Jean-Eric PIN
Laboratoire d'In~ormatique Th~orique st de Programmation Universit~ Paris VI et CNRS - Tour 55-65, 4 Place Jussieu
75230 PARIS Cedex 05 PRANCE
INTROOUCTION
Le produit de conoat@nation est, avec l'@toile, l'op6ration la plus impor- tante pour l'@tude des langages rationnels. S c h O t z e n b e r g e r a d'abord caract@ris~
la classe des langages ap@riodiques [star-free en englais), obtenus ~ partir des lettres ~ l'aide des op6rations bool@ennes et du produit. Par la suite, plusieurs sous-classes des langages ap@riodiques ont @t@ 6tudi@es, notamment par Brzozowski, Simon, Fioh, SchOtzenberger, Eilenberg, Me Naughton, Zalcstein, etc. Une @tude plus syst@matique a @t6 entreprise par brzozowsKi, qui a d6~ini une hi6rarchie remarquable baptis~e "dot-depth hierarchy". Ult~rieurement BrzozowsKi, Simon puis Straubing ont d@fini d'autres hi6rarchies, toutes bas@es sur le produit de concat6- nation.
Le but de cet article est de pr6senter une nouvelle hi6rarchie qui englobe toutes les hierarchies pr@c6dentes, Les caract~rlst!ques de cette hi6rarchlo sent les suivantes :
(a) cheque niveau de l a hi~rarehie est une vari@t6 de langages
(b) la hi@rarohie est index@e non par les nombres entiers comme darts les hi6rarehies pr6e~dentes, mais par des arbres ou par des famiIles d'ar-
bres.
On salt depuis Eilenberg que les vari6t6s de langages sent en bijection avec les vari@t6s de semigroupes. Aussi construisons-nous, parall~lement & notre hi@rarchie de langages, une hi~rarchie de vari@t6s de semigroupes, elle aussi in- dex6e par des arbres. Ceei permet en perticulier de donner une description purement alg@brique des smmigroupes syntactiques des langages de hauteur n dens les
hi6rarchies de BrzozowsKi, Simon ou Straubing. On retrouve @galement d'autres vari@- t@s classiques telles que la vari6t@ des monoides R-triviaux. Enfin nous montrons
l'op@ration qui ~ un arbre t associe l'arbre ~ est li6e d'une part & une que
op6ration simple sur les langages et d'autre part au pmoduit semid~rect des semi- groupes.
Ces r 6 s u l t a t s ne c o n d u i s e n t ~ a l h e u r e u s e m e n t pas Q un a l g o r i t h m e p e r m e t s de c a l c u l e r la h a u t e u r d ' u n l a n g a g e darts la h i ~ r a r c h i e de S t r a u b i n g ou darts c e l l e de B r z o z o w s k i . T o u t e ~ o i s nous m o n t r o n s que la h i @ r a r c h i e e o n s t r u i t e ~ p a r t i r de la v a r i 6 t @ t r i v i a l e est d @ c i d a b l e . Il en d ~ c o u l e en p a r t i c u l i e r que la " Y 1 - h i @ r a r c h i e "
c o n s i d @ r @ e p a r S i m o n est d ~ c i d a b l e .
P o u r terminer, nous m o n t r o n s q u e si un a r b r e t est un s o u s - a r b r e de t' (en un sens qui sera p r @ c i s @ plus loin), a l o r s la v a r i 6 t @ a s s o c i @ e ~ t est une s o u s - v a r i ~ t 6 de la v a r i 6 t @ a s s o c i @ e & t'. Ce r ~ s u l t a t , r e l a s ~ o r m e l , a des c o n s e q u e n c e s plus i n a t t e n d u e s en t e r m e s de l a n g a g e s ou de s e m i g r o u p e s .
1.- R a p p e l s et n o t a t i o n s
Les r 6 ~ r e n c e s de b a s e sent E i l e n b e r g [4] et L a l l e m e n t [7] dent j ' a d o p t e r a i la p l u p a r t des n o t a t i o n s . Si S est un s e m l g r o u p e , on note ECS) l ' e n s e m b l e des i d e m p o t e n t s de S.
