G257 – Attention aux nids-de-poule !
On trace toutes les cordes qui relient n points pris deux à deux sur la circonférence d’un cercle sans que trois d’entre elles soient concourantes à l’intérieur du cercle. Elles partagent le cercle en N régions disjointes entre elles. Pour n = 2 ,3 et 4, on obtient respectivement N = 2, 4 et 8.
Pour quelles valeurs de n observe-t-on respectivement N = 16 puis N = 256 et enfin pour la première fois N > 2010?
Solution proposée par Patrick Gordon
Supposons déjà tracées les cordes qui relient deux à deux les (n–1) premiers points dans les conditions de l’énoncé. Supposons en outre, sans restreindre la généralité, que ces points sont numérotés de 1 à (n–1) dans le sens trigonométrique et plaçons (toujours sans restreindre la généralité) le point n entre les points (n–1) et 1.
Les cordes tracées depuis le point n ne se coupent pas entre elles (du moins, pas à l’intérieur du cercle) et chacune coupera autant de régions (donc augmentera d’autant le nombre de régions) qu’elle coupe de cordes + 1.
La corde reliant n à 1 ne coupe aucune corde et donc crée 1 région nouvelle. La corde reliant n à 2 coupe toutes les cordes reliant 1 à un point autre que : n, 1, 2, soit n–3 cordes et donc n–
2 régions nouvelles.
Plus généralement, la corde reliant n à k coupe toutes les cordes reliant un point 1, 2… (k–1) à un point k, (k+1)… (n–1), soit (k–1) (n–k–1) cordes et donc (k–1) (n–k–1) + 1 régions
nouvelles. En particulier, pour k = n–1, on retrouve bien 0 corde et, pour k = n–2, n–3 cordes, car les points 1 et n–1 d’une part, 2 et n–2 d’autre part jouent un rôle symétrique.
Reste donc, pour avoir le nombre de régions ajoutées par le tracé des cordes issues de n, à sommer l’expression [(k–1) (n–k–1) + 1] de k = 1 à k = n – 1.
On pourra objecter que, par exemple, les cordes [n, 2] et [n, 3] coupent toutes deux la corde [1,4] et que celle-ci donc ferait l’objet d’un double compte. Il n’en est rien car cette corde [1,4] est bel et bien coupée par les cordes [n, 2] et [n, 3], mais en deux endroits différents, créant ainsi des régions nouvelles à partir de régions différentes.
La sommation de [(k–1) (n–k–1) + 1], c’est-à-dire de [– k² + n k – n +2], de k = 1 à k = n–1, donne (en se rappelant les formules qui donnent les sommes des puissances 1 et 2 des n–1 premiers entiers) :
(n3 – 6n² + 17 n – 12) / 6, qui n’est autre que (n–1) (n² – 5 n + 12) / 6, qui s’annule pour n=1
C’est, rappelons-le, le nombre de régions ajoutées par le tracé des cordes issues du nème point.
Pour avoir le nombre total N de cordes avec n points, il faut sommer l’expression précédente
« de 1 à n » (en imaginant changée la notation de la variable muette) et ajouter 1, car avec n = 0 (et d’ailleurs avec n = 1), on part de 1 région.
On obtient (en se rappelant les formules qui donnent les sommes des puissances 1, 2 et 3 des n premiers entiers) :
N = (n4 – 6n3 + 23n2 – 18n + 24)/24
Donc, N = 256 pour n = 10 et N > 2010 à partir de n = 17.
