NOUVELLE THÉORIE DES TURBINES

nier ont obtenu la collaboration, complète les mailles d u ré- seau général de nivellement. D e s repères d'altitude sont scel- lés sur les bords immédiats des rives, soit dans le rocher, soit clans les constructions existantes à tous les confluents, pri- ses d'eau, ouvrages d'art, ainsi qu'à tous les points intéressants accessibles, tels que chutes naturelles, changements brusques de pente, etc. Fin 1905, la longueur totale de cours d'eau ainsi nivelés dans les Alpes était de 1 329 kilomètres.

P e n d a n t cette m ê m e année, les études glacières, c o m m e n - cées en 1903 et 1904 par les glaciers d e Valgauclemar et de Vallouise ont été poursuivies activement sur le massif des Grandes-Rousses suivant u n p r o g r a m m e combiné avec la bo- ciété de Géographie et l'Université de Grenoble L a c a m p a - g n e topographique qui a duré quinze jours a fourni les bases d'une étude complète des glaciers de ce massif. Depuis 1906, le Comité d'études scientifiques créé à la Direction de 1 H y -

ht,. 4. — Moulinet électrique Ott à tige ovalisée, avec son support, la pile de sonnene et ses hélices de rechange.

draulique agricole, a imprimé à ces études glaciaires, une très efficace impulsion dont les résultats ne tarderont pas à être hautement appréciés.

L e n o m b r e des postes pluviométnques a été sensiblement augmenté^, dans l'Isère, il a pasé de 24 en 1902, à 46 en 1905 , il est de 4 0 en Savoie, y compris treize postes militaires des régions élevées, de 26 en Haute-Savoie, de 6 dans les Hautes- Alpes et de 14 dans la D r ô m e L e territoire sur lequel portent les études d u Service était pourvu en 1905 de 162 postes plu- viométnques. C e n o m b r e sera encore accru car il reste assez inférieur à celui qu'on relève en Suisse par exemple, pour des surfaces équivalentes.

L a planimétne des bassins est faite au m o y e n de tirages à part sur papier fort mcléformale des cartes d'Etat-Major au 1/50000°. O n y rapporte d'abord les courbes d'altitude de

500 en 500 mètres, puis les limites de chaque bassin avec les divisions intéressant les affluents, les stations de jaugeage et les grandes prises d'eau. C h a q u e élément de surface ainsi constitué est mesuré au planimètre, plusieurs fois, par des opérateurs différents, de manière à écarter les erreurs, puis décomposé en zones d'altitude suivant les courbes de nnc.ui tracées au préalable, les totaux sont ensuite préparés pu- groupes, puis par bassin et le tout transformé en tableaux qui font ressortir la composition détaillée de chacun d'eux et de ses divers éléments L e Service d'Etudes a fourni, en 1905, aux Ministères intéressés,les cartes au 1/50 a » ' des bassins de 1 Isère, d e l'Arve, de la D u r a n c e et d u V a r qui représentent, au total, 31.048 kilomètres carrés de bassins plammétrcs par

> zone d'altitude. C e travail est définitif et ne subira que les corrections corrélatives à la réfection des cartes d'Etat-Major Sur les cartes ainsi préparées, les stations de jaugeage et les postes pluviometriques sont indiqués par des signes conven- tionnels, les grandes usines hydrauliques y sont représentées par des cercles rouges dont le centre est à remplacement m ê m e d e l'usine et dont la surface est proportionnelle à la puissance hydraulique de l'établissement. A côté de chaque cercle, o n trouve l'indication de la puissance accompagnée cic signes conventionnels renseignant sur les emplois de cette puissance.

Depuis 1906, toutes les opérations d u Service se poursimcnt régulièrement de manière que l'on pourra bientôt, par de nou- velles publications, connaître tous les éléments relatifs à l'éva- luation de nos forces hydrauliques

C o m m e on peut s'en convaincre par cet le courte analyse des rapports de M M de la Brosse et Tavernier, leur principale préoccupation a été d'imprimer à leurs recherches un caractère pratique permettant d'utiliser de surie les résultats sous les réserves, bien entendu, que comportent le caractère approxi- matif et le n o m b r e encore restreint des opérations effectuées Ces études sont laborieuses, elles entraînent des déplacements incessants, une correspondance considérable et comportent des détails multiples O n ne saurait donc trop louer les chefs de oe Service d'Etudes de 1 admirable organisation qu'ils ont*

su lui donner et qui nous vaut déjà de si précieux résultats, louange d'autant plus méritée que l'on peut être sûr qu'us disposent de crédits très parcimonieusement comptés 11 est donc fort désirable, dans t intérêt de la précision de ces étu- des c o m m e clans celui de leur p r o m p t achèvement, que l'Ad- ministration veuille bien leur fournir les ressources nécessai- res pour les m e n e r à b o n n e fin.

E.-F. C ùTK.

NOUVELLE THEORIE DES TURBINES

Par le Pioftsseur l )r H . L o k b n z , de Danzig

(Sinlc. cl lin)

I V . —- Les turbines Francis.