Une v a r i @ t @ de s e m i g r o u p e s [monoides) est une c l a s s e de s e m i g r o u p e s [mono~- des) ~ i n i s V t e l l e que
[I) Si S E V et si T est un s o u s - s e m i g r o u p e de S, a l o r s T E V [2] Si S E V et si T est un q u o t i e n t d e S, a l o r s T 9 V
[3) Si (Si)i 9 I est une ~ a m i l l e d ' @ 1 6 m e n t s de ~, le p r o d u i t d i r e c t S. est dans V.
i 9 l
E i l e n b e r g a m o n t r @ l ' e x i s t e n c e d ' u n e b i j e c t i e n e n t r e les v a r i @ t 6 s de s e m i g r o u p e s (mono~des] et c e r t a i n e s c l a s s e s de l a n g a g e s , les + v a r i @ t ~ s [ * - v a r i ~ t ~ s ) de l a n g a g e s . De f a g o n f o r m e l l e une + - v a r i 6 t @ de l a n g a g e s V a s s o c i e ~ c h a q u e a l p h a b e t ~ i n i A un e n s e m b l e A + V de l a n g a g e s r e c o n n a i s s a b l e s de A + tels que
[1) P o u r tout a l p h a b e t A, A + V est ~ e r m @ e p o u r les o p 6 r a t i o n s b o o l @ e n - nes ~ i n i e s
+ - J +
[2) P o u r tout a l p h a b e t A, si a 9 A et L 9 A V, a l o r s a L, La -1 9 A V
A + +
(3] P o u r tout m o r p h i s m e de s e m i g r o u p e s ~ : § B , L 9 A + V e n t r a i n e L~ -1 9 A+V
La d ~ i n i t i u n des * - v a r i ~ t 6 s s ' o b t i e n t en r e m p l a g a n t + p a r * et s e m i g r o u p e p a r m o n o i d e .
Les h i @ r a r c h i e s de c o n c a t @ n a t i o n ~ o u r n i s s e n t des e x e m p l e s p a r t i c Q l i 6 r e m e n t i n t ~ r e s s a n t s de v a r i ~ t 6 s de langages. La h i ~ r a r c h i e de B r z o z o w s k i [1] B est
n
d @ f i n i e c o m m e suit : p o u r tout a l p h a b e t A, A + B est l ' e n s e m b l e des l a n g a g e s f i n i s
9 + + o
ou c o ~ i n i s de A et A Bn+ 1 est l ' a l g ~ b r e de B o o l e e n g e n d r ~ e p a r les l a n g a g e s de la f o r m e L o . . . L K a v e c K ~ o et L ~ ... L k 9 A+Bn.
on pout d @ f i n i r une s o u s - h i @ r a r c h i e & l ' i n t @ r i e u r de Bn+ I en c o n s i d 6 r a n t +
p o u r c h a q u e e n t i e r r ~ o l ' a l g @ b r e de Boole A Bn+1, r e n g e n d r 6 e par les l a n g a g e s de la # o r m e L o , . . L K avec L ~ ... L h e A+Bn et o ~ k ~ r. On d @ f i n i t ainsi uns suite de v a r i 6 t @ s Bn, r. On notera que Bn+l, 0 = B n p o u r tout n ~ o. On m o m t r e
~ g a l e m e n t que B 1 , 2 K = B 1 , 2 k + 1 p o u r tout k > o,
La h i @ r a r c h i e de S t r a u b i n g [15] V est la suite des * - v a r i 6 t @ s a i n s i
n
d 6 f i n i e : p o u r tout a l p h a b e t A, A * V est c o n s t i t u @ de ~ et de A* et A Vn+ 1 o
est l ' a l g b b r s de B o o l e o n g e n d r 6 e par les l a n g a g e s de la f o r m e L o a l L 1 . . . a k L k avec k > o, L ~ . . . . , L k e A * V n e t a I . . . a k e A.
On d@montre qua Zes V n ( r e s p B n , B n , k ] s e n t e f f e c t l v e m e n t des * - v a r i @ t @ s [ + - v a r i @ t @ s ) . Les v a r i 6 t @ s de mono#des ( r a s p . s e m i g r o u p e s ] c o r r e s p o n d a n t e s s e n t not@as V [ r e s p B n , B n k ] . Le probl@me m a j e u r c o n c e r n a n t cos v a r i @ t @ s demeure l e u r
- - n - - - 9
c a r a c t @ r i s a t i o n a l g 6 b r i q u e . R a p p e l o n s los r @ s u l t a t s c o n n u s ~ ce jour.
Th6orbme 1 , 1 [ S i m o n [ 1 3 ] ) On a ~1 = ~ ' l a wari@t@ des m o n o i d e s J - t r i v i a u x , En p a r t i o u l i e r un m o n o i d e M est darts J ss~ p o u r tout x,y e M [xy] n = (yx) n et
n n + l
x = x a v e c n = C a r d M.
Si V sst une v a r i 6 t @ de monoides, on note LV la v a r i @ t @ de s e m i g r o u p e s
" l o c a l e " a s s o c i @ e & V :
L V = {S I eSe e V pour tout e e E[S]]
O n note J la v a r i 6 t @ des m o n o ~ d e s i d e m p o t e n t s et c o m m u t a t i f s [appel@s --I
a u s s i d e m i - t r e i l l i s ) .
