2xoùk∈R.
4. f(0) =−1⇐⇒(0 +k)e2×0=−1⇐⇒k=−1, soit : f(x) = (x−1)e−2x.
✒ Exercice 2
1. Solutions de l’équation caractéristique de (E1) :r2−3r+ 2 = 0 :
∆ = (−3)2−4×1×2 = 1.
Le discriminant est positif, l’équation admet deux solutionr1= 3−1
2 = 1 etr2=3 + 1 2 = 2.
Les solutions de (E1) sont donc du type : y1(x) =Aex+Be2x oùA∈RetB∈R
2. g(x) =ax+bdonc :g′(x) =aetg′′(x) = 0.
gétant solution particulière de (E), elle vérifie :
g′′(x)−3g′(x) + 2g(x) =−1−2x⇐⇒0−3a+ 2ax+ 2b=−1−2x⇐⇒2ax+ 2b−3a=−2x−1.
Par identification des coefficients, on obtient : 2a=−2 et 2b−3a=−1, soita=−1 etb=−2.
g(x) =−x−2.
3. La solution générale de l’équation (E) est la somme de la solution générale de l’équation sans second membre (E1) et d’une solution particulière de l’équation (E).
D’après les questions précédentes, on a donc : y(x) =Aex+Be2x−x−2 oùA∈RetB∈R.
4. f(0) = 0⇐⇒Ae0+Be2×0−0−2 = 0⇐⇒A+B= 2, f′(x) =Aex+ 2Be2x−1 d’où :
f′(0) = 2⇐⇒Ae0+ 2Be2×0−1 = 2⇐⇒A+ 2B= 3.
( A+B= 2
A+ 2B= 3
⇐⇒
( A+B= 2
B= 1
⇐⇒
( A= 1
B= 1 , d’où : f(x) =ex+e2x−x−2.
http://mathematiques.daval.free.fr -2-