L'étude d e s turbines m i x t e s , o u turbines helico-ccnti 1- p è t e s , i m a g i n é e s p a r l'américain Francis, et qui o n t reçu tant d'applications d a n s ces dernières a n n é e s , p e u t aussi se faire a v e c n o t r e s c h é m a d ' é c o u l e m e n t :

•y.-Ar^ ii'r Ar iv. 2,17:

il suffit d e r e t o u r n e r la figure suivant la figure 13, et d e choisir la fonction »>„de façon à tenir c o m p t e d e s variations c o r r e s p o n d a n t e s d e la c o m p o s a n t e tangentielle ;/>„ a v e c les distances r à l'axe, et les h a u t e u r s P o u r réaliser la c o n d i - tion déjà a d m i s e p o u r les turbines parallèles q u e tous les é l é m e n t s d e s a u b e s d o i v e n t exercer s u r l'eau la m ê m e

Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1908082

2 8 8 L A H O U I L L E B L A N C H E

accélération d e réaction d a n s le s e n s d e la rotation, d e façon q u e le t e r m e à intégrer d a n s l'équation d u m o m e n t (sq) se

réduise à r d r d ^ , n o u s a u - r o n s u n e fonction d e la f o r m e :

îv„r = B L C ( 3 ? ) B et C d é s i g n e n t d e s c o n s - t a n t e s ; ^ entre e n d é n o m i - n a t e u r d u l o g a r i t h m e , d e façon q u e le p r o d u i t /;>„/' d i m i n u e alors q u e ~ a u g - m e n t e , et q u e , l'écoulement a y a n t lieu d e l'extérieur KM, IJ vers l'intérieur, r d i m i n u e .

L a c o m p o s a n t e t a n g e n - tîelle w^u s'annule, d'après la relation ( 3 7 ) , p o u r la valeur :

î = Cr ( 3 8 )

E n d'autres t e r m e s , elle s'annule p o u r les points d ' u n e droite p a s s a n t p a r l'origine s u r la c o u p e m é r i d i e n n e ; n o u s s e r o n s d o n c tout n a t u r e l l e m e n t a m e n é s à p r e n d r e cette droite c o m m e limite intérieure d e la c o u r o n n e d e la r o u e e n c o u p e m é r i d i e n n e , c o m m e l'indique la fig. i 3 ; à l'exté- rieure, cette c o u r o n n e p o u r r a être limitée verticalement.

C e s d e u x conclusions c o r r e s p o n d e n t , d'ailleurs, a u x m o d e s d e construction a d o p t é s e n p r a t i q u e ; m a i s , p a r contre, o n n e s'est p a s e n c o r e r e n d u c o m p t e qu'il conviendrait aussi, d a n s la construction d e s turbines, d'arrondir les surfaces latérales d e s c o u r o n n e s d e s r o u e s m o b i l e s .

E n tenant c o m p t e d e s relations : a ( » y )

Dr

B r

3

O v )

déduites d e la relation ( 3 7 ) , l'équation d e s m o m e n t s (24) devient :

DTL = — 6t. -t A B rdrdr. ( 3 8 ) L'intégrale s'étend à la surface B ' C ' F B " i n d i q u é e p a r d e s i m p l e s h a c h u r e s d a n s k figure 14. M a i s , n o u s p o u v o n s écrire p o u r cette surface :

B ' C ' F B " = A B ' C ' D — A B " C " D + D C ' O - E F O - D C ' F E

E n p o s a n t : ^r . -r,

•y-=/lrV et i " = P o u r la surface :

A B ' C ' D — A B " C " D : n o u s a u r o n s :

J ' j V d r d r - f(-^x' - f) râr

A A

D e m ê m e , a v e c - — Cr, n o u s a u r o n s , p o u r D C ' O — E F O :

T 'A~

r'»' ( 3 8 a )

rdrd- = C r — C

..j

soit, p u i s q u e n o u s a v o n s :

f-i li_ 13

r» r^Q r⁰ ( 3 9 )

r2 et ^ d é s i g n a n t les c o o r d o n n é e s d'un p o i n t q u e l c o n q u e d e l'arête d e sortie,

J^frdrd- = \ ( r |^{î 2} - = '^f- ( 3 8 * ) E n f i n , n o u s a v o n s p o u r D C ' F E :

( 3 8 , E n faisant la s o m m e a l g é b r i q u e d e ces trois quantités, n o u s a u r o n s f i n a l e m e n t :

-y L

C e t t e f o r m u l e est n o t a b l e m e n t p l u s c o m p l i q u é e q u e la f o r m u l e c o r r e s p o n d a n t e p o u r les turbines parallèles et les turbines radiales, le profil d e l'aube étant l u i - m ê m e plus c o m p l i q u é . Il parait d o n c utile d e simplifier cette f o r m u l e e n tenant c o m p t e d e q u e l q u e s h y p o t h è s e s q u i , n o u s a v o n s b i e n soin d e le faire r e m a r q u e r e n c o r e e n cette place, n e s o n t n u l l e m e n t indispensables p o u r r n t r e théorie.

U n e d e n o s h y p o t h è s e s sera e x p r i m é e p a r la relation :

lh ™ — F I .

qui s'écrit encore

3 =^

v-'

V = 3'i"L ( 1,39 ~}rX p u i s q u e : ^ = L i,3g.

C o m m e s e c o n d e h y p o t h è s e , n o u s choisirons la valeur d u rapport ^ d e façon à satisfaire à la relation :

7

I->39 7T55 = e = 2,7183,

o u : r.,

~ = 1,96, soit e n v i r o n 2

fa

(41 a) E n tenant c o m p t e q u e Le—i, l'équation (41) se réduit à :

V = H".

L e s valeurs d e -i' et d e >i" s o n t e n c o r e d é t e r m i n é e s p a r la la f o r m u l e d e définition d e la fonction d ' é c o u l e m e n t :

(42)

( 4 3 ) C e s d e u x relations d o n n e n t :

4 i vT 4 "• {

L e s p a r a m è t r e s d e la fonction d ' é c o u l e m e n t sont d o n c d é - t e r m i n é s p o u r les lignes limitant le profil d e la r o u e ; et n o u s a v o n s d e p l u s r\ = 2 r2" très s e n s i b l e m e n t . E n tenant c o m p t e d e s relations (41) et (42), l'équation d e s m o - m e n t s (40) se simplifie, et d e v i e n t :

DU . . - u n ; / ) (-«/ — ''/') L , : _ 3 ^ i ? L - L (40),

' ⁹ S ^r2

FIG. i-i

S u b s t i t u o n s m a i n t e n a n t d a n s la relation (37) la valeur d e la c o n s t a n t e C tirée d e s relations (39); n o u s a u r o n s :

n>^ur BL

soit, p u i s q u e ^{A %• 2 R-}

su 2 42,

)P„r BL 3BL-.

r0

8/ ' 2

L ' é q u a t i o n (40 a) d e v i e n t alors finalement : DM = - Q wu 1 r{.