T h @ o r ~ m e 1.2 [3] On a ~ I , 2 = LJI"
Les l a n g a g e s de BI, 2 sent a p p e l @ s l o c a l e m e n t t e s t a b l e s . P o u r c h e q u e a l p h a b e t A, A + B 1 , 2 est l ' a l g b b r e de B o o Z e e n g e n d r @ e par Zes langages de la forms
* ~ ~ W A ~ +
uA , A v et A o~ u,v et w sent des mots de A .
Simon avait c o n j e c t u r @ l ' @ g a l i t 6 ~1 = L__J. En {air, on a bien ~I c L J m a i s Knast a m o n t r @ que 3 ' i n c l u s i o n @tait s t r i o t e :
T h 6 o r ~ m e 1.3 [5,8] Un s e m i g r o u p s S est dans s sss i1 s a t i s # a i t la c o n d i t i o n s u i v a n t e :
[K) il e x i s t s m > e tel qus p o u r tout el,e 2 e E(S), p o u r tout x , y , u , v ~ S [elxe2Y) m elx e 2 v e l ( u e 2 v e l ) m = [elxe2Y] m e l [ u e 2 v e l ]m
SL M est un mone~de, on note PIM) le m o n o i d s des p a r t i e s de M, m u n i du p r o d u i t usuel des p a r t i e s .
T h 6 o r ~ m e 1.4 [10] On a V 2 = P__J, la v a r i @ t @ e n g e n d r 6 e p a r les m o n o ~ d e s P[M) oO M ~ J .
Malheurousement ni t o r t e d e s c r i p t i o n de V 2 ni les a u t r e s c a r a c t 6 r i s a t i o n s e o n n u e s [10] ne p e r m o t t e n t de r 6 s o u d r e le p r o b l @ m e s u i v a n t : p e u t - o n d ~ c i d e r si un m o n o ~ d e 1~ini M e s t dans V 2 ?
On no o o n n a i t & ce j o u r a u c u n r @ s u l t a t s u r les v a r i ~ t 6 s B p o u r n > 2 V p o u r n >- 3, h o r m i s les r 6 s u l t a t s g ~ n 6 r a u x s u i v a n t s :
--n
T h @ o r @ m e 1.5 [2], [14] La h $ @ r a r c h i e B est i n f i n i e .
- - n
T h 6 o r ~ m e 1.8 [15] On a B = V *LI p o u r t o u t n > o. En p a r t i c u l i e r la h i @ r a r o h i e --n --n - -
V ost i n f i n i e . --n
D e n s ce d o r n i e r @nonc@, la n o t a t i o n V * LI d @ s i g n a la v a r i @ t ~ e n g e n d r 6 e
- - n - -
p a r les p r o d u i t s s e m i d i r e c t s M * S d ' u n m o n o ~ d e M ( V et d ' u n s e m i g r o u p e
- - n
S s L I . L I est la v a r i @ t ~ des s e m i g r o u p a s l o c a l e m o n t t r i v i a u x , i.e. S ~ L I ssi eSe = e p o u r t o u t e E E(S).
2; Le p r o d u i t de Schfitzenbergor
Si S est un s e m i g r o u p e , on m o t e P(S) le s e m i a n n e a u des p a r t i e s de S, m u n i de l ' u n i o n c o m m a a d d i t i o n et du p r o d u i t dos p a r t i e s c o m m e m u l t i p l i c a t i o n . On n o t e S I le m o n o i d e a i n s i d @ ~ i n i
S 1 = S si S est un m o n o ~ d e
S 1 = S u {I} si S n ' e s t pas un m o n o i d e (1 est ~ v i d e m m e n t a l o r s l ' ~ l @ m e n t n e u t r e de $1].
S o i e n t S I ... S n dos s e m i g r o u p e s . Le p r o d u i t de S c h Q t z e n b e r g e r de
S 1 . . . S n, n o t f i O n ( S 1 . . . S n l e s t l e s e m i g r o u p e d e s m a t r i c e s n x n ~ c o e f f i c i e n t s
dens P [ S ~ x . . . x S ~ ) de la ~ o r m e p = [ P i j ] 1 ~ i , j ~ n et v ~ r i ~ i a n t les t r o i s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s :
(1) Pij = ~ si i > j
(2) Pii = {(1 ... I, S i , 1 ... 1)} p o u r un c e r t a i n S i E S i
(3) P i j c { I s I . . . S n] e S~X...xS~ I S l = . . . = S i _ I = 1 = & j + l = . . . = S n } I1 est ~ n o t o r qua l e p r o d u i t de SuhOtzonberger n ' e s t pes " a s s o c i a t i f "
e ' e s t - 8 - d i r e qu'en g~n6ral l e s semigroupes 0 2 [ 0 2 [ $ 1 , $ 2 ] , $ 3 ] , 03(S1,$2,S 3] et
0 2 [ S I , 0 2 [ $ 2 , $ 3 } ? sent d i s t i n c t s .S t r a u b i n g a ~ t a b l i le r @ s u l t a t s u i v a n t : T h @ o r ~ m e 2,1 [14] Si les l a n g a g e s L . ( O ~ i ~ n]
z
nus p a r dos m o n o i d e s [rosp. p a r des s e m i g r o u p e s )
* +
de A {rasp. de A ] sent r e c o n - S i, a l o r s le l a n g a g e
LoalL1a2...enL n, nO les e. sent des lettres, est reconnu par <>n+l[So .... S ].
