Révisions : inéquations

Math 4^èmes : Révisions : inéquations de 2^nd degré FLOSSY S. – HOFFAIT G. – LEQUEUX S. – WINTGENS D.

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Révisions : inéquations

1. Résous les inéquations suivantes : a) 𝑥² + 2𝑥 + 2 < 0

b)  6 x²5x

c) −3𝑥²+ 18𝑥 − 27 < 0

d) 5𝑥³. (𝑥 − 6)³. (4 − 3𝑥). (𝑥 + 7)⁵> 0 e) x²5x6.5x0

f) (1 − 𝑥)(2𝑥 + 3) < −3 g) ¹x^²^. x³⁰

h)

   

4 0

²

6

² 3 . 1

2 ² 













x

x x x

i) x^4.





k) 1 2

2 

 x x l) 𝑥 − ⁷

2𝑥−1≥ −2 m) ^𝑥

𝑥−3

+

𝑥+3 > ^5𝑥

𝑥²−9

2. Détermine le domaine des fonctions suivantes.

1. f x( ) x²5x6 4. 3

( ) 3 5

f x x

x

 

 

2. f x( ) 9x² 5.

    

3 1

² 1









 

x x x x x

f 3.

2 2

5 6

( )

6 16

x x

f x

x x

 

    6.

 

3 7

² 2

4 4

² 3







 

x x

x x x

f

3. A partir des graphiques donnés ci-dessous, donne l’ensemble des solutions des inéquations suivantes :

1) 𝑓(𝑥) > 0 4) 𝑔(𝑥) < 0

2) 𝑓(𝑥) ≤ 0 5) 𝑔(𝑥) ≥ 0

3) 𝑓(𝑥) > 2 6) 𝑔(𝑥) ≤ −1

𝑓 𝑔

4. Problèmes donnant lieu à la résolution d’une inéquation :

1) On considère des rectangles dont le périmètre mesure 12 cm. Quelles doivent être les dimensions du rectangle pour que son aire soit strictement plus grande que 5 cm² ? 2) On considère la famille de paraboles 𝑦 = (2𝑚 − 1)𝑥²− 𝑚𝑥 + 𝑚 avec 𝑚 un paramètre

réel. Pour quelles valeurs de 𝑚 la parabole admet-elle deux racines distinctes ?

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2 3) Soit un parallélépipède rectangle de base carrée dont la hauteur mesure le double de

la longueur d’un côté de la base. Quelles doivent être les dimensions du parallélépipède rectangle pour que l’aire de la surface latérale (somme de l’aire de chaque face) soit strictement supérieure à 40 cm² ?

4) Parmi tous les triangles rectangles dont les côtés de l’angle droit mesurent 𝑥 et 𝑥 + 10, lesquels sont d’aires supérieures ou égales à 39 cm² ?

5) Soit un triangle rectangle ABC rectangle en A dont les dimensions sont |𝐴𝐵| = 18 𝑐𝑚 et |𝐴𝐶| = 8 𝑐𝑚. Sur le côté AB on place le point D tel que |𝐵𝐷| = 𝑥. Sur le côté AC on place le point E tel que |𝐴𝐸| = 𝑥. Pour quelles valeurs de 𝑥 l’aire du triangle rectangle ADE est-elle inférieure ou égale à la moitié de l’aire du triangle rectangle ABC ?

Solutions

Ex.1 :

a) 𝑆 = ∅ h) 1 1

2 2

2, , 2

S       b) 𝑆 = ]−∞; −3] ∪ [−2; +∞[ i) 𝑆 = ]¹

2; +∞[

c) 𝑆 = ℝ ∖ {3} j) 𝑆 = ]−∞; 0[

d)

 

3

7, 0 , 6

S      ^{k) 1}

 

2, 0 0,1 S   

e) 𝑆 = ]−∞; 2] ∪ [3; 5] l) 𝑆 = [−3;¹

2[ ∪ [³

2; +∞[

f) 𝑆 = ]−∞; −2[ ∪ ]³₂; +∞[ m) 𝑆 = ]−∞; −3[ ∪ ]³₂; 2[ ∪ ]3; +∞[

g) 𝑆 = [−1; 1] ∪ [3; +∞[

Ex.2 :

1. Dom𝑓 = ]−∞; 2] ∪ [3; +∞[ 4. Dom ⁵;3

f 3 

   

2. Dom ^{f  } ^3;3 5. Dom𝑓 = ]−∞; 1] ∪ ]3; +∞[

3. Dom ^{f  } ^{8; 2} 6. Dom𝑓 = ]−∞; −3[ ∪ [−²

3; −¹

2[ ∪ [2; +∞[

Ex.3 :

1) 𝑆 = ]−1; 2[ ∪ ]5; +∞[ 4) 𝑆 = ]−∞;¹

2[ ∪ ]1; +∞[

2) 𝑆 = ]−∞; −1] ∪ [2; 5] 5) 𝑆 = [¹

2; 1[

3) 𝑆 = ]−0,3; 1[ ∪ ]5,3; +∞[ 6) 𝑆 = ]−∞; 0] ∪ ]1; +∞[

Ex.4 :

1) Un des côtés du rectangle doit avoir une longueur strictement comprise entre 1 et 5 cm.

2) 𝑚 doit appartenir à l’intervalle ]0;⁴

7[

3) Le côté de la base doit avoir une longueur strictement supérieure à 2 cm.

4) 𝑥 doit être strictement supérieur à 3 cm.

5) 𝑥 doit mesurer entre 0 et 6 cm.