( 3 7 * )

(40*) Celle équation es! identique à l'équation des moments de la turbine parallèle, sauf que la composante tangenlielle à la sortie nha n'y entre plus. C e t t e é q u a t i o n est d ' u n e très g r a n d e simplicité, et il y a lieu d e r e m a r q u e r qu'elle a été o b t e n u e s a n s négliger a u c u n t e r m e .

L e s é q u a t i o n s d e s trajectoires a b s o l u e et relative se d é d u i s e n t très s i m p l e m e n t d e la relation ('ij b).

P o u r la trajectoire a b s o l u e n o u s a u r o n s :

dr *

» V = R T = -

d ' o ù :

, „ B (Lr

soit, e n intégrant d e t\ à r : _{9 = H ( lLr _ _ _}

3BL-1 -Ari

4B

D R ,

2 A V 2 " '"a >V r j ^ 3 ^ \r« r4"

L a trajectoire relative se d é d u i t d e la relation : dy = d<p — w d/f = d s -f-

C e t t e é q u a t i o n intégrée d e v i e n t :

( 4 4 )

« dr A ~r

3 i? / 1 . r 4 # /'*

r*^h r j + 3 4 lr»'

( 4 5 )

~ ~ T J_V

4 r,

L e s a n g l e s ? et d e m ê m e q u e le p r o d u i t »>«r, d'après la relation b), n e s e m b l e n t être fonctions q u e d e la distance à l'axe r; e n réalité ils s o n t aussi fonctions d e ^, le r a y o n vecteur r2 à la sortie de- la r o u e étant variable d ' u n filet liquide à l'autre, E n c o n s é q u e n c e , même dans le cas où

l'arête d'entrée de l'aube est verticale, l'aube a une double courbure.

P o u r p e r m e t t r e d'apprécier la v a l e u r d e s f o r m u l e s précé- d e n t e s , n o u s allons traiter u n e x e m p l e n u m é r i q u e .

Soit à construire u n e t u r b i n e p o u r u n d é b i t Q = & > o litres à la s e c o n d e et u n e h a u t e u r d e c h u t e // — 5 m è t r e s , la vitesse d e la t u r b i n e d e v a n t être n — 200 tours à la m i n u t e .

L a vitesse angulaire d e la turbine est :

» = ^ = 2 o ,⁹;

le m o m e n t d e rotation, e n s u p p o s a n t u n r e n d e m e n t r,= o , 8 5 , a p o u r valeur :

J M = r, — = — 125 k i l o g r a m m è t r e s . Oh (o

L ' é q u a t i o n (40b) d o n n e alors : Jïlg

w^vl R, = ^ 2 = 2,044.

D e s relations (43) n o u s d é d u i s o n s les valeurs d e -V et è " ;

^' = 0,143; -I" = 0,048.

S u p p o s o n s u n e vitesse à la sortie d e 4 m . à la s e c o n d e :

= 4, p o u r le point le plus b a s d o n t les c o o r d o n n é e s s o n t ra' ^2'.

D e la relation : wJ ZR2'v = 21-7 -Ç, 2 'i'

n o u s tirons . rJ' — —-, — 0,0710, soit : R«' = o">267 ; et, d'après la relation (41 a) :

' V

r⁹" =

1,96 omi 3 b . L e s relations ( 0 7 b) et (qt a ) n o u s d o n n e n t :

ii'ui' >"i = iBL — ,

R O

et, d'après (40 : Wu'.'

P o s o n s p a r e x e m p l e ; n o u s a u r o n s alors :

B = ~

3BL^}X,--=

3 S L ( i , q 6 ' Â )

'~2 \ " '*2 /

3 £ L 1,96 _ iBQ

iv,d r{ gOTL

n>„" _ ,

1 DVLg

(4<">)

2 Q

1,022, et, e n t e n a n t c o m p t e d e la relation (40b)

3 5 L r^{ Mg

Q 1 ^ri _ ²

S - ' - 3 ' 2 B ,

r, = i,g5 r'² = o»"523.

E n n o u s d o n n a n t la valeur d e la vitesse radiale à l'entrée : 3Vri = — 2 m . et, e n tenant c o m p t e d e la relation :

H T F = = — A R „ 5

n o u s a u r o n s :

11 li 12 t2

^R,2'

" Ar*

r Ar%' ' Ar%"

= 3,73 ;

= o'"i40;

o'"o47.

:o m 5 3 5 ;

= o'»268 ;

'î

J*;_ } R \

1 /

xl _{^ \ %'! /}

^ \ y

\ Y . »..

\ V

V

Fio. i5

C e s valeurs d é t e r m i n e n t

c o m p l è t e m e n t le profil d e la r o u e , et c e profil p e u t être

290

les angles c o r r e s p o n d a n t s sont :

x = 27° e n v i r o n ; « " = 14° e n v i r o n .

C e s variations s o n t trop fortes, et n e p o u r r a i e n t g u è r e être réalisées e n pratique. A u s s i , n o u s n o u s a b s t i e n d r o n s d e c o n t i n u e r l'étude d e cet e x e m p l e n u m é r i q u e , et e n parti- culier le calcul d e s trajectoires relative et a b s o l u e d e s filets liquides.

N o u s p o u r r i o n s essayer d e réduire ces variations, e n faisant, p a r e x e m p l e , d'autres h y p o t h è s e s sur la valeur d u r a p p o r t — - .