i 9 O
Nous proposons ici une rTciproque de ce rTsultet. Le oas n = I a 6t@
trait@ par Reutenauer [11] et la preuve s'inspire en pattie de ses arguments.
Th@orTme 2.2 Si un langage L de A*(resp. A +] est reconnu par <>n+1(So ... Sn), alors L est dans l'alg~bre de Boule engendrTe par les langages de le 9orme LioeILila2"''arLir (0 -< i 0 < i1"''<Ir < n) oO les a k sont des lettres et oQ
9 Lil
. . . . . . . .Lio .,L i sont des lengages reconnus respeotivement par Sio ,S i
r r
3.- WiTrarchies de concatTnatlon
Darts cette section, je construis des hi@rarchies de vari@t@s qui contien- nent en particulier los hi@rarchies proposTes par Brzozowski [I] Simon [12] et Straubing [15].
On note T 1'ensemble des mrbres [ou mots bien ParenthTs@s) sur l'alpha- bet {e,a}. De fagon ~ormelle, T est 1'ensemble des mots de {a,a]* cengrus ~ I dens la congruence engendr~e par la relation a~ = I. De fagon intuitive los mots de T sont obtenus per le proeTd6 suivant : on dessine un arbre Cau sans nai~ du terms) et on ie parcourt en partant de Im racine (suivant le sent trigonom@trique]
en eodant a pour une descents et ~ pour une months. Par example
j t S "~
,P 9 , . )
e a t cod@ p a r aaaaaaeaaaaaeg. " " " '
Le nombre ds g e u i l l e s d ' u n mot u de { a , a } * , not@ d [ u ) , s s t p a r d @ g l n l - tion le hombre d'ocourrenoes du facteur aa dens u. Dens le cas des arbres, cette d ~ i n i t i o n est bien oongorme ~ l'•
Je rappelle ci-dessous quelques propri@t@s clessiques dss arbres qua j'utillserai par la suite :
[IJ tout arbre u se faotorise de fagon unique en u = aUlaeU2a...aUna o8 n ~ o et oO les u i sont des arbres. On a alors dCu) = ~ d(ul).
l~i~n
L'interpr@tetion intuitive de cette propri@t@ est illustrTe par le schTma suivant :
A
[2] Soit u un arbre et soit u = ulau2au 3 une faotorisation de u. On dit que les
o c c u r r e n c e s de a et a d@#inies par cette #actorisation sont li@es si u 2
est un arbre. On dTmontre que touts occurrence de a dens u est li@e Q une unique occurrence de a. L'interpr@tation intuitive de cette propriTt@ est tr@s simple : les occurrences de a et a sont liTes ss3 elles codent respective- merit la descente et la mont@e sur une m@me ar@te de l'arbre.
Exemple
est cod6 par aaaaaaaa oO les occurrences li@es sent indiqu@es par des crochets.
Nous pouvons maintenant d@{inir nos hi@rarohies de langages indexTes par des arbres. Comme toujours, on part d'une algbbre de Baals de langages de A +
[resp. A*] donn@e arbitrairement et on l'assooie ~ l'arbre trivial r@duit ~ un point let donc coda par le mot vide I). Cette alg~bre de Boole est not@e F 1, La r@currence se fait ainsi :
s i t = / ~ ~ 7 ~
-.
alors F t est l'alg~bre de BooLe engendr@e par les langages de la ~orme
LioaILlla2 . . . aKLzk cO 0~I0<i I ... <iK~n et pour O~j~k, aj E A et L.lj 9 Ftj"
On peut utiliser le produit de SchQtzenberzer pour construire de mani~re analogue des hi@rarchies de vari@t@s de semigroupes [ou de monoides] que l'on note- ra [Ot(~))t~ T. Comme pr@cTdemment on {ixe arbitrairement la varl@t@ ~ associ@e
l'arbre trivial. Autrement dit, on pose par d@finition 01[ ~] = ~. Maintenant
si t = ~ ~ ~
Ot{ ~] est la vari@t@ engendr@e par t o u s l e s produits de Schqtzenberger de la forms On+IIS 0 ... S n] oO pour O~i~n, S i e O t [~).
