On considère l’équation différentielle suivante :

I Problématique

On considère l’équation différentielle suivante :

(E d )







f est dérivable sur R et f ^′ (x) = f (x) f (0) = 1

• Équation : . . .

• Différentielle : . . .

Remarque 1 L’équation (E

) précédente s’écrit plus simplement : (E

)

f

= f

f (0) = 1 et à terme : (E

)

y

= y y(0) = 1 Le fait que les fonctions recherchées sont dérivables est implicitement contenu dans l’équation.

Axiome de départ : On suppose, pour l’instant, qu’il existe une fonction h solution de ( E

).

On a donc : .

• h dérivable sur R ;

• ∀ x ∈ R , h

(x) = h(x) ;

• h(0) = 1.

II Propriétés vérifiées par une fonction solution de (E d )

II.1 La fonction h est continue sur R .

II.2 La fonction h ne s’annule pas sur R .

On pose g(x) = h(x)h( − x) pour tout x ∈ R

II.3 La fonction h est strictement positive sur R .

II.4 La fonction h vérifie la relation fonctionnelle h(a + b) = h(a)h(b), ∀ a et b de R

Soit a un nombre réel fixé (constante). On pose k(x) = h(x + a)h( − x) pour tout x ∈ R

II.5 Unicité de la fonction h

Comme souvent en mathématiques, pour démontrer l’unicité d’un objet mathématique, on suppose qu’il y en a deux.

Supposons qu’il existe deux fonctions h

et h

dérivables sur R , solutions de E

. On pose, pour tout x ∈ R , m(x) = h

(x)h

( − x).

II.6 Courbe de la fonction h

Grâce à la méthode d’Euler qui s’appuie sur l’approximation affine d’une fonction dérivable en a.

f (x) ≈ f

(a)(x − a) + f (a) pour x voisin de a.

On peut calculer, avec une précision mesurée, les images par la fonction h et construire une courbe "approchée".

III La fonction Exponentielle

III.1 Théorème et Définition

Théorème 1 Il existe une unique fonction f dérivable sur R , telle que f

= f et f (0) = 1 . On l’appelle expo- nentielle et est notée exp.

Conséquences :

• exp(0) = 1

• exp est dérivable sur R et exp

(x) = exp(x) .

• ∀ x ∈ R , exp(x) > 0. (démo : cf. II.3)

• exp est strictement croissante sur R .

Démonstration du dernier point :

III.2 Propriétés

Propriété 1 Pour tous réels a et b : exp(a + b) = exp(a) × exp(b) . (démo : cf. II.4)

D’autres propriétés qui en découlent ... a, b ∈ R et n ∈ N :

• exp(a − b) = exp(a)

exp(b) , démo :

• exp( − b) = 1

exp(b) , démo :

• exp(na) = [exp(a)]

, démo :

• exp( a

n ) = p

exp(a), (n > 1) , démo :

III.3 Nombre e et notation e

Le nombre exp(1) est noté e.

Avec a = 1 dans exp(na) = [exp(a)]

, on obtient : exp(n) = ...

On décide de prolonger à tout x réel, l’égalité obtenue sur les entiers et on pose, par convention : exp(x) = e

pour tout x ∈ R

Reformuler les propriétés et constater qu’elles correspondent à l’usage d’une notation puissance.

III.4 Limites et courbe

Théorème 2 Limites "aux bornes" : lim

x→+∞

e

= + ∞ et lim

x→−∞

e

= 0 Limite de référence : lim

x→+∞

e

x = + ∞

Démos : On pose ϕ(x) = e

− x

III.5 Courbe de la fonction exp

O

bb

b

1 e

1

~i

~j

C

Comme lim

x→−∞

e

= 0 , . . .

Propriétés se déduisant de la courbe ou du sens de variation :

• e

= e

⇔ x = y , démo : Sens de variation de la fonction exp.

• Cas particulier : e

= 1 ⇔ x = 0 , démo :

• Pour x, y ∈ R , e

< e

⇔ x < y , démo : exp est strictement croissante sur R

• Cas particulier : 0 < e

< 1 ⇔ x < 0 , démo :

• Cas particulier : e

> 1 ⇔ x > 0 , démo :

Résoudre les équations ou inéquations suivantes :

∗ e^3x−1

= 1

∗ e^x2−x

=

∗ e^3−4x<

1

∗ e^5−x2>e^4x⇔...

III.6 Croissance comparée. Limites de référence

Théorème 3 Limites à connaître : ∀ n ∈ N , lim

x→+∞

e

x

= + ∞ et lim

x→−∞

x

e

= 0

Traduction possible : A l’infini, l’exponentielle de x l’emporte sur toute puissance de x.

Démos : ...

EXERCICE 1 Calculer les limites suivantes :

• lim

x→+∞

e

x

• lim

x→+∞

3 6 + 2e

• lim

x→+∞

e

√ x

• lim

x→+∞

x + 3 e

+ 1

• lim

x→+∞

e

+ x 3 − 2e

• lim

x→+∞

e

x

− 2x − 1

• lim

x→−∞

x

− 3x − 1 e

• lim

x→0

e

− 1 x

III.7 Fonction dérivée de e

avec u dérivable sur un intervalle I

Théorème 4 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonction composée exp o u , notée aussi e

, est dérivable sur l’intervalle I et on a : (e

)

= u

× e

Démo :

Exemple 2

Soit

la fonction définie sur

par :

Calculer

(x).

EXERCICE 2 Associer chaque courbe à sa fonction : f

: x 7−→ e

; f

: x 7−→ e

; f

: x 7−→ e

.

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