N o u s reconnaîtrions q u e n o u s serions c o n d u i t s à a u g - m e n t e r les valeurs d e r,, et à d i m i n u e r la h a u t e u r d e la section d'entrée. Il n o u s faut d o n c c h e r c h e r d a n s u n autre o r d r e d'idées p o u r p o u v o i r t r o u v e r d e s résultats applicables e n pratique.

La raison fondamentale de celle forme particulière de variations est la très grande dissemblance des ouvertures de la roue à Feutrée et à la sortie. N o u s allons c h e r c h e r à y r e m é d i e r , s a n s c h a n g e r le caractère m ê m e d e la t u r b i n e hélico-centnpète. Il n o u s suffira, à cet effet, d e définir les d e u x o u v e r t u r e s sur la c o u p e m é r i d i e n n e , d'après la rela- tion d o n n a n t la valeur d e la c o m p o s a n t e tangentielle iv„ :

iv r—i ^u (r, -)

(47) p a r d e u x valeurs différentes d e w „ r ; il faut alors envisager ces valeurs c o m m e d e s p a r a m è t r e s . N o u s o b t e n o n s d e la

sorte d e s lignes d'ouverture

tû rationnelles, telles q u e les faisceaux d e c o u r b é s indi- q u é e s s u r la c o u p e m é r i - d i e n n e , fig. 1 6 ; p a r m i celles- ci, les d e u x c o u r b e s (n>u r\

e t ( u > „ r )2 a v e c les lignes d'é- c o u l e m e n t f et définis- sent le profil d e la c o u r o n n e d e la r o u e .

E n a d m e t t a n t cette h y p o - t h è s e , n o u s a u r o n s l'avan- tage d'avoir, p o u r les valeurs d e (wu r\ et d e («,*„ r )2, d e s valeurs constantes sur toute la section d'entrée et d e sortie;

Fit,. 16

e n sorte q u e , d a n s l'équation d e s m o m e n t s :

0K=Jqurdm =J M^d(,vur),

les variations d u m o m e n t d e la quantité d e m o u v e m e n t s o n t les m ê m e s p o u r t o u s les filets liquides à leur p a s s a g e d a n s la r o u e , et p a r c o n s é q u e n t t o u s les filets liquides contri- b u e n t d a n s la m ê m e p r o p o r t i o n à fournir la valeur d u m o m e n t d e rotation. (*) E n c o n s é q u e n c e , n o u s p o u v o n s considérer le débit p a n s e c o n d e :

O dm

b dt

c o m m e u n e quantité c o n s t a n t e , ainsi q u e n o u s l'avons fait p o u r les turbines radiales, et faire sortir cette quantité d u signe d'intégration. Nous obtenons ainsi l'équation d'Euler pour la turbine Francis, le profil de la roue de celle turbine

étant limité par un couple de lignes d'écoulement f et et un couple de courbes (n>^ur)ⁱ et ( w v )³ :

(+«) et, d a n s cette expression, n o u s d o n n o n s a u x p r o d u i t s respec- t i v e m e n t constants (iv'ùr) -les indices c o r r e s p o n d a n t a u x variations de'n>« et d e r d a n s les sections d ' o u v e r t u r e .

Il est é v i d e n t q u e , d a n s ce m o d e d e construction d e la r o u e m o b i l e , la théorie et le calcul d e la t u r b i n e F r a n c i s , m a l g r é ses f o r m e s c o m p l i q u é e s , s o n t tout aussi s i m p l e s q u e la théorie et le calcul d e s turbines parallèles et d e s turbines radiales. D a n s c e s d e u x t y p e s d e t u r b i n e s , les sections d'ouverture d e la r o u e e n c o u p e m é r i d i e n n e s o n t d e s lignes p o u r lesquelles le p r o d u i t n'ur est c o n s t a n t , tant q u e le p r o - duit ji'„r est fonction soit d e \ seul, soit d e r seul.

L e choix d e la fonction (47) q u i définit la valeur d u p r o d u i t ivar est, d ' u n e f a ç o n g é n é r a l e , aussi arbitraire q u e celui d e la fonction n o u s s e r o n s g u i d é s d a n s ce c h o i x p a r la d o u b l e considération d'avoir u n e valeur nulle p o u r le p r o d u i t n'ur d a n s la section d e sortie d e la r o u e , o u i m m é - d i a t e m e n t a p r è s cette section, et d e c o n s e r v e r la possibilité d'avoir, à l'entrée d a n s la r o u e , u n e section s e n s i b l e m e n t c y l i n d r i q u e . L e s c o u r b e s q u i satisfont le p l u s s i m p l e m e n t à ces c o n d i t i o n s s o n t d e s c o u p l e s d ' h y p e r b o l e d e la f o r m e :

,^Vur = Br*- C?; (49)

la fonction i reste, s a n s modification, celle a d o p t é e p l u s h a u t :

* = Ar\ ( 5 o )

C h e r c h o n s à a n n u l e r la c o m p o s a n t e tangentielle ?;>,, à la sortie; ri \{ et r2 -2 étant r e s p e c t i v e m e n t les c o o r d o n n é e s d'un point d e la section d'entrée et d e la section d e sortie d a n s la c o u p e m é r i d i e n n e , n o u s a u r o n s , p o u r calculer les valeurs d e s constantes B et C , les relations s u i v a n t e s , d é d u i t e s d e la relation (49)

(*) La m ê m e remarque s'applique pour le travail utile dont la valeur est donnée par la relation (18); ce dernier se repartit uniformément sur tous les éléments liquides traversant ia roue dans l'unité de temps. C'est cette hypothèse qui donne la garantie de la meileure utilisation de l'énergie, et permet d'expliquer la grande supériorité des turbines et des p o m p e s construites d'après la théorie précédente sur toutes les autres machines du m ô m e genre.

L A H O U I L L E B L A N C H E

représenté g r a p h i q u e m e n t , à u n e échelle d o n n é e , c o m m e le m o n t r e la fig. 15.