1
Le lien entre les deux constructions pr@c@dentes est assur@ par l'impor- tent r@sultat suivant, qui est une ecns@quence du th@orBme 2.2.
Th@or~me 3.1 Salt V une +-vari@t@ et salt V La variTt@ de semigroupes oorres- Pbur chaque alphabet A, soit [A+Vt]tdT la hi@rarchie de
pendants. Langages o o n e -
truite ~ partir de A+V comme point de d@part. Alors pour tou~ arbre t E T,V t
@st une +-vari6t@ et la vari6t@ de semigroupes correspoodante est O t [ ~ ) ,
Notons que le th@or~me pr@c~dent demeure valable si on template partout
"+" par "*" et semigroupe par monoide. Si L c T est un ensemble d'arbres, on nots OL[ ~] la plus petite vari6t@ contenant Ot[ ~) pour tout t e L.
Nous allons maintenant retrouver les hi@rarchies classiques comme cas particuliers. Notre premier exemple est la 'rY1-hi@rarchie" consid@r6e par Simon [12].
Pour tout alphabet A, on note A*J l'alg~bre de Boole engendr@e par les langeges n
de l a #orme A * a l A * a 2. .. A * a K A * . a v e c .o < k < n . e t .a i ~ A p o u r 1 < i < k, On d@montre que J est une *-vari@t@ et on note J le vari6t@ de langages corres-
n --n
pondante. La vari@t@ J d@finie dens la seotion 2 est bien sOr &a r6union des vari@t6s J ,
n Proposition 3.2
[ 1 ] S i u = a a a a [ a r b r e ~ X ) , Ou[ ~ ] = ~ I " l a v a r i @ t 6 des m o n o i d e s idempotents et commutati~s
[2] Si u = (aa) n+1 [ a r b r e / ~ ~ [n+l] ~euilles, 0 [I] = J
U - - - - n
[3] Si L = [aa) , OL[I]_ = _J" la vari@t@ des monoides J-triviaux.
Preuve C'est une cons@quence immediate du th@er~me 3.1 0
L
n
Ea hi@rarohie d e Straubing ~ n peut se d6crire de #agon analogue. Soit la suite de langages d@#inie par L ~ = {I} et Ln+ 1 = [aLna)*. Pour guider l'in- tuition on peut repr@senter ces lengages par des arbres "in#inis en largeur"
L 0
L 1 , / ~ " ~ 9 9 9
L 2 ~ . . . " ' "
Proposition 3.3 Pour tout n ~ o, 0 L [I]_ = --nV. En particulier n
OLo[Z] = Z 9 OLI[Z] = s ' OL2[Z] = P--J
Preuve L~ encore la proposition r@sulte imm@diatement du th@or~me 3.1 0 La hi@rarchie de Brzozowski s'obtient en consid6rant des vari@t6s de la
#orme OL[Nil] oO Ni__l d@signe 3a vari@t@ des semigroupes nilpotents. Oe ~agon plus pr@cise
P r o p o s i t i o n 3.4 P o u r t o u t n , k ~ o , on a ( a ) --nB = 0 L ( N i l )
n
(b) ~n+l,k = O[aL ~]k+l (,Nil]
n
D. T h @ r i e n ( c o m m u n i c a t i o n p e r s o n n e l l e ) e p r o p o s e de m o d i f i e r la h i @ r a r c h i e de B r z o z o w s K i en p a r t a n t de la v a r l e t @ LI au lieu de Nil. On d ~ f i n i t a l o r s des
+ - v a r i @ t 6 s B' de la f e g e n s u i v a n t e :
n,k
p o u r t o u t a l p h a b e t A
(I) A + B ' est c o n s t i t u ~ des l a n g e g e s de la f o r m e XA*Y u Z o~ X,Y et Z sent
o §
des l s n g a g e s f i n i s de A .
+ I 1 j
(2) A B n + l , r est a l g @ b r e de B o o l e e n g e n d r 6 e p a r les l a n g a g e s de le f o r m e L o a I L I . . . a K L k a v e c o ~ k ~ r , a I ... a K e A et L ~ ... L K c A + B ' n .