O n reconnaît i m m é d i a t e m e n t q u e la h a u t e u r d'entrée est relativement faible, et les a u b e s o n t , e n c o n s é q u e n c e , u n e très g r a n d e l o n g u e u r ; le f r o t t e m e n t c o r r e s p o n d a n t n e peut intervenir d a n s notre théorie q u e s o u s la f o r m e d e la valeur m ô m e d u r e n d e m e n t . Il faut r e m a r q u e r , e n outre, la g r a n d e u r d e s variations d e la c o m p o s a n t e tangentielle d a n s la section d'entrée ; elle p a s s e d e la valeur : n>u\ = 3mg 8 à la s e c o n d e à la valeur n'ui" = 7m9 b ; si l'on tient c o m p t e d e ce q u e ivn = —• 2 m . à la s e c o n d e , o n t r o u v e q u e les angles % et a q u e fait u n e directrice a v e c la t a n g e n t e a u parallèle e n c h a c u n d e s points considérés, sont d o n n é s p a r :

n'rï - n „ H') [

tgje = , = O , O O J ; tgx = - — - = 0,202;

Ci- 2

^ 1 2

1 > V _ Ctf = {a>^ur\

et l'équation d e s m o m e n t s se réduit à : J H = _ 2 („-„^r)^a.

S

(49°)

(48 a ) L a section d e sortie est e n c o u p e «méridienne, d'après la p r e m i è r e d e s é q u a t i o n s (49a), u n e droite p a s s a n t p a r l'ori- g i n e : c'est l'une d e s a s y m p t o t e s d e l'hyperbole définie p a r l'équation (49) :

T + /B C

L e calcul n u m é r i q u e d'une turbine se fait c o m m e d a n s l'exemple p r é c é d e n t . L e s d o n n é e s s o n t le débit Q , la h a u t e u r d e c h u t e h et le r e n d e m e n t r^t; si, e n outre, n o u s n o u s fixons la v a l e u r d e la vitesse angulaire M , n o u s a u r o n s i m m é d i a t e m e n t la v a l e u r d u m o m e n t :

Oh ( 5 I )

N o u s c o n n a î t r o n s e n outre les valeurs q u e n o u s n o u s d o n n e r o n s p o u r la v a l e u r m a x i m a d u r a y o n à l'entrée r^{\ la vitesse radiale w^r\ à l'entrée c o r r e s p o n d a n t à la valeur d e r / et la vitesse axiale d e sortie jv-a. P o u r la trajectoire a b s o l u e d e l'eau, n o u s a u r o n s les relations :

;,.„r = r* = Br^a- - Cf ;

r ^dr i

soit :

d o d r

B Cf Ar ⁺ Ar^

o u , e n r e m p l a ç a n t \ p a r sa v a l e u r tirée d e la relation ( 5 o )

dçp _ B_ C_ £²

dr ~~ Ar ⁺ A^s r» ' A p r è s intégration, cette relation d e v i e n t :

- W -

A r.

6 A^s \r« ⁽⁵²⁾

L a trajectoire relative est d é t e r m i n é e ' p a r la relation tù dr

d ^ = d o soit, a p r è s intégration :

dt — d s +

A r'

7.

it> — B ^r r - 3 — -

cr- /«

6 A³ \r° rfi ⁽⁵³⁾ L a f o r m e d e l'aube est ainsi c o m p l è t e m e n t d é t e r m i n é e si, d'autre p a r t , n o u s n o u s d o n n o n s l'arête d'entrée.

R e p r e n o n s l'exemple n u m é r i q u e traité p l u s h a u t .

Soit à construire u n e t u r b i n e p o u r u n débit Q — 600 litres à la s e c o n d e ^ et u n e h a u t e u r d e c h u t e h — 5 m è t r e s . S u p - p o s o n s , p o u r m o n t r e r c o m b i e n la théorie d é v e l o p p é e p l u s • h a u t s'applique facilement, u n e vitesse n = i5o tours à la m i n u t e s e u l e m e n t , soit u — 15,7.

E n p r e n a n t c o m m e valeur d u r e n d e m e n t : r; = o , 8 5 , n o u s a u r o n s , d'après la relation ( 5 i ) :

— Jïl 162,4 k i l o g r a m m è t r e s . D e la relation (48a) n o u s d é d u i s o n s :

(«»„r)j = — ^ = 2,655.

P r e n o n s , c o m m e valeur d u r a y o n m a x i m u m à l'entrée r'^t = o^m, 4 o ; n o u s a u r o n s alors :

r , (5,64 m / s e c .

P r e n o n s c o m m e valeur d e la vitesse radiale c o r r e s p o n - d a n t a u r a y o n m a x i m u m d'entrée >i<^ri' — — 2.00 m / s e c ; la valeur d e la constante ^1 est d o n n é e p a r :

A — - = (>,20 .

P r e n o n s enfin c o m m e valeur d e la vitesse d e l'eau à la sortie a u b o r d d e la c o u r o n n e extérieure. îv-J = 3 m / s e c , n o u s a u r o n s :

1 9 2 Â o'V-H-

S o i e n t , r\ le r a y o n c o r r e s p o n d a n t à ce point d u b o r d d e la c o u r o n n e extérieure, et r⁰ le r a y o n d e la ligne d'écoule-

m e n t i>" c o r r e s p o n d a n t à d ' o r d o m i é e \\² ; n o u s a v o n s :

» V ^ y ( > - V - > V²) = = Q , soit: * ( / , * ' . — r⁹⁰) = o»«^s,2o.

Relation q u i est vérifiée p o u r les valeurs : r'² — o'",3oo r„ — o^m, 163.

N o u s a v o n s alors :

f = Ar^%% = 0,13b-, f = Ar*^a z\ — 0,040;

1 i o^m, i 3 5 .