+ ~ U + '
( 3 ) A B n + l r_>e A B n + l , r
O n salt que B' est la v a r i @ t ~ de l a n g a g e s c o r r e s p o n d e n t & LI. P a r
O
c o n s 6 q u e n t il r @ s u l t e a i s @ m e n t du t h @ o r ~ m e 3.1 :
P r o p o s i t i o n 3.5 : p o u r tout n , k > o , B' et B' sent des v a r i @ t @ s de
- n n + 1 , K
l a n g a g e s . Les v a r i @ t @ s de s e m i g r o u p e s o o r r e s p o n d a n t e s sent r e s p e c t i v e m e n t
B' = 0 [LI] et B' = O ~]k+1 [LI]
--n L - - n + l , k ( e L - -
n n
Le lien e n t r e les v a r i @ t @ s B et B'
~ , k --n,k
s u i v a n t , dO ~ O. T h @ r i e n :
est p r @ c i s ~ p a r l ' @ n o n c @
P r o p o s i t i o n 3.6 [I) P o u r t o u t k > o B = ~ 1 i
--1,2k ,2k+1 = ~ l , k
= S '
[2] P o u r t o u t n > o et k ~ o ~ n + l , K --n+1,k et B = B'
- - n - - n
C o m m e on le v o i t les h i @ r e r c h i e s ~ n , k et --n,kB' ne d i f f e r e n t q u e p o u r n = I. C e p e n d a n t la h i 6 r a r c h i e B' m e p a r a i t p l u s i n t 6 r e s s a n t e . P a r e x e m p l e , c o m m e
- - n
m e l'a f a i t r e m a r q u e r D. T h @ r i e n , le t h @ o r @ m e 1.5 p e u t s ' 6 o r i r e B' = V * LI p o u r
- - n - - n - -
tout n ~ o, s l o t s que le cas n = o @ t a i t c u r i e u s e m e n t @ l i m i n 6 dens la v e r s i o n d o n n @ e p l u s haut.
Le t h @ o r @ m e qui suit d o n n e une c a r a c t @ r i s a t i o n a l g @ b r i q u e i n t 6 r e s s a n t e des
Th6or6me 3,7 Pour tout arbre t, an a :
Ca) ~ a t ~ a ~ [ ~ ) = s * ~ t (2]
(b) Oa~at~(2) = O t [ 2] * ~I
Notons au passage l'interpr@tation de l'op6ration ~ § ~I * ~ en termes de langages.
Proposition 3.8 : soit V une vari6t6 de mono~des et soit V la verier@ de langages correspondante. Soit A*V l'alg6bre de Boole engendr@e par les 1engages de la forme L ou LeA* avec a e A et L ~ A*V. Alors V est une vari@t6 de langages et la vari@t@ de mono~des eorrespondante est ~I * ~"
-?..
C o r a l l a i r e 3,9 1) Si u = an[aa~] n [ a r b r e & I n + l ) f e u i l l e s ] [n l o i s )
u(Z]- =s n =s * s 1 6 3
R-triviaux.
la veri@t@ des mono~des
Preuve : (I) Par r~currence 8 l'aide des th~or~mes 3,1 et 3.7
[2) Un r~sultat de th~orie des semigroupes affirme qu'un mono~de est R-trivial ssi il divise un produit en couronne de le forme
UIOUI...oUI. En termes de vari~t6s met ~nonC~ se traduit par l'6gelit~ :
= nYo ~1 n ce qui 6tablit [2). 0
Corollaire 3.10 Soit V une vari@t~ de mono~des et V la vari6t@ de 1engages cor- respondante. Soit, pour tout alphabet A,A*V la plus petite alg~bre de Boole conte- nant A*V et ~erm~e pour op6rations L + LeA* (resp L § A*aL) o0 a e A. Alors est une veri@t@ de langages et la vari@t6 de monoides correspondante est
R * V ( V * R ] .
r--
n
Preuve : l'6nono~ r~sulte de la proposition 3.8 et de l'~galit6 ~ = n~o ~1" 0 II est int@ressant de comparer entre elles les vari@tEs ~t[~). La proposi- tion qui suit montre que los vari@t6s associ@es aux arbres t et ~ sont los m@mes.
Proposition 3.11 Soit t un arbre. Alors pour route vari@t~ V, on a ;
ot[ ~) = Oat~C ~) = Oa~[Ot(~)].
Plus g6n@ralement, si un arbre t oontient un noeud d'arit6 I, l'arbre t' obtenu en supprimant oe noeud v6rifie Ot(~) = Ot,(~). Plus ~ormellement : Proposition 3.12 Soit t = tlaat2aat 3 un arbre. Si t 2 est un arbre, on a pour
t o u t e v a r l e t 6 _V" ~t[V]_ = ~ t q a t 2 ~ t 3 [ V ]_
S o i e n t t et u d e u x a r b r e s . On dit q u a t est un s o u s - a r b r e de u si t s ' o b t i e n t ~ p a r t i r de u en s u p p r i m a n t un c e r t a i n n o m b r e de b r a n c h e s . P a r e x s m - ple si dens l ' a r b r e u = ~ on s u p p r i m e la b r a n c h e m a r q u @ e d ' u n e croix, on o b t i e n t
le s o u s - a r b r e t = / ~ , Oe f a ~ o n p l u s ~ o r m e l l e , t est un s o u s - a r b r e de u si t s ' o b t i s n t en s u p p r i m a n t un c e r t a i n n o m b r e d ' o c c u r r e n c e s li@es de a et a dens u. A • dens n o t r e e x e m p l e t = e a a a a ~ est s o u s - a r b r e de u = a a a a a a a a c a r u = a [ a a a a ] ~ a ~ ) . On pout a l o r s @ n o n c e r :
T h ~ o r ~ m e 3.13 Si t est un s o u s - a r b r e de u, on a p o u r t o u t e v a r i 6 t ~ V , O t ( V ] c 0 [ V ]
V o i c . i une c o n s @ q u e n c e l n a t t e n d u e de ce r ~ s u l t a t , N o t o n s K n m u l t i p l i o a t i ~ des m a t r i c e s b o o l @ e n n e s de t a i l l e n x n dg l a ~ o r m e
le m o n o ~ d e
C o r o l l a i r e 3.14 P o u r t o u t n > O, K d i v i s e un p r o d u i t en c o u r o n n e de
n
m o n o i d e s i d e m p o t e n t s et c o m m u t a t i ~ s [ou d e m i - t r e i l l i s ] .
I n - l ]
P r e u v e S t r a u b i n g a m o n t r 6 qus K n c J--n-l" O r d ' a p r @ s la p r e p o s i t i o n 3.2, on a --Jn-1 = <>(ca] n(I)" M a i n t e n a n t [aa] est un s o u s - a r b r e de an(aa~) n et done d ' a p r 6 s
n-1 n-1
3 , 1 3 e t 3 , g , J--n-1 = O [ a a ) n [ I ] c O a n ( a a a ] n [ I ) = J--1 , P a r c o n s e q u e n t K n c J--1 , ce qui 6 t a b l i t le r 6 s u l t a t .
La r @ c i p r o q u e du t h @ o r ~ m s 3 . 1 3 est f a u s s e en g @ n @ r a l . P a r e x a m p l e si V = A, la v a r i s des s e m i g r o u p e s a p ~ r i o d i q u e s , on a O t [ ~) = ~ p o u r tout a r b r s t.
M ~ m e dans l e c a s V = I, los @ n o n c @ s 3.11 et 3.12 m o n t r e n t q u ' i l f a u t se r e s t r e i n d r e l ' e n s e m b l e T' des a r b r e s dent c h e q u e n o e u d est d ' a r i t 6 d i f ~ @ r e n t e de 1. On pout e l o r s a v a n c e r la c o n j e c t u r e s u i v a n t e :
C o n j e c t u r e s o i e n t t,u e T'. A l o r s O t [ I ] est c o n t e n u dens 0 [I]
- - U - -
si t est un s o u s - e r b r e de u.
si et s e u l e m e n t
4.- P r o b l ~ m e s de d 6 e i d a b i l i t @
On dit q u ' u n e v a r / ~ t ~ de s e m i g r o u p e s [ou de m o n o ~ d e s ) V est d 6 c i d a b l e s'il e x i s t s un a l g o r i t h m s qui p e r m e t de t e s t e r si un s e m i g r o u p e ~ i n i d o n n 6 est ou n ' e s t pas dens V.
P o u r les v a r i @ t 6 s V et B des h i 6 r a r c h i e s de S t r a u b i n g et de
--n --n
B r z o z o w s k i , le p r o b l e m s de la d ~ c i d a b i l i t ~ est t o u j o u r s o u v e r t p u i s q u e soul l e c a s n = 1 a pu 8tre r 6 s o l u p o s i t i v e m e n t [cf. les t h 6 o r @ m e s de S i m o n et de K n a s t r a p p e - l@s d e n s la s e c t i o n 1]. Le r 6 s u l t a t qui suit c o n s t i t u e p e u t - e t r e une p r a m i @ r e 6 t a p e v e t la s o l u t i o n g ~ n ~ r a l e du p r o b l ~ m e .
T h 6 o r ~ m e q,1 P o u r t o u t a r b r e u la v a r i 6 t ~ 0 [I) u -- est d e c i d a b l e .
Le t h 6 o r ~ m e r e p o s e sur une p r o p r i @ t ~ de 0 (I) i n t 6 r e s s a n t e p o u r elle- u --
mBme.