L ' o r d o n n é e 7 , " d u point d'intersection d e l'hyperbole d'entrée (iv^ur)ⁱ a v e c la c o u r b e f" diffère très p e u d e f„ :

ni

^ __ _ L _ ⁰»i,o40, soit s e n s i b l e m e n t A l |

L a m é t h o d e g r a p h i q u e d o n n e r a d'ailleurs très s i m p l e m e n t la v a l e u r d e cette o r d o n n é e .

S u b s t i t u o n s m a i n t e n a n t les valeurs d e r,' r²' ^' et (ip^ttr)^l d a n s la relation (49 a); n o u s t r o u v e r o n s :

jf? = 20,1 , C — 31,2, et, d'après la relation (49) :

B

o»',3()7 e n p r e n a n t :

= ~ r., = 0.0 1 „

x- r ² -

E n tenant c o m p t e e n o u t r e d e la relation : .r,-' 4,-2 >• "

292 L A H O U I L L E B L A N C H E

nous trouvons :

om,i6 ;

N o u s c o n n a i s s o n s ainsi toutes les valeurs d é t e r m i n a n t le profil d e la r o u e et

n o u s p o u v o n s le représenter gra-

p h i q u e in e n t, c o m m e l'indique la figure 17.

N o u s ferons re- in a r q u e r • q u e notre calcul n'a c o n d u i t jusqu'à p r é s e n t q u ' à d e s résultats

admissi-

bles e n p r a t i q u e .

P o u r connaître les angles d e s directrices,, il n o u s faut e n c o r e d é t e r m i n e r les vitesses w,t et ?;>,- à l'angle s u p é r i e u r d e la section d'entrée; n o u s a v o n s :

( wur ) , ,

«'«i = - — Î T - =

7> 4

d'où, les valeurs d e ivn\ et d e ivri étant c o n n u e s : t g x = — , =

0 , 3 7 7 ,

tga" = ^ = o , 3 l 6 , « " = 1 7 0 3 0 ' .

F l G I

L a variation d e l'angle d e s directrices est d o n c très faible.

E n f i n , l e s angles © d e la *~

trajection a b s o - lue, p r e n n e n t , à l'entrée et à la s o r t i e , les v a l e u r s s u i - v a n t e s déduites d e la relation (52) :

<p' = + 0,487,

© " = + i,425; FIG. JS les angles-/cor-

r e s p o n d a n t s d e la trajectoire relative o n t p o u r valeurs : X = — o,235, y" — — 0,09t.

L e s a u b e s ainsi définis, c o m m e le m o n t r e la figure 18 e n p l a n , n e s'étendent q u e s u r u n e faible portion d e la

circonférence, et n e p r e n n e n t p a s u n d é v e l o p p e m e n t e x a - g é r é . Soit u la vitesse péri- p h é r i q u e d e la r o u e :

ru ; (5q)

la relation : tg(3:

U

-

d o n n e , ainsi q u e l'indique la figure 19, les a n gles g d e l'au- FIG 19 b a g e à la périphérie e n c o u p e

horizontale.

N o u s a u r o n s d o n c , p o u r les vitesses e n m è t r e s p a r s e c o n d e , a u x s o m m e t s d e s a u b e s :

u\ = 6>»,28; V =

5^,76;

;;>„,' = 6m,64; w „ t " = 7">,24; wu%' = o; /i>u 8" = o ;

;)/,,—_2m,b0',tVr" — — 2m, 2 9 ; » ' ' , 2 = — I '",88; lV,-i"~— 1 '",25;

d'où, p o u r les a n g l e s :

t g , V , — - ô . « p : tg,a'3 = — 0 , 4 ; t g ^ " = i , 5 5 - , tg gs" = — 0,4 ; soit : 8i»5o'; g,' D b ° 10 ; Ci ^{$ 2 "}

L e s é q u a t i o n s (5q) et (55), tout à fait générales, n o u s per- m e t t r o n t d e calculer l'inclinaison des trajectoires relatives- s u r l'aube, e n c h a q u e point d e l'aube, à m o i n s q u e n o u s n e préférions d é d u i r e cette inclinaison d e s c o u r b e s construites d'après l'équation (53).

V . Conclusions.

L a théorie q u e n o u s a v o n s d é v e l o p p é e p o u r les turbines à a d m i s s i o n totale s'applique à t o u s les t y p e s d e turbines à a d m i s s i o n totale, ainsi q u ' à leurs r é c i p r o q u e s , telles q u e les p o m p e s centrifuges ; elle n o u s a c o n d u i t à d e s f o r m u l e s pra- tiques très s i m p l e s , et p a r c o n s é q u e n t d ' u n e application i m m é d i a t e . ' T o u t e cette théorie est b a s é e s u r l'étude d e l'écoulement d e s liquides d a n s les c o r p s c r e u x s o u m i s à u n m o u v e m e n t d e rotation a u t o u r d'un a x e . L ' h y p o t h è s e q u e t o u s les points d ' u n parallèle décrit a u t o u r d e l'axe d e rotation d u c o r p s e n m o u v e m e n t (cet a x e d e rotation étant e n m ê m e t e m p s celui d e la r o u e m o b i l e ) s o n t s o u m i s à la m ê m e pression, et sont d a n s le m ê m e état d e m o u v e m e n t , revient à a d m e t t r e u n n o m b r e indéfini d ' a u b e s ; d a n s ces conditions, le p r o b l è m e est r a m e n é à u n p r o b l è m e q u i se traduit p a r d e s é q u a t i o n s à d e u x d i m e n s i o n s , et p e u t être traité m a t h é m a t i q u e m e n t . P a r c o n t r e , la théorie d e s t u r b i n e s e n s e i g n é e jusqu'à m a i n t e n a n t se bornait, d'après la m é t h o d e i n d i q u é e p a r E u l e r , à l'étude d ' u n filet liquide isolé, et n e traitait le p r o b l è m e q u ' à l'aide d'équations à u n e seule d i m e n s i o n ; elle n e permettait d o n c p a s d e d é t e r m i - n e r d ' u n e f a ç o n précise la f o r m e d e la r o u e . D'ailleurs, il est b o n de-faire r e m a r q u e r q u e les m o y e n s m a t h é m a t i q u e s d o n t n o u s d i s p o s o n s a c t u e l l e m e n t n e n o u s p e r m e t t e n t p a s e n c o r e d'analyser les variations d e pression et d e vitesse q u i se p r o d u i s e n t à c o u p s û r s u r u n parallèle, p a r suite d u fait q u e les a u b e s s o n t e n n o m b r e fini. Il n e n o u s paraît possible d e perfectionner la théorie d a n s cet o r d r e d'idées q u e si l'on disposait d ' u n vaste matériel d ' é t u d e s , p o u r lequel les m é t h o d e s d e r e c h e r c h e s s o n t d'ailleurs e n c o r e à t r o u v e r . P o u r n o t r e part, n o u s n ' a v o n s p a s v o u l u a d m e t t r e l'usage, c o n s a c r é jusqu'à ce jour, d e s coefficients d e résistance, d o n t les valeurs s o n t la p l u p a r t d u t e m p s t o u t à fait arbitraires ; p o u r tenir c o m p t e d e s pertes q u i se p r o d u i s e n t d a n s l'utili- sation totale d e l'énergie, n o u s a v o n s fait intervenir d a n s la f o r m u l e d u m o m e n t d e rotation,en fonction d u travail d i s . p o n i b l e et d u n o m b r e d e tours,la v a l e u r d u rendement total, cette dernière a y a n t été établie e x p é r i m e n t a l e m e n t s u r u n g r a n d n o m b r e d e t u r b i n e s .

D'autre part, n o u s a v o n s t o u j o u r s t r o u v é u n e expression définie p o u r la valeur d e ce m o m e n t d e rotation lorsque les parois de la roue et des parties adjacentes du distributeur et du tuyau d'aspiration correspondaient en coupe méridienne

à des lignes d'écoulement. C'est aussi à cette c o n d i t i o n q u e la turbine, ainsi que la pompe, est réellement remplie d'eau à sa vitesse normale de régime.

Si n o u s a j o u t o n s , e n o u t r e , la c o n d i t i o n q u e les sections de la roue donnent en coupe méridienne des courbes pour lesquelles les valeurs du produit war sont constantes, nous pourrons appliquer en toute exactitude l'équation des mo-

ments d'Eu 1er pour une hauteur quelconque finie de la roue;

cette é q u a t i o n n'était applicable, jusqu'ici, q u ' à u n filet liquide m o y e n . G r â c e à cette m é t h o d e , n o u s p o u v o n s g a r a n - tir u n e utilisation à p e u p r è s u n i f o r m e d e l'énergie d e s é l é m e n t s liquides, b i e n q u e ces derniers soient répartis s u r leurs trajectoires respectives.

E n f i n , les c o m p o s a n t e s radiale et axiale d e la vitesse a b s o l u e d e l'eau s o n t d é t e r m i n é e s e n m ê m e t e m p s q u e la fonction d ' é c o u l e m e n t q u i d o n n e la f o r m e d e s parois d e la t u r b i n e ; e n outre, la c o m p o s a n t e tangentielle wu est s u p p o - sée être u n e fonction arbitraire d e r et d e \. D a n s ces c o n d i - tions, le calcul d e s trajectoires a b s o l u e et relative et, p a r c o n s é q u e n t , la d é t e r m i n a t i o n d e la f o r m e d e l'aubage n e p r é s e n t e n t a u c u n e difficulté. E n p r o l o n g e a n t les trajectoires a b s o l u e s , n o u s o b t e n o n s la f o r m e d e s directrices d u distri- b u t e u r et d e s a u b e s d u diffuseur, a u v o i s i n a g e i m m é d i a t d e la r o u e : p a r c o n s é q u e n t , p o u r les p o m p e s , n o u s o b t e n o n s , e n p r o l o n g e a n t d e m ê m e les c o u r b e s d e s parois é , la f o r m e d e t o u t e la c a p o t e .

L e s vitesses relatives d e l'eau d a n s la r o u e n'interviennent p a s o b l i g a t o i r e m e n t d a n s l'étude t h é o r i q u e et d a n s le calcul d e la r o u e ; les v a l e u r s d e c e s vitesses se d é d u i s e n t plutôt tout n a t u r e l l e m e n t d e s vitesses a b s o l u e s e n fonction d e la vitesse a n g u l a i r e d é t e r m i n é e d'après le n o m b r e d e tours q u e l'on s'est d o n n é .

Il est b o n d e faire r e m a r q u e r e n c o r e q u e la théorie précé- d e n t e n e s'applique q u e d a n s le cas o ù l'entrée d e l'eau d a n s la r o u e , et s a sortie d e cette r o u e o n t lieu s a n s c h o c , c'est-à- dire p o u r le r é g i m e n o r m a l d e vitesse et d e débit. P o u r le m o m e n t , il n e n o u s est p a s possible d e dire jusqu'à quelles limites elle p e u t s'étendre à d'autres c o n d i t i o n s q u ' à c e r é g i m e n o r m a l .

E n t o u s c a s , n o u s p o u v o n s c o n c l u r e q u e , c h a q u e fois q u e l'on s'écartera d e n o t r e théorie, soit p o u r le calcul, soit p o u r la construction d e s turbines, o n n ' a u r a d ' a b o r d p a s le droit d ' a p p l i q u e r l'équation d e s m o m e n t s d ' E u l e r ( é q u a t i o n utili- sée à faux jusqu'ici) d ' u n e f a ç o n g é n é r a l e ; o n créera ensuite d a n s la m a c h i n e à c o n s t r u i r e d e s e s p a c e s a b s o l u m e n t vides d e liquide o u d e s e s p a c e s d a n s lesquels, s e f o r m e r o n t d e s tourbillons, c o r r e s p o n d a n t n a t u r e l l e m e n t à d e s pertes d'énergie d o n t il sera i m p o s s i b l e d e tenir c o m p t e d a n s les calculs.