P r o p o s i t i o n 4.2 S u i t u un a r b r e et s u i t V la v a r i @ t 6 de l a n g a g e s a s s o c i @ e &
u
0 (I). P o u r t o u t a l p h a b e t u -- A, A * V u est un e n s e m b l e f i n i e f f e c t i v e m e n t d e s c r i p t i b l e . P r e u v e Le r ~ s u l t a t est 6 v i d e n t si u = I. Si u = a U l a a U 2 a . . . a U n a a v e c
u I ... u n ~ P, on a 0 IV) = O ( a ~ ] n CO iV) ... ~ (V)). P a r r e c u r r e n c e les e n s e m -
u -- u I - - u n - -
b l e s A * V . . . A * V s o n t des e n s e m b l e s ~ i n i s e ~ f e c t i v a m e n t d a s o r i p t i b l e s . Le t h 6 o -
u I u n
r ~ m e 3.1 d o n n e a l o r s un a l g o r i t h m s p o u r c o n s t r u i r e A V u, qui est un e n s e m b l e ~ini p u i s q u e c ' e s t l ' a l g ~ b r e de B o u l e e n g e n d r 6 e par un n o m b r e f i n i de l a n g a g e s . 0 P r e u v e du t h e o r e m s 4.1 S u i t M un m o n o ~ d s f i n i et A
a v e c M. I1 e x i s t e a l o r s un m o r p h i s m e s u b j e c t i f n a t u r e l [4, p. 188], on a p o u r t o u t m E M la d o u b l e i n 6 g a l i t ~
un a l p h a b e t en b i j e c t i o n : A § M. O ' a p r b s
M [ m ~ - 1 ] < M < m ~ M M ( m ~ - l ]
On en d 6 d u i t qua M es~ dans la v a r i ~ t ~ O [I] u -- s i e t s e u l e m e n t si, p o u r t o u t m c M, iv l a n g a g e m ~ -1 est dans A * V . La p r o p o s i t i o n 4.2 f o u r n i t d o n c un
u
a l g o r i t h m s p o u r t e s t e r si M c 0 ~I). 0 o --
On en d ~ d u i t en p a r t i o u l i e r ~ l ' a i d e du c o r o l l a i r e 3.9, un r 6 s u l t a t de p u r e t h @ o r i e des s e m i g r o u p e s .
n = ~ 1 ' ' " In ~ois) C o r o l l a i r e 4.3 P o u r t o u t e n t i e r n, la v a r i ~ t ~ ~I "*~I
@st d ~ e i d a b l s .
On en d 6 d u i t @ g a l e m e n t que la " Y 1 - h i @ r a r e h i e " de S i m o n est d e c i d a b l e : C o r o l l a i r e q.4 P o u r t o u t e n t i e r n, la v a r i @ t @ J est d @ c i d a b l e .
--n
P r e u v e En e q # e t d ' a p r ~ s la p r o p o s i t i o n 3.2, J = 0 n+1[I]
--n [ a a ) - "
[ I ]
E2]
[ 3 ]
[ 4 ]
Es]
[7]
[ 8 ]
[ 9 ]
[ 1 0 ] E l l ]
[123
[ 1 3 ]
[ 1 4 ]
[ 1 5 ]
BIBLIOGRAPHIE
J.A. Brzozowski, Hierarchies of aperiodic languages, RAIR0, In#ormatique Th@orique, vol. 10, 1976o 33-49.
J.A. Brzozowski et R. Knast, The dot-depth hierarchy of star-#ree langua- ges is infinite, J. Computer and System Sciences, vol. 16, 1976, 37-55.
J.A. Brzozowski et I. Simon, Characterizations of locally testable events Discrete Mathematics, vol. 4, 1973, 243-271.
S. Eilenberg, Automata, languages and machines, vol. B, Academic Press, New York [1976]
R. Knast, Some theorems on graph congruences. A para~tre dans la RAIRO, Informatique Th6orique.
R. Knast, A semigroup characterization of dop-depth one languages. A paraitre dans la RAIRO, Informatique Th6orique.
G. Lallement, Semigroups and Combinatorial applications, Wiley, New-YorK, 1979.
J.E. Pin, Vari@t6s de lengages et vari6t@s de semigroupes. Th@se, Paris, 1981,
J , E , P i n e t J, S a K a r o v i t c h , Une a p p l i c a t i o n de l a r e p r e s e n t a t i o n m a t r i - c i e l l e des t r a n s d u c t i o n s , A p a r a i t r e ,
J , E , P i n e t H, S t r a u b i n g , Monoids o f u p p e r - t r i a n g u l a r m a t r i c e s , ~ p a r a i t r e , C, Reutenauer, Sur 3es v a r i ~ t ~ s de l a n g a g e s e t de mono~des, L e c t , Notes i n Computer Science n ~ 67, Springer Verlag, Berlin [1979) 260-265.
I. Simon, Hierarchies of events with dop-depth one, These, Universit@ de Waterloo [1972).
I. Simon, Piecewise testable events, Lect. Notes in Computer Science n ~ 33, Springer Verlag, Berlin [1975), 214-222.
H. Straubing, A generalization of the SchOtzenberger product of finite monoids, Theor. Comp. Sc. 13 [1981], 137-150.
H. Straubing, A study of the dot-depth hierarchy [~ paraitre).