E . KREITMANN,

Ingénieur des Ai ts et Manufactures.

G. ROOTIN,

Ancien élève de l'Ecole Polytechnique.

N o u s rappelons que tout ce qui concerne la Rédaction doit être adressé a u rédacteur en chef, M . C O T E , 24, rue Sully, à L Y O N , et que tout ce qui concerne l'Administra- tion doit être adressé a u x éditeurs, M M . G R A T T E R et R E Y, 23, G r a n d e Rue, â G R E N O B L E .

liE JWOIS HYOHO-ÉIiECTRlQUE

A C A D É M I E D E S S C I E N C E S

CHIMIE ET ELEGTROCaiMIE

Industrie de la soude électrolytique. Théorie du procédé à cloche.— N o t e d e M . A n d r é B R O C H E T . S é a n c e d u ig o c t o b r e .

P a r m i Jes m é t h o d e s e m p l o y é e s p o u r la fabrication d e la s o u d e électrolytique, la plus récente consiste à faire arriver d a n s le voisi- n a g e d e l'anode u n e solution salée, q u i sort d e l'appareil après s'être c h a r g é e d e s o u d e à la c a t h o d e . L a s o u d e libérée p r e n d part à l'élec- trolvse ; les p r e m i e r s ions O H f o r m e n t ainsi u n e c o u c h e limite q u i t e n d à se diriger vers l'anode. 5 / la vitesse du liquide est égale ou supérieure à celles des ions O H , le rendement est théorique. P r a t i q u e - m e n t , p o u r e m p ê c h e r le chlore d e réagir sur l'alcali, o n e m p l o i e le procédé à cloche. L e c o m p a r t i m e n t a n o d i q u e a la f o r m e d'une cloche r e n f e r m a n t l'anode, les c a t h o d e s sont à l'extérieur, et u n certain n o m b r e d e ces c l o c h e s sont réunies d a n s u n récipient c o m m u n .

N o u s a v e n s c h e r c h é à d é t e r m i n e r , par le calcul, les c o n d i t i o n s d e f o n c t i o n n e m e n t d ' u n tel p r o c é d é , d a n s le cas - d u r e n d e m e n t m a x i m u m .

L a vitesse d ' u n ion est d o n n é e par la f o r m u l e

— LE

V ~ F L

L a c h u t e d e tension peut être m i s e s o u s la f o r m e :

/ d.

U • L de d'où • v — .r t

L a vitesse de l'anion O H , et par conséquent celle du liquide, au cas ou la couche limite reste stationnaire, est donc fonction de la mobilité de l'ion OW,de la densité de courant,auxquelles elle est proportionnelle, et de la conductivité du liquide à laquelle elle est inversement propor- tionnelle.

D'autre part, il est facile d'établir, c o m m e l'a fait M . P h . G u y e p o u r la m é t h o d e a v e c d i a g r a m m e , q u e la c o n c e n t r a t i o n équivalente d u liquide sortant d e l'électrolyseur est proportionnelle à l'intensité d u c o u r a n t , et i n v e r s e m e n t proportionnelle a u v o l u m e d u liquide q u i s'ecoule. Si ce v o l u m e est défini p a r la section d e la c l o c h e et la h a u t e u r h c o r r e s p o n d a n t a u d é p l a c e m e n t d u liquide e n u n e h e u r e , la conductibilité équivalente a.%t d o n n é e par l'expression.

F h

D a n s le cas o ù la c o u c h e limite reste e n place, /( vitesse d u liquide est égale a v vitesse d e l'anion O H , et l'on a finalement .

C =

4- '°

L a concentration équivalente du liquide qui s'écoule de l'appareil, lorsque la couche limite reste stationnaire, est donc fonction unique- ment de la conductivité de V électroly te à laquelle elle est proportion- nelle, et de la mobilité de l'ion O H à laquelle elle est inversement pro- portionnelle. Elle est indépendante de la densité de courant, et de la

nature de l'alcali.

Applications numériques.— Si n o u s p r e n o n s (à i8<>) d e u x solutions r e n f e r m a n t 2 b p o u r i o o d e chlorure d e p o t a s s i u m o u d e s o d i u m , et la solution saturée d e c h l o r u r e d e s o d i u m , o n trouve (/0H ; - 174).

C h l o r u r e

K

N., Na fsat.)

7.18 0,2677 0.1957 0,2156

C Alcali 1,538 83,13 gr. p a r litre 1,125 45,00 1,239 49,50

C o m m e d a n s les p r o c é d é s à d i a p h r a g m e , o n voit qu'il y a a v a n t a g e , au point d e v u e r e n d e m e n t , à labriquer d e la potasse d e préférence à la s o u d e .

E t a n t d o n n é la solution d e c h l o r u r e d e s o d i u m saturé a 18", si n o u s utilisons u n e densité d e c o u r a n t d e 1 a m p è r e par d m ' , l'appli- cation d e s f o r m u l e s p r é c é d e n t e s n o u s c o n d u i t a u x résultats suivants:

I. Vitesse d e d é p l a c e m e n t d u liquide d a n s la cloche-: o,3oi c m . à l'heure.

II. Vitesse d ' é c o u l e m e n t d u liquide : 3o, 1 c m3 p a r h e u r e e t ' p a r d m5 d e surface horizontale d e cloche.

III. C h u t e d e tension d a n s la c l o c h e (vers l'anode) : 0,046 volt p a r c e n t i m è t